Übungsaufgaben Themengebiet H

Fachgebiet Leistungselektronik und Elektrische Antriebstechnik
Prof. Dr.-Ing. J. Böcker
Übung Grundlagen der Elektrotechnik B
Themengebiet H: Magnetischer Kreis, Transformatoren
Aufgabe 1: Magnetischer Kreis
Die gegebenen magnetischen Anordnungen tragen jeweils auf einem Schenkel des Eisenkerns eine
Wicklung mit N = 50 Windungen durch die ein Gleichstrom I = 10 A fließe. Für den Eisenkern gelte
AFe = 2 cm2 , µrFe = 4000. (Der mittlere Eisenweg lFe und die Luftspaltlänge lL sind in den jeweiligen
Anordnungen angegeben.)
1. Zeichnen Sie in die Anordnungen den Verlauf des magnetischen Flusses φ ein.
2. Geben Sie für die magnetischen Kreise die elektrischen Ersatzschaltbilder an.
3. Berechnen Sie die magnetischen Widerstände (Reluktanzen), die sich ergebenen Flüsse φ , die
Feldstärke im Eisen hFe und in der Luft hL und die Flussdichte im Eisen bFe und in der Luft bL .
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Ergebnisse:
a)
RFe = 199 kA/Vs, φ = 2, 51 mVs, bFe = 12, 55 Vs/m2 , hFe = 2496, 74 A/m
b)
RFe = 199 kA/Vs, RL = 3, 98 MA/Vs, φ = 0, 12 mVs,
bFe = bL = 0, 6 Vs/m2 , hFe = 119, 37 A/m, hL = 477kA/m
Aufgabe 2: Magnetischer Kreis
Die gegebene magnetische Anordnung trage auf einem Schenkel des Eisenkerns eine Wicklung mit
N = 350 Windungen durch die ein Gleichstrom fließe. Für den Eisenkern gelte AFe = 16 cm2 , mittlerer
Eisenweg lFe = 40 cm, Luftspaltlänge lL = 0, 5 mm. Für das Material sei die folgende b,h-Beziehung
gegeben:
Die Flussdichte im Eisenkern betrage bFe = 1, 0 T.
Geben Sie
1. den Fluss φ und den verketteten Fluss ψ an.
2. den notwendigen Strom I ohne Luftspalt an.
3. den notwendigen Strom I mit Luftspalt an.
Lösung zu Aufgabe 2: Magnetischer Kreis
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1. φ = 1, 6 mVs,
Ψ = N φ = 560 mVs
2. ohne Luftspalt: I = 22, 86 mA
3. mit Luftspalt: I = 1, 16A
Aufgabe 3: Blindleistungskompensation mit einer Drossel
Für eine Fabrikhalle sollen die Kosten zur Kompensation einer kapazitiven Blindleistung berechnet
werden. Die kapazitive Blindleistung betrage Q = 1 kVA. Die Kompensation soll mit einer Drosselspule
erfolgen. Die Netzspannung betrage U = 230 V( f = 50 Hz). Für die verwendeten Materialien seien die
folgenden Daten bekannt:
• maximale Flussdicht im Eisenkern b̂max = 1, 4 T
• maximale Stromdichte in Kupfer Jmax = 10 A/mm2
• Füllfaktor kCu = 0, 65
• Dichte von Kupfer ρCu = 8, 93 kg/dm3
• Dichte von Eisen ρFe = 7, 87 kg/dm3
• Kilopreis Kupfer 2, 90 e/kg
• Kilopreis Eisen 0, 90 e/kg
Die Querschnittsfläche des Eisenkerns und die Fläche des Fensters für die Wicklung seien quadratisch
und gleich groß AFe = AW . Der ohmsche Widerstand der Wicklung sei vernachlässigbar.
Die Drossel werde zunächst aus hochpermeablem Kernmaterial (µr → ∞) hergestellt.
• Berechnen Sie die benötigte Luftspaltlänge lL .
Die Drossel soll nun ohne Luftspalt gefertigt werden.
• Berechnen Sie die benötigte Permeabilität µrFe des Kernmaterials.
• Schätzen Sie die Materialkosten der Drossel ab.
Ergebnisse:
lL = µ0 AFe Rmagn = 5, 8 mm
µr = µ0 AFelFeRmagn = 36, 53
Kupferpreis: 0, 432 kg · 2, 90 e/kg = 1, 25 e
Eisenpreis: 1, 171kg · 0, 90 e/kg = 1, 05 e
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Aufgabe 4: Kraft und Energie im magnetischen Kreis
Eine magnetische Anordnung trage auf einem Schenkel des Eisenkerns eine Wicklung mit N = 50
Windungen durch die ein Gleichstrom I = 10A fließe. An den Stoßstellen entstehe eine Fuge, die sich
wie ein Luftspalt verhalte (d = 0, 2 mm). Für den Eisenkern gelte (lFe1 = 15cm, lFe2 = 7cm, AFe1 =
4cm2 , AFe2 = 2cm2 und µrFe = 4000).
1. Zeichnen Sie in die Skizze den Verlauf des magnetischen Flusses φ ein.
2. Skizzieren Sie das elektrische Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises.
3. Berechnen Sie die magnetische Flussdichte bL und den magnetischen Fluss φL im Luftspalt.
4. Stellen Sie den magnetischen Fluss φL in Abhängigkeit der Luftspaltlänge d graphisch dar.
5. Berechnen Sie die magnetische Energie im Eisen und im Luftspalt.
6. Welche Masse m kann die Anordnung tragen?
Ergebnisse:
3. φL = φ = 0, 532 mVs
4. φ (d) =
µ0 AFe · N · i
µ0 AFe RFe +2d
5. WL = 112, 62 mJ,
6. m =
F
g
bL = 1, 33 T
WFe = 20, 41 mJ
= 57, 4 kg
Aufgabe 5: Idealer Transformator
Gegeben sei ein idealer 5 kVA Einphasentransformator 230 V/110 V ( f = 50 Hz)
1. Geben Sie das Übersetzungsverhältnis an
2. Der Transformator werde mit Nennleistung betrieben. Berechnen Sie den Primär- und Sekundärstrom.
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3. Der Transformator gebe bei Nennspannung auf der Sekundärseite eine Leistung von P2 = 3, 2 kW
bei einem Leistungsfaktor von cos ϕ = 0, 8 (induktiv) ab. Berechnen Sie den Primär- und Sekundärstrom.
Ergebnisse:
1. α = 2, 1
2. I1N = 21, 74 A I2N = 45, 45 A
3. I2 = 36, 36 A I1 = 17, 31 A
Aufgabe 6: Idealer Transformator
Man benötigt beim elektrischen Schweißen auf der Sekundärseite eines Transformators bei einer Spannung von 25, 3 V einen Strom von 500 A. Die Primärseite des Transformators sei an das 230 V-Netz
angeschlossen und als verlustfrei anzunehmen.
1. Welcher Strom fließt auf der Primärseite des Transformators?
2. Ist es sinnvoll, als Schweißtransformator einen idealen Transformator anzustreben?
Ergebnisse:
1. I1 = 55 A
2. Idealer Transformator ist nicht anzustreben, wegen des Kurzschlusses der Sekundärseite
Aufgabe 7: Verlust und Streufreier Transformator
Gegeben sei ein idealer Transformator mit einer primärseitigen Nennspannung von U1N = 2300 V( f =
50 Hz) und einer sekundärseitgen Nennspannung U2N = 230 V. Die Windungszahl der Primärseite sei
N1 = 4800.
1. Berechnen Sie den Hauptfluss φm (t).
2. Berechnen Sie die benötigte Windungszahl N2 der Primärseite.
Ergebnisse:
1. φm (t) = −2, 16 · 10−3 Vs · cos(314, 16ts−1 )
2. N2 = 480
Bemerkung: Hier ist ein sonst idealer Transformator, jedoch ohne Vernachlässigung der Hauptinduktivität gemeint, da es ohne Hauptinduktivität natürlich auch keinen Hauptfluss gibt.
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Aufgabe 8: Magnetisierungsstrom
Der abgebildete Transformator soll die Spannung U1 = 230 V ( f = 50 Hz) auf U2 = 48 V herabsetzen.
Der Eisenquerschnitt des verwendeten Materials betrage AFe = 6 cm2 , der mittlere Umfang lFe = 30 cm.
Von dem Eisen sei die unten dargestellte Magnetisierungskennlinie bekannt.
1. Welche Windungszahlen N1 und N2 sind vorzusehen, damit der Scheitelwert der magnetischen
Flussdichte im Kern b̂ = 0, 8 T beträgt? (Für die Berechnung können die Wicklungen als magnetisch ideal gekoppelt angenommen und die Wicklungswiderstände vernachlässigt werden.)
2. Welchen Magnetisierungsstrom Iµ nimmt der Transformator im Leerlauf auf, wenn die Eisenverluste vernachlässigt werden? (Die sekundärseite sei unbelastet.)
3. Um welchen Faktor steigt der Scheitelwert Iˆµ des aufgenommenen Magnetisierungsstromes,
wenn die anliegende Spannung bei unveränderter Frequenz von U1 = 230 V auf U1 = 400 V
erhöht wird?
Ergebnisse:
1. N1 = 2157,
2. Iµ =
3.
Iˆµ′
Iˆµ
=
Iˆ
õ
2
N2 = 451
= 19, 67 mA
222,53 mA
27,82 mA
=8
Aufgabe 9: T-Ersatzschaltung
Der in Abbildung 1 angegebene Transformator soll durch die äquivalente Schaltung in Abbildung 2 mit
ungekoppelten Spulen und einem idealen Transformator ersetzt werden. Geben seien die Werte L11 , L22
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und Lm .
Abbildung 1
Abbildung 2
Berechnen Sie La , Lb und Lc .
Ergebnisse:
Aufgabe 10: Einschaltstromstoss
Gegeben sei ein leerlaufender Einphasentransformator. Zum Zeitpunkt t = 0 s wird die Spannung
un = Ûn sin(ω t + α ) zu geschaltet. Remanenz und Eisenverluste können vernachlässigt werden. Die
Selbstinduktivität L11 , der Widerstand R1 und die Windungszahl N1 seien gegeben.
1. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Einschaltstroms i1 (t) und des Flusses φ (t).
2. Es sei R1 ≪ ω L11 . Interpretieren Sie das Ergebnis für φ (t), wenn im Spannungsnulldurchgang
(α = 0) geschaltet wird.
Ergebnisse:
1. i(t) = ω 2 τk+ 1 [cos(α )ωτ − sin(α )]e−t/τ sin(α )[cos(ω t) + ωτ sin(ω t) +cos(α )[−ωτ cos(ω t)+
τ
sin(ω t)]] mit τ =
L11
R1
und k =
1
L11
· Û1
2. Φ(t) = L11 · i(t)
i(t) ≈ LÛ111 · ω1 e−t/τ − cos(ω t)
Aufgabe 11: Kurzschluss-/Leerlaufversuch
Gegeben sei ein 6MVA-Einphasentransformator 5 kV/100 kV ( f = 50 Hz) mit folgenden Daten:
• wirksamer Kernquerschnitt AFe = 0, 187 m2
• Scheitelwert der Flussdichte b̂ = 1, 5T
Im Leerlauf werde an U1N = 5 kV die Leerlaufleistung P0 = 8, 8 kW aufgenommen, dabei fließe der
Leerlaufstrom I0 = 2, 6 A.
1. Berechnen Sie die Nennströme und das Übersetzungsverhältnis.
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2. Berechnen Sie die primäre und die sekundäre Windungszahl.
3. Geben Sie die Eisenverluste und die Daten für die Leerlaufersatzschaltung an. Welche Werte
haben Magnetisierungsstrom und Eisenverluststrom?
Ergebnisse:
1. I1N = 1200 A, I2N = 60 A, α = 0, 05
2. N1 = 80, N2 = 1605
3. S0 = 13 kVA, RFe = 2841 Ω, IFe = 1, 76 A, L′m = 8, 32 H, Iµ = 1, 91 A
Aufgabe 12: Lufttransformator
An einem Lufttransformator seien zur Bestimmung der ohmschen Wicklungswiderstände R1 und R2 ,
der Wicklungsinduktivitäten L11 und L22 sowie der Hauptinduktivitäten Lm die folgenden Messwerte
aufgenommen worden.
Leerlaufversuche:
Offener Sekundärkreis:
Bei offenem Sekundärkreis nehme die Primärwicklung bei der Spannung U1 = 100 V, f = 50 Hz den
Strom I1 = 1, 5 A und die Wirkleistung P1 = 22, 5 W auf.
Offener Primärkreis:
Bei offenem Primärkreis nehme die Sekundärwicklung bei der Spannung U2 = 100 V, f = 50 Hz der
Strom I2 = 3 A und die Wirkleistung P2 = 45 W auf.
Werden beide Wicklungen gegensinnig in Reihe geschaltet, so fließe bei der Spannung U = 100 V,
f = 50 Hz der Strom I = 2, 7 A.
Wie groß sind R1 , R2 , L11 , L22 und Lm ?
Ergebnisse:
P1
= 10Ω L11 = ωQI12
I12
1
− L′ ) = 103, 45 mH
R1 =
L22
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≈ 209, 8 mH
R2 =
45 W
(3 A)2
= 5Ω
L22 =
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Q2
ω I22
≈ 104, 9 mH
Lm = 21 (L11 +
8/ 8