Höhere Mathematik I Variante A Viel Erfolg!

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
Höhere Mathematik I
SoSe 2014
Variante A Zugelassene Hilfsmittel:
Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter (Vorder- und Rückseite
beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben
(Schmierblätter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen.
Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte oder Taschenrechner sind nicht erlaubt.
Bewertung:
Benutzen Sie bitte zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte
Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen!
Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile:
I: (Aufgabe I.1-I.3) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar
zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte.
II: (Aufgabe II.1-II.4) Sie müssen das richtige Ergebnis in das entsprechende “Ergebnis”Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüber hinaus können Sie in dem dazugehörigen
Feld “Lösungsskizze” einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen
wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein.
III: (Aufgabe III.1-III.4) Sie müssen Aussagen den Wahrheitswert “wahr”(W) oder “falsch”(F)
zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte.
Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen.
Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.)
1. 2 · 3 = 6
2. 1 + 1 = 3.
Antwort
1.
2.
Punkte
Antwort
1.
2.
Punkte
(i)
W
W
0
(v)
F
-
0
(ii)
W
F
2
(vi)
W
-
0
(iii)
F
W
0
(vii)
-
F
0
(iv)
F
F
0
(viii)
-
W
0
Viel Erfolg!
Teil I
Aufgabe I.1:
(6+6 Pkt.)
a) Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
n Y
(n + 1)(n + 2)
2
=
1+
k
2
k=1
für alle n ∈ N gilt.
b) Bestimmen Sie alle n ∈ N0 = {0, 1, 2, . . . }, für die n! ≥ 2n gilt. Hierbei ist 0! := 1.
Aufgabe I.2:
(4+2+9 Pkt.)
a) Berechnen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung und tragen Sie die Lösungen in eine
Skizze ein:
2i
z 4 = √ (5 − 5i).
50
b) Berechnen Sie z 2014 mit
z=
−2
.
(i + 1)2
c) Bestimmen und skizzieren Sie die Menge M := M1 \ M2 ⊂ C mit
−3π
−π
M1 := z ∈ C :
≤ arg(z − i) ≤
und
4
4
z+z
+ 1 > Im (z) und zz < 1 .
M2 := z ∈ C : z + z − iz + iz < 2 und
2
Dabei liegt das Argument im Bereich (−π, π], das heißt arg: C → (−π, π].
Zur Erinnerung: A\B := {c : c ∈ A und c ∈
/ B}.
Aufgabe I.3:
(5+3 Pkt.)
a) Sei

1
 0
A=
 0
2
2
2
4
4
0
0
0
3
0
1
2
1


0

3 
 ∈ R4×5 und b = 

1 
2

1
1 
 ∈ R4
1 
1
gegeben. Bestimmen Sie die Lösungsmengen des linearen Gleichungssystems Ax = b und des
homogenen, linearen Gleichungssystems Ax = 0.
b) Sei


 
1 2 3
1
B =  4 5 6  ∈ R3×3 und c =  1  ∈ R3
7 8 9
2
gegeben. Berechnen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Bx = c.
Teil II
Aufgabe II.1:
Sei die Drehung D durch die zugehörige Abbildungsmatrix
 3
1

M(E3 , D, E3 ) = 

4
4
1
4
√
6
4
3
4
√
−
6
4
(3+6 Pkt.)
√
−
√
6
4
6
4




1
2
gegeben. Die Drehachse von D lautet


1
 1 .
0
a) Bilden Sie eine Orthonormalbasis B = {b1 , b2 , b3 }, bezüglich derer D zu einer Drehung um die
b1 -Achse wird.
b) Geben Sie die Matrix M(B, D, B) an.
Aufgabe II.2:
Sei f : R3 → R eine lineare Abbildung definiert durch
 
 
 
1
0
1










0
1
0 = 3.
f
= 1, f
= 2 und f
1
1
0
Bestimmen Sie α, β, γ ∈ R, so dass f
x y z
T (3 Pkt.)
 
x

= αx + βy + γz = α β γ · y  für alle
z
x, y, z ∈ R gilt.
Aufgabe II.3:
(3+2+4 Pkt.)
Es sei P der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in R und Pn ⊂ P bezeichne den Unterraum
der Polynome vom Grad höchstens n (mit n ∈ N). Bestimmen Sie jeweils für jeden Unterraum von
P, der von den angegebenen Mengen erzeugt wird, eine Basis.
a) A = {x2 + x + 2, x2 + 2x + 1, 2x2 + 3x + 3}.
b) B = {1, x, 1 + x, x2 }.
c) C = {p ∈ P3 | p(0) = p(1) = 0}.
Aufgabe II.4:
(4+4+3 Pkt.)
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und
Vielfachheit) der Matrix

0 −3 1
3 6 0
A=
0 0 0
0 0 5
die Eigenwerte (inklusive algebraischer

4
3
.
5
0
b) Gegeben sei die Matrix


0 0 0
B = 0 1 3 
0 9 27
mit dem charakteristischen Polynom pB (x) = −x2 (x − 28). Bestimmen Sie je eine Basis des
Eigenraumes zu jedem Eigenwert von B.
c) Gegeben sei eine Matrix C ∈R2×2 und eine Matrix D ∈ R2×2 . Die Matrix
C besitze zum
1
0
Eigenwert 2 den Eigenvektor
und zum Eigenwert 1 den Eigenvektor
. Die Matrix D
0
1
2
1
1
und zum Eigenwert 5 den Eigenvektor
.
besitze zum Eigenwert 2 den Eigenvektor
1 2
1
Bestimmen Sie den Vektor w = DCv mit v =
.
1
Teil III
Aufgabe III.1:

(2+2+3 Pkt.)

1 2
3
4
5 6
 2 5
7 −4 −8 3 


 6 8

9
1
2
3
 eine Matrix mit det(M ) = −42080 und die folgenden
Es seien M := 
 14 5
6
8
9 0 


 2 4 −1 9
2 1 
8 −1 3
5
6 7
drei Matrizen, die durch Umformungen aus M hervorgehen, gegeben:




 1
3
1
2
6 8
9
1
2 3
1 2
3 4 5 6
4
2
 2 5

 3 7 10 0 −3 9 
 1 5
7
−4
7
−4
−8
3





 1 2

 6 8


9
1
3
4
5
6
9
1
2
3
,B = 
,C =  3 8
A=
 14 5




6
8
6
8
9 0 
6 8 9 0 

 14 5
 7 5
 2 4 −1 9
 2 4 −1 9 2 1 
 1 4 −1 9
2 1 
4 −1 3
5
8 −1 3
5
6 7
8 −1 3 5 6 7
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
a)
Es
Es
Es
Es
ist
ist
ist
ist
det(A) = −42080.
det(A) = 42080.
det(A) = −21040.
det(A) = 21040.
1.
2.
3.
4.
Es
Es
Es
Es
ist
ist
ist
ist
det(B) = −42080.
det(B) = 42080.
det(B) = −21040.
det(B) = 21040.
1.
2.
3.
4.
Es
Es
Es
Es
ist
ist
ist
ist
det(C) = −42080.
det(C) = −21040.
det(C) = −10520.
det(C) = −5260.
b)
c)
Aufgabe III.2:
3
−8 3
2 3
9 0
2 1
6 7
1.
2.
3.
4.
5
2
(2+4 Pkt.)
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
a) Es sei ein n-dimensionaler Vektorraum V mit n ∈ N, n ≥ 1 und eine Basis B von V gegeben.
1.
2.
3.
4.
5.
B
B
B
B
B
hat genau n Elemente.
ist stets ein maximales Erzeugendensystem von V .
ist stets ein minimales Erzeugendensystem von V .
ist stets eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.
ist stets eine minimale linear unabhängige Teilmenge von V.
n
b) Es sei eine Basis B des R mit n ∈ N, n ≥ 1 gegeben.
1.
2.
3.
4.
5.
n
Es gilt span(B) = R .
Die Elemente aus B können jeden Vektor v ∈ Rn als Linearkombination darstellen.
Das Gleichungssystem M(En , id, B)x = v ist für jedes v ∈ Rn lösbar.
Die Matrix M(En , id, B) ist invertierbar.
Die Matrix M(En , id, B) hat Rang n.




.



Aufgabe III.3:
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(4+4+2+2+2 Pkt.)
a) Die Abbildung
1. f : R3 → R, f (u, v, w) = 4u + 3v + 2w + 1 ist linear.
2. g : R2 → R,
g(x, y) = x + 2xy + y ist linear.
3. h : C → C,
h(z) = |z|2 + z − zz ist linear.
b) Die Abbildung

1. j : R3 → R5 ,
3
2
2. k : R → R ,
3. l : C → C,

2a + 3b


3b + c


 ist linear.
c + 2a
j(a, b, c) = 




2a + 3b + c
2(2 − a)(2 + a) + 2a(a − 2) − 8
x − y + 42z
k(x, y, z) =
ist linear.
0
l(z) = z ist linear.
c) Sei U1 = {(x, y, z)T ∈ R3 | x = y = z} gegeben.
1. U1 ist ein Vektorraum.
2. Der Vektor (1, 1, 1)T bildet eine Basis des Raumes U1 .
3. Die Menge {(1, 1, 1)T , (−1, −1, −1)T } bildet eine Basis des Raumes U1 .
d) Sei U2 = {(x, y, z)T ∈ R3 | x2 = y 2 }. gegeben.
1. Es ist (1, 1, 1)T ∈ U2 .
2. Es ist (1, −1, 2)T ∈ U2 .
3. Es ist (1, 1, 1)T + (1, −1, 2)T ∈ U2 .
e) Sei U3 = {(x, y, z)T ∈ R3 | x = y = 0}. gegeben.
1. Es ist (0, 0, 1)T ∈ U3 .
2. Es ist U3 = {(0, 0, 2α)T | α ∈ R}.
3. U3 ist ein Vektorraum.
Aufgabe III.4:
(6 Pkt.)
4×4
Es sei A ∈ R
eine symmetrische Matrix mit den Eigenwerten2(zweifach)
  und 3 (zwei1
2 


   

1 0

fach). Eine Basis des Eigenraumes von A zum Eigenwert 2 lautet   ,   . Die Menge
0
1 





1
1
   
0
−1 



   
 1  ,  1  stellt eine Basis des Eigenraumes von A zum Eigenwert 3 dar. Welche der
 1   2 





−1
0


2 0 0 0
0 2 0 0

folgenden orthogonalen Matrizen P erfüllen die Bedingung P T AP = 
0 0 3 0?
0 0 0 3
'

1. P =
3. P =
5. P =
7. P =
&

1 1 −1 0
−1 1 0
1

√1 
3  1
0 1
1
0 1 1 −1


−1 0
1 1
0
1 −1 1

√1 
3  1
1
1 0
1 −1 0 1


1 1
0 −1
1 −1 1
0

√1 
3 0
1
1
1
1 0 −1 1


1 1 −1 0
1 −1 0
1

√1 
3 0
1
1
1
1 0
1 −1

2. P =
4. P =
6. P =
8. P =
0
1 1

1 −1 1
√1 
3  1
1 0
−1 0 1

1 −1 0

1 0
1
√1 
3 0
1
1
1 1 −1

−1 0 1

0
1 1
√1 
3  1
1 0
1 −1 1

1 −1 1

1 0 −1
√1 
3 0
1
1
1 1
0

−1
0

1
1

1
−1

1
0

1
−1

1
0

0
1

1
−1
$
%