Übungen zur Physik III

Übungen zur Physik III
Blatt 10
—
WS 09/10
Prof. Dr. Th. Mannel, Dr. W. Walkowiak,
H. Czirr, S. Faller, M. Pontz
—
Abgabe: Donnerstag, 17.12.2009
Ausgabe: 10.12.2009
Aufgabe 1: (Stern-Gerlach-Versuch)
Untenstehende Abbildung zeigt den prinzipiellen Aufbau des Stern-Gerlach Versuches. In einem Atomstrahlofen werden neutrale Silberatome auf die Temperatur T D 473 K erhitzt. Der
Atomstrahl wird durch eine Blende B kollimiert. Nach durchfliegen der Strecke `1 D 0; 03 m
tritt er in das in z-Richtung gerichtete inhomogene Magnetfeld der Länge `0 D 0; 20 m ein.
Der Magnet hat vom Detektor D einen Abstand von `2 D 0; 135 m. Der Elektronenkonfiguration ŒKr4d10 5s für Silber entnimmt man, dass sich in der 5s-Schale ein ungepaartes Elektron
befindet.
D
z
B
z
z
T = 473 K
x
x
y
47
Ofen
Ag
`1
`0
107,87
`2
[Kr]4d 105s
Zunächst werden die Vorgänge im Ofen betrachtet.
Im thermischen Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Silberatom eine Geschwindigkeit im Intervall ŒE
v ; vE Cd vE  besitzt gegeben
durch die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
mv 2
3
d 3v :
w.E
v/ d v D c exp
2kB T
w.v/
v
vmax
Mit c als der Normierungskonstanten und kB D
1; 3807 10 23 JK 1 als der BoltzmannKonstanten. Die nebenstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Geschwindigkeitsbeitrages.
R
a) Bestimmen Sie aus der Normierungsbedingung 1 D d 3 v w.E
v / die Normierungskon3
2
stante c. Nutzen Sie dazu d v D v dv d cos d'. Zeigen Sie sodann, dass für die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
w.v/ dv D 4
gilt.
m
2kB T
3=2
2
v exp
mv 2
2kB T
q
Begründen Sie, dass der wahrscheinlichste Geschwindigkeitsbeitrag durch vmax D 2kmB T
gegeben ist. Nutzen Sie an geeigneter Stelle die Integralformel
(2 Punkte)
Z
1
2n
dx x e
ax 2
0
1 3 .2n 1/
D
2nC1 an
r
:
a
b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Geschwindigkeitsunschärfe
r
q
3
v 2 i hE
v i2 D
vmax
E
v D hE
2
gilt.
R
v/
Hinweis: hE
v i D d 3 v vE w.E
(1 Punkt)
Der feine Silberatomstrahl besitzt nach der Blende B der Einfachheit halber die Geschwindigkeit vmax in x-Richtung.
c) Erklären Sie, weshalb der Strahl beim Durchfliegen des Magneten in zwei Teilstrahlen
aufspaltet. Zeigen Sie, dass für die Kraft FE welche auf die Silberatome im inhomogenen
Magnetfeld wirkt,
@B
FE D z
eEz
@z
gilt, mit z als der z-Komponente des magnetischen Moments .
E
d) Zeigen Sie, das für z D
(1.5 Punkte)
e„
2me
gilt. Gehen Sie von einem Elektron aus, dass sich auf einer
E D „E
Kreisbahn um den Atomkern bewegt, für das L
ez ist.
(1.5 Punkte)
e) Auf dem Detektor mißt man einen Abstand von z D 2 mm der beiden Strahlen. Berechnen Sie für die gegebene Anordnung den Feldgradienten @B=@z. Verwenden Sie
1
.
(4 Punkte)
ggf. die Avogadro-Zahl NA D 6; 0221 1023 mol
Aufgabe 2: (Spin-Bahn-Kopplung im Wasserstoffatom)
O
Das Elektron im Wasserstoff besitzt neben seinem Bahndrehimpuls lE einen Spin sEO. Spin und
O
O
Bahndrehimpuls koppeln zum Gesamtdrehimpuls jE D lE C sEO. Für die magnetischen Momente
gelte:
EO l D
gl
B EO
l
„
bzw.
B O
sE :
EO s D gs
„
Betrachten Sie zunächst das Elektron als ruhend. Klassisch bewegt sich das Proton auf einer
Kreisbahn mit Radius r um das Elektron. Die Betrachtungen seien auf ein reines CoulombPotential VC .r/ beschränkt.
(a) Zeigen Sie, dass sich mit dem Biot-Savart-Gesetz
I0 d È rE
E
d B.r/
D
4
r3
mit d È als dem Kreislinienelement des Kreisstromes I , am Ort des Elektrons das Magnetfeld
E
B.r/
D
ergibt, mit
1
c2
E
vE E.r/
c2
E als dem elektrischen Feld am Ort des Elektrons.
D "0 0 und E(r)
(1.5 Punkte)
b) Bestimmen Sie, vermittelst Ihres Ergebnisses aus Teilaufgabe a), den Zusammenhang
E Verwenden Sie dabei den Zuzwischen dem Magnetfeld BE und dem Bahndrehimpuls l.
E
sammenhang zwischen dem elektrischen Feld E.r/
und dem Coulomb-Potential VC .r/.
O
EO
(1.5 Punkte)
Zwischenergebnis: B.r/
D mec12 r @[email protected] / lE
Die Rücktransformation des Magnetfeldes BE aus Teilaufgabe b) in das Schwerpunktsystem
E In diesem Feld richtet sich der Spin sEO des Elektrons aus.
ergibt BE l D 12 B.
O
c) Zeigen Sie, dass lE sEO D .„2 =2/ j.j C 1/ l.l C 1/ 43 gilt. Bestimmen Sie die ma2
0„
gnetische Energie Els im Magnetfeld BE l . Setzen Sie a0 D 4
und gs D 2.
me2
(1.5 Punkte)
d) Geben Sie den Erwartungswert Els D hEls i an, verwenden Sie
1
1
1
;
D 3 3
3
r
a0 n l.l C 12 /.l C 1/
a0 D
(1 Punkt)
„
:
˛mc
e) Gegeben sei ein Niveau mit den Quantenzahlen n und l ¤ 0. Geben Sie die Anzahl
der Aufspaltung dieses Niveaus aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung an. Verwenden Sie
hierzu nur Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe c). Geben Sie sodann Els aus Teilaufgabe d)
1
für den Zustand mit den Quantenzahlen n D 1, l D 1 an. Verwenden Sie ˛ D 137
.
(2.5 Punkte)
Lösungsvorschlag
1. a) Bestimmung der Normierungskonstanten c:
Z
Z
mv2
3
1 D d v w.v/ D v 2 dv d cos d' c e 2kB T
Z 1
Z 2
Z 1
mv2
Dc
cos d'
dv v 2 e 2kB T
„ 1
ƒ‚ 0
… 0
D4
r
Z 1
mv2
2k
T
2kB T
2kB T 3=2
B
2
2kB T
D 4c
dv v e
D 4c Dc
4m
m
m
0
3=2
m
cD
:
)
2kB T
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich durch Integration über den Raumwinkel,
mit der vorigen Rechnung folgt:
3=2
mv2
mv2
m
2
2
2kB T
w.v/dv D 4 c v e
e 2kB T dv :
dv ) w.v/dv D 4v
2kB T
Das Maximum dieser Verteilung ist der wahrscheinlichste Geschwindigkeitsbeitrag:
r
mv2
mv
2kB T
Š dw.v/
vmax D
:
D 4 c 2v 2v 3
e 2kB T
0D
)
dv
2kB T
m
b) Mit dem Hinweis aus a) dv D v 2 dv d cos d' berechnet man in Kugelkoordinaten mit
vE D vE
er ,
Z 1
Z
Z 2
Z 1
mv 2
3
3
dv v exp
hE
v i D d v vE w.E
v/ D c
d'
d cos eEr
D 0E ;
2kB T
0
0
1
ƒ‚
…
„
E
D0
und
3=2 Z 1
mv2
m
dv 2 v 4 e 2kB T dv
hE
v i D 4
2kB T
0
s
s
3
m
13
kB T
4 3 2kB T
D 4
D3
D
m
m
3
2
2kB T
2 . 2kB T /
8
m
m
2kB T
2
D
3 2
v :
2 max
Somit ist
E
vD
q
hE
v2i D
r
3
vmax :
2
c) Das Silberatom besitzt in der äußersten Schale nur ein Elektron im Zustand 5s. Der
Bahndrehimpuls ist gleich Null. Damit ist nur die Aufspaltung in zwei Teilstrahlen möglich.
Das Elektron besitzt ein magnetisches (Dipol-)Moment .
E Im Magnetfeld BE ist dann die
Energie des magnetischen Moments gegeben durch
E BE D E B.z/E
ez D z B.z/ :
ED
Auf das Elektron wirkt die Kraft
E
E z B.z/ C z rB.z/
D z @z B eEz z @z B.z/E
ez
FE D grad z B.z/ D r
„ƒ‚…
D0
@B.z/
eEz :
FE D z
@z
)
(d) Für das magnetische Moment E gilt
Z
1
ED
d 3 r rE jE :
2
Für eine vom Strom I umflossene ebene Fläche AE D AE
ez D r 2 eEz ist das magnetische
Moment
E D I AE D I r 2 eEz :
Das Elektron bewegt sich auf einer ebenen Kreisbahn mit Radius r, dies entspricht dem
Strom
I D
q
qv
ev
D
D
:
T
2 r
2 r
Eingesetzt in das magnetische Moment ergibt
E D r2
ev
eEz D
2 r
evr
eEz :
2
E D me vr eEz . Mit L
E D „E
Das Elektron besitzt auf seiner Kreisbahn den Drehimpuls L
ez
folgt damit
ED
e„
eEz
2me
)
z D
e„
2me
(e) Bahn der Silberatome: Der Ursprung des Koordinatensystems wird an den Eintrittspunkt
der Silberatome in das inhomogene Magnetfeld gelegt:
z
z
2
z2
z1
x
`0
`2
Magnetfeld
Die Kraft FE wirkt in z-Richtung, damit folgt:
z @B.z/
Fz
D
) z.t/ D
z.t/
R D
m
m @z
Z
t
dt
0
0
Z
0
t0
dt 00
z @B.z/ 2
z @B.z/
D
t :
m @z
2
@z
In x-Richtung wirkt keine Kraft auf die Atome, damit findet eine gleichförmige Bewegung in dieser Richtung statt:
Z t
x
xP D vx ) x.t/ D
dt 0 vx D vx t ) t D
;
vx
0
eingesetzt in z.t/
z.x/ D
z @B.z/ x 2
2m @z vx2
8 0 < x < `0 :
An der Stelle x D `0 ist
z.`0 / D z1 D
z @B.z/ `20
:
2m @z vx2
(10.1)
Zwischen `0 < x < .`0 C`2 / wirkt keine Kraft auf die Atome, die Bewegung der Atome
ist gleichförmig. Für die Steigung der Geraden erhält man
ˇ
z @B.z/ `0
dz.x/ ˇˇ
D
:
ˇ
dx xD`0
m @z vx2
Der Skizze entnimmt man, dass
ˇ
z @B.z/ `0
dz.x/ ˇˇ
z2
D
D
ˇ
`2
dx xD`0
m @z vx2
gilt, d.h.
z2 D
z @B.z/ `0 `2
m @z
vx2
Die beiden Strahlen haben den gleichen Abstand zur x-Achse, damit
@B.z/ `0 `2
z @B.z/ `20 C 2`0 `2
z
z @B.z/ `20
C
D
D z1 C z2 D
z
2
2m @z vx2
@z
vx2
2m @z
vx2
@B.z/
z m
v2 :
)
D
@z
z .`20 C 2`0 `2 / x
Die Masse des Silberatoms wird aus den Daten des PSE bestimmt: Ist N die Anzahl
der Teilchen, NA ist AVOGADRO-Zahl, m die Masse des Atoms und M seine Molmasse,
dann ist
N
m
M
N M
D
; somit für N =1: m D
:
) mD
NA
M
NA
NA
g
Die Silberatome, M D 0; 10787 mol
aus PSE, haben in x-Richtung die Geschwindigkeit
vmax, d.h.
r
r
2kB T
2kB T NA
D
:
vmax D vx D
m
M
Einsetzen der Zahlenwerte:
s
2 1; 3807 10
vx D
473 6; 0221 1023 m
m
D 270
D 9 10
0; 10787
s
s
23
7
c;
d.h. vmax 0; 1c. Die Masse des Silberatoms ist
mD
M e c2
0; 10787 .3 108 /2
D
NA e c2
6; 0221 1023 1; 6022 10
Mit z D e D
e„
2me
D
e„c 2
2me c2
19
eV
eV
D 0; 101 1012 2 :
2
c
c
erhält man für den Feldgradienten
@B.z/
z m
2z m me c2
2
D
v
D
v2
@z
z .`20 C 2`0 `2 / x
e„c2 .`20 C 2`0 `2 / x
4z m mec2
v2 :
D
ehc2 .`20 C 2`0 `2 / x
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt
@B.z/
4z m mec2
D
v2
@z
ehc2 .`20 C 2`0 `2 / x
4 2 10 3 0; 101 1012 511 103
81 10
D
4; 1357 10 15 .3 108 /2 .0; 202 C 2 0; 20 0; 135/
)
@B.z/
T
D 30; 03
:
@z
m
14
Vs
m3
2. a) Das Proton bewege sich auf einer Kreisbahn mit Radius r um das Elektron. Bei einem
Umlauf legt das Elektron den Weg ` D 2 r zurück, dafür benötigt es die Zeit T , damit
folgt für den Strom I D Q
,
T
I D
Q Š ev
D
:
T
2 r
Für das Kreislinienelement gilt d ` D rd', das Biot-Savart-Gesetz schreibt sich für einen
Kreisstrom
I0 d È rE
I0 r d' eE' rE
E
d B.r/
D
D
:
3
4 r
4 r 3
Integration über den Winkel und einsetzen von I D
ev
2r
und vE D vE
e' ergibt
I0 2 r eE' rE
e rE
e 0 2 r vE
e 0
e' rE
E
B.r/ D
D
D
vE Er D 0 vE :
4 r 3
2 r
4 r 3
4 r 3
4 r 3
E am Ort r des Elektrons gilt
Für das elektrische Feld E(r)
E
E.r/
D
e rE
e rE
E
) "0 E.r/
D
;
3
4"0 r
4 r 3
E
eingesetzt in B.r/
ergibt
E
E
E
B.r/
D "0 0 vE E.r/
) B.r/
D
E
vE E.r/
:
c2
b) Zwischen dem Potential VC .r/ und dem radialsymmetrischen Feld
steht der Zusammenhang
1 @VC .r/
1
FE D
gradVC .r/
) EE D
gradVC .r/ D
e
e @r
FE D
eEE
Mit dem Ergebnis aus (a) für das Magnetfeld folgt
rE @VC .r/
1
E
:
B.r/
D 2 vE ec
r
@r
O
Der Bahndrehimpuls lE in der Ortsdarstellung lautet,
O
lE ¶ lE D rE pE D
pE rE D
m rE rE
eingesetzt ergibt den Zusammenhang
EO
B.r/
D
@VC .r/ EO
1
l:
2
mec r
@r
)
vE rE D
lE
;
m
E
E.r/
D E.r/ rrE berE
:
r
Für ein reines Coulomb-Potential gilt VC .r/ D
e2
,
40 r
somit
e2
@VC .r/
D
;
@r
4"0 r 2
eingesetzt ergibt schließlich
EO
B.r/
D
e
O
lE
2
3
40 mc r
O
c) Es gilt lE2 D „2 l.l C 1/ und sEO2 D „2 s.s C 1/ und für die Quantenzahl s D 21 ,
1 O
O
O
O
O
O
jE2 D .lE C sEO/2 D lE2 C sEO2 C 2lE sEO ) lE sEO D jE2
2
sEO/2
d.h.
sEO2 ;
„2 Œj.j C 1/ l.l C 1/ s.s C 1/
O
lE sEO D
2
2
„
3
OE O
l sE D
j.j C 1/ l.l C 1/
)
2
4
EO aus b) und EO s D
Für die magnetische Energie gilt mit B
e gs B
O
lE sEO
2
3
80 „mc r
e gs B „2
D
j.j C 1/ l.l C 1/
80 „mc2 r 3 2
gs „B sEO
EO l D
Els D EO s B
und mit B D
e„
,
2m
a0 D
3
4
;
4"0 „2
me2
und gs D 2 folgt
„2
3
me2 2 „2
j.j C 1/ l.l C 1/
Els D
4 40 „2 m3 c2 r 3 2
4
3
„4
j.j
C
1/
l.l
C
1/
Els D
:
4m3 c2 a0 r 3
4
d) Mit dem Ergebnis aus c) und dem Erwartungswert für hr 3 i folgt
1
3
„4
j.j C 1/ l.l C 1/
hEls i D
4m3 c2 a0 r 3
4
4
1
1
„
j.j C 1/ l.l C 1/
D
3 3
3
2
4m c a0 a0 n l.l C 12 /.l C 1/
D
j.j C 1/ l.l C 1/
„4
4
3
2
4m c a0
n3 l.l C 21 /.l C 1/
3
4
3
4
einsetzen von a0 D
„
˛mc
ergibt
mc2 4 j.j C 1/ l.l C 1/
Els D
˛
4
n3 l.l C 12 /.l C 1/
3
4
:
e) Den Erwartungswert der Energie Els aus (c) kann man schreiben als
3
Els D h.r/inl j.j C 1/ l.l C 1/
:
4
Die Quantenzahl j kann nur die Werte j D l ˙ 12 einnehmen, d.h.
3
3
1
lC
l.l C 1/
Els D h.r/inl l C
2
2
4
1
D ` h.r/inl für j D l C
2
3
3
1
l
l.l C 1/
Els D h.r/inl l
2
2
4
1
D .` C 1/ h.r/inl für j D l
2
Jedes Niveau mit gegebenen Quantenzahlen n, l ¤ 0 spaltet in zwei Niveaus auf. Für
den Zustand mit n D 1 und ` D 1 erhält man für die Energie Els aus (d):
mc2 4 j.j C 1/ l.l C 1/
Els D
˛
4
n3 l.l C 21 /.l C 1/
j DlC
3
4
1
2
4
mc2 4 1
511 103 eV 1
Els D
˛
D
D 1; 21 10
4
3
12
137
j Dl
4
eV
1
2
mc2 4 2
˛
D
Els D
4
3
511 103 eV 1 4
D
6
137
2; 42 10
4
eV