Lagrange-Gleichungen zweiter Art
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Dr. Simone Sanna, N3 301 Universität Paderborn 1. Juli 2011 Theoretische Mechanik Sommersemester 2011 Übungsblatt 14: Lagrange-Gleichungen zweiter Art Aufgabe 41 Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich reibungsfrei unter Einfluss der Schwerkraft auf einer schiefen Ebene. Lösen Sie die Bewegungsgleichungen und bestimmen Sie die Zwangskraft mit Hilfe der Lagrange-Gleichung zweiter Art. Vergleichen Sie das Ergebnis und den rechnerischen Aufwand mit der Lösung via d’Alembertsches Prinzip und Lagrange-Gleichung erster Art (Abschnitt 3.1.3 und 3.2.1 des Skripts zur Vorlesung). Aufgabe 42 Ein Teilchen der Masse m bewegt sich reibungsfrei unter Einfluss der Schwerkraft auf der Kurve: x = a(ϕ + sin ϕ) und y = a(1 − cos ϕ) a) Stellen Sie die Terme für die kinetische und potentielle Energie auf. b) Bringen Sie durch eine geeignete generalisierte Variable q = f (ϕ) die beiden Terme auf eine rein quadratische Form. c) Stellen Sie jetzt die Lagrange-Funktion L = L(q, q̇) auf und leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen her. Bitte wenden→ E-Mail: [email protected] Dr. Simone Sanna, N3 301 Universität Paderborn 1. Juli 2011 Aufgabe 43 Ein Massenpunkt bewegt sich im homogenen Schwerefeld der Erde auf der Wand eines hohlen Kreiskegels (siehe Abbildung). a) Im Folgenden verwenden Sie immer Kugelkoordinaten und stellen Sie die Lagrange-Gleichungen zweiter Art auf. b) Wenn die Lagrangefunktion L nicht von einer Koordinate q abhängt, sondern nur von der zugehörigen Geschwindigkeit dann nennt man q zyklische Koordinate. Der zur zyklischen Koordinate q zugehörige generalisierte Impuls ist eine Erhaltungsgröße. Ist eine der generalisierten Koordinaten im vorliegenden Fall eine zyklische Koordinate? c) Überprüfen Sie ob Impuls, z-Komponente des Drehimpulses und Gesamtenergie erhalten bleiben. z θ r g ϕ x Aufgabe 44 In Abwesenheit von Zwangsbedingungen (System freier Massenpunkte) kann man die kartesischen Koordinaten xi selbst als generalisierte Koordinaten auffassen. Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Lagrange-Gleichungen zweiter Art mit den Newtonschen Bewegungsgleichungen übereinstimmen. E-Mail: [email protected]
