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Fragenkatalog zur
Übung Elektrotechnik 2
Bachelor Mechatronik
Datum:
8. Jänner 2013
Notationshinweis:
Vektoren und Matrizen werden im Text Fett gedruckt und in den Formeln mit
dem entsprechendem Vektorpfeilsymbol dargestellt
Inhaltsverzeichnis
1 Elektrostatik ................................................................................................................... 3
2 Strömungsfeld ............................................................................................................. 14
3 Magnetostatik .............................................................................................................. 18
4 Schaltvorgänge ............................................................................................................ 29
Seite 2/31
1 Elektrostatik
1.1.1
Erklären Sie den Begriff „Skalarfeld“ in eigenen Worten und geben Sie zwei Beispiele an
1.1.2
Erklären Sie den Begriff "Vektorfeld“ in eigenen Worten und geben Sie zwei Beispiele an.
1.1.3
Geben Sie „gradT“ in differentieller Schreibweise sowie unter Verwendung des Nabla
Operators an.
[]
∂T
∂x
gradT = ∂T = ∇ T
∂y
∂T
∂z
1.1.4
Welches Feld erhalten Sie, wenn Sie den Gradienten eines Skalarfeldes bilden? Wie nennt
man den zu einem Gradientenfeld zugehörigen Skalar?
Man erhält ein Vektorfeld. Der zugehörige Skalar heißt Potenzial des Vektorfeldes.
1.1.5
Erklären Sie die Begriffe „Operator“ und „Funktion“ in eigenen Worten.
Operator...
Funktion...
1.1.6
wandelt Funktion in eine (andere) Funktion um
wandelt Zahl in eine (andere) Zahl um
Erklären Sie Tensorfelder 0ter bis 2ter Stufe: Wie werden sie angeschrieben (Skalar,
Vektor, Matrix)? Nennen Sie Beispiele.
Tensorfeld 0. Stufe... Skalar(feld) (z.B. Temperatur, elektrisches Potenzialfeld)
Tensorfeld 1. Stufe... Vektor(feld) (z.B. Geschwindigkeit, Kraft)
Tensorfeld 2. Stufe... Matrix (z.B. sämtliche Materialparameter anisotroper Materialien
(Kristalle sind i. Allg. anisotrop) wie z.B. Leitfähigkeit, E-Modul,
Schubmodul,...)
1.1.7
Geben Sie das elektrische Feld einer Punktladung an, die sich im Ursprung befindet.
Verwenden Sie Vektorschreibweise. Kennzeichnen Sie Betrag und Richtung. Skizzieren
Sie des weiteren das Feld einer positiv geladenen Punktladung, die sich im Ursprung
befindet (Richtung, Feldstärke und Feldlinien).
⃗
E ( ⃗r ) =
q
r
⋅⃗
2
4 π ε0∥⃗r ∥ ∥⃗r ∥
F⃗C = Q 1⋅⃗
E ( ⃗r )
Feldstärke (Betrag):
|E|
~1
r²
Elektrostatik
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1.1.8
Das Feld einer Punktladung wird beschrieben durch:
⃗
E ( ⃗r ) =
q
r
⋅ ⃗
2
4 πε0∥⃗r ∥ ∥⃗r∥
Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an (inkl. SIBasiseinheiten).
V kgm
=
m As3
[r ] = m
[q] = C = As
[ E] =
E...
elektrische Feldstärke
r...
q...
ε0...
Ortsvektor (Abstand von der Punktladung)
Ladung
el. Feldkonstante, Permittivität (Durchlässigkeit eines Materials für el. Felder)
ε0 = 8,854⋅10
1.1.9
12
2
As
Vm
[ε0 ] =
4
As
A s
=
Vm kgm3
Geben Sie das elektrische Feld einer Punktladung im Punkt ρ an, die sich im Ursprung des
KS (ξ, η, ζ) befindet. Geben Sie nun das Feld dieser Punktladung im Punkt r bzgl. des KS
(x, y, z) an, das vom ursprünglichen Koordinatensystem um r1 verschoben ist.
(Koordinatentransformation)
z
ζ
E(ρ)
r
y
ρ
r1
q
x
⃗
ρ
q
⃗
E (⃗
ρ) =
⋅
2
ρ∥
4 π ε0∥⃗
ρ∥ ∥⃗
⃗r = r⃗1+⃗
ρ ⇒ ⃗
ρ=⃗r r⃗1
⃗r r⃗1
q
⃗
E ( ⃗r ) =
⋅
2
4 π ε0∥⃗r r⃗1∥ ∥⃗r r⃗1∥
η
ξ
1.1.10 Geben Sie die Kraft F auf die Probeladung q an, die sich im elektrischen Feld E am Punkt r
befindet. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an (inkl.
SI-Basiseinheiten).
⃗ ( ⃗r ) = q E
⃗ ( ⃗r )
F
kgm
s2
F...
Kraft
[F] = N =
r...
q...
Ortsvektor (Punkt an dem sich die Ladung q befindet)
Ladung
E...
el. Feldstärke
[⃗r ] = m
[q] = C = As
⃗ ]=V = kgm
[E
m
As3
Elektrostatik
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1.1.11 Geben Sie allgemein das elektrische Feld von N Punktladungen Qi, die sich in den Punkten
ri befinden, im Punkt r an.
⃗
E (⃗r ) =
N
Qi
⃗r r⃗i
1
⋅
∑
2
4 π ε0 i =1 ∥⃗r r⃗i∥ ∥⃗r r⃗i∥
1.1.12 Gegeben sind N ≥ 3 Punktladungen (beliebig verteilt). Geben Sie allgemein die Kraft an,
die auf die Ladung Q3 wirkt.
F⃗ 3 = Q3⋅(das Feld , das von allen anderen Ladungen erzeugt wird )
N
Qi
r⃗3 r⃗i
1
⃗
F 3( ⃗r ) = Q3
⋅
∑
4 π ε0 i=1 ∥⃗
r 3 r⃗i∥2 ∥r⃗3 r⃗i∥
i≠3
1.1.13 Geben Sie allgemein die Ladungsverteilung (d.h. (Raum)Ladungsdichte) einer Ladung Q
an, die in einem Volumen VQ verteilt ist. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und
geben Sie deren Einheiten an (inkl. SI-Basiseinheiten).
dQ
dV
ρ( ⃗r ) =
C
As
= 3
3
m
m
⃗r ... Ortsvektor ( Punkt an dem Raumladungsdichte angegeben wird ) [ ⃗r ] = m
[Q] = C = As
Q... Ladung
V ... Volumen
[V ] = m3
ρ...( Raum) Ladungsdichte
[ρ]=
1.1.14 Geben Sie allgemein die Ladungsverteilung (d.h. Flächenladungsdichte) einer Ladung Q
an, die auf einer Fläche AQ „verschmiert“ ist. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und
geben Sie deren Einheiten an (inkl. SI-Basiseinheiten).
σ ( ⃗r ) =
dQ
dA
C
As
= 2
2
m
m
⃗r ... Ortsvektor (Punkt an dem Flächenladungsdichte angegeben wird ) [ ⃗r ] = m
[Q] = C = As
Q... Ladung
A ... Fläche
[V ] = m2
σ ... Flächenladungsdichte
[σ]=
1.1.15 Geben Sie allgemein die Ladungsverteilung (d.h. Linienladungsdichte) einer Ladung Q an,
die entlang einer Linie sQ „angeordnet“ ist. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und
geben Sie deren Einheiten an (inkl. SI-Basiseinheiten).
λ ( ⃗r ) =
dQ
ds
C
As
=
m m
⃗r ... Ortsvektor (Punkt an dem Linienladungsdichte angegeben wird ) [ ⃗r ] = m
Q... Ladung
[Q] = C = As
[ s] = m
s ... Linie
λ ... Linienladungsdichte
Elektrostatik
[λ] =
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1.1.16 Gegeben ist die Raumladungsdichte ρ(r). Geben Sie die Ladung QV an, die im Volumen VQ
„gespeichert“ ist. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten
an (inkl. SI-Basiseinheiten).
QV =∫ ρ( ⃗r ) dV
VQ
[QV ] = C = As
C
As
ρ...( Raum) Ladungsdichte
[ρ] = 3 = 3
m
m
⃗r ... Ortsvektor ( Punkt an dem Raumladungsdichte angegeben wird ) [⃗r ] = m
3
V Q ... Volumen
[V Q ] = m
QV ... Ladung
1.1.17 Gegeben ist die Flächenladungsdichte σ(r). Geben Sie die Ladung QA an, die auf der
Fläche AQ „gespeichert“ bzw. „verschmiert“ ist. Erklären Sie alle vorkommenden Größen
und geben Sie deren Einheiten an (inkl. SI-Basiseinheiten).
Q A = ∫ σ( ⃗r )dA
AQ
[Q A ] = C = As
C
As
σ ... Flächenladungsdichte
[σ] = 2 = 2
m
m
⃗r ... Ortsvektor (Punkt an dem Flächenladungsdichte angegeben wird ) [⃗r ] = m
AQ ... Fläche
[ AQ ] = m 2
Q A ... Ladung
1.1.18 Geben sie die Linienladungsdichte λ(r). Geben Sie die Ladung QS an, die entlang der Linie
sQ „gespeichert“ bzw. „angeordnet“ ist. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben
Sie deren Einheiten an (inkl. SI-Basiseinheiten).
Q S = ∫ λ( ⃗r ) ds
sQ
Q S ... Ladung
λ ... Linienladungsdichte
⃗r ... Ortsvektor ( Punkt an dem Linienladungsdichte angegeben wird )
sQ ... Linie
[Q S ] = C = As
C
As
[λ] = =
m m
[ ⃗r ] = m
[s Q ] = m
1.1.19 Geben Sie allgemein an, wie Sie das elektrische Feld E(r) für ein gegebenes elektrisches
Potenzial φ(r) berechnen können. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie
deren Einheiten an (inkl. SI-Basiseinheiten).
⃗
E ( ⃗r ) =
grad (φ( ⃗r )) =
∇ φ( ⃗r )
„-“...
d.h. E zeigt von den höheren zu den niedrigeren Potenzialen (!Konvention)
Gradient zeigt vom höheren zum niedrigeren Potenzial
E...
elektrische Feldstärke
r...
Ortsvektor (Pkt. an dem das Feld ermittelt wird)
φ...
elektrisches Potenzial
Elektrostatik
V kgm
=
m As3
[⃗r ] = m
kgm2
[φ] = V =
As 3
⃗]=
[E
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1.1.20 Berechnen Sie allgemein das elektrische Potenzial φ(r) im Punkt r für ein gegebenes
elektrisches Feld E(r) in Vakuum.
1. Möglichkeit: unbestimmtes Integral
φ(⃗r ) =
∫ E⃗ (⃗r )⋅d ⃗r +C
d.h das Potenzial φ ist nur bis auf eine Konstante C eindeutig definiert.
2. Möglichkeit: bestimmtes Integral (z.B. von ∞ bis r)
⃗r
φ(⃗r ) φ(∞) =
∫ ⃗E (⃗r ' )⋅d ⃗r '
∞
r
⃗
φ(⃗r ) =
∫ E⃗ (⃗r ')⋅d ⃗r '+φ (∞)
φ(∞) = 0
∞
Mit φ(∞) = C folgt :
r
⃗
φ(⃗r ) =
∫ E⃗ (⃗r ')⋅d ⃗r '+C
∞
1.1.21 Leiten Sie aus dem Zusammenhang E(r) = -∇ φ(r) die Spannung Uab zwischen den
Punkten a und b her.
⃗ ( ⃗r ) =
E
b
∇ φ(⃗r )
∫ E⃗ (⃗r )⋅d ⃗r =
a
b
∫ ∇ φ(⃗r )⋅d ⃗r =
(φ(⃗b) φ( ⃗a )) = φ( a⃗ ) φ(⃗
b) = U ab
a
1.1.22 Erklären Sie für die Definition des elektrischen Potentials
⃗
E ( ⃗r ) =
∇ φ( ⃗r )
und der Berechnungsvorschrift für die elektrische Spannung
b
⃗ (⃗
U ab = φ(⃗
a ) φ( ⃗
b) = ∫ E
r )⋅d ⃗s
a
Noch keine Lösung
1.1.23 Wie ändern sich die mechanische sowie die elektrische Energie, wenn Sie eine Ladung Q
in einem Potenzialfeld bewegen? Wie ist dabei die Energiebilanz?
dW mech = ⃗
F⋅d ⃗s = Q ⃗
E⋅d ⃗s = Q d φ
D. h. Die mechanische Energie nimmt ab, wenn eine positive Ladung zu höheren
Potenzialen verschoben wird. Des weiteren ist es einleuchtend, dass die potenzielle
Energie (el. Energie) der Ladung dabei zunimmt, d. h.:
dW el = Q d φ
daraus folgt :
dW mech+dW el = 0
bzw.
W mech +W el = constant
Elektrostatik
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1.1.24 Wie sind der elektrische Fluss und die elektrische Verschiebung definiert? Erklären Sie die
Permittivität und geben Sie die Einheiten des elektrischen Flusses, der Permittivität und der
dielektrischen Verschiebung an.
ψ=ε∫ ⃗
E ( ⃗r )⋅d ⃗
A
A
⃗
⃗
D=ε
E
ψ... elektrischer Fluss
ε=εr ε0 ... Permittivtät ( Durchl. d. Materials für el. Felder)
εr ... relative Permittivität
ε0 ... elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854⋅10 12
⃗ ... dielektrische Verschiebung
D
[ψ] = C = As
As
[ε] = Vm
[εr ]=1
As
A s
[ε0 ] = Vm
= kgm
⃗ ]=mAs
[D
2 4
3
2
1.1.25 Geben Sie die 3. Maxwell-Gleichung (Satz vom Hüllenfluss, Gauss´sches Gesetz) an.
Erklären Sie alle vorkommenden Größen.
⃗⋅d ⃗
⃗ ⋅d ⃗
ε∮ E
A =∮ D
A = ∫ ρdV = eingeschlossene Ladung Q
A
A
V
ε=εr ε0 ... Permittivtät( Durchl. d. Materials für el. Felder)
⃗ ... elektrische Feldstärke
E
A... Fläche , die die Ladung umschließt
⃗
D ... dielektrische Verschiebung
ρ...( Raum) Ladungsdichte
V ... Volumenin dem die Ladung Q gespeichert ist
Q ... Ladung
As
[ε] = Vm
[ A] = m 2
⃗ ] = Vm = kgm
[E
As
C
⃗
[ D] = = As
3
m2
C
m3
m2
As
m3
[ρ] = =
[V ] = m3
[Q ] = C = As
1.1.26 Geben Sie die 2. Maxwell-Gleichung für elektrostatische Felder an. Erklären Sie alle
vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an (inkl. SI-Basiseinheiten).
∮ ⃗E⋅d ⃗s = 0
S
⃗s ... Weg über den integeriert wird. Hier : geschlossener Weg
⃗
E ... elektrische Feldstärke
[⃗s ] = m
⃗ ] = Vm = kgm
[E
As
3
1.1.27 Welche Eigenschaften haben das elektrische Feld E und das elektrische Potential φ in
elektrischen Leitern?
E = 0, wegen Verschiebung von (frei beweglichen) Ladungsträgern, und somit
φ = constant (wegen E(r) = -∇φ = 0) (Folie 48 ff.).
1.1.28 Leiten Sie die Grenzbedingung an der Oberfläche von elektrischen Leitern für die
Tangentialkomponente von E her.
∮ E⃗⋅d ⃗s = ( E t , außen
E t ,innen )l = 0
S
E t ,innen = 0
⇒ E t , außen = 0
⇔
⃗ =0
n×E
⃗
(Folie 49)
Elektrostatik
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1.1.29 Leiten Sie die Grenzbedingung an der Oberfläche von elektrischen Leitern für die
Normalkomponente von D her.
∮ D⃗ ⋅d ⃗A = ∫ ρ dV
⇒
⃗ außen⋅n⃗ dA D
⃗ innen⋅n⃗ dA = σ dA
D
⃗ innen=0
D
⃗ außen⋅⃗
⇒ D
n = Dn , außen = σ
⃗ außen⋅⃗
⇒ D
n = ε0 ⃗
E außen⋅⃗
n=σ
(Folie 50)
1.1.30 Gegeben sind zwei Elektroden A und B, die die Ladungen Q+ und Q- tragen. Wie ist der
Zusammenhang zwischen der Ladung Q und den Potenzialen φA und φB der Elektroden?
Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
Die Potenzialdifferenz φA – φB ist proportional zur Ladung Q, d.h.:
Q = C (φ A φB )
Wobei der Proportionalitätsfaktor C die sogenannte Kapazität der Anordnung ist
Q... Ladung auf einer der beiden Elektroden
C... Kapazität der Anordnung
φ A φB... Spannung zwischen den beiden Elektroden (= U )
[Q A] = C = As
[C ] = F = VAs
[U ] = V = kgm
As
2
3
1.1.31 Geben Sie die Gleichung für die Kapazität zweier metallischer Elektroden A und B an.
Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
C=
Q
Q
=
U
φA φB
C... Kapazität
Q... Ladung
U...( angelegte) Spannung
[C ] = F = As
U
[Q ] = C = As
[U ] = V = kgm
As
2
3
1.1.32 Geben Sie die Kapazität eines Plattenkondensators mit Plattenabstand d und Fläche A an.
Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
C =ε
A
d
C... Kapazität
ε=εr ε0 ... Permittivtät
εr ... relative Permittivität
ε0... elektrische Feldkonstante , Permittivität des Vakuums
A... Fläche einer Platte
d... Plattenabstand
Elektrostatik
[C ] = F = VAs
As
A s
[ε] = Vm
= kgm
[εr ]=1
As
A s
[ε0 ] = Vm
= kgm
2 4
3
2 4
3
[ A] = m
[d ] = m
2
Seite 9/31
1.1.33 Geben Sie die Gesamtkapazität einer Serienschaltung von zwei Kapazitäten an. Was
können Sie über die Ladungen Qi und die Spannungen Ui aussagen?
C 1⋅C 2
1
=
C 1 +C 2
1
1
+
C1 C2
Q = Q1 = Q2
U = U 1+U 2
C ges =
1.1.34 Geben Sie die Gesamtkapazität einer Parallelschaltung von zwei Kapazitäten an. Was
können Sie über die Ladungen Qi und die Spannungen Ui aussagen?
Die Spannungen sind gleich, die Ladungen addieren sich.
C ges = C 1 +C 2
Q = Q1+Q 2
U = U1 = U2
1.1.35 Geben Sie die Strom-Spannungsbeziehung für eine Kapazität an. Erklären Sie alle
vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
i=C
dU
dt
[i ] = A
[C ] = F = VAs
[U ] = V = kgm
As
i... Stromstärke
C... Kapazität
U... Spannung die über Kondensator abfällt
d / dt... Zeitableitung
2
3
[ ddt ] = 1s
1.1.36 Geben Sie die 3. Maxwellgleichung sowohl in integraler als auch in differentieller Form an.
Welcher Integralsatz wird für diesen Rechenschritt benötigt?
∮ D⃗ ⋅d ⃗A = ∫ ρ dV
A
⇔
Integralsatz von Gauß
⇔
⃗ =ρ
div D
V
⃗ = ∇⋅D
⃗ =ρ
div D
Herleitung (optional , Folie 69):
∫ div ⃗f dV = ∮ ⃗f d ⃗A
∂V
V
∮ D⃗ ⋅d ⃗A = ∫ div D⃗ dV = ∫ ρ dV = Q
A
V
⇒
⃗ =ρ
div D
V
1.1.37 Geben Sie die 2. Maxwellgleichung sowohl in integraler als auch in differentieller Form an.
Welcher Integralsatz wird für diesen Rechenschritt benötigt?
∮ E⃗⋅d ⃗s = 0
⇔
Integralsatz von Stokes
⇔
⃗ = ∇× E
⃗ = ⃗0
rot E
s
Herleitung (optional , Folie 72) :
∫ rot ⃗f ⋅d ⃗A = ∮ E⃗⋅d ⃗s
∂A
A
∮ E⃗⋅d ⃗s = ∫ rot ⃗E⋅d ⃗A
s
Elektrostatik
⇒
⃗ = ⃗0
rot E
⇒
E Feld ist wirbelfrei
A
Seite 10/31
1.1.38 Warum folgt aus der elektrostatischen Energie einer einzelnen Ladung (Wel = Qφ) nicht die
Energie einer Ladungsverteilung als Wel = ∑i Qi φ(ri)? Wie lautet der richtige Ausdruck?
Heranschleppen von Ladungen aus dem Unendlichen – das zu überwindende E-Feld wird
durch die die Ladungen selbst erzeugt – bis zur Fertigstellung des Ladungsaufbaus ist das
Feld aber noch gar nicht in seiner endgültigen Stärke vorhanden!
Herleitung: Ladung Qi „wachsen“ linear von 0 bis Q, d.h. Qi(t) = t·Qi mit t = [0...1].
=> Potenzial φ(r) wächst mit Qi(t) linear mit (Wegen Linearität der Maxwell Glg.)
d.h. φ(r, t) = t·φ(r).
1
1
∑ φ( r⃗i )Q i
2 i
0 i
bzw. für eine kontinuierliche Ladungsverteilung :
1
W el = ∫ φ(⃗r ) ρ(⃗r )dV
2
W el = ∫ ∑ t φ( r⃗i) Qi dt =
(Folie 85, 88)
1.1.39 Geben Sie zwei Ausdrücke für die in einer Kapazität gespeicherten Energie an (Wel(Q) bzw.
Wel(C)).
1
QU
W el (Q)= Q (φ A φ B ) =
2
2
2
CU
W el (C) =
2
2
Q
W el =
2C
1.1.40 Geben Sie die Energiedichte wel sowie die Energie Wel im Feld einer Kapazität an (in
Abhängigkeit von D, E).
w el =
⃗ ⋅E
⃗
D
2
W el = ∫ wel dV = ∫
⃗ ⋅E
⃗
D
dV
2
(Folie 91)
1.1.41 Geben Sie die zweite und dritte Maxwell-Gleichung jeweils in Vakuum und in Anwesenheit
von Materie an. Leiten Sie dabei die dritte Maxwell Gleichung divD = ρ her.
Vakuum:
ε0 div ⃗
E =ρ
rot ⃗
E = ⃗0
In Anwesenheit von Materie:
ε0 div ⃗
E = ρ+ρ pol = ρ div ⃗
P
⃗
⃗
⃗ +P
⃗ ) = div D
⃗ =ρ
⇒ ε0 div E +div P = div(ε0⋅E
⃗ = ⃗0
rot E
⃗ = ε 0⋅E
⃗ +P
⃗ = ε0 εr E
⃗
mit : D
⃗
⃗
P = ε 0(ε r 1) ⃗
E = ε0 χ E
Elektrostatik
Seite 11/31
1.1.42 Geben sie je einen Ausdruck für die dielektrische Verschiebung D unter Verwendung von
Polarisation P als auch relativer Permittivität εr an. Leiten Sie daraus den Zusammenhang
zwischen P und E ab.
⃗ = ε0 ⃗
⃗
⃗ = ε0 εr E
D
E+P
⃗ = ε0 (εr 1) ⃗
⃗
⇒ P
E = ε0 χ E
χ ... Suszeptibiliät
1.1.43 Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Polarisationsladungsdichte ρpol und der
Polarisation an. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten
an.
ρ pol =
⃗
∇⋅P
[ρ pol ] = Cm
[∇ ] = [ ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z ]T =
⃗ ] = As
[P
m
ρ pol ... Polarisationsladungsdichte
∇ ... Nablaoperator
⃗ ... Polarisation , Dipolmomentdichte
P
3
1
m
2
1.1.44 Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Polarisation und der an einer Schnittfläche
durch polarisierte Materie entstehenden Flächenladungsdichte σpol alle vorkommenden
Größen und geben Sie deren Einheiten an.
σ pol = ⃗
P⋅⃗
n
σ pol ... Flächenladungsdichte aufgrund von Polarisation
⃗
P ... Polarisation
n ... Schnittflächen Normalvektor
⃗
[σ pol ] = Cm = As
m
As
⃗
[ P] =
2
2
m2
[⃗n ] = 1
1.1.45 Leiten Sie die Grenzbedingung für die Normalkomponente von D an der Grenzfläche
zwischen zwei homogenen, polarisierbaren Materialien her.
Maxwell III über dünne Dose an der Grenzfläche
∮ D⃗ ⋅d ⃗A = ∫ ρ dV = 0
⇒
D⃗ 2⋅n⃗ = D⃗ 1⋅⃗
n ⇔
Dn ,2 = D n ,1
A
da an der Grenzfläche keine freien Ladungsträger vorhanden sind.
1.1.46 Leiten Sie die Grenzbedingung für die Tangentialkomponente von E an der Grenzfläche
zwischen zwei homogenen, polarisierbaren Materialien her.
Maxwell II über schmale Schleife an der Leiteroberfläche
∮ E⃗⋅d ⃗s = ( E t , außen
E t ,innen )l = 0
⇒ ⃗n× E⃗2 = ⃗n × E⃗1 ⇔ E t ,2 = E t ,1
Elektrostatik
Seite 12/31
1.1.47 Erklären Sie in kurzen Worten das Prinzip der virtuellen Verschiebung. (Wofür wird sie
angewendet? Welchen Ansatz verwendet man?)
•
wird z.B. zur Berechnung von Kräften im elektrostatischen Feld verwendet
•
infinitesimale Verschiebung eines Körpers um δx, d.h. x → x + δx
•
es gilt die Energieerhaltung bei dieser gedachten („virtuellen“) Verschiebung
⇒∑ δ W i = 0
i
1.1.48 Um Kräfte im elektrostatischen Feld berechnen zu können, wird oft das Prinzip der
virtuellen Verschiebung (PVV) verwendet. Welche bzw. welche verrichteten Arbeiten
müssen Sie beim PVV für elektrostatische Felder i.A. berücksichtigen? Geben Sie deren
Änderungen allgemein an. Wie lautet die Energiebilanz?
W Quelle
W Feld ist äquivalent zu W Kapazität
W Mech mechanische Arbeit
δW Quelle = U δ Q
δW Feld allg. Ausdruck macht keinen Sinn , muss im konkreten Fall betrachtet werden
CU 2
δ CU 2
δW Kapazität = δ(
)=
+CU δ U
2
2
δW Mech = F δ s
Elektrostatik
Seite 13/31
2 Strömungsfeld
2.1.1
Was sind die Unterschiede zwischen Strömungsfeldern und Elektrostatischen Feldern?
In Leitern befinden sich bewegliche Ladungen. Im elektrostatischen Feld werden diese
Ladungen verschoben, bis das Feld im Inneren verschwindet, es bildet sich eine
Oberflächenladung (=Influenz).
In Strömungsfeldern werden Ladungsträger nachgeliefert bzw. entnommen, sodass das
Feld im Inneren nicht verschwindet, es wird eine Strömung von Ladungsträgern aufrecht
erhalten.
2.1.2
Wie kann ein stationäres Strömungsfeld beschrieben werden? Erklärung!
In einem stationären Strömungsfeld sind alle relevanten Größen, welche die Strömung
beschreiben oder beeinflussen, konstant (u. a. auch die elektrische Feldstärke).
Zur Beschreibung des elektrischen Feldes gelten die Gesetze der Elektrostatik.
Die Ladungsverteilung ist daher ebenfalls konstant, wird an einem Punkt Ladung
entnommen, wird sie im gleichen Augenblick (von anderer Stelle) nachgeliefert.
2.1.3
Wie ist die elektrische Stromstärke definiert? Erklären Sie alle vorkommenden Größen und
geben Sie deren Einheiten an.
Stromstärke I: Ladungsmenge pro Zeit die durch einen definierten Querschnitt strömt.
I=
dQ
dt
I... Stromstärke , gerichteter Skalar
Q... Ladung
d /dt... Zeitableitung
2.1.4
[I] = A
[Q ] = As
[ ddt ] = 1s
Geben Sie den Zusammenhang zwischen Stromstärke und Stromdichte an. Erklären Sie
alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
I =∫⃗
J ⋅d ⃗
A
A
J... Stromdichte
I... Stromstärke
d⃗
A ...infinitesimales Flächenelement
Strömungsfeld
[ ⃗J ] = mA
[I] = A
[d ⃗
A ] = m2
2
Seite 14/31
2.1.5
Geben Sie den Zusammenhang zwischen Stromdichte und mittlerer
Strömungsgeschwindigkeit an. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie
deren Einheiten an.
⃗J = e n ⟨ v⃗e ⟩ = ρn ⟨ v⃗e ⟩
allg. gilt : ⃗J = ρ ⟨⃗v ⟩
ρn = en
⃗J ... Stromdichte
e... Ladung eines Elektrons (neg. Elementarladung ) e=1,602⋅10
n... Elektronendichte
ρ , ρn ... Ladungsdichte( nur bewegliche Ladungsträger !)
⟨ v⃗e ⟩ ... mittlere Strömungsgeschwindigekeit
2.1.6
19
C
[⃗
J ] = Am
[n ] =
[ρ ] =
2
1
m3
As
m3
[⟨ v⃗e ⟩] = ms
Geben Sie den Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischer Leitfähigkeit, sowie
den Zusammenhang zwischen spezifischem Widerstand und spezifischer Leitfähigkeit an.
Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
⃗
⃗
J =σ E
1
ρ=σ
⃗
J ... Stromdichte
⃗ ... Elektrische Feldstärke
E
σ ... spezifische Leitfähigkeit
ρ... Spezifischer Widerstand
2.1.7
[ ⃗J ] = mA
⃗ ] = Vm
[E
2
A
[σ] = Vm
= Sm
[ρ] = Vm
= Ωm
A
Leiten Sie den Widerstand R eines Drahtstücks der Länge l mit konstantem Querschnitt A
her. Welche Auswirkungen hat die Annahme des konstanten Querschnitts auf Stromdichte
und Feldstärke?
Drahtquerschnitt A konstant.
=> Stromdichte konstant und in Richtung der Drahtachse
=> Feldstärke in Drahtachse konstant:
⃗⋅d ⃗s = E ∫ ds
U =∫E
l
( weil E∥s und konstant )
l
J
U = El = σ l = I
l
σA
ρl
U
l
R= =
=
I
σA
A
Strömungsfeld
Seite 15/31
2.1.8
Geben Sie die Gleichungen des stationären Strömungsfeldes an. Und erklären Sie
diese kurz in Worten.
div ⃗J = 0
rot ⃗
E=0
⃗ =ρ
div D
⃗
J = σ⃗
E
⃗
⃗
D =εE
2.1.9
... keine Quellen oder Senken im stationären Strömungsfeld
(was hinein fließt , fließt auch wieder hinaus)
... Das elektrische Feld hat (trotz Stromfluss) keine Wirbel
... Die gesamte Ladungsdichte (bewegte und unbewegte)ist Quelle
(Ursache)der dielektrischenVerschiebung
... Zusammenhang zwischen ⃗J und ⃗
E in einem Material der Leitfähigkeit σ
⃗
⃗ ineinem Material der Permittivität ε
... Zusammenhang zwischen D und E
Geben Sie die Brechungsgesetze für Strömungsfelder an. Warum gilt für
Strömungsfelder i.A. nicht (wie in Elektrostatik) Dn,1 = Dn,2? Was ergibt die Differenz
Dn,2−Dn,1?
rot ⃗
E = 0 ⇔ Stokes ⇔
div ⃗J = 0 ⇔ Gauss ⇔
∮ ⃗E⋅d ⃗s = 0
∮ ⃗J⋅d ⃗A = 0
⇒ E t ,1 = E t , 2
⇒ J n ,1 = J n , 2
Im Allgemeinen gilt Dn,1≠ Dn,2 da sich an der Grenzfläche zweier verschiedener Materialen
Ladungsträger (Oberflächenladungen) ansammeln. Für diese Ladungsdichte zwischen
Leitern gilt:
ρS = D n , 2 D n ,1
2.1.10 Geben Sie allgemeine Beziehungen für die Größen an, die zur Beschreibung eines
stationären Strömungsproblems in einem homogenen, mit leitfähiger Materie gefülltem
Raum, nötig sind.
⃗ = 0, div E
⃗ =0
rot ⃗
E = 0, div J⃗ = 0, div D
d.h. in homogenenGebieten verschwindende Ladungsdichte !
2.1.11 Geben Sie allgemeine Beziehungen für die Größen an, die zur Beschreibung eines
stationären Strömungsproblems in inhomogenen Gebieten bzw. an Grenzflächen, nötig
sind.
⃗ ≠ 0, div ⃗
rot ⃗
E = 0, div ⃗
J = 0, div D
E≠0
2.1.12 Leiten Sie die Strom-Spannungsbeziehung an einem Kondensator für veränderliche
Ströme und Spannungen her.
Q(t ) = C⋅u( t)
dQ(t )
i (t ) =
dt
du (t )
⇒i( t) = C⋅
dt
Strömungsfeld
Seite 16/31
2.1.13 Berechnen Sie die Verlustleistung PV in einem Widerstand R.
W e = e ( φ1 φ2 ) = e U = q U
dW
I
dq
= PV = eU = U
= UI
dt
e
dt
2.1.14 Leiten Sie die Verlustleistungsdichte her.
allg. gilt :
⃗ =q⋅E
⃗
F
⃗
P = F⋅⃗v
d ⃗s
⟨ v⃗e ⟩ =
dt
⃗
dF
⃗
= n⋅q⋅E
dV
Herleitung :
⃗ ⃗v = q⋅E⋅⟨
⃗ v⃗e ⟩
P = F⋅
J⃗ = n⋅q⋅⟨ v⃗e ⟩
⃗
dF
⃗ v⃗e ⟩ = ⃗J⋅E
⃗
pv =
⋅⟨ v⃗e ⟩ = n⋅q⋅E⋅⟨
dV
Strömungsfeld
[n ]=
1
m3
Seite 17/31
3 Magnetostatik
3.1.1
Geben sie die allgemeine Gleichung für die Lorentzkraft an. Erklären Sie alle
vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
⃗
F⃗L = Q ⃗v × ⃗
B+Q E
F⃗L... Lorentzkraft. Kraft auf Ladungen im elektromagnetischen Feld
⃗v ... Geschwindigkeit , mit der sich die Ladung bewegt
⃗
B ... Magnetische Flussdichte
⃗
E ... Elektrische Feldstärke
3.1.2
2
Geben Sie die Maxwellgleichungen für den elektro- und magnetostatischen Fall in
differenzieller Form an und erklären Sie deren Bedeutung.
⃗ = ⃗J
I. rot H
⃗ =0
II. rot E
⃗ =ρ
III. div D
IV. div ⃗
B=0
3.1.3
[ F L] = N
m
[⃗v ] = s
Vs
[ B] = m = T
⃗]=V
[E
m
Das magnetische Feld weist Wirbel auf.
Der Wirbel ist ⃗
J , die Feldlininen sind geschlossen.
Das elektrische Feld ist wirbelfrei
Die Ursache (Quelle) für das elektrische Feld (elektrische Flussdichte)
ist eine Ladungsverteilung ρ.
Das magnetostatische Feld ist quellen und senkenfrei.
Es gib keine magnetischen Monopole.(Dr Cooper ?)
Geben Sie sowohl die I. Maxwellgleichung (Amp`eresches Gesetz) als auch die IV.
Maxwellgleichung in integraler Form an. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und
geben Sie deren Einheiten an.
⃗ ⃗s = ∫ ⃗J⋅d ⃗A
∮ H⋅d
∂A
A
∮ ⃗B⋅d ⃗A = 0
∂V
⃗ ... Magnetische Feldstärke
H
s... Weg , über den integriert wird , entlang des Randes der Fläche
⃗
J ... Elektrische Stromdichte
⃗
A ... Fläche , über dieintegriert wird und die von ⃗J durchstochen wird
⃗
B ... magnetische Flussdichte
∂V , A... Hüllfläche
3.1.4
⃗ ] = mA
[H
[s ] = m
[ ⃗J ] = mA
⃗ ] = m2
[A
⃗ ] = Vs
[B
=T
m
[∂ V ] = m2
2
2
Geben Sie die Gleichungen für den magnetischen Fluss und die (magnetische)
Durchflutung an. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten
an.
Φ =∫⃗
B⋅d ⃗
A
Θ = ∫ ⃗J⋅d ⃗
A= N I
A
Magnetostatik
Seite 18/31
[Φ] = Vs = Wb
⃗ ] = Vs = T
[B
m
⃗
[ A ] = m2
[Θ] = A
[N]=1
[I] = A
[ ⃗J ] = mA
Φ ... magnetischer Fluss
⃗
B ... magnetische Flussdichte
⃗
A ... Fläche
Θ... Durchflutung
N ... Anzahl der Windungen(einer Spule)
I... Strom ineinem Leiter
⃗
J ... Stromdichte
3.1.5
2
2
Wir
betrachten
einen
unendlich
ausgedehnten
stromführenden
Draht
in
Zylinderkoordinaten. Der Draht verläuft konzentrisch mit der z-Achse. Erklären Sie warum
die magnetische Feldstärke nur eine Komponente in ϕ-Richtung besitzt. D.h. H(r; ϕ; z) =
(0;Hϕ; 0)?
•
Das Problem weist eine Rotationssymmetrie um die z - Achse auf
•
⃗ = ∇ ×H
⃗ =⃗
J ) folgt,
J zeigt in z-Richtung. Aus der 1. Maxwellgleichung (rot H
dass H normal auf J stehen muss. => H kann keine z – Komponente aufweisen,
d.h. HZ = 0
•
B = 0 ⇔ ∮∂V ⃗
B⋅d ⃗
A = 0) folgt, dass Hr
Aus der 4. Maxwellgleichtung (div ⃗
keine Komponente aufweisen kann. (Zylinderhülle um el. Leiter: Stirnflächen heben
sich auf. Rotationssymmetrisches Problem. Es kann kein Feld durch Mantel
stechen.).
⃗=0
div B
!
•
⇒
Hr = 0
Kurzzusammenfassung für das Quiz:
⃗ =⃗
⃗ normal auf ⃗
∇× H
J ⇒ H
J ⇒ HZ = 0
⃗=0 ⇔ ∮B
⃗⋅d ⃗
div B
A = 0 ⇒ Hr = 0
∂V
3.1.6
Berechnen Sie mithilfe der ersten Maxwellgleichung (Amp`eresches Gesetz) die
magnetische Feldstärke H(r) im Abstand r eines vom Strom I0 durchflossenen Leiters.
Welche Annahme(n) müssen Sie dafür treffen? Was ist das Problem, wenn diese Annahme
nicht zutrifft? Was können sie eventuell tun?
⃗ ⃗s = ∫ ⃗J⋅d ⃗A = I
∮ H⋅d
∂A
A
⇒ H (r ) 2 r π = I
I
⇒ H (r ) =
2r π
•
Gilt nur für unendliche ausgedehnte gerade Leiter
•
Bei gekrümmten Leitern sind die r- und die z – Komponente i. A. nicht Null.
•
Biot – Savart kann Abhilfe verschaffen, vorausgesetzt der Leiter ist dünn und
geschlossen.
Magnetostatik
Seite 19/31
3.1.7
Die magnetische Feldstärke eines unendlich ausgedehnten, stromdurchflossenen Leiters
im Abstand r vom Leiter ist: H1(r) = I1/(2π r). Ein zweiter, unendlich ausgedehnter Leiter
liegt im Abstand d zu diesem Leiter und wird vom Strom I2 durchflossen. Berechnen Sie
die Kraft pro Leiterlänge auf diesen zweiten Leiter. Diskutieren Sie die zwei Fälle ”gleiche
Stromrichtung“ und ”entgegengesetzte“ Stromrichtung.
⃗
F⃗L = Q ⃗v × ⃗
B+Q E
⃗ ≈ 0)
(Q E
Rechtwinkelige Verhältnisse !
Q2 = ∫ I 2 dt
⇒ F = Q 2 v 2 B1
F = I 2 L B1 = µ 0
⇒
3.1.8
⇒
Q2 v 2 = ∫ I 2 dt
ds
= I2 L
dt
I1 I2
L
2πd
I I
F
= µ0 1 2
L
2π d
Beschreiben Sie die Herleitung des Gesetzes von Biot-Savart in Worten.
Folie 13-17
3.1.9
Das Gesetz von Biot-Savart lautet:
⃗
B (⃗r ) =
µ 0 I d ⃗s ' ×(⃗r ⃗r ' )
∫ ∣⃗r ⃗r '∣3
4π
Erklären Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.Welche
Bedingung muss erfüllt sein, damit das Gesetz sinnvolle Ergebnisse liefert? Warum?
d ⃗s ' ... Weg in Stromrichtung
⃗r ' ... Punkt am Leiter
⃗r ... Punkt im Raum
µ 0 ... Permeabilität ( magn. Feldkonstante)=4 π⋅10
I... Stromstärke
7
[d ⃗s ' ] = m
[⃗r ' ] = m
[⃗r ] = m
[µ 0 ] = Vs
Am
[I] = A
Ergibt nur sinnvolle Resultate wenn über dünne, geschlossene Schleifen integriert wird!
(Voraussetzung für Magnetostatik ist div J = 0!)
3.1.10 Man beobachtet im Alltag, dass Materie Ursache für magnetische Felder sein kann ohne
dass dabei ein offensichtlicher Stromfluss stattfindet. Wie kann das sein?
Elementare elektrische Ströme erzeugen magnetische Dipolmomente in magnetisierbarer
Materie. Diese können durch eine zusätzliche Stromdichte Jmat repräsentiert werden.
(Folie 20)
Die erste Maxwellgleichung unter Verwendung div B = 0
rot ⃗
B = µ 0 ( ⃗J + J⃗mat )
⃗
J ⃗mat = rot M
⃗
⃗ ) ⇒ rot µB
⇒ rot ⃗
B = µ 0( ⃗
J +rot M
0
⃗
B
⃗ ⇒ rot H
⃗ = ⃗J
wegen : rot µ0 = H
⃗
⃗ = µB
⃗ ⇔ B
⃗ = µ0( H
⃗ +M
⃗)
H
M
0
Magnetostatik
⃗ =⃗
M
J
Seite 20/31
3.1.11 Durch welche Größe kann die Magnetisierbarkeit von Materie berücksichtigt werden Wie
hängt diese Größe mit den magnetischen Dipolmomenten zusammen? Wann wird sie
maximal?
(Folie 21)
3.1.12 Durch elementare elektrische Ströme erzeugte Dipolmomente in Materie können durch
eine zustätzliche Stromdichte Jmat repräsentiert werden. Der Zusammenhang zwischen
dieser Stromdichte und der Magnetisierung M ist: rotM = Jmat. Setzen Sie diesen
Zusammenhang in die erste Maxwellgleichung (die die Stromdichten J und Jmat
berücksichtigt) ein und definieren Sie damit die magnetische Feldstärke H.
(Folie 21-27)
I. Maxwell :
rot ⃗
B = µ 0 ( ⃗J + J⃗mat )
⃗
J ⃗mat = rot M
⃗)
⇒ rot ⃗
B = µ 0 ( J⃗ +rot M
⃗
B
⃗ )= ⃗
⇒ rot( µ M
J
0
⃗
⃗ = µB M
⃗
H
0
⃗ = ⃗J
rot H
div ⃗
B=0
3.1.13 Mithilfe der Magnetisierung M kann der Beitrag von (magnetisierbaren) Materialien zur
Erzeugung eines magnetischen Feldes B berücksichtigt werden. Durch Einsetzen der
Beziehung Jmat = rotM in die erste Maxwellgleichung kommt man auf folgenden
Zusammenhang zwischen magnetischer Flussdichte B, magnetischer Feldstärke H und
Magnetisierung M: B = µ0(H+M). Geben Sie den Zusammenhang zwischen
Magnetisierung und magnetischer Feldstärke an und leiten Sie damit das Materialgesetz
für Magnetfelder ab.
⃗ = κH
⃗
M
⃗ +µ 0 M
⃗ = µ 0 (1+κ) H
⃗ =µH
⃗
B = µ0 H
µ r = 1+ κ
3.1.14 Geben Sie das Materialgesetz für magnetische Felder an. Erklären Sie alle vorkommenden
Größen und geben Sie deren Einheiten an.Welche Annahmen werden in diesem Gesetz
getroffen? In welchen Punkten stimmt es nicht mit der Realität überein?
⃗
⃗
B =µH
⃗ Magnetische Flussdichte
B...
µ=µ 0 µ r ...( magnetische) Permeabiliät
7
µ 0=4 π⋅10 Vs/ Am... magnetische Feldkonstante
µ r ... relative Permeabilität ( Materialparamter)
Magnetostatik
[⃗
B ] = Vs
=T
m
2
Vs
Am
Vs
Am
[µ ] =
[µ 0 ] =
[µ r ] = 1
Seite 21/31
•
Annahme: Linearität und Isotropie der Materialen
•
Ferromagnetische Materialien weisen starke Nichtlinearitäten (Sättigung) auf.
•
Ferromagnetische Materialen mit signifikanter
Materialien) weisen eine Hysterese auf.
•
Kristalle zeigen i.A. anisotropes Verhalten
Remanenz
(magnetisierbare
3.1.15 Geben Sie das Materialgesetz für magnetische Felder an. Stellen Sie die Fälle
diamagnetisch, paramagnetisch und ferromagnetisch in einem Diagramm im Verhältnis zur
Vakuumpermeabilität (µ0) qualitativ dar und geben Sie jeweils mindestens ein Beispiel für
jeden Fall an.
⃗
⃗
B=µH
•
Ferromagnetisch (µr >> 1):
Ferrite, Eisen, Mumetall®
•
Paramagnetisch (µr > 1):
Luft, Aluminium
•
Diamagnetisch (0 < µr < 1): Kupfer, Supraleiter(µr = 0)
3.1.16 Zeichnen Sie qualitativ die Hystereseschleifen für weich
Ferromagnetika. Was sind die Gütekriterien für beide Fälle?
und
hartmagnetische
•
Hartmagnetisch: Große Fläche der Hystereseschleife, möglichst großes (BH)max
•
Weichmagnetisch: Kleine Fläche der Hystereseschleife, möglichst hohes µr,
möglichst hohe Sättigungsdichte
Magnetostatik
Seite 22/31
3.1.17 Leiten Sie die Grenzbedingung für die Normalkomponente von B an der Grenzfläche
zweier Materialien mit den Permeabilitäten µ1 und µ2 her.
(Folie 41)
Hüllenintegral über „flache Dose“:
∮ ⃗B⋅d ⃗A = ∫ B⃗1⋅d A⃗1+∫ B⃗2⋅d A⃗2 = 0
∫ B n1 dA1+∫ B n2 dA2 = B n1 A+ B n2 A = 0
⇒ B n1 = B n2
3.1.18 Leiten Sie die Grenzbedingung für die Tangentialkomponente von H an der Grenzfläche
zweier Materialien mit den Permeabilitäten µ1 und µ2 her. Annahme: kein Strom in der
Grenzschicht.
Ringintegral über flache Schleife:
⃗ ⃗s = Θ = 0(hier )
∮ H⋅d
∫ H⃗ 1⋅d ⃗s+∫ H⃗ 2⋅d s⃗2 = 0
∫ H t1 ds1 ∫ H t2 ds 2 = H t1 l
H t2 l = 0
⇒ H t1 = H t2
3.1.19 Leiten Sie das ”ohmsche Gesetz der Magnetostatik“ her und geben sie die (magnetische)
Reluktanz (inkl. Einheit) an.
⃗ ⃗s = N I = Θ = H l
∮ H⋅d
⇒
Bl
=Θ
µ
Φ= BA=
Rm =
µA
Θ
l
l
µA
[ Rm ] = WbA = 1H
3.1.20 Statische bzw. stationäre elektrische und magnetische Phänomene sind getrennt durch die
Felder erfasst. Wie ist das bei dynamischen, elektromagnetischen Feldern? Geben Sie die
Maxwellgleichungen für dynamische, elektromagnetische Felder an.
Dynamische elektrische und magnetische Felder sind gekoppelt.
⃗
∂D
∂t
⃗
∂B
∂t
⃗ = ∇ ×H
⃗ = ⃗J +
rot H
⃗=
rot ⃗
E = ∇×E
⃗ = ∇⋅D
⃗ =ρ
div D
⃗ = ∇⋅B
⃗ =0
div B
Magnetostatik
Seite 23/31
3.1.21 Leiten Sie aus der zweiten Maxwellgleichung die in einer im zeitlich veränderlichen
magnetischen Feld befindlichen Leiterschleife induzierte Spannung her.
(Folie 62-64)
⃗
∂B
⇐ Integralsatz von Stokes ⇒ ∮ ⃗
E⋅d ⃗s =
∂t
∂A
2
⃗
∫ E⃗⋅d ⃗s = U 12 =! ∫ ∂∂tB ⋅d ⃗A = dtd ∫ ⃗B⋅d ⃗A = ddtΦ
1
A
A
⃗=
rot E
⃗
∫ ∂∂tB ⋅d ⃗A
A
3.1.22 Leiten Sie aus der allgemeinen Definitionsgleichung der Lorentzkraft die in einem normal
zum konstanten Magnetfeld bewegten elektrischen Leiter induzierte Spannung her.
(Folie 66 -67)
rechtwinkelige Verhältnisse , ⃗
B = konstant
!
⃗ +Q ⃗
F⃗ L = Q v⃗ × B
E =0
⃗ = v⃗ × B
⃗
E
2
4
∮ E⃗⋅d ⃗s = ∫ E⃗⋅d ⃗s + ∫ ( ⃗v × ⃗B )⋅d ⃗s =!
*
s
1
3
⃗
∫ ∂∂ tB ⋅d ⃗A = 0
A
U 12
4
B )⋅d ⃗s = ∥⃗
B∥∥⃗v∥l =
U 12 = ∫ (⃗v × ⃗
3
dΦ
dt
3.1.23 Geben Sie die Definitionsgleichung des verketteten Flusses Ψ an. Wie hängen der
verkettete Fluss einer Spule und der Strom, der durch die Spule fließt zusammen? Erklären
Sie alle vorkommenden Größen und geben Sie deren Einheiten an.
Ψ = N⋅Φ
Ψ = L⋅I
[ Ψ ] = Vs = Wb
[N ] = 1
[Φ] = Vs = Wb
[ L] = H
[I ] = A
Ψ ... verketteter magnetischer Fluss
N... Anzahl Windungen
Φ ... magnetischer Fluss
L... Induktivität
I... Strom
3.1.24 Berechnen Sie die
(Eisenkreis: µ, l,A.)
Induktivität
Θ
N⋅I
=
Rm
Rm
N 2⋅I
Ψ = N⋅Φ =
Rm
2
Ψ
N
N 2 µ⋅A
L=
=
=
I
Rm
l
einer
Spule
mit
Windungszahl
N
und
Kern
Φ=
Magnetostatik
skizze
Seite 24/31
3.1.25 Leiten Sie aus dem Induktionsgesetz die Strom-Spannungsbeziehung an einer Spule her,
an die die Spannung u(t) angelegt wird. Erklären Sie alle vorkommenden Größen und
geben Sie deren Einheiten an.
dΦ d Ψ
=
dt
dt
d i(t )
u (t ) = L
dt
U=N
Ψ ... verketteter magnetischer Fluss
N... Anzahl Windungen
Φ ... magnetischer Fluss
L... Induktivität
I... Strom
U...induzierte Spannung
dt... zeitliche Ableitung
[Ψ ] = Vs = Wb
[N]=1
[Φ] = Vs = Wb
[ L] = H
[I] = A
[U ] = V
[dt] = 1s
3.1.26 Gegeben sind zwei gekoppelte Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2, die von den
Strömen I1 und I2 durchflossen werden. Wie groß ist der gesamte verkettete Fluss durch die
Spule zwei? Erklären Sie alle vorkommenden Größen.
Ψ 2 = Ψ 21+Ψ 22 = N 2 Φ 21+ N 2 Φ 22 = L 21 I 1 + L2 I 2
Ψ2 ... verketteter magnetischer Fluss in Spule 2
Ψ21... verketteter magnetischer Fluss erzeugt von Spule1, durchsetzt Spule 2
Ψ22 ... verketteter magnetischer Fluss erzeugt von Spule 2, durchsetzt Spule 2
N 2 ...Windungsanzahl Spule 2
Φ 21 ... Fluss erzeugt von Spule 1, durchsetzt Spule 2
Φ 22 ... Fluss erzeugt von Spule 2, durchsetzt Spule 2
L 21 ...Gegeninduktivität Spule 2
I 1 ... Strom durch Spule 1
L 2 ... Selbstinduktivität Spule 2
I 2 ... Strom durch Spule 2
3.1.27 Gegeben sind zwei gekoppelte Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2 und den
(ohmschen) Widerständen R1 und R2, die von den Strömen i1 und i2 durchflossen werden.
Die verketteten Flüsse durch beide Spulen sind:
Ψ1 = L1 i1 +M i2
Ψ2 = M i1 + L2 i2
Wie groß sind die Spannungen u1 und u2, die an den Klemmen der Spulen 1 und 2
anliegen?
d Ψ1
di
di
= R1 i 1+L 1 1 +M 2
dt
dt
dt
d Ψ2
di 1
di
u 2 = R2 i 2+
= R2 i 2+M
+L2 2
dt
dt
dt
u 1 = R 1 i 1+
Magnetostatik
Seite 25/31
3.1.28 Gegeben sind zwei gekoppelte Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2 und den
(ohmschen) Widerständen R1 und R2, die von den Strömen i1 und i2 durchflossen werden.
Die
Spannungen,
die
an
den
Spulenklemmen
anliegen
sind:
di 1
di 2
dt
di 2
2 dt
u 1 = R1 i 1+L 1 dt +M
u 2 = R2 i 2+M didt + L
1
Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild, das die obigen beiden Gleichungen beschreibt.
3.1.29 Gegeben sind zwei gekoppelte Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2, die von den
Strömen i1 und i2 durchflossen werden. Geben Sie die Definitionsgleichungen für die
Koppelfaktoren an. Erklären Sie alle vorkommenden Größen.
Φ 21 = k 2 Φ 11
Φ 12 = k 1 Φ 22
k 1 ... Koppelfaktor für Spule 1, beschreibt wie stark Spule1 vom Fluss von Spule 2
durchsetzt wird ( wenn k 1=1, wird Spule 1 vollständig von Φ22 durchsetzt)
k 2 ... Koppelfaktor für Spule 2
Φ11 ... Fluss erzeugt von Spule 1, durchsetzt Spule 1
Φ12 ... Fluss erzeugt von Spule 2, durchsetzt Spule1
Φ 21 ... Fluss erzeugt von Spule 1, durchsetzt Spule 2
Φ 22 ... Fluss erzeugt von Spule 2, durchsetzt Spule 2
(Folie 89)
3.1.30 Gegeben sind zwei gekoppelte Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2, die von den
Strömen I1 und I2 durchflossen werden. Geben sie den Zusammenhang zwischen
verkettetem Teilfluss Ψ21 durch Spule 2 und dem Strom I1, der durch die Spule 1 fließt unter
Verwendung der Gegeninduktivität L21 an. Leiten sie daraus die Beziehung zwischen
Gegeninduktivität L21, den Windungszahlen N1 und N2, der Induktivität L1 und dem
Koppelfaktor k2 her.
3.1.31 Die
Gegeninduktivität,
die
die
Kopplung
Lij =
Ni
Nj
von
zwei
Spulen
beschreibt
ist:
k ij
Leiten sie daraus die Beziehung zwischen Gegeninduktivität M und den Kopplungsfaktoren
ki und den Induktivitäten Li her.
Magnetostatik
Seite 26/31
3.1.32 Berechnen Sie die Energiedichte in einem linearen, isotropen und keine Remanenz
aufweisendes Material an.
(Folie 96)
wm =
dW m
dV
⃗
B
⃗ (B
⃗ )⋅d ⃗
wm =∫ H
B + wm ( ⃗
B=0)
0
⃗ =µH
⃗
B
⃗ =0) = 0
wm( B
⃗
B
B
B
⃗ ⋅B
⃗
1
B2
HB
H
⃗
⃗
⃗
⇒ wm = ∫ H ( B )⋅d B = ∫ H ( B) dB = µ ∫ B dB =
=
=
2µ
2
2
0
0
0
W m ... Energie
w m ... Energiedichte
3.1.33 Berechnen Sie die in einer Induktivität gespeicherte Energie über die Strom –
Spannungsbeziehung an einer Induktivität und die elektrische Leistung.
u (t ) = L
d i(t )
dt
p (t) = u (t ) i(t) = L i( t)
d i (t)
dt
t
t
t
i(t )
d i ( τ)
L i( t )2
d τ = ∫ L i di =
W m (t ) W m (0) = ∫ p ( τ) d τ = ∫ i( τ) u ( τ) d τ = ∫ i ( τ) L
dτ
2
0
0
0
0
3.1.34 Berechnen Sie die in einer Induktivität gespeicherte Energie über die Feldenergiedichte.
Wie wird der Integrationsweg gewählt?
W m = ∫ w m dV =
⃗ ⃗
B
∫ H⋅
dV
2
wird entalng von Feldröhren integriert :
ΨI
1
1
LI2
⃗ ⃗
⃗ ⋅d ⃗s )( B
⃗ ⋅d ⃗
W m= ∫∮ ( H⋅
B )(d ⃗s⋅d ⃗
A) = ∫∮ ( H
A) =
=
2
2
2
2
3.1.35 Wo werden weichmagnetische Materialien eingesetzt? Warum sollen sie eine möglichst
kleine Hysteresesschleife aufweisen? Wie groß ist die Energie, die bei einem Durchlauf der
Hysteresesschleife umgesetzt wird?
Anwendung: (Wechselstrom)motoren, Transformatoren,...
Sie sollen eine möglichst kleine Hystereseschleife aufweisen, damit die Verlustleistung
möglichst klein ist.
Energie pro Durchlauf:
⃗ (⃗
w =∮ H
B)⋅d ⃗
B = A Hyst
⃗ (B
⃗ )⋅d B
⃗ ) dV = AHyst⋅V
⇒W = ∫ (∮ H
Magnetostatik
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3.1.36 Erklären Sie in kurzen Worten das Prinzip der virtuellen Verschiebung. (Wofür wird sie
angewendet? Welchen Ansatz verwendet man?)
•
Wird z.B. zur Berechnung von Kräften im elektromagnetischen Feld verwendet
•
infinitesimale Verschiebung eines Körpers um δx, d.h. x → x + δx
•
es gilt Energieerhaltung bei dieser gedachten (virtuellen) Verschiebung
⇒∑ δ W i = 0
i
3.1.37 Um Kräfte im magnetostatischen Feld zu berechnen, kann das Prinzip der virtuellen
Verschiebung (PVV) angewendet werden. Welche Energien bzw. welche verrichteten
Arbeiten müssen Sie beim PVV für magnetostatische Felder i.A. berücksichtigen? Geben
Sie deren Änderungen allgemein an. Wie lautet die Energiebilanz?
W Spule ... Energie die in der Spulue umgesetzt wird
W Mag ... ist äquivalent zu W Induktivität
W mech ... Mechanische Arbeit
δ W Spule = I δ Ψ ( Für konstanten Spulenstrom I )
δ W Mag allg. Ausdruck macht keinen Sinn , muss für konkreten Fall betrachtet werden
∫ ⃗B⋅H⃗ dV
W Mag =
2
LI2
δ L I2
δ W Induktivität = δ(
)=
+L I δ I
2
2
δ W mech = F δ s
Energiebilanz : ∑ δ W i = 0
i
Magnetostatik
Seite 28/31
4 Schaltvorgänge
4.1.1
Geben Sie die Strom-Spannungsbeziehungen für ohmschen Widerstand, Induktivität und
Kapazität an, und erklären Sie alle vorkommenden Größen.
uR
R
du
iC = C c
dt
di L
uL = L
dt
iR =
i R ... Strom durch den Widerstand
u R ... Spannung am Widerstand
R...Widerstand
iC ... Strom durch die Kapazität
C... Kapazität
u C ... Spannung an der Kapazität
u L ... Spannung an der Induktivität
L... Induktivität
i L ... Strom durch die Induktivität
dt... zeitliche Ableitung
4.1.2
erkl nicht notwendig
[i R ] = A
[u R ] = V
[ R] = Ω
[iC ] = A
[C ] = VAs = F
[u C ] = V
[u L ] = V
[ L] = Vs
A = H
[i L ] = A
[dt ] = 1s
Stellen Sie die Differentialgleichung 1. Ordnung auf, welche die Spannung an einem
RC-Glied (Serienschaltung) beschreibt.
Maschengleichung :
u R (t )+u C (t ) = u 0 (t )
Verknüpfung :
du
u
i (t ) = C C = R
dt
R
du C
u R (t ) = RC
dt
DGL :
du
RC C +uC = u 0
dt
Schaltvorgänge
Seite 29/31
4.1.3
Stellen Sie die Differentialgleichung 1. Ordnung auf, welche den Strom durch ein RLGlied (Serienschaltung) beschreibt.
Maschengleichung :
u R (t )+u L (t) = u0 (t)
Verknüpfung :
di
u L (t) = L L
dt
u R = R i L (t )
DGL :
di
L L + Ri L = u0
dt
4.1.4
Beschreiben Sie den Lösungsweg für eine homogene Differentialgleichung 1. Ordnung,
du
1
wie z.B.: dt + RC u C = 0
C
Wähle als Lösungsansatz : uC , h = k e λ t
1
charakteristisches Polynom: λ+
=0
RC
⇒
λ=
1
RC
t
RC
u C ,h (t) = k e
Faktor k wird mithilfe der Anfangsbedingungen u C (t=0)bestimmt.
4.1.5
Welche
Stetigkeitsbedingungen
Induktivitäten/Kapazitäten, und warum?
gelten
für
Strom/Spannung
in
C u2
⇒ Spannung in Kapazität muss stetig sein!
2
Li 2
WL=
⇒ Strom in Induktivität muss stetig sein!
2
WC =
4.1.6
Was können Sie über die Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung dieser
Schaltung aussagen, wenn der Schalter zum Zeitpunkt t = 0 seine Stellung wechselt,
und davor für ∞ lange Zeit eine Gleichspannung U0 angelegt war?
Die Kapazität ist voll aufgeladen , d. h. sie wirkt wie ein Leerlauf (iC (0 +) = iC (0 -)=0) ,
und somit ist u C (0 +) = u C (0 -) = U 0
Schaltvorgänge
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4.1.7
Was können Sie über die Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung dieser
Schaltung aussagen, wenn der Schalter zum Zeitpunkt t = 0 seine Stellung wechselt,
und davor für ∞ lange Zeit keine Spannung angelegt, d.h. die Serienschaltung von R
und C kurzgeschlossen war?
strom u0/R
Die Kapazität ist völlig entladen uC (0 +) = u C (0 -) = 0
4.1.8
Was können Sie über die Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung dieser
Schaltung aussagen, wenn der Schalter zum Zeitpunkt t = 0 seine Stellung wechselt,
und davor für ∞ lange Zeit eine Gleichspannung U0 angelegt war?
Da die Quelle lange Zeit angeschlossen war liegt der stationäre Zustand
vor und die Spule wirkt als Kurzschluss.
U
i (0) = q
R
u L (0) = 0
-U0
4.1.9
Was können Sie über die Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung dieser
Schaltung aussagen, wenn der Schalter zum Zeitpunkt t = 0 seine Stellung wechselt,
und davor für ∞ lange Zeit keine Spannung angelegt, d.h. die Serienschaltung von R
und L kurzgeschlossen war?
Die Spule ist völlig entladen und somit ist i L (0 +) = i L (0 -) = 0
ul(0)=U0
Schaltvorgänge
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