Einführung in die theoretische Astrophysik

Einführung in die theoretische Astrophysik - Hausaufgaben
Prof. Dr. Julia Tjus
Übungen: Björn Eichmann, Tim Höhne (NB 7/167)
Übungsblatt IV
WS 16/17
Abgabe: 05.01.2017
Aufgabe 1: Thermische Bremsstrahlung [10 Punkte]
Betrachten Sie eine sphärisch symmetrisches Objekt, bestehend aus einem ionisierten Wasserstoff Plasma,
welches einen gravitativen Kollaps erfährt. Dabei sei angenommen, dass die Temperatur T0 sowie die Gesamtmasse M0 konstant sei, die Teilchendichte gleichförmig und der Radius R(t) linear abnehmend mit der
Zeit t. Während des Kollapses kühlt die Sphäre durch die Emission von thermischer Bremsstrahlung ab. Zu
Beginn kann das Objekt dabei noch als ’optisch dünn’ betrachtet werden.
(a) Berechnen Sie die totale Leuchtkraft des Objekts als Funktion von T0 , M0 und R(t) in der ’optisch
dünnen’ Phase.
(b) Berechnen Sie die totale Leuchtkraft des Objekts als Funktion von T0 und R(t) in der ’optisch dicken’
Phase, in welcher keine thermische Bremsstrahlung mehr nach außen tritt. (Hinweis: Überlegen Sie
sich dazu zunächst welcher Teil des Objekts in welcher Form abstrahlt!)
(c) Bestimmen Sie einen impliziten Ausdruck, als Funktion von R(t), für den Zeitpunkt t0 zu dem die
Sphäre optisch dick wird.
(d) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Leuchtkraft graphisch dar.
Aufgabe 2: Inverser Comptoneffekt [10 Punkte]
In aktiven Galaxien werden Elektronen auf Grund sehr starker Magnetfelder auf extrem hohe Energien
beschleunigt. Ein typischer Elektronenstrahl hat hier eine Energie pro Teilchen von Ee ≈ 100 GeV. Auf
Grund von Synchrotronstrahlung beschleunigter Ladungen und ähnlichen Effekten existieren in aktiven
Galaxien auch diverse Photonfelder. Nehmen Sie nun an, daß ein Photon im Infrarot-Bereich (Eγ = 0.1 eV)
auf einen Elektronenstrahl von Ee = 100 GeV trifft.
(a) Betrachten Sie eine Kollision zwischen Photon und Elektron unter einem Einfallswinkel von 180◦ .
Der Streuwinkel sei θ , die Energie des einlaufenden Photons Eγ , die Energie des einlaufenden Elektrons Ee und die Energie des auslaufenden Photons Ẽγ . Zeigen Sie mit Hilfe der Viererimpulserhaltung
(oder klassisch mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung), dass diese Größen wie folgt zusammenhängen:
2 Ee Eγ
Ẽγ =
.
Eγ · (1 − cos θ ) + Ee · (1 + cos θ )
(b) Prüfen Sie, ob die Elektronenmasse hier vernachlässigt werden kann.
(c) Unter welchem Winkel muß das Photon gestreut werden, damit es mit maximal möglicher Energie
emittiert wird? Wie groß ist diese maximale Energie?
(d) Die Aktive Galaxie Mkn 501 emittiert Photonen zwischen 1 und 10 TeV. Das Spektrum gleicht dem
der inversen Compton Streuung. Welche Energie haben die ursprünglichen Elektronen, wenn man von
einem Photonfeld bei ca. Eγ = 1 keV (Ultra-Violett) ausgeht?
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Einführung in die theoretische Astrophysik - Hausaufgaben
Prof. Dr. Julia Tjus
Übungen: Björn Eichmann, Tim Höhne (NB 7/167)
Übungsblatt IV
WS 16/17
Abgabe: 05.01.2017
Aufgabe 3: Thomsonverluste im stationären Zustand [10 Punkte]
Die Energieverluste durch Synchrotronstrahlung und IC-Strahlung lassen sich durch einen ähnlichen Ausdruck beschreiben, da Synchrotronstrahlung als IC-Streuung an den virtuellen Photonen des Magnetfeldes
aufgefasst werden kann. In der Aufgabe soll die Teilchenverteilung N(E) des Quellspektrums Q(E) unter
dem Einfluss entsprechender Energieverluste Ė berechnet werden. Unter Vernachlässigung von Diffusion
und der Injektion einer Potenzgesetzverteilung (q > 1) der Teilchen lautet die zugehörige Transportgleichung:
N(E)
∂ Ṅ(E) +
Ė N(E) +
= Q(E), mit Q(E) = kE −q .
∂E
τ
Hinweis: Wählen Sie die Integrationsgrenzen für die Energieintegrale mit Bedacht sowie gegebenfalls auftretende Integrationskonstanten zu 0.
(a) Berechnen Sie N(E) für den stationären Zustand unter der Annahme, dass keine Austrittsverluste statt
finden können.
(b) Zeigen Sie auf konstruktive Weise (d.h. nicht durch Einsetzen in die DGL), dass die Lösung für N(E)
für den stationären Zustand gegeben ist durch
1
ZατE
k
1
N(E) = E −2 exp −
(ατ)q−1
xq−2 ex dx .
α
ατE
0
(c) Finden Sie die genäherte Lösung für das Problem aus (b) indem Sie annehmen, dass die Austrittsverluste
gering gegenüber den Strahlungsverlusten sind.
Aufgabe 4: ...weil bald Weihnachten ist [5 Bonuspunkte]
Sie haben in der letzten Anwesenheistübung bereits die resultierende Synchrotronintensität, welche von
einer nicht-thermischen Elektronenverteilung emittiert wird, bestimmt. Dabei hat sich gezeigt, dass die optische Dicke τν eine entscheidende Größe für das resultierende Spektrum ist. Die beobachtet Strahlung einer
optisch dicken Quelle wird üblicherweise in den äußersten Schichten (nahe der Oberfläche) der Quelle produziert.
Wie hängt die Dicke D dieser (homogenen) Schichten vom Beobachtungwinkel θ ab?
Hinweis: Eine nachvollziehbare Erklärung mittels einer Skizze ist völlig ausreichend!
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