Trainingsklausur zur Höheren Mathematik I Hinweise Viel Erfolg!

Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis)
Prof. Dr. Y. Guo
Aachen, den 31.01.2013
Trainingsklausur zur Höheren Mathematik I
WS 2012/2013
Hinweise
Zugelassene Hilfsmittel:
Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal 10 DIN-A4-Blättern.
Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen.
Bewertung:
Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Lösungsbogen stehen! Die einzelnen Teile werde wie
folgt bewertet:
I: (Aufgaben I.1-I.3) Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu
einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte.
II: (Aufgaben II.1-II.4) Sie müssen das richtige Ergebnis in die entsprechenden Kästchen des Antwortbogens eintragen. Darüberhinaus können Sie im Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg
angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein.
III: (Aufgaben III.1-III.3) Hier müssen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen. Sie erhalten nur
dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett
zuordnen.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen:
(1) 2 · 3 = 6
(2) 1 + 1 = 3.
(2 Pkt.)
Antwort
1.
(1)
W
(2)
W
Punkte
0
Antwort
5.
(1)
F
(2)
-
Punkte
0
2.
W
F
2
6.
W
-
0
3.
F
W
0
7.
-
F
0
4.
F
F
0
8.
-
W
0
Es gibt keine Minuspunkte.
Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu Teil III auf den Antwortbogen.
Nutzen Sie dafür Ihr eigenes Konzeptpapier.
Viel Erfolg!
Teil I
Aufgabe I.1:
(10 Pkt.)
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit der folgenden Gleichung für alle n ∈ N:
n
X
k=1
n
1
=
.
(3k − 2)(3k + 1)
3n + 1
Aufgabe I.2:
(5+4+2 Pkt.)
−−→
Wir betrachten die durch die Matrix M gegebene Drehung um die Achse g : OX = αc, α ∈ R, wobei
√
√ 
 

(18 + 16 3) −20
(24
−
12
3)
3
√
1 


.
0 ,
M=
c=
−15√
20 √
25 3
50
4
(24 − 12 3) 15
(32 + 9 3)
a) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix P , so dass M = P DP ⊤ ist, wobei D eine Drehung um
die x-Achse beschreibt.
b) Bestimmen Sie die Matrix D.
c) Bestimmen Sie den Winkel der Drehung, die durch die Matrix M beschrieben wird.
Aufgabe I.3:
Es sei n ∈ N und An = (aij )1≤i,j≤n sei die Matrix mit den Einträgen
½
3 , falls 1 ≤ i = j ≤ n,
aij =
1 , sonst.
(11 Pkt.)
Berechnen Sie die Determinante von An mit Hilfe des Gauß-Algorithmus und den Rechenregeln der
Determinante.
Teil II
Aufgabe II.1:
(2+2+2+3 Pkt.)
Beantworten Sie die folgenden Fragen zu komplexen Zahlen.
·
¸
2i
1 + 4i
1
a) Es sei z ∈ C definiert über die Gleichung
−
z = − i. Bestimmen Sie den Real- und
4 + 6i 2 + 3i
2
den Imaginärteil von z.
√
b) Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil von z = (1 − 3i)9 .
³ 9π ´ 31
c) Bestimmen Sie den Betrag von z = 8ei 8 .
d) Skizzieren Sie die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen: M = {z ∈ C | Im(z 2 ) ≥ 0}.
Aufgabe II.2:
(2+3+2+2+2 Pkt.)
3
2
Es sei A = {a1 , a2 , a3 } eine Basis des R , B = {b1 , b2 } eine Basis des R und L : R3 → R2 eine lineare
Abbildung mit den folgenden Daten:
     
¶ µ ¶¾
½µ
0 
2
 1
4
−2
,
,
A =  0 , 3 , 0  , B =
4
0


5
3
1

¶
µ
1
−3
,
L( 0 ) =
1
1


µ ¶
2
0
,
L( 3 ) =
0
3


¶
µ
0
−7
.
L( 0 ) =
−2
5

Beantworten Sie die folgenden Fragen zu der linearen Abbildung L.
a) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix M (E2 , L, A).
b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix M (B, id, E2 ).
c) Drücken Sie M (B, L, A) mit Hilfe der Matrizen M (E2 , L, A) und M (B, id, E2 ) aus.


−2
d) Entscheiden Sie, ob der Vektor  0  im Kern von L liegt.
−2
e) Geben Sie eine Basis des Bildes von L an.
Aufgabe II.3:
(3+2+3 Pkt.)
a) Geben Sie das charakteristische Polynom der Matrix A ∈ R3×3 mit


1 0 0
A= 7 3 4 
2 2 1
in der Form a3 λ3 + a2 λ2 + a1 λ1 + a0 an, wobei a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R.
b) Für welche α ∈ R hat die folgende Matrix B ∈ R2×2 zwei verschiedene reelle Eigenwerte?
¶
µ
4α 3α
B=
3α −4α
c) Bestimmen Sie eine Basis aus Eigenvektoren zur Matrix B aus b), wobei α = 1 gewählt sei.
Aufgabe II.4:
Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folge (an )n∈N .
a) an =
n3 + 7
für n ∈ N.
n4 + n2
2n + 4
b) an =
für n ∈ N.
n!
c) an =
in
∈ C für n ∈ N.
n+1
(2+2+2+3 Pkt.)
d) Es sei (an )n∈N rekursiv definiert mit
a1 = 1
und
an+1 =
an + 1
für n ∈ N.
an
Gehen Sie davon aus, dass (an )n∈N konvergiert.
Teil III
Aufgabe III.1:
(2+3+3+3 Pkt.)
a) Gegeben seien die folgenden drei Vektoren im R4 :

 
1

 1 
 , v2 = 
v1 = 

 1 
0


2
0


0
3 
, v =
3  3  2
2
3


.

Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
v1 , v2 , v3
v1 , v2 , v3
v1 , v2 , v3
v1 , v2 , v3
sind paarweise linear abhängig.
sind linear unabhängig.
spannen einen 3-dimensionalen Teilraum des R4 auf.
liegen in einem 4-dimensionalen Teilraum des R4 .
b) Für α ∈ R seien die folgenden drei Vektoren des R3 gegeben.
 


 
α
0
1





1 .
3
0 , v2 =
, v3 =
v1 =
2
0
α
1
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
v1 , v2 , v3 spannen unabhängig von α einen 3-dimensionalen linearen Raum auf.
v1 , v2 , v3 spannen unabhängig von α einen affinen Unterraum auf.
v1 , v2 , v3 sind genau dann linear unabhängig, wenn α ∈ {−3, 0}.
Es gibt ein α ∈ R, so dass die Vektoren v1 , v2 , v3 paarweise orthogonal sind.
c) Es seien M1 , M2 ⊆ R3 gegeben durch
©
ª
M1 = (x1 , x2 , x3 )⊤ ∈ R3 | x1 + 2x2 = 5 ,
©
ª
¡
¢
M2 = (x1 , x2 , x3 )⊤ ∈ R3 | 2x1 − x3 = x2 ∪ Span (1, 1, 1)⊤
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) M1 ist ein affiner Unterraum des R3 .
(A2) M1 ist ein linearer Unterraum des R3 .
(A3) M1 ist eine Teilmenge des R3 .
(A4) M2 ist ein affiner Unterraum des R3 .
(A5) M2 ist ein linearer Unterraum des R3 .
(A6) M2 ist eine Teilmenge des R3 .
d) Wir betrachten die folgende Menge von Polynomen: M = {1, 2x, 3x2 , 4x3 . . . , (n + 1)xn }. Beurteilen
Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) Die Polynome in M bilden eine Basis aller reellen Polynome vom Grad höchstens n.
(A2) Die Polynome in M sind linear unabhängig (über R).
(A3) Die Menge M bildet einen Unterraum aller reellen Polynome vom Grad höchstens n.
Aufgabe III.2:
(3+3 Pkt.)
2
3
2
2
Es sei α ∈ R und es seien die Abbildungen f1 : C → C, f2 : R → R und f : R → R mit


¶
µ
µ ¶
µ ¶
4x − 5y
αx + α2 y
x
x


y−x
)=
,
f(
)=
f2 (
f1 (z) = z,
α3 x + αy + 5y
y
y
x+1
gegeben.
a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) f1 ist linear. (A2) f2 ist linear.
b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) f ist linear für α = 1.
(A2) f ist linear für alle α ∈ R.
(A3) Es gibt ein α, so dass f die
√ Nullabbildung
√ ist.
(A4) f ist nicht linear für α = 2 oder α = 3.
Aufgabe III.3:
(3+3+5+3 Pkt.)
a) Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b, x ∈ R3 , wobei
¶
µ ¶
µ
1
1 2 3
.
, b=
A=
1
0 0 5
Beurteilen Sie jeweils, ob eine Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems gegeben ist.
 2 
 




−2 
2
 5

 0
1 







(A1)
. (A3)
.
+λ
+ λ −1
1
0
 1


 51
0
0
 5 
 5 




2
−2 

 0
 0
1 
1 






.
+ λ −1
. (A4)
(A2)
+λ
1


 5
 51
0
0
0
5
b) Bestimmen Sie, für welche α ∈ R das lineare Gleichungssystem Ax = 0, x ∈ R3 , eine eindeutige
Lösung besitzt, wobei A wie folgt gegeben ist:


1 0 1
A =  0 3 α2  .
α 1 0
(A1) α = 0.
(A2) α = −3.
(A3) α ∈ N.
(A4) α = 3.
(A5) α ∈ {a ∈ R | a 6= 0, a 6= −3}.
c) Bestimmen Sie, für welche α, β ∈ R das lineare Gleichungssystem Ax = b, x ∈ R4 , eine Lösung
besitzt, wobei A und b wie folgt gegeben sind:


 2

α − 2α + 1
0 0 0 0


 0 1 1 1 
2α − 4
.


A=

 0 0 2 2 , b = 
β
2
0 0 0 3
(A1) α = 0 und β = 1. (A2) α = −1 und β beliebig.
(A5) α = 1 und β beliebig.
(A3) α = 1 und β > 0.
d) Es seien A, B zwei 2 × 2-Matrizen mit det(A) = 5 und A · B =
Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen.
(A1) det(B) = 4.
(A2) det(B) = 45 .
(A3) det(B) = 0.
µ
1 2
−1 2
¶
(A4) α = β.
.
(A4) det(B) = det(A).