Ferromagnetische Hysteresis

Physikalisches Anfängerpraktikum 1
Gruppe Mo-16
Wintersemester 2005/06
Julian Merkert (1229929)
Versuch: P1-83
Ferromagnetische Hysteresis
- Vorbereitung -
Vorbemerkung
Als Hinführung zum Thema Ferromagnetismus ist es bei diesem Versuch zunächst die Aufgabe, die
Kenngröÿen (Induktivität und Verlustwiderstand) einer Spule zu bestimmen. Anschlieÿend wird die
Änderung der Werte nach dem Einbau eines geschlossenen Eisenkerns in der Spule untersucht. Danach
werden Magnetisierungs- und Entmagnetisierungs-Vorgang genau unter die Lupe genommen und - wie
der Versuchsname schon sagt - Hysterese-Kurven aufgezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
1 Luftspule: Induktivität und Verlustwiderstand
2
1.1
Experiment
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Theoretische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Spule mit Eisenkern: Induktivität und Verlustwiderstand
2.1
Experiment
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Berechnung der Wechselfeld-Permeabilitätswerte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste
3.1
3.2
3.3
Hysteresis des Eisenkerns
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
4
3.1.1
Weiÿ'sche Bezirke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.1.2
Remanenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.1.3
Neukurve / Hysterese-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eichung der Achsen des Oszilloskops
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.1
H-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.2
B-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Ummagnetisierung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1
Ummagnetisierungs-Arbeit
3.3.2
Ummagnetisierungs-Verlustleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Wechselfeld-Permeabilität
3.5
Vergleich mit Aufgabe 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4 Vergleich: Eisen - Ferrit
7
1
1
Luftspule: Induktivität und Verlustwiderstand
1.1
Experiment
Ein Widerstand (R
= 10 Ω) und eine Transformaturspule (n = 1000 Windungen, ohne Eisenkern) werIef f = 300 mA durchossen. Per Oszilloskop
den in Reihe geschaltet und von 50 Hz-Wechselstrom mit
sollen folgende Gröÿen gemessen werden:
•
Spannungsamplitude an der Spule
•
Spannungsamplitude am Widerstand
•
Zeitdierenz zwischen Nulldurchgängen der beiden Spannungen
Deshalb muss das Oszilloskop folgendermaÿen in den Stromkreis eingebaut werden (die Spule sehen
wir als Reihenschaltung aus Induktivität
L
und Verlustwiderstand
RI
an):
Die gesuchten Spannungen und die Zeitdierenz ihrer Nulldurchgänge lassen sich direkt an der Kurve
auf dem Bildschirm ablesen. Zur Berechnung von Spuleninduktivität und Verlustwiderstand der Spule
UL . Da es sich um eine Reihenschaltung handelt, ieÿt überall
der Wechselstrom-Gesamtwiderstand ZSp der Spule kann mit
betrachten wir die gemessene Spannung
die gleiche Stromstärke
I.
Das heiÿt,
ZSp =
berechnet werden. Die Stromstärke
I
UL
I
(1)
wird nicht gemessen, sie lässt sich aber mit Hilfe des Ohm'schen
Widerstands leicht berechnen:
ZSp =
ZSp =
ZSp
sich aus dem Induktiven Widerstand
ωL
UL
(2)
UR
R
UL
R
UR
(3)
und dem Innenwiderstand
RI
der Spule zusammen (die
Ursache für den Innenwiderstand können Drahtwiderstände, Abstrahlung, Wirbelströme usw. sein).
Das Zeigerdiagramm gibt Aufschluss über die Phasenbeziehung von
ωL
und
RI :
Mit dem Satz des Pythagoras kann man daraus die folgende Formel für den Gesamtwiderstand nden:
|ZSp | =
q
RI2 + (ωL)2
2
(4)
Auÿerdem ergeben die trigonometrischen Beziehungen im Zeigerdiagramm die folgenden Beziehungen, in denen die gesuchten Gröÿen Verlustwiderstand
Phasenverschiebung
ϕ
RI
und Induktivität
L
durch
|ZSp |
und die
ausgedrückt werden:
RI = |ZSp | · cos ϕ
sin ϕ
L = |ZSp | ·
ω
(5)
(6)
Um die Phasenverschiebung ϕ zu bestimmen, nutzen wir es aus, dass am Ohm'schen Widerstand R =
10Ω der gesamten Schaltung Spannung und Strom in Phase sind. Das heiÿt, dass die anfangs gemessene
Zeitdierenz ∆t zwischen Nulldurchgängen der Spannungen UL und UR mit der Phasengeschwindigkeit
ϕ folgendermaÿen zusammenhängt:
∆t
ϕ = 2π
= 2πf ∆t
(7)
T
1.2
Theoretische Berechnung
Jetzt sollen die im Experiment zu messenden Werte Spuleninduktivität
L und Drahtwiderstand RI
der
Spule theoretisch vorausgesagt werden. Zunächst einmal seien die Gerätedaten der Apparatur aus der
Zubehör-Liste des Aufgabenblattes zusammengestellt:
•
Widerstand
•
Globale Einstellungen: Wechselstrom
•
Spulendaten:
R = 10 Ω
Windungszahl:
in Reihe
f = 50 Hz, Ief f = 300 mA
30 mA
n = 1000
Mittlerer Wickelradius:
r = 3, 4 cm
Verhältnis äuÿerer zu innerer Wickelradius:
Länge:
oder
1, 5
l = 6, 8 cm
Kupferdraht-Radius:
rDraht = 0, 35 mm = 21 dDraht = 12 0, 7 mm
Kein Eisenkern, also
µr = 1
Da die Länge den Radius der Spule nicht deutlich überschreitet, kann die Verallgemeinerung lange
Spule nicht angenommen werden - die Formel für die Induktivität der langen Spule muss mit einem
Korrekturterm
k
(in diesem Fall
k ≈ 0, 55,
siehe Vorbereitungshilfe) versehen werden:
L = µ0 µr
Der Draht der Spule ist
10−8 Ωm
d = 2πrn
und der Spulenquerschnitt
n2 A
k ≈ 37 mH
l
(8)
lang, der spezische Widerstand des Drahtes beträgt
A
errechnet sich nach der Formel
2
A = πrDraht
.
% = 1, 54 ·
Der Verlustwider-
stand entspricht damit:
RI = % ·
d
≈ 8, 55 Ω
A
3
(9)
2
2.1
Spule mit Eisenkern: Induktivität und Verlustwiderstand
Experiment
In die Spule wird ein geschlossener Eisenkern eingebaut. Die Messung erfolgt analog zu 1.1, jedoch bei
Ief f = 30 mA
2.2
und
Ief f = 10 mA.
Berechnung der Wechselfeld-Permeabilitätswerte
Mit Eisenkern ist
µr 6= 1,
Formel (8) nach
µr
aufgelöst ergibt:
µr =
L·l
µ0 n2 A k
(10)
Allerdings muss jetzt die Geometrie des Eisenkerns eingesetzt werden, d.h. (10) sieht eigentlich folgendermaÿen aus (k
≈ 1,
da die Länge des Eisenkerns im Versuch groÿ gegenüber dem Durchmesser
ist):
µr =
3
3.1
L · lKern
µ0 n2 AKern
(11)
Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste
Hysteresis des Eisenkerns
3.1.1 Weiÿ'sche Bezirke
Ferromagnetische Stoe wie z.B. Eisen kennzeichnen sich durch Weiÿ'sche Bezirke - Materialbereiche,
in denen die molekularen Dipole in die gleiche Richtung (also parallel) gerichtet sind. Ist der Sto
unmagnetisiert, so zeigen diese Bezirke zufällig in alle denkbaren Richtungen und heben sich so im
Mittel auf.
~ 0 aus und verstärB
~
ken das äuÿere Magnetfeld. B0 erzeugt ein magnetisches Moment vom Betrag M , pro Volumeneinheit
M
~
genannt Magnetisierung J =
V . Das resultierende Feld Bm (B0 zusammen mit der durch die MagneIm magnetischen Feld
~0
B
richten sich die Weiÿ'schen Bezirke in der Richtung von
tisierung verursachten Verstärkung) ergibt:
Bm = B0 + µ0 · J
(12)
Bm = µ0 (H + J)
(13)
Bm = µr µ0 H
(14)
Im Sättigungsfall sind alle Weiÿ'schen Bezirke ausgerichtet:
4
3.1.2 Remanenz
Auch nach der Abschaltung des äuÿeren Magnetfeldes bleiben einzelne Weiÿ'sche Bezirke weiter ausgerichtet. Der ferromagnetische Sto hat deswegen jetzt ein gröÿeres Magnetfeld, als er vor seiner
Magnetisierung besessen hatte. Dieses hinzugewonnene Feld wird als Remanenz bezeichnet.
Mit einem äuÿeren Gegenfeld (Koerzitivkraft) lässt sich dieses jedoch wieder eliminieren, der Sto wird
entmagnetisiert.
3.1.3 Neukurve / Hysterese-Kurve
Magnetisiert man einen Sto zum ersten Mal und trägt man
B über H
auf, so erhält man die Neukurve.
Diese lässt sich nur einmal feststellen! Variiert man anschlieÿend das magnetisierende Feld
so durchlaufen die
B -Werte
H
zyklisch,
die charakteristische Hysterese-Schleife (Abb. siehe Vorbereitungshilfe),
die nicht mehr durch den Nullpunkt geht.
B
und
H
lassen sich allerdings nur schwer direkt messen: zwar bestünde die Möglichkeit, dies per
Hall-Sonde zu bewerkstelligen, doch ist es mit dem folgenden Versuchsaufbau deutlich einfacher.
•
Der Spannungsabfall am
ein Maÿ für
•
im Kreis der felderzeugenden Spule (n1
B.
ist
= 50) induziert wird, ist ein Maÿ
R · C · ω >> 1.
Als Integrator dient ein R-C-Glied mit
Eichung der Achsen des Oszilloskops
Wie in 3.1.3 beschrieben, messen wir die Spannung
Uind
= 1000)
H
Das Integral über der Spannung, die an einer zweiten Spule (n2
für
3.2
10 Ω-Widerstand
U
bzw. das Integral über die induzierte Spannung
als Maÿ für H bzw. B. Um nun die tatsächlichen Werte zu nden, muss die richtige Eichung
ermittelt werden.
3.2.1 H-Achse
Die Formel für
H
formen wir zur Bestimmung des Zusammenhangs zwischen
H
H
H
H
n1
· Ief f
lKern
UR
n1
=
·
lKern R
n1
=
· UR
lKern · R
1000
A
=
· UR
0, 48 m · 10 Ω V m
A
= 208
· UR
Vm
H=
5
H
und
UR
um:
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
3.2.2 B-Achse
R1 und des Kondensators C ) dient als
UC ist abhängig von der Induktionsspannung:
Z
Z
Q
1
1
UInd − UC
UC =
dt
(20)
=
I dt =
C
C
C
R1
Ein R-C-Glied (Reihenschaltung des Ohm'schen Widerstandes
Integrator. Die am Kondensator gemessene Spannung
Für ausreichend groÿe
R1
und
C
kann
UC
vernachlässigt werden, daraus folgt:
1
UC =
C · R1
Aus dem Faraday'schen Induktionsgesetz (UInd
Z
UInd dt
= −n2 AḂ )
(21)
ergibt sich:
UInd
n2 · A
Z
1
B=−
UInd dt
n2 · A
Ḃ = −
(22)
(23)
Der Vergleich von (21) und (23) liefert betragsmäÿig:
B=
3.3
C · R1
· UC
n2 · A
(24)
Ummagnetisierung
3.3.1 Ummagnetisierungs-Arbeit
Pro Volumeneinheit und Umlauf lässt sich die Ummagnetisierungs-Arbeit (also die Arbeit, die pro
Volumeneinheit geleistet werden muss, um das Material zu entmagnetisieren) durch das Integral
WU mmagn.
=
V
Z
B · dH
(25)
beschreiben. Dieses Integral ist anschaulich der Flächeninhalt der Hysteresekurve, der mit folgenden
einfachen Methoden bestimmt werden kann:
1. Kästchen zählen, notfalls ausgleichen
2. Kurve ausschneiden und wiegen (vorher Gewicht einer Referenzäche, z.B.
1 cm2
bestimmen)
3.3.2 Ummagnetisierungs-Verlustleistung
Teilt man die Ummagnetisierungs-Arbeit durch die Dauer eines Zyklus, erhält man die Verlustleistung:
P =
•
Dauer eines Zyklus:
•
Materialvolumen:
•
Verlustwiderstand:
WU mmagn.
WU mmagn.
V
=
·
= Uef f · Ief f
TZyklus
V
TZyklus
TZyklus =
2π
ω
=
(26)
1
f
V =A·l
RM ag =
Uef f
Ief f
=
P
2
Ief
f
Materialien mit geringer Ummagnetisierungs-Verlustleistung werden
weichmagnetisch
genannt, sie
besitzen eine schmale Hysteresisschleife. Ein Anwendungsgebiet sind Transformatoren und Spulen,
die möglichst verlustfrei arbeiten sollen.
Hartmagnetische
Materialien lassen sich nicht so leicht
entmagnetisieren, sie sind deshalb als Dauermagnete oder zum Speichern von Daten geeignet.
6
3.4
Wechselfeld-Permeabilität
In jedem Punkt der Hysteresiskurve gilt folgende Beziehung für die Permeabilität:
B = µ0 µr H
Eine Formel für die relative Permeabilität
µr
lässt sich durch Umformen von (27) nden.
µr =
3.5
(27)
B
µ0 H
(28)
Vergleich mit Aufgabe 2
Abschlieÿend sollen die Ergebnisse von Aufgabe 2 und Aufgabe 3 verglichen werden. Eventuell auftretende Unterschiede lassen sich (neben Messfehlern natürlich) z.B. durch Wirbelströme erklären, die
besonders bei Materialien mit groÿer Leitfähigkeit auftreten.
4
Vergleich: Eisen - Ferrit
Nachdem bisher ausschlieÿlich ein Eisenkern magnetisiert wurde, geht es zum Schluss um die vergleichende Untersuchung von Eisenkern und Ferrit-Schalenkern. Für beide soll eine Reihe von Gröÿen
gemessen bzw. errechnet und dann in Beziehung gesetzt werden:
1. Oszillographische Hysteresis-Kurven (mit erkennbarem Sättigungseekt)
2. Eichfaktoren, Diagramm mit geeichter Skala
3. Remanenz
4. Koerzitivkraft
5. Ummagnetisierungs-Verlustleistung
6. Sättigungsinduktion (ca.-Wert durch Extrapolation)
Erwartet wird, dass der Ferrit-Kern eine noch schmalere Hysteresis als das Eisen hat. Zusammen mit
seinem hohen spezischen Widerstand, der Wirbelstromverluste minimiert, macht diese Eigenschaft
Ferrit zum idealen Material für hochwertige Spulen.
7