Uebungsblatt 12 fuer Physik 1 fuer Ingenieure

Übungsblatt 12
Physik für Ingenieure 1
Othmar Marti, ([email protected])
15. 1. 2002
1
Aufgaben für die Übungsstunden
Spezielle Relativitätstheorie1 Spezielle Relativitätstheorie2 Schwingungen3
Zuerst nachdenken, dann in Ihrer Vorlesungsmitschrift nachschauen
und erst dann wild lostrechnen!
1. Verwenden sie die Lorentz-Transformation. Die mittlere Eigenlebensdauer
eines Pions ist 2.6 · 10−8 s. Ein Pionenstrahl habe die Geschwindigkeit 0.85c.
(a) Wie gross ist die im Laborsystem gemessene Lebensdauer?
(b) Welche Strecke leben die Pionen im Mittel vor ihrem Zerfall zurück?
(c) Wie gross ist die Strecke, wenn die Zeitdilatation vernachlässigt wird?
2. Ein Gegenstand schwinge reibungsfrei an einer horizontalen Feder mit einer
Schwingungsdauer von 4s. Wie stark wird die Feder gedehnt, wenn der
Gegenstand senkrecht an ihr aufgehängt wird und sich im Gleichgewicht
befindet?
3. Ein Gegenstand der Masse m1 gleite reibungsfrei auf einer horizontalen
Oberfläche und schwinge dabei an einer Feder mit der Federkonstante k.
Seine Amplitude sei A. Zu dem Zeitpunkt, an dem die Feder ihre maximale
Ausdehnung erreicht habe, werde ihm ein zweiter Gegenstand der Masse
m2 aufgesetzt.
(a) Wie gross muss die Haftreibungszahl µH mindestens sein, damit der
aufgesetzte zweite Gegenstand nicht rutscht?
(b) Wie verändern sich die Gesamtenergie E, Amplitude A, Kreisfrequenz
ω und die Schwingungsdauer T durch das Aufsetzen der Masse m2 auf
m1 ?
1
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/Physing1/node33.html
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/Physing1/node40.html#SECTION06217100000000000000
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http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/Physing1/node42.html
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Hausaufgabe
4. Ein Gegenstand der Masse 2kg, der an einer Feder mit der Federkonstanten k = 600N/m befestigt ist, gleite reibungsfrei auf einer horizontalen
Unterlage und befinde sich in Ruhe. Ein zweiter 1kg schwerer Körper gleite
ebenfalls reibungsfrei mit einer Geschwindigkeit von 6m/s auf den ersten
zu.
(a) Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung, wenn die Gegenstände
einen idealen inelastischen Stoss ausführen und dabei zusammenbleiben. Wie gross ist die Schwingungsdauer?
(b) Bestimmen Sie die Amplitude und die Schwingungsdauer im Falle eines
elastischen Stosses. Wie gross ist die Schwingungsdauer?
(c) Beschreiben Sie die Auslenkung des an der Feder befestigten Gegenstandes für beide Stossarten als Funktion der Zeit, unter der Annahme,
der Stoss erfolge zur Zeit t = 0. Wie gross ist der Impulsübertrag auf
den 2kg schweren Gegenstand bei den Stössen?
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Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde
1. (a)
0
0
0
0
√ 2+ct2
• Lorentz-Transformationen: x = x√+(v/c)ct
und ct = (v/c)x
2 2
1+v /c
1+v /c
0
0
• Koordinaten: t = 0 und t = 0 sowie x = 0 und x = 0 sollen
zusammenfallen.
• Der Zerfall des Pions findet im gestrichenen Koordinatensystem
bei (x0 ; ct0 ) = (0, cτ ) statt.
(v/c)0+cτ
= √ cτ 2
• Also ct = √
2 2
1−0.85
1+v /c
• t=
(b)
2.6·10−8 s
= 4.94 · 10−8 s
√
1−0.852
0
0
0
0
√ 2+ct2
• Lorentz-Transformationen: x = x√+(v/c)ct
und ct = (v/c)x
2 2
1+v /c
0
1+v /c
0
• Koordinaten: t = 0 und t = 0 sowie x = 0 und x = 0 sollen
zusammenfallen.
• Der Zerfall des Pions findet im gestrichenen Koordinatensystem
bei (x0 ; ct0 ) = (0, cτ ) statt.
0+(v/c)cτ
• Also x = √
= √(v/c)cτ 2
2 2
1−0.85
1+v /c
• x=
(c)
2.
0.85×3·108 ×2.6·10−8 s
√
1−0.852
= 12.59m
• s = vτ
• s = 0.85 × 3 · 108 × 2.6 · 10−8 m = 6.63m
• Die Kreisfrequenz ist ω = 2π
T
k
• Es gilt: ω 2 = m
• Die Dehnung der Feder beim Aufhängen ist: mg = kx
g
gT 2
• Also: x = m
k g = ω 2 = 4π 2
• Eingesetzt: x =
3.
9.81m/s2 ·16s2
4π 2
=
4·9.81
π2 m
= 3.98m
• Es ist x1 (t) = A cos (ωt + δ) mit ω 2 = k/m.
• Wir wollen, dass die x1 (t = 0) maximal sei, also δ = 0.
• Wenn der Körper m2 aufgesetzt wird, haben wir ein neues schwingfähik
1
ges System mit ω̃ 2 = m1 +m
= m1m+m
ω
2
2
• Die Bewegungsgleichung ist x̃(t) = A cos (ω̃t).
¨ = −ω̃ 2 x̃(t)
• Die Beschleunigung ist ã(t) = x̃(t)
(a)
• Damit ein Körper m2 nicht gleitet, muss die Beschleunigung m2 ·
a ≤ µH m2 g sein.
³
´
1
• Die maximale Beschleunigung ist |ãmax | = Aω̃ 2 = Aω 2 m1m+m
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• Also: µH ≥
(b)
4
a
g
=
Aω 2
g
³
m1
m1 +m2
´
• Zum Zeitpunkt des Aufsetzens hat die Feder maximale Ausdehnung. Die Gesamtenergie ist E = 12 kA2 und in der Feder gespeichert. Deshalb ändert sie sich nicht. Die Gesamtenergie bleibt
konstant.
• Zum Zeitpunkt des Aufsetzens hat die Feder maximale Ausdehnung, ist also in Ruhe. Deshalb kann diese Lage als Anfangsbedingung für das System mit der Masse m1 + m2 genommen werden.
Die Amplitude ändert sich nicht.
1
• Die Kreisfrequenz wird ω̃ 2 = m1m+m
ω
2
• Die Schwingungsdauer wird T =
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2π
ω̃
=
2π
ω
³
1+
m2
m1
´
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Lösungen Hausaufgabe
4.
• Der Gegenstand mit m1 = 2kg ist in Ruhe, die Feder nicht ausgelenkt.
• Nach rechts sei positiv.
(a)
• Beim inelastischen Stoss gilt m2 · v2 = (m1 + m2 )ṽ
• Die Anfangsbedingungen sind x(t = 0) = 0 und v(t = 0) = ṽ
• Die Bewegungsgleichung für diese Anfangsbedingungen ist x(t) =
A sin ωt.
• Die Geschwindigkeit ist v(t) = Aω cos ωt
2
• Anfangsbedingung: v(t = 0) = Aω = v2 m1m+m
2
k
• Kreisfrequenz: ω 2 = m1 +m
2
2
√
• Amplitude A = ω(mv21m
=
+m2 )
• Schwingungsdauer T =
(b)
2π
ω
v2 m2
k(m1 +m2 )
= 2π
q
oder A = 0.14142m
m1 +m2
k
oder T = 0.444s
• Beim elastischen Stoss ist m2 v2 = m1 v˜1 +m2 v˜2 und m2 v22 = m1 ṽ12 +
m2 ṽ22
m2 −m1
2
• Aufgelöst: ṽ1 = v2 m2m
und ṽ2 = v2 m
1 +m2
2 +m1
2
• Anfangsbedingung v(t = 0) = Aω = ṽ1 = v2 m2m
1 +m2
k
m1
2v2 m2
ω(m1 +m2 )
• Kreisfrequenz: ω 2 =
• Amplitude A =
• Schwingungsdauer T =
(c)
=√
2π
ω
2v2 m2
k/m1 (m1 +m2 )
= 2π
q
m1
k
oder A = 0.12092m
oder T = 0.3628s
• Inelastischer Stoss: Bewegungsgleichung: x(t) = 0.14142 sin
³
³
´
14.15
t
s
´
m
• Elastischer Stoss: Bewegungsgleichung: x(t) = 0.12092 sin 17.32
t m
s
m1 m2
• Impulsübertrag auf m1: Inelastischer Stoss: ∆p = m1 ṽ = m1 +m2 v2 =
4 mskg
2m1 m2
• Impulsübertrag auf m1: Elastischer Stoss: ∆p = m1 ṽ1 = m
v2 =
1 +m2
m kg
8 s
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