Ergänzungseinheit zur einführung in die physik III_FERTIG

Themen: Unbestimmtheitsrelationen, Materiewellen, Materieteilchen als Welle,
Wellenfunktion, Dispersionsrelation, Wellenpaket, Wahrscheinlichkeitsinterpretation,
Materie-Quanteninterferenz
Martinovsky Nicole
Schwarzmann Tobias
Thaler Michael
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Inhalt
1. Die Wellenfunktion ............................................................................................... 2
2. Dispersionsrelation von Materie ............................................................................ 2
3. Das Wellenpaket .................................................................................................... 3
3.1.Definition………………………………………………………………………………….3
3.2.1 Überlagerung zweier harmonischer Wellen……………………………………….. 5
2
1. Die Wellenfunktion
Die Wellenfunktion beschreibt in der Quantenmechanik den quantenmechanischen
Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im
Ortsraum, ihr Betragsquadrat bestimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des
Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die
Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen eines ganzen Systems. Die
quantenmechanische Wellenfunktion ist die meist komplexe Lösung einer
Wellengleichung, vor allem der besonders wichtigen Schrödingergleichung.
Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen wie
Elektronen im Orbitalmodell oder freie Teilchen (z. B. als Wellenpaket) beschreiben.
In der klassischen Physik hat der Begriff Wellenfunktion eine deutlich andere
Bedeutung.
Wir konstruieren uns nun Materiewellen analog zu den elektromagnetischen Wellen
und gehen vom Ansatz Ψ, = einer ebenen Welle auf. Ebene Welle in
x-Richtung: Ψ, = . Aufgrund Plank-Einstein: = ℎ = ℏ und
de Broglie: = → = = ℏ können wir dies in der Form Ψ, = ℏ!
!
umschrieben. Weil ein Exponent immer dimensionslos sein muss, wird wohl " ℏ # =
" ℏ # gelten müssen- also sind und bzw. $ und zueinander Duale Größen.
Betrachten wir nun die Phasengeschwindigkeit: % = % ∙ =
Elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt % = ' ⇒
)*+,
)-
unserer Wellen. Bei
= 0, also tritt keinerlei
Dispersion auf. Im Falle von Materiewellen haben wir nun de Broglie = = /* ⇒
% =
!
1/2 3
23
= = 1/* = * 0
0
0
bzw.%4 % = '²vorliegen. Daraus folgen zwei wichtige
Unterschiede: Zum einen liegt wegen Spezielle Relativitätstheorie: %467268 < '
!
ständig % > 'vor, und zum anderen gilt % ∝ < wegen % = =
Materiewellen sogar im Vakuum Dispersion zeigen.
1/2 3 , sodass
2. Dispersionsrelation von Materie
Um die Dispersionsrelation ' =
? @²A
Wellengleichung Δ> = 2² @²
> = C ausgegangen
für elektromagnetische Wellen herzuleiten sind wir
−Richtung
um den Ansatz ebener Wellen in @²A
@ 3
= − ²>
D E>
= −G ²>
DF E
D E>
= −I ²>
DH E
3
−>J ² + G ² + I ²L = −>
→ '² =
²
N ²OP ²OQ ²
⇒ ' =
1
²
'E
Lineare Dispersion!!!
Im Falle unserer Materiewellen starten wir nun beim „relativistischen Energiesatz“
² = $'E + R' E ²,welche
sich
!²
in
2²
= R²'² + ∑ $²
umschreiben
Berücksichtigt man nun = ℎ sowie $ = ℏ ,dann folgt daraus sofort
∑ ² . Substituieren wir nun den Ausdruck
/2²
ℏ
²
2²
lässt.
=
/²2²
ℏ²
+
= T, so weist T die Dimension einer
Frequenz auf und wir erhalten folgendes T ² =
/²2²
ℏ²
⇒
²
2²
=
U ²
2²
+ ∑VW? ² als
DISPERSIONSRELATION für Materiewellen. Sie stimmt auch für das Photon, denn
als masseloses Teilchen T = 0 vor und aus T ² =
erhalten wir
²
2²
/²2²
ℏ²
= ² zurück.
⇒
²
2²
=
U ²
2²
+ ∑VW? ²
3. Das Wellenpaket
3.1 Definition (von Wikipedia.org)
Ein Wellenpaket oder Wellengruppe ist ein räumlich und zeitlich begrenztes System
von Wellen, das ein breites Frequenzband umfasst. Die Frequenzverteilung lässt sich
rechnerisch mit Hilfe einer Fourier Transformation und experimentell mit einem
Spektrometer
bestimmen.
Dies
bedeutet,
dass
man
durch
Superposition
(Aufaddieren) mehrerer einfacher Wellen erreicht, dass sich die Amplitude nur in
einem räumlich eng begrenzten Bereich merklich von 0 unterscheidet.
So wie wir unsere Materiewellen eingeführt haben, sind sie für den gesamten Raum
definiert, und das passt nicht in unser Teilchenbild. Um die Wellen nun im Raum zu
lokalisieren
bietet
sich
eine
einfache
Lösung
an:
Die
Überlagerung
unterschiedlichster Wellen, welche sich alle ein wenig in ihrer Frequenz
unterscheiden.
Dies
führt
zu
Interferenzerscheinungen,
welche
die
Überlagerungswelle Ψ, = ∑X 'X Y im gesamten Raum ausgehen, bis auf
einen ganz bestimmten Ort, wo sie ein lokalisiertes Wellenpaket mit einer
bestimmten, maximalen Amplitude im Zentrum formen, welches sich mit der
Gruppengeschwindigkeit Z[ =
)
)
ausbreitet . Nehmen wir unendliche viele Wellen
in einem Frequenzintervall2Δ, dann wird aus der Summe ein Integral und die
4
O_
Überlagerung erhält eine neue Form Ψ, = ] U_ ^ . Wenden wir
U
?
die Taylorentwicklung von = T + − T ^ + − T ²^² + ` V für
E
∆ ≪ T alles ab dem zweiten Term vernachlässigen. Durch diese Abschätzung
jedoch verlieren wir mit der zweiten Ableitung den Krümmungsterm und damit die
Beschreibung der Dispersion. Die verwendete zweite Näherung erklärt das
Zerfließen des Wellenpakets. Gehen wir davon aus, dass innerhalb von ∆ für die
Gewichtung = T gilt, dann erhalten wir aus = T + − T = + c sowie
)
)
= ′ die Wellenfunktion
O_
f
Ψ, = T e JU O gL U Og ^c = T U OU e
_
_
= C, U OU mit C, = 2T Δ
Unserer Welle wird durch
O_
hijk
k
hijk
k
f
J Lg ^c
, l = m − Δ
moduliert. Klar wird für l → 0den obigen Ausdruck
gegen 1 streben, hingegen verschwindet er für alle l = ±op.Daraus folgt eine ebene
Welle mit einem Maximum bei l = 0. Das ist gleichbedeutend mit m = /r = ^ .
Das Maximum bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit ^ /r = ^ = %[ < '
fort. Aus der Elektrodynamik ist uns folgendes bekannt
%[
^% ^
^
2p E ^%
= % − sWU = % +
= % + =
^
2p ^
^
^
!! Mithilfe der Umrechnung = ! = ℏ²
können wir direkt
E/
%[ = ^ =
ekennen.
ℏ
/
=
/
=
/*0t uv,tw
/
= %467268
5
3.2 Zerfließen des Wellenpaket
Da die
Ausbreitungsgeschwindigkeit
im Wellenpaket von
der Wellenlänge und damit
vom Wellenvektor k abhängt,
breiten sich die zum Paket
überlagerten Teilwellen
unterschiedlich schnell aus: Dispersion führt zu Zerfließen.
„Zerfließen“ heißt nur: Unsicherheit des Ortes wird größer !
3.2.1 Überlagerung zweier harmonischer Wellen
Ein Elektron, dass sich mit % = 6 ∙ 10y R/s bewegt, hat den Impuls
$? R% 5.465 ∙ 10Ey }s
und die Energie
~? $?
1.640 ∙ 10? €
2R
Daraus ergeben sich Wellenzahl und Kreisfrequenz für eine harmonische Welle:
? $?
5.182 ∙ 10 R?
? ~?
1.555 ∙ 10?y s ?
Für eine zweite harmonische Welle wird gewählt:
$E 6.0 ∙ 10Ey }s
6
Dieser Impuls führt zu
~E 1.976 ∙ 10? €
E = 5.690 ∙ 10 R?
E = 1.874 ∙ 10?y s ?
Aus den beiden Wellen wird die Resultierende gebildet:
, = T „ „ + T 3 3 = T ∙ cos? − ? + ˆsˆo? − ? + cosE − E + ˆsˆoE − E Es genügt, den Realteil zu betrachten:
‰J, L = T ∙ cos? − ? + cosE − E Unter Berücksichtigung von
cosŠ + cos‹ = 2 ∙ cos Œ
Š+‹
Š−‹
 ∙ cos Œ

2
2
wird daraus:
? + E
? + E
? − E
? − E
‰, = 2T ∙ cos Œ
∙−
∙  ∙ cos Œ
∙−
∙ 
2
2
2
2
Zur Abkürzung werden die Mittelwerte
Ž =
? + E
? + E
,
=
2
2
und die Differenzen
Δk = ? − E , Δ = ? − E
gebildet.
7
Die Resultierende nimmt dann die Form an
‰, 2T ∙ cos Œ
Δ
Δ
∙B
∙  ∙ cosJŽ B L
2
2
Dies beschreibt eine harmonische Welle mit Wellenzahl Žund Kreisfrequenz  und
_
einer modulierten Amplitude2T ∙ cos ‘
E
∙B
_
E
∙ ’ .
Beobachtung 1:
Die resultierende Welle breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit
%  1.715 ∙ 10?y s ?
3.155 ∙ 10y R/s
 R ?
Ž
5.436
∙
10
8
_
aus. Die Einhüllende 2T ∙ cos ‘ E ∙ −
sogenannten Gruppengeschwindigkeit
%[
_
E
∙ ’ dagegen breitet sich mit der
Δ −1.595 ∙ 10?” s ?
=
=
= 6.292 ∙ 10y R/s
Δ −2.535 ∙ 10• R?
aus.
Es ist festzustellen:
%[ ≈ %,
Die
Gruppengeschwindigkeit
% ≈
stimmt
%
2
näherungsweise
mit
der
Teilchengeschwindigkeit überein, die Phasengeschwindigkeit ist nur etwa halb so
groß. In der Grafik sind zur Verdeutlichung die Ausbreitung eines Maximums der
Einhüllenden (rot) und die Ausbreitung einer Phase der Welle (blau) markiert.
Beobachtung 2:
_
Die Entfernung von 2 Nullstellen der Einhüllenden 2T ∙ cos ‘ E ∙ −
_
E
∙ ’
wird als Maß für die räumliche Ausdehnung des Wellenpakets aufgefasst. Für zwei
aufeinanderfolgende Nullstellen gilt:
∆
∆
∆
∆
∙ E −
∙ =
∙ ? −
∙+p
2
2
2
2
Zusammengefasst:
∆
∆
∙ E −
∙ ? = p
2
2
∆ ∙ ∆ = 2p
Mit = ℏ wird daraus
∆$ ∙ ∆ = ℎ
9
Für einen festen Ort ergibt sich dasselbe Bild wie oben, jedoch für die zeitliche
Entwicklung, d.h. es ist x durch t zu ersetzen. Für die zeitliche Ausdehnung des
Wellenpaktes ergibt sich
∆
∆
∙ E −
∙ =p
2 ?
2
∆ ∙ ∆ = 2p
Mit der de Broglie-Beziehung =
—
ℏ
wird daraus
∆~ ∙ ∆ = ℎ