¨Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik

Prof. Dr. R. Egger
Blatt 7
WS 2016/17
Übungen zur Vorlesung: Elektrodynamik
Abgabe bis Freitag, 09.12.2016, 12:00 Uhr
Übungstermin: Montag, 12.12.2016
Aufgabe 16: Solenoid mit Wechselstromantrieb
6 Punkte
Wir betrachten eine (unendlich lange) zylindrische Magnetspule mit Radius R entlang der z-Achse, welche durch
einen Wechselstrom der Frequenz ω angetrieben werde. Das zeitabhängige Magnetfeld im Inneren der Spule (r < R)
sei durch B(r, t) = B0 cos(ωt)êz gegeben, und verschwinde im Aussenbereich r > R.
Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten (x = r cos φ, y = r sin φ) mit Einheitsvektoren {êr , êφ , êz }, wobei
1 ∂Ez
∂Eφ
∂Er
∂Ez
1 ∂(rEφ ) ∂Er
∇×E=
−
êr +
−
êφ +
−
êz
r ∂φ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂φ
a) Bestimmen Sie aus dem Induktionsgesetz das elektrische Feld E(r, t) sowohl innerhalb der Magnetspule als auch
im Aussenbereich.
(4 Punkte)
b) Es sei eine kreisförmige und koaxial gelegene Leiterschleife mit Radius R0 < R und elektrischem Widerstand
R innerhalb der Magnetspule eingebracht. Bestimmen Sie den zeitabhängigen Strom I(t) = E(t)/R, der in
der Leiterschleife induziert wird. Dabei bezeichnet E die elektromotorische Kraft (Ringspannung) in der Leiterschleife.
(2 Punkte)
Aufgabe 17: Polarisation ebener elektromagnetischer Wellen
9 Punkte
Wir betrachten die Überlagerung von zwei ebenen monochromatischen Wellen mit gleichem Wellenvektor, k = kêz ,
wobei ω = ck. Die erste Welle sei in x-Richtung linear polarisiert mit Amplitude a1 , die zweite sei in y-Richtung
linear polarisiert mit Amplitude a2 . Dabei liege eine Phasenverschiebung δ zur ersten Welle vor, d.h. für das
elektrische Feld erhält man
E(z, t) = Re a1 êx + a2 eiδ êy ei(kz−ωt)
(1)
a) Zeigen Sie, dass Gleichung (1) mit geeignet gewählten Vektoren w1 und w2 , deren Komponenten reellwertig
sind und die orthogonal zueinander sind, w1 · w2 = 0, geschrieben werden kann als
E(r, t) = w1 cos(kz − ωt + α) − w2 sin(kz − ωt + α)
Bestimmen Sie die Vektoren w1,2 und den Winkel α.
(2)
(5 Punkte)
1
Übungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 7
b) Gleichung (2) zeigt, dass die oben definierte Überlagerung der beiden Wellen einer elliptisch polarisierten ebenen
Welle entspricht (warum?). Für welche Parameter (a1 , a2 , δ) ist die Welle linear polarisiert? Wann ist sie zirkular
polarisiert?
(4 Punkte)
Aufgabe 18: Gauß’sches Wellenpaket
5 Punkte
Ein Wellenpaket besteht aus einer Überlagerung von ebenen monochromatischen Wellen. Wir betrachten ein in
x-Richtung linear polarisiertes eindimensionales Wellenpaket,
Z ∞
Z
dω ∞ dk i(kx−ωt)
E(x, t) = Re
e
a(k, ω)
−∞ 2π −∞ 2π
dessen Amplitudenfunktion a(k, ω) gegeben sei durch
(ω − ω0 )2
(k − k0 )2
−
a(k, ω) = a0 exp −
2(∆k)2
2(∆ω)2
mit reellen Konstanten a0 , k0 , ω0 , ∆k und ∆ω, die als positiv angenommen seien.
Hinweis:
√
Z ∞
2 2
π −(a/2b)2
dx cos(ax)e−b x =
e
|b|
−∞
a) Bestimmen Sie die Amplitude des Wellenpakets als Funktion des Ortes x und der Zeit t.
(3 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Beziehung zwischen ∆k und der räumlichen Ausdehnung ∆x des Wellenpaketes. Gibt es eine
ähnliche Relation zwischen ∆ω und der zeitlichen Ausdehnung ∆t?
(2 Punkte)
2