1. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik

Prof. Dr. Thomas Hoch
1. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik
1.1
Ladungen und Kräfte
Die Kraft F zwischen zwei Ladungen q1 und q2 im Abstand r ist im SI-System gegeben durch:
F=
q q
1
· 12 2 ,
4πε 0 r
mit
ε 0 ≈ 8,854 · 10−12 A s/(V m).
(1)
a) Berechnen Sie die elektrische Kraft, die zwischen zwei Ladungen der Größe 1 Coulomb im
Abstand von 1 Meter wirkt.
b) Berechnen Sie die Kraft, die zwischen dem Elektron und dem Proton in einem WasserstoffAtom wirkt. Die Ladung des Protons ist die Elementarladung e ≈ 1,602 · 10−19 C, die Ladung
des Elektrons ist −e. Als Abstand nehmen wir den Abstand, bei dem sich das Elektron mit
der größten Wahrscheinlichkeit aufhält, den Bohrschen Radius a0 ≈ 0,53 · 10−10 m.
Hinweis: 1C = 1 A s, 1 A V = 1 W = 1 N m/s.
c) Unter der Annahme, dass sich das Elektron auf einer Kreisbahn um das Proton bewegt
(im Abstand des Bohrschen Radius’), kann man die Geschwindigkeit des Elektrons dadurch
berechnen, dass man die Zentripetalkraft gleich der elektrischen Kraft setzt. Berechnen Sie
diese Geschwindigkeit, sowie die Umlaufzeit und die Umlauffrequenz des Elektrons. Die Masse
des Elektrons ist me ≈ 9,11 · 10−31 kg.
1.2
Ladungen ohne Kräfte
a) Betrachten Sie folgende lineare Anordnung von Punktladungen q a , Q und qb mit den
Abständen a und b:
a
qa
b
Q
qb
Welche Beziehungen müssen zwischen den Ladungen und Abständen bestehen, damit insgesamt keine Kräfte auf die Ladungen wirken? Untersuchen Sie zunächst den Fall a = b, dann
den allgemeinen Fall (beliebiges a und b).
b) Drei Punktladungen q befinden sich an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, eine vierte
Ladung Q in dessen Mittelpunkt. In welcher Beziehung müssen die Ladungen q und Q stehen,
damit insgesamt keine Kräfte auf die Ladungen wirken?
q
a
a
Q
q
a
1
q
1.3
Elektrische Dipole
Zwei Ladungen q und −q im Abstand d bilden einen so genannten elektischen Dipol:
d/2
−q
r1
r0 =
d/2
r 1 +r 2
2
q
r2
O
a) Berechnen Sie das elektrische Potential φ(r ) des Dipols. Zeigen Sie, dass für |r − r 0 | d
gilt (Gauß-System):
qd · (r − r 0 )
p · (r − r 0 )
φ (r ) ≈
=
.
(2)
|r − r 0 |3
|r − r 0 |3
Dabei ist p := qd das elektrische Dipolmoment.
b) Zeigen Sie, dass die rechte Seite von Gleichung (2) den Grenzwert des Potentials für
d → 0 bei festgehaltenem p (d. h. q → ∞) darstellt. Einen solchen Dipol bezeichnet man als
Punktdipol. Hinweis: Hierfür und für Teil c) ist die Identität (14) aus dem 2. Aufgabenblatt
nützlich.
c) Berechnen Sie aus dem Potential (2) das elektrische Feld E(r ) des Punktdipols.
d) Berechnen Sie das Drehmoment, das ein konstantes externes elektrisches Feld Eext auf
den Dipol in der obigen Abbildung ausübt (Bezugspunkt r 0 ).
e) Berechnen Sie die Kraft, die ein ortsabhängiges externes elektrisches Feld Eext (r ) auf
einen Punktdipol ausübt. Betrachten Sie dazu wieder einen Grenzwert wie in b).
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