12. ¨Ubung zur Theoretischen Physik C, Elektrodynamik

12. Übung zur Theoretischen Physik C, Elektrodynamik
Sommersemester 2014
Aufgabe 28, Wellenausbreitung in anisotropen Medien:
Ein optisch einachsiger Kristall fülle den Halbraum x > 0 aus. Die optische Achse liege in der x, y Ebene und
habe einen Winkel φ zur x Achse. Ein einfaches Modell zur Beschreibung der dielektrischen Eigenschaften
eines solchen Materials ist gegeben durch die Materialgleichung:
D = ε0 ε̃ E ,
wobei ε̃ folgende Matrix (dielektrischer Tensor) ist


cos(φ) − sin(φ)
ε1

cos(φ)
ε̃ =  sin(φ)
1

cos(φ)
  − sin(φ)
ε2
ε2

sin(φ)
cos(φ)
.
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Ferner kann angenommen werden, dass es in dem Material keine Volumenströme gibt und dass das Material
unmagnetisch ist (µr = 1).
a) Um zu gegebenem D Feld das zugehörige E Feld berechnen zu können, wird die inverse der Matrix ε̃
benötigt. Berechnen Sie ε̃−1 . Die Rechnung vereinfacht sich, wenn Sie die für drei beliebige invertierbare
Matrizen A,B,C gültige Regel (A B C)−1 = C −1 B −1 A−1 benutzen.
Eine ebene monochromatische Welle mit Frequenz ω treﬀe senkrecht aus dem Vakuum im Bereich x < 0 auf
die Oberﬂäche des Kristalls. Berechnen Sie die Amplitude der reﬂektierten Welle und der in den Kristall
propagierenden Wellen als Funktion der Amplitude der einfallenden Welle für die Fälle
b) die einfallende Welle ist linear in y Richtung polarisiert.
c) die einfallende Welle ist linear in z Richtung polarisiert.
Hinweis: Machen Sie für die dielektrische Verschiebung D innerhalb des Materials den Ansatz einer ebenen
Welle, deren Wellenvektor in x Richtung weist und die dieselbe lineare Polarisation wie die einfallende
Welle besitzt. Aus der Materialgleichung und der Maxwellgleichung rotE = −Ḃ ergeben sich dann geeignete
Ansätze für E und B. Zeigen Sie, dass sich alle Maxwellgleichungen sowie die Stetigkeitsbedingungen bei
x = 0 durch diese Ansätze erfüllen lassen und bestimmen Sie jeweils für die Fälle b) und c) den Betrag des
Wellenvektors im Medium als auch die Amplituden aller beteiligten Wellen.
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Aufgabe 29, Wellen in metallischen Hohlleitern:
Ein ideal leitendes Metall (σ → ∞) sei in x3 -Richtung unendlich ausgedehnt und umschließe einen Hohlraum
(Vakuum-Bereich), der bei allen Schnitten senkrecht zur x3 -Achse die selbe Schnittﬂäche hat (z.B. Kreis,
Ellipse oder Rechteck in der x1 −x2 -Ebene).
a) Betrachten Sie monochromatische Felder E(x, t) = e−iωt E 0 (x) und B = e−iωt B 0 (x) mit Frequenz
ω > 0. Begründen Sie, warum auf der inneren Leiteroberﬂäche die Tangentialkomponenten von E und
die Normalkomponente von B Null sein müssen.
b) Monochromatische elektromagnetische Wellen, die sich in obigem Hohlleiter längs der x3 -Achse ausbreiten, können durch folgenden Ansatz beschrieben werden:
E(x, t) = e(x1 , x2 ) e−i(ωt−kx3 )
−i(ωt−kx3 )
B(x, t) = b(x1 , x2 ) e
(i)
.
(ii)
Zerlegen Sie e und b in Komponenten in Ausbreitungsrichtung e3 und senkrecht dazu gemäß
e = e⊥ (x1 , x2 ) + e3 (x1 , x2 ) e3 und b = b⊥ (x1 , x2 ) + b3 (x1 , x2 ) e3 , wobei e⊥ und b⊥ senkrecht auf e3
stehen. Zeigen Sie, dass innerhalb des Hohlraums gilt:
ω2
− k 2 )e⊥ = ik grad e3 − iωe3 × grad b3
c2
ω2
ω
( 2 − k 2 )b⊥ = ik grad b3 + i 2 e3 × grad e3
c
c
(
(iii)
(iv)
c) Lösungen mit e3 = 0 werden als transversal elektrische (TE) Moden bezeichnet. Lösungen mit b3 = 0
werden als transversal magnetische (TM) Moden bezeichnet. Betrachten Sie den Spezialfall eines
Hohlleiters mit rechteckigem Querschnitt mit Innenbereich (Vakuumbereich) 0 < x1 < a, 0 < x2 < b.
Gesucht sind TE Wellen (e3 = 0). Gehen Sie aus von dem Ansatz
b3 (x1 , x2 ) = Acos(γ1 x1 ) cos(γ2 x2 ).
(v)
Was ergibt sich hieraus für e⊥ (x1 , x2 ) und b⊥ (x1 , x2 ), wenn ω 2 ̸= c2 k 2 angenommen wird ? Welche
Bedingungen müssen γ1 und γ2 erfüllen, damit durch obige Ansätze im Innenbereich alle Maxwellgleichungen und auf dem inneren Rand alle Randbedingungen erfüllt sind ? Welchen Wert muss ω 2
mindestens haben, damit solche TE Moden existieren können ?
Bemerkung: Es kann gezeigt werden, dass die Ansätze aus Teil b) das für TE-Wellen relevante
Randwertproblem im Fall ω 2 = c2 k 2 mit k ̸= 0 nur im Trivialfall B = E = 0 lösen.
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