Klausur zur Höheren Mathematik I Variante A Hinweise Viel Erfolg!

Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis)
Prof. Dr. Y. Guo
Aachen, den 16.02.2013
Klausur zur Höheren Mathematik I
WS 2012/2013
®
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Variante A ª
­
Hinweise
Zugelassene Hilfsmittel:
Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal 10 DIN-A4-Blättern.
Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen.
Bewertung:
Es gibt drei Typen von Aufgaben. Die einzelnen Teile werden wie folgt bewertet:
I: (Aufgaben I.1-I.3) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu
einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. Nutzen Sie für die Lösungen von
diesem Teil Ihr eigenes Papier.
II: (Aufgaben II.1-II.3) Sie müssen das richtige Ergebnis in die entsprechenden Kästchen des Antwortbogens für diesen Teil eintragen. Darüberhinaus können Sie im Feld “Lösungsskizze” einen
kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch
sein. Es werden nur die Einträge in den jeweiligen Kästchen des Antwortbogens bewertet.
III: (Aufgaben III.1-III.4) Hier müssen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen. Sie erhalten nur
dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett
zuordnen.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen:
(1) 2 · 3 = 6
(2) 1 + 1 = 3.
(2 Pkt.)
Antwort
1.
(1)
W
(2)
W
Punkte
0
Antwort
5.
(1)
F
(2)
-
Punkte
0
2.
W
F
2
6.
W
-
0
3.
F
W
0
7.
-
F
0
4.
F
F
0
8.
-
W
0
Es gibt keine Minuspunkte.
Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen zu diesem Teil stehen! Bitte
geben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu diesem Teil an.
Viel Erfolg!
Teil I
Aufgabe I.1:
(11 Pkt.)
i+j
Es sei die Matrix A = (aij )1≤i,j≤3 mit aij = (−1) für alle 1 ≤ i, j ≤ 3 gegeben. Beweisen Sie mittels
vollständiger Induktion die Gültigkeit der folgenden Gleichung für alle n ∈ N:
An = 3n−1 A.
Aufgabe I.2:
(11 Pkt.)
µ
9 2
2 6
n
explizite Formel für die n-te Potenz A der Matrix A an.
Es sei die (2 × 2)-Matrix A gegeben durch A =
¶
, und weiter sei n ∈ N. Geben Sie eine
Hinweis: Diagonalisieren Sie zunächst die Matrix A.
Aufgabe I.3:
(11 Pkt.)
Es sei L : R3 → R2 eine lineare Abbildung mit L(a1 ) = b1 − b2 , L(a2 ) = b1 + b2 und L(a3 ) = b1 , wobei
die Vektoren a1 , a2 , a3 ∈ R3 und b1 , b2 ∈ R2 folgendermaßen definiert sind:
 
 
 
µ ¶
µ ¶
2
2
0
0
2
.
, b2 =
a1 =  1  , a2 =  1  , a3 =  2  , b 1 =
1
2
0
0
1
Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix A = M (E2 , L, E3 ), d.h. die Matrix A, so dass L(x) = Ax für alle
x ∈ R3 gilt.
Teil II
Aufgabe II.1:
Beantworten Sie die folgenden Fragen zu komplexen Zahlen.
a) Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil von z =
(2+4+2+2 Pkt.)
5 + 6i
.
2 − 4i
b) Skizzieren Sie die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen: M = {z ∈ C | 5zz = 20}.
c) Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil von z = (1 + i)8 .
1 ³ i 7π ´3
2e 8 .
d) Bestimmen Sie den Betrag von z =
2
Aufgabe II.2:
Beantworten Sie die folgenden Fragen zu Determinanten und Eigenwerten.
(2+2+4+2+4 Pkt.)
a) Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:


1 2 3
A= 0 1 0 
4 5 6
b) Bestimmen Sie alle α ∈ R, für die das
Ax = b, x ∈ R3 , lösbar ist, wobei A die

 Gleichungssystem
α
Matrix aus dem Teil a) ist, und b =  2α .
2
c) Es sei A die Matrix aus dem Teil a). Geben Sie das charakteristische Polynom der Matrix A in der
Form a3 λ3 + a2 λ2 + a1 λ + a0 an, wobei a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R.
¶
µ
2 2
. Bestimmen Sie eine Basis des R2 bestehend aus Eigenvektoren von B.
d) Es sei B =
2 2
e) Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix:

1 2 5
 1 2 7

C=
 1 2 6
 5 0 0
1 2 2
0
0
3
1
2
7
7
6
0
7






Aufgabe II.3:
Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folge (an )n∈N .
(2+2+2+2 Pkt.)
5n3 − n + 3
für n ∈ N.
2n2 − 4n3
√
n sin(5n)
b) an =
für n ∈ N.
n
a) an =
(−3)n + 4n+1
für n ∈ N.
8(4n + 21n )
µ
¶n
1 1
d) an =
− i ∈ C für n ∈ N.
2 3
c) an =
Teil III
Aufgabe III.1:
(3+2+3+3+3 Pkt.)
a) Gegeben seien die folgenden drei Vektoren im R4 :

 
1

 1 
 , v2 = 
v1 = 

 3 
3


−2
1


2
0 
, v =
0  3  6
2
1


.

Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
v1 , v2 , v3
v1 , v2 , v3
v1 , v2 , v3
v1 , v2 , v3
sind paarweise linear abhängig.
sind linear unabhängig.
spannen einen 3-dimensionalen Teilraum des R4 auf.
liegen in einem 4-dimensionalen Teilraum des R4 .
b) Es sei V ⊆ R3 gegeben durch

   

1
1
0
V = Span  1  ,  2  ,  −1  .
2
0
2
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) dim(V ) = 0.
(A2) dim(V ) = 1.
(A3) dim(V ) = 2.
(A4) dim(V ) = 3.
c) Beurteilen Sie jeweils, ob B eine Basis des Vektorraums V = {x ∈ R3 | hx, (1, 1, 1)⊤ i = 0} ist.
  

 





1
1
1




 

 

(A1) B =  1  .
(A3) B =  −1  ,  0  .








1
0
−1


 






1
−2
1





 



(A2) B =  1  ,  −2  .
(A4) B =  0  .








−2
4
−1
d) Es sei M ⊆ R2 gegeben durch M = {(x1 , x2 )⊤ ∈ R2 | x21 = x22 und x1 x2 ≥ 0}. Beurteilen Sie den
Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) M ist ein affiner Unterraum des R2 .
(A2) M ist ein linearer Unterraum des R2 .
(A3) M ist eine Teilmenge des R2 .
e) Wir betrachten die folgende Menge von Polynomen: M = {x + x2 , x2 + x3 , . . . , xn−1 + xn , xn + 1}.
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) Die Polynome in M bilden eine Basis aller reellen Polynome vom Grad höchstens n.
(A2) Die Polynome in M sind linear unabhängig (über R).
(A3) Die Polynome in M spannen einen n-dimensionalen Unterraum aller reellen Polynome vom
Grad höchstens n auf.
Aufgabe III.2:
(3+2+3+3 Pkt.)
a) Es seien die Abbildungen f1 : R2 → R4 und f2 : R4 → R mit

x
µ ¶
 y 
x

)=
f1 (
 xy  ,
y
x−y



z1
 z2 

f2 (
 z3 ) = z4
z4
gegeben. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) f1 ist linear. (A2) f2 ist linear.
(A3) f2 ◦ f1 ist linear, wobei (f2 ◦ f1 )(x, y) := f2 (f1 (x, y)).
b) Beurteilen Sie, für welche α ∈ R die folgende Abbildung f : R2 → R2 linear ist.
¶
µ 2
µ ¶
(α − 2α + 1)|x − y|
x
.
)=
f(
αy − αx
y
(A1) Für alle negativen α.
(A2) Für alle α.
(A3) Für α = 0.
(A4) Für α = 1.
c) Es sei M (B, f, A) die Basiswechselmatrix einer linearen Abbildung f : R3 → R3 . Hierbei seien
A = {a1 , a2 , a3 } und B = {b1 , b2 , b3 } zwei Basen des R3 , und

1
0
4
M (B, f, A) =  −1 −1 −1  .
2
3
0

Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) f (a1 + a2 ) = b1 − 2b2 + 5b3 . (A3) f (a1 − a3 + a2 ) = −3b1 − 3b2 .
(A2) f (a2 ) = −b1 − b2 − b3 .
(A4) f (a1 + 2a2 ) = b1 + 2b2 .
d) Es sei eine lineare Abbildung f : R3 → R3 gegeben durch
 
 
 
 
1
2
0
2







2 , f( 1 ) =
0 ,
f( 0 ) =
0
0
0
4

 

0
2



1 .
f( 0 ) =
1
2
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
     
2
2 
 2
(A1) Die Menge  2  ,  0  ,  1  bildet eine Basis des Bildes von f .


0
4
2
   
2 
 2



2 , 0  bildet eine Basis des Bildes von f .
(A2) Die Menge


0
4
 
 
2
2



0  spannen das Bild von f auf.
2
und
(A3) Die Vektoren
4
0
(A4) Der Kern von f besteht nur aus dem Nullvektor.
Aufgabe III.3:
(2+2+2 Pkt.)
a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) Jede Matrix A ∈ Rn×n besitzt einen reellen Eigenwert.
(A2) Falls λ ∈ R ein Eigenwert von einer Matrix A ist, so ist 12 λ Eigenwert der Matrix 2A.
(A3) Eine Matrix A ∈ Rn×n besitzt einen Eigenvektor genau dann, wenn det(A − E) = 0 gilt.
b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) Jede symmetrische Matrix A ∈ Rn×n besitzt eine Basis aus Eigenvektoren.
(A2) Jede symmetrische Matrix A ∈ Rn×n ist diagonalisierbar.
(A3) Jede Drehmatrix besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert 1.
c) Es seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit den jeweiligen Grenzwerten
a und b. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) Es existiert ein n0 ∈ N, so dass |an − a| <
(A2) Es gilt: lim (b · an ) = b · a.
1
n
für alle n ≥ n0 .
n→∞
(A3) Es gibt ein M > 0, so dass |an − bn | < M für alle n ∈ N.
Aufgabe III.4:
Es seien die folgenden Matrizen M, A und B gegeben durch




-14 -18 -2 -16
7 9
1 8
 3 2
 3
0 1 
2
0
1 
,


A
=
M =
 6 −1 −4 6 
 6 −1 −4 6  ,
3 3
8 1
3
3
8
1
(4 Pkt.)

7
 3
B=
 6
3

8 1 9
1 0 2 
.
6 −4 -1 
1 8 3
Beachten Sie, dass die Matrizen A und B sich durch elementare Spalten-/Zeilenumformungen aus M
ergeben. Sie können benutzen, dass det(M ) = 1016 ist. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden
Aussagen.
(A1) Es ist det(A) = −2032.
(A2) Es ist det(B) = 1016.
(A3) Es ist det(−M ⊤ ) = 1016.
(A4) Es ist det(A) = 2032.
(A5) Es ist det(B) = 2032.
(A6) Es ist det(M ⊤ ) = 1016.
(A7) Es ist det(A) = −508.
(A8) Es ist det(B) = −1016.
(A9) Es ist det(−M ) = 1016.