Funktionalintegrale in der Quantenfeldtheorie

4
FUNKTIONALINTEGRALE
4
51
Funktionalintegrale
In diesem Abschnitt wird die Pfadintegral–Quantisierung der Feldtheorie diskutiert. Diese
stellt eine Alternative zu der kanonischen Quantisierung dar.
4.1
(i)
Propagator und Pfadintegral
Propagator in einer Dimension
In der Quantenmechanik geht man von q bzw. p zu den Operatoren q bzw. p mit den
entsprechenden Vertauschungsrelationen über. Der Zustand wird charakterisiert durch die
Wellenfunktion, die mit dem entsprechenden (zeitabhängigen) Zustand im Schrödingerbild,
|ψ(t)�S , geschrieben werden kann als
ψ(q, t) = �q|ψ(t)�S .
(4.1)
Der entsprechende Heisenberg–Zustand |ψ�H geht (für zeitunabhängige Hamilton–Operatoren
H) aus dem Schrödinger–Zustand |ψ(t)�S hervor über
�
�
i
(4.2)
|ψ(t)�S = exp − H t |ψ�H .
�
Für unsere Diskussion ist es hilfreich, ‘Vektoren’ |q, t� zu definieren durch
�
�
i
|q, t� = exp + H t |q� ,
�
(4.3)
wo |q� die üblichen Ortseigenszustände bezeichnen. Die |q, t� ‘erben’ einige Eigenschaften
von den |q�, insbesondere bilden diese zu jeder Zeit t einen vollständigen Satz an Ortseigenzuständen, d.h.
�
dq |q, t� �q, t| = 1 ∀ t ,
(4.4)
q
und man hat
q |q, t� = q |q, t� .
(4.5)
Ein allgemeiner Zustand läßt sich nach diesen Zuständen entwickeln, die Projektion eines
Heisenberg–Zustands |ψ�H auf |q, t� liefert den Wert der Wellenfunktion an der (verallgemeinerten) Koordinate q zum Zeitpunkt t,
ψ(q, t) = �q, t|ψ�H ,
(4.6)
mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Des Weiteren ergibt sich das
übliche Verhalten
�
�
i
(4.7)
ψ(q, t) = �q, t|ψ�H = exp − H t ψ(q, 0)
�
4
52
FUNKTIONALINTEGRALE
Propagator. Der (eindimensionale) Propagator, den wir hier mit K bezeichnen wollen, trans”
portiert“ die Wellenfunktion ψ von einem Zeitpunkt ti zu einem Zeitpunkt tf ,
�
dqi K(qf , tf ; qi , ti ) ψ(qi , ti ) .
ψ(qf , tf ) =
|ψ|2
t=t
t=t
f
i
Durch Einschieben der Eins erhält man
ψ(qf , tf )
=
=
�qf , tf |ψ�
�
dqi �qf , tf |qi , ti � �qi , ti |ψ� .
��
� � �� �
�
=K(qf ,tf ;qi ,ti ) =ψ(qi ,ti )
Durch Vergleich dieser Relationen sieht man, dass
der quantenmechanische Propagator K identisch
ist mit der Übergangsamplitude, d.h.
K(q � , t� ; q, t) = �q � , t� |q, t� .
q
(4.8)
Klassisch hingegen weist man einem Teilchen eine Koordnate q zu, und kann man bei spezifizierten Anfangsbedingungen genau einen Pfad finden, welchen das System durchläuft.
Ziel der folgenden Diskussion ist es, die beiden Beschreibungen zueinander in Bezug zu
setzen. Wir werden sehen, dass die quantenmechanische Dynamik als das simultane Durchlaufen mehrerer Pfade interpretiert werden kann, wobei jedem Pfad eine Wahrscheinlichkeit
dafür zugeordnet wird, durchlaufen zu werden.
Beispiel: Zur Illustration betrachten wir das Doppelspalt–Experiment (Abbildung 2).8
Ein Elektron kann, ausgehend von der Quelle Q, an den Ort qf entweder über den Spalt
a oder b gelangen. Die Übergangsamplitude ist die Superposition zweier Amplituden, d.h.
die Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Auffinden von Elektronen zur Zeit tf and der
Stelle qf ergibt sich zu
�
W =
dt0 K(qf , tf ; Q, t0 ) =
�
dt0 [K(qf , tf ; a, ta ) K(a, ta ; Q, t0 ) + K(qf , tf ; b, tb ) K(b, tb ; Q, t0 )] .
Die Übergangswahrscheinlichkeit |K(qf , tf ; Q, t0 )|2 enthält dann Interferenzterme. Dies
liefert das vertraute Interferenzbild.
Propagator eines freien Teilchens.
Dimension ist
Der Propagator eines freien Teilchens in einer
�
�
i
�x, t|y, 0� = K0 (x, t; y, 0) = �x| exp − H 0 t |y� ,
�
wobei
H0 =
8 Dieses
p2
2m
Experiment wird natürlich in drei (Raum-)Dimensionen durchgeführt.
(4.9)
4
53
FUNKTIONALINTEGRALE
, t0)
;Q
K (a, ta
Quelle
a
K (qf , t
f ; a, t )
a
qf
Q
K (b, t
b
b ; Q, t
0)
K (q f
, t b)
, tf ; b
Abbildung 2: Doppelspaltexperiment. Wir betrachten Elektronen mit einer scharfen Impulsverteilung, so dass die zurückgelegte Entfernung proportional zu einer Zeit–Differenz ist.
ist und |x� ≡ |x, 0� gesetzt wurde. Explizit berechnet man K0 über
�
�
i p2
K0 (x, t; y, 0) = �x| exp −
t |y�
� 2m
�
�
�
�
i p2
�p| exp −
�p� , y�
t |p� �
=
dp dp�
�x|p�
� �� �
� �� �
� 2m
�
��
� = √ 1 e−i p� y/�
= √ 1 ei p x/�
2π�
=
=
�
i
=e− �
p2
t
2m
2π �
δ(p−p� )
dp i p (x−y) − i p2 t
e�
e � 2m
2π �
�
�
� m
m
exp i
(x − y)2 .
2π i � t
2� t
(4.10)
Dies ist nichts Anderes als der drei–dimensionalen freien Propagator der SchrödingerTheorie. Durch Einsetzen bestätigt man
−
�2
Δ G0 (�x � − �x, t� − t) = δ (3) (�x � − �x)
2m
und
lim K0 (x, t; y, 0) = δ(x − y)
t→0
gilt. Das bedeutet, dass
�
lim dy K0 (x, t; y, 0) ψ(y, 0) = ψ(x, 0)
t→0
ist, wie es sein sollte.
Im letzten Schritt in der Rechnung (4.10) wurden zwei Schritte durchgeführt: zum Einen
die Redefinition der Impulsvariablen, so dass der Integrand geschrieben werden kann als
exp(−i α p�2 ) · exp(−i p�-unabhängige Konstante) ,
und zum Anderen das Integral über die oszillierende Funktion exp(−i α p�2 ) ausgeführt.
Der zweite Schritt wird nun etwas genauer diskutiert.
4
54
FUNKTIONALINTEGRALE
Analytische Fortsetzung von Gaußschen Integralen.
�∞
�
�
I(α) =
dq exp −i α q 2 .
Wir betrachten das Integral
(4.11)
−∞
Dies ist ein Integral in der komplexen Ebene entlang der gestrichelten Linie in Abbildung 3,
d.h. mit der Substitution q = e−i π/4 z gilt
�
�
�
(4.12)
dz exp −α z 2 .
I(α) = lim e−iπ/4
R→∞
�
C(R)
Der Integrand ist holomorph, und man kann daher (solange das Integral konvergiert) die
Integrationskontour beliebig modifizieren ohne den Wert des Integrals zu ändern. Wir
Im z
π/4
R
Re z
�
Abbildung 3: Integrations–Kontouren C(R)
(gestrichelte Linie) und C(R) (durchgezogene Linie)
für das Integral I(α).
wählen die Kontour C(R) (siehe Abbildung 3).
�
�
�
dz exp −α z 2 .
I(α) = lim e−iπ/4
R→∞
(4.13)
C(R)
Es läßt sich leicht überprüfen, dass die Integrale über die beiden Bögen dür große R gegen
0 gehen. Es gilt daher
�
�
�∞
�
�
π
π
I(α) = e−iπ/4
dz exp −α z 2 = e−iπ/4
=
.
(4.14)
α
iα
−∞
Das bedeutet, dass man allgemein Integrale dieser Bauart durch analytische Fortsetzung
berechnen kann. Insbesondere erhält man mit analogen Überlegungen für 0 ≤ arg β ≤ π/2
die Relation
�
�∞
�
�
π
2
.
(4.15)
=
dq exp −β q
β
−∞
4
55
FUNKTIONALINTEGRALE
Dies impliziert
I(α)
=
=
lim
�∞
ε�0
−∞
�∞
lim
ε�0
−∞
�
�
dq exp −i (α − i ε) q 2
�
�
dq exp −i α q 2 − ε q 2 .
(4.16)
Hier sieht man, dass der ε–Term die offensichtliche Konvergenz des Integrals bewirkt.
Segmentierung.
t > ti
ψ(qf , tf )
=
=
Durch Einschieben der Eins (vgl. Gleichung (4.8)) findet man für tf >
�
�
dqi K(qf , tf ; qi , ti ) ψ(qi , ti )
�
dqi dq K(qf , tf ; q, t∗ ) K(q, t∗ ; qi , ti ) ψ(qi , ti ) .
Damit gilt
K(qf , tf ; qi , ti ) =
t
tf −
�
dq K(qf , tf ; q, t∗ ) K(q, t∗ ; qi , ti ) .
•
t∗
ti − •
|
qi
|
qf
q
t
tf −
t4
t3
t2
t1
ti − •
|
qi
(a) Zu (4.17).
(4.17)
•
|
qf
q
(b) Zu (4.18).
Abbildung 4: Segmentierung.
Anschaulich greift man für festes t∗ alle q–Werte ab (Abbildung 4(a)). Damit summiert
man über alle Pfade, die über dieses (q, t) führen. Im Gegensatz zur klassischen Theorie
tragen alle Pfade bei, d.h. nicht nur der klassische, der sich als Lösung der Bewegungsgleichungen ergibt. Im Folgenden wird diskutiert, mit welchem Gewicht ein gewisser Pfad
beiträgt. Dazu muss man insbesondere die Koordinate q öfters ‘abgreifen’.
Den in (4.17) vollzogenen Prozeß kann man offensichtlich iterieren, d.h. man kann folgende Zerglegung durchführen (siehe Abbildung 4(b)):
�
�
i
�qf , tf |qi , ti � = �qf | exp − H (tf − ti ) |qi �
�
4
FUNKTIONALINTEGRALE
=
�
�
�
i
dqn �qf | exp − H ε |qn � ·
�
�
�
�
�
i
i
· �qn | exp − H ε |qn−1 � · · · �q1 | exp − H ε |qi �
�
�
dq1 . . .
56
�
(4.18)
(tk , qk )
q
(tf , qf )
Dabei haben wir das Intervall [ti , tf ] in n+1
• •
(ti , qi )
Zeitintervalle der Länge ε = (tf − ti )/(n +
• •
•
• •
1) zerlegt. Der Vorteil dieser Segmentierung
•
•
• •
zeigt sich erst bei der Betrachtung zeitabhängiger Operatoren H(t). Haben wir ein H, weltn+1 = tf
tk
cher auf jedem der Segmentzeitintervalle [tk , tk+1 ] t0 = ti
(0 ≤ k ≤ n) konstant ist, so ist (4.18) richtig,
obwohl die erste Identität voraussetzt, dass
H auf [ti , tf ] konstant ist. Später werden wir
n → ∞ gehen lassen, um zeitabhängige H(t) zu betrachten.
Durch die Unterteilung wird die Amplitude für die Wahrscheinlichkeit des Übergangs
entlang des diskreten Pfades zum Produkt von Übergangsamplituden,
�
�
i
W (qf , tf ; qi , ti ) = �qf | exp − H ε |qn � ·
�
�
�
�
�
i
i
· �qn | exp − H ε |qn−1 � · · · �q1 | exp − H ε |qi � .
(4.19)
�
�
(ii)
Pfadintegral
Wir betrachten nun einen Hamilton–Operator der Form
H =
p2
+ V (q) = H 0 + V (q)
2m
(4.20)
in einer Dimension.
Die Segmentierung erweist sich nun vorteilhaft, denn der Operator exp (−i H ε) kann
umgeschrieben werden als
�
�
�
�
�
�
i
i
i
exp − ε H
= exp − ε H 0 exp − ε V (q) + O(ε2 ) .
(4.21)
�
�
�
Später wird der Fall n → ∞, d.h. ε → 0, untersucht, so dass man die Terme ∝ ε2
vernachlässigen kann. Es ergibt sich für die Matrixelemente also näherungsweise
�
�
�
�
i
i
�qk | exp − ε H |qk−1 � = �qk | exp − ε (H 0 + V (q)) |qk−1 �
�
�
�
�
�
�
i
i
�
�qk | exp − ε H 0 exp − ε V (q) |qk−1 �
�
�
�
�
i
i
=
�qk | exp − ε H 0 |qk−1 � · e− � ε V (qk−1 )
�
�
�
�
i
m
i m
(4.10)
2
=
exp
(qk − qk−1 ) · e− � ε V (qk−1 )
2π i � ε
� 2ε
��
�
� �
�
�2
m
i
m qk − qk−1
=
− V (qk−1 )
.
(4.22)
exp
ε
2πi � ε
�
2
ε
4
57
FUNKTIONALINTEGRALE
Im Grenzfall n → ∞ ⇐⇒ ε → 0 wird die Näherung besser bzw. exakt. Es ergibt sich
�
�
� m �(n+1)/2
dq1 . . . dqn
K(qf , tf ; qi , ti ) = lim
·
n→∞
2πi � ε

� �
�
�2
n

i �
m qj+1 − qj
.
(4.23)
ε
− V (qj )
exp

�
2
ε
j=0
�
�
Der Exponent n+1 des Faktors 2πim� ε ergibt sich, da n+1 Übergangsamplituden zwischen
den n qk s auftreten. Wir setzen als Pfadintegral
�
�
�
� m �(n+1)/2
� := lim
.
(4.24)
dq1 . . . dqn
Dq
n→∞
2πi � ε
Jetzt betrachten wir Funktionen q(t) mit
q(tk ) = qk
tk = ε · k .
wobei
Ein Pfad besitzt die Darstellung q(t). Für einen solchen Pfad gilt im Limes n → ∞ mit
δt = ε = T /n (wobei T = tf − ti )
� �
�
�
� �
�2
�2
n
n
�
�
�
�
m q(tj+1 ) − q(tj )
m qj+1 − qj
δt
− V (qj ) = i
− V q(tj )
ε
i
2
ε
2
δt
j=0
j=0
n→∞
−−−−→
i
�tf
dτ
ti
�m
2
�
��
q̇ 2 (τ ) − V q(τ ) .
(4.25)
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang (qi , ti ) → (qf , tf ) ist also klassisch ein
Pfadintegral
K(qf , tf ; qi , ti ) =
�
� exp
Dq
(qi ,ti )�(qf ,tf )
 tf
i �
�
�
dτ L q(τ ), q̇(τ )
ti

�

.
(4.26)
Man beachte, dass wir hier die festen Grenzen (qi , ti ) bzw. (qf, tf ) durch die Notation
(q , t ) � (qf , tf )“ feshalten. Der Ausdruck ist äquivalent zu
” i i
K(qf , tf ; qi , ti ) = N
�
Dq exp
(qi ,ti )�f ,tf )
Hierbei ist
�
Dq :=
lim
n→∞
�
dq1 . . .
�
dqn
�
i
S[q]
�
�
.
(4.27)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
58
und
S[q] =
�tf
ti
�
�
dτ L q(τ ), q̇(τ ) .
N bezeichnet eine ‘Normierungskonstante’,
� m �(n+1)/2
N = lim
n→∞ 2πi � ε
t
Interpretation: Wir sehen also, dass man
die Amplitude für den Übergang qi → qf
tf −
•
erhält, indem man über alle Pfade im Konfigurationsraum summiert, wobei jeder Pfad
i
als Gewichtsfaktor die Phase e � S[q] erhält.
Klassisch durchläuft das System gerade
einen Pfad; nämlich den mit stationärer Wirti − •
kung. Dies bedeutet, dass sich die Phase
|
|
qf
qi
q
entlang des Weges nicht ändert, wenn man
den Weg infinitesimal ändert.
Der klassische Pfad gibt den dominanten Beitrag zur Übergangsamplitude. Die anderen Pfade erhalten unterschiedliche Phasen, so dass sich die entsprechenden Beiträge in
gewissem Sinne wegmitteln.
Bemerkung: Man kann das Wegmitteln analog zu der Situation bei dem Gaußschen
Integral (4.11) verstehen, dessen Konvergenz auch als Wegmitteln von Beiträgen mit verschiedenen Phasen augefaßt werden kann.
(iii)
Störungstheorie
Wir betrachten den Fall
H = H 0 + V (q, t) ,
(4.28)
wobei V in einem gewissen, später zu spezifizierenden Sinn klein sein soll. Es ergibt sich
für den Propagator

 tf
�
�
�
�
1
i
dt
m q̇(t)2 − V (q(t), t) 
�qf , tt |qi , ti � = N Dq exp 
�
2
ti
�
�
� m �(n+1)/2
dq1 . . . dqn
= lim
n→∞
2πi � ε

�
� �
�2
n
i �

m qj+1 − qj
exp
− V (qj , tj )
ε
�

2
ε
j=0


� �
�2 �
�
�
n
i �
� m �(n+1)/2
m qj+1 − qj
dq1 . . . dqn
= lim
·
ε
exp
n→∞
�

2πi � ε
2
ε
j=0
4
59
FUNKTIONALINTEGRALE
�
n
i �
V (qk , tk )
exp − ε
�
k=0
�
.
(4.29)
Der Term in der letzten Zeile kann entwickelt werden,
�
�
n
n
i �
i �
exp − ε
V (qk , tk )
= 1− ε
V (qk , tk )
�
�
k=0
k=0
+
( �i
ε)
2!
2
n
�
V (qk , tk ) V (q� , t� ) + . . . .
(4.30)
k,�=0
Durch Einsetzen der Entwicklung erhält man eine Entwicklung für den Propagator,
K = K0 + K1 + K2 + . . . ,
wobei
K0
=
=
(4.31)
�
�
� m �(n+1)/2
dq1 . . . dqn
n→∞
2πi � ε


� �
�2 �
n
 i �
m qj+1 − qj
exp − ε

 �
2
ε
j=0
�
�
�
m
i m (qf − qi )2
θ(tf − ti )
exp
2πi � (tf − ti )
� 2 (tf − ti )
lim
(4.32)
der freie Propagator ist. Für K1 erhält man
�
n
�
K1 = lim
ε dqk
n→∞
�
k=0
dqn . . .
�
dqk+1
�
�
−i
V (qk , tk )
�
�
�
�
dqk−1 . . . dq1
�
=
i
−
�
�tf
ti
dt
�


� �
�2 �
n
i �
m �(n−k+1)/2
m qj+1 − qj
ε
exp

�
2πi � ε
2
ε
j=k
m
2πi � ε
�k/2
exp

i
�
ε
k−1
�
j=0
�
m
2
�
qj+1 − qj
ε

�2 �
dq K0 (qf , tf ; q, t) V (q, t) K0 (q, t; qi , ti )
Diesen Ausdruck kann man folgendermaßen interpretieren: Das Teilchen propagiert frei von (qi , ti ) bis zum
Raumzeitpunkt (q, t). Dort wirkt dann das Potential
V . Anschließend propagiert das Teilchen weiter frei bis
nach (qf , tf ). Es wird über alle möglichen Wechselwirkungspunkte (q, t) summiert.
V
K0
•
(qi , ti )
•
(q, t)

(4.33)
K0
•
(qf , tf )
4
60
FUNKTIONALINTEGRALE
Die Terme zweiter Ordnung in V sind in K2 enthalten,
1
K2 (qf , tf ; qi , ti ) = − 2
�
�tf
dt1
ti
�tf
ti
dt2
�∞
dq1
−∞
�∞
dq2 ·
−∞
K0 (qf , tf ; q2 , t2 ) V (q2 , t2 ) K0 (q2 , t2 ; q1 , t1 ) V (q1 , t1 ) K0 (q1 , t1 ; qi , ti ) .
Die Interpretation verläuft wie bei K1 : Das
Teilchen propagiert frei von (qi , ti ) bis zum Raumzeitpunkt (q1 , t1 ). Dort wirkt dann zum ersten
Mal das Potential V . Nach einer weiteren Propagation nach (q2 , t2 ) wirkt V zum zweiten mal.
Anschließend propagiert das Teilchen weiter frei
bis nach (qf , tf ).
Die weiteren Terme in der Störungsreihe (4.31)
erhält man analog.
(iv)
V
•
(q1 , t1 )
K0
•
(qi , ti )
•
(4.34)
(q2 , t2 )
K0
•
(qf , tf )
K0
V
Erzeugendes Funktional
Äußere Quellen J werden in der Lagrangefunktion durch einen additiven Quellenterm
q(t) · J(t) beschrieben,
L (q, q̇) → LJ (q, q̇) = L (q, q̇) + q(t) · J(t) ,
(4.35)
wobei wir hier eindimensionale Konfigurationsräume betrachten.
Bemerkung: Die Nomenklatur ‘Quellterm’ wird in der klassischen Beschreibung offensichtlich. Betrachte eine Theorie beschrieben durch die Lagrangefunktion L(q, q̇). Man
erhält die Bewegungsgleichungen
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇
∂q
(4.36)
Für die modifizierte Lagrangefunktion LJ (q, q) = L(q, q̇) + J q ergibt sich
d ∂L ∂L
−
= J.
dt ∂ q̇
∂q
(4.37)
D.h. J ist in der Tat ein Quellterm.
Zeitlich begrenzte Störung. Es soll der Fall
betrachtet werden, dass die Quelle J nur eine
endliche Zeit von 0 verschieden ist, d.h.
�
τ <t,
J(τ ) = 0 für
τ > t� .
Wir betrachten eine Theorie, in der es für τ < t
und τ > t� keine Störung gibt, die also für diese
Zeiten frei ist.
J(τ )
t
t�
τ
4
61
FUNKTIONALINTEGRALE
Des Weiteren spezialisieren wir uns auf
L =
1
m q̇ 2 − V (q) .
2
Nun betrachte die Übergangsamplitude |Q, T � →
|Q� , T � �, wobei T � > t� und T < t. Diese können wir zerlegen

 T�
�
�
i
dt (L + q J)
�Q� , T � |Q, T � = N Dq exp 
�
T
(Q,T )�(Q� ,T � )
�
=
dq �
�
dq �Q� , T � |q � , t� � �q � , t� |q, t�J �q, t|Q, T � .
(4.38)
Das linke bzw. rechte Matrixelement �Q� , T � |q � , t� � bzw. �q, t|Q, T � entspricht der Amplitude der Übergangswahrscheinlichkeit für die ‘ungestörte Propagation’, d.h. die Propagation
ohne Quellen, |q � , t� � → |Q� , t� � bzw. |Q, T � → |q, t�. Durch Entwicklung nach den Energieeigenzuständen |m� des Quellen–freien Systems, d.h. J = 0, ergibt sich, da das Potential
per Annahme zeitunabhängig ist
�
�
�
�
i
i
�
� � �
�
�
�
�Q , T |q , t � = �Q | exp − H T exp
H t |q � �
�
�
�
�
�
=
�Q� |m� e−i Em (T −t )/� �m|q � �
m
�
=
∗
ψm (Q� ) ψm
(q � ) e−i Em (T
�
−t� )/�
(4.39)
m
bzw.
�q, t|Q, T � =
�
∗
ψm (q) ψm
(Q) ei Em (T −t)/� ,
(4.40)
m
wobei wieder |q� := |q, 0� mit 0 < T gesetzt wurde. Hierbei bezeichnen |m� mit m ∈ 0 die Eigenzustände des Hamiltons zu den Eigenwerten E0 < E1 < . . . .
Das mittlere Matrixelement �q � , t� |q, t�J entspricht der Wahrscheinlichkeitsamplitude für
den Übergang |q, t� → |q � , t� � unter dem Einfluß des freien Hamiltons zuzüglich einer durch
J beschriebenen Störung. Es ergibt sich mit dem Zeitentwicklungsoperator U (t� , t)
0
�q � , t� |q, t�J
=
=
�q � | U (t� , t) |q�
�
�q � |n� � �n� |U (t� , t)|n� �n|q�
n,n�
=
�
n,n�
ψn� (q � ) ψn∗ (q) �n� |U (t� , t)|n� ,
(4.41)
wobei die Elemente �n� |U (t, t� )|n� noch zu bestimmen sind.
Asymptotische Anfangs- und Endzustände. Jetzt interessieren wir uns (aus Gründen,
die später klar werden) für �0|U (t, t� )|0�. Dieses Matrixelement kann man mit einem Trick
bestimmen.
Es gibt nun verschiedene Weisen, auf die man die Grundzustands–Amplitude berechnen
kann. Wir wollen zunächst eine Methode diskutieren, die wir später nicht weiter verwenden
werden, die jedoch den Bezug zum Pfadintegral in der statistischen Physik herstellt.
4
62
FUNKTIONALINTEGRALE
Zunächst wird der Wertebereich für die Zeitvariable t auf die komplexe Ebene
tert. Dann betrachten wir mit 0 < δ ≤ π/2 die Grenzfälle
T � → T � · e−i δ
� erwei-
T → T · e−i δ .
bzw.
Somit wird der reine Phasen–Gewichtsfaktor in (4.39) bzw. (4.40) zum Exponentialfaktor
mit dem folgenden asymptotischen Verhalten:
�
ei Em (t −T
e
�
)
i Em (T −t)
→
→
e−Em τ
für
−Em τ
für
e
τ →∞,
(4.42)
τ →∞.
(4.43)
Da die Unterdrückung mit steigendem Energieeigenwert En wächst, filtert der Grenzübergang gewissermaßen aus den Summen (4.39) bzw. (4.40) asymptotisch den Term mit der
Grundzustandsenergie heraus,
�
�
�
∗
ψm (Q� ) ψm
(q � ) e−i Em (T −t ) → ψ0 (Q� ) ψ0∗ (q � ) e−E0 τ asymptotisch für τ → ∞ ,
m
�
∗
ψm (q) ψm
(Q) ei Em (T −t)
m
→
ψ0 (q) ψ0∗ (Q) e−E0 τ
asymptotisch für τ → ∞ .
Für die gesamte Übergangsamplitude ergibt sich
�
�
�
�
�
�
∗
� −i Em� (T � −t� )
�
�
�
dq dq
ψm� (Q ) ψm� (q ) e
�Q , T |Q, T � =
·

·
·
�
m�
�
n,n�
�

ψn� (q � ) ψn (q) �n� |U (t� , t)|n� ·
∗
ψm (q) ψm
(Q) ei Em (T −t)
m
�
�
→
�
=
ψ0 (Q ) ψ0∗ (Q) · �0| U (t� , t) |0� e−2E0 τ
dq � ψ0 (Q� ) ψ0∗ (q � ) ψ0 (q) ψ0∗ (Q) e−2E0 τ ·

�
ψn� (q � ) ψn (q) �n� |U (t� , t)|n�
·
dq

n,n�
�
(4.44)
asymptotisch für τ → ∞. Es entspricht also bis auf einen Faktor dem Übergangsmatrixelement
�0| U (t, t� ) |0� = �0|0�J ,
das den Übergang vom Grundzustand in den Grundzustand unter Einfluß von J beschreibt.
Formal können wir also schreiben
�0; T � → ∞|0; T → −∞�J ∼
lim
T � →∞·e−iδ
T →−∞·e−iδ
�Q� , T � |Q, T � .
(4.45)
Man beachte, dass auf der linken Seite der Gleichung Energie–Eigenzustände stehen wohingegegen es sich bei den Zuständen auf der rechten Seite um Eigenzustände von q handelt.
Diese Amplitude, die offensichtlich von J abhängt, wollen wir als erzeugendes Funktional
bezeichnen,
4
63
FUNKTIONALINTEGRALE
Z[J] = �0; T � → ∞|0; T → −∞�J .
(4.46)
Es stellt sich heraus, dass man das Herausfiltern des Grundzustands für betragsmäßig
große Zeiten auch auf eine andere Weise bewerkstelligen kann. Anstatt die Zeitachse in
die komplexe Ebene zu drehen, kann man das mit den Energien tun. Dies kann erreicht
werden, indem man zu dem Potential einen (kleinen) imaginären Beitrag − 2i ε q 2 (ε > 0)
hinzufügt bzw. zur Lagrangefunktion einen Term 2i ε q 2 addiert.
Definition:
Als erzeugendes Funktional wird bezeichnet
Z[J] = N
�

Dq exp 
i
�
�∞
dt
−∞
�
L(t) + q(t) J(t) +
�

i
ε q 2 (t)  .
2
(4.47)
Bemerkungen:
(1) Bei dem Pfadintegral, das im erzeugenden Funktional auftritt, muss man keine festen
Grenzen berücksichtigen; die Projektion auf den Grundzustand für vom Betrag her
große Zeiten wird durch die beschriebenen Methoden erreicht.
(2) Setzen wir δ = π/2, so ergibt sich mit der Ersetzung t = −i τ


�∞
�
1
dτ (LE (τ ) + JE (τ ) qE (τ )) ,
Dq exp −
ZE [J] =
�
(4.48)
−∞
wobei
LE (τ ) = L(−i τ )
usw.
ist und der Index E“ für euklidisch“ steht. Die Ersetzung führt auf eine bis auf das
”
”
Vorzeichen euklidische Metrik,
xµ xµ = t2 − �x 2 = − (τ 2 + �x 2 ) .
(v)
Korrelationsfunktionen
Wir beschränken uns auf Hamilton–Operatoren der Gestalt
H =
p2
+ V (q)
2m
(4.49)
mit den entsprechenden klassischen Hamilton–Funktionen. Zunächst betrachten die Korrelationsfunktion
�qf , tf | T {q(t2 ) q(t1 )} |qi , ti � ,
4
64
FUNKTIONALINTEGRALE
wobei der Heisenbergoperator
�
�
�
�
i
i
H t q exp − H t
q(t) = exp
�
�
(4.50)
die Konfiguration zur Zeit t abfrägt,
q(t) |q, t� = q |q, t� .
(4.51)
Die Korrelationsfunktion besitzt die Pfadintegraldarstellung
�qf , tf | T {q(t2 ) q(t1 )} |qi , ti �


�t
�
�
�
i
dτ p(τ ) q̇(τ ) − H p(τ ), q(τ ) 
=
Dq q(t2 ) q(t1 ) exp 
�
(qi ,ti )�(qf ,t)
=
N
�
Dq q(t2 ) q(t1 ) exp
(qi ,ti )�(qf ,t)
0
 tf
i �
�
dt L(t)
ti



.
(4.52)
Man beachte, dass man es hier mit einem Pfadintegral mit ‘festen Grenzen’ zu tun hat.
Begründung: Für ti < t1 < t2 < tf erhalten wir
�qf , tf | T {q(t2 ) q(t1 )} |qi , ti �
�
� �
�
�
�
�
i
i
i
= �qf | exp − H tf T exp
H t2 q exp − H t2
�
�
�
�
�
�
��
�
�
i
i
i
exp
exp
H t1 q exp − H t1
H ti |qi �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
i
i
i
= �qf | exp − H (tf − t2 ) q exp − H (t2 − t1 ) q exp − H (t1 − ti ) |qi � .
�
�
�
Durch Wiederholen der Schritte, die auf das Pfadintegral geführt haben, sieht man, dass
die Operatoren q(t1 ) und q(t2 ) in (4.52) lediglich zwei zusätzliche Faktoren q(t1 ) und q(t2 )
liefern (vgl. Übung).
Die Verallgemeinerung liegt auf der Hand,
�qf , tf | T {q(tn ) . . . q(t1 )} |qi , ti �
=
N
�
Dq q(tn ) . . . q(t1 ) exp
(qi ,0)�(qf ,t)
 tf
i �
�
dt L(t)
ti



.
(4.53)
Speziell für Grundzustandsübergänge können wir die festen Grenzen mit den selben Methoden loswerden, die wir im Zusammenhang mit dem erzeugenden Funktional diskutiert
hatten, d.h.
�0; T � → ∞| T {q(tn ) . . . q(t1 )} |0; T → ∞�


�

 i �∞
i
dt L(t) + ε q 2 (t) .
= N Dq q(tn ) . . . q(t1 ) exp

�
2
(4.54)
−∞
Nun betrachten wir Funktionalableitungen von Z. Die Funktionalableitung nach der
Quelle J zur Zeit t1 liefert


�
�
 i �∞ �
δZ[J]
i
i
=
(4.55)
dt L(t) + q(t) J(t) + ε q 2 (t)
Dq q(t1 ) exp

�
δJ(t1 )
�
2
−∞
4
65
FUNKTIONALINTEGRALE
bzw.
δ n Z[J]
δJ(t1 ) · · · δJ(tn )


�
� �n �
�∞ �

i
i
i
Dq q(t1 ) · · · q(tn ) exp
dt L(t) + q(t) J(t) + ε q 2 (t)
.
=
�

�
2
−∞
(4.56)
Die Grundzustands–Korrelationsfunktionen können also durch Funktionalableitung des
erzeugenden Funktionals nach der Quelle J generiert werden,
�
�
δ n Z[J]
�i
�
�i
� ��
δ � J(t1 ) · · · δ � J(tn ) �
J=0
= �0; T � → ∞| T [q(tn ) · · · q(t1 )] |0; T → −∞� .(4.57)
Im Folgenden wird es darum gehen, diese Begriffe und Methoden auf die relativistische
Quantenfeldtheorie zu übertragen.
4.2
Pfadintegrale mit Skalarfeldern
Ab sofort benutzen wir wieder natürliche Einheiten, d.h. � = c = 1.
(i)
Zerlegung des Minkowskiraumes
Wir betrachten skalare Felder φ(x) und eine Lagrangedichte
L (φ, ∂µ φ) =
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − V (φ) ,
2
(4.58)
wobei wir annehmen, dass V (φ) als Potenzreihe in φ darstellbar ist, etwa
V (φ) =
1 2 2
1
m φ + g φ4 .
2
4!
(4.59)
Für die Lagrangedichte (4.58) ist die Hamiltondichte
H = π φ̇ − L ,
mit π =
∂L
∂ φ̇
(4.60)
von der Form
H =
1 2 1 � � �2
π +
∇φ + V (φ) .
2
2
(4.61)
Auch für andere Lagrangedichten ist H meist quadratisch in π.
Es soll der Übergang von der (Quanten–)Mechanik zu (Quanten–)Feldtheorie, d.h. der
Übergang
Dq → Dφ
erfolgen. Dazu zerlegen wir den Minkowskiraum in kleine, vierdimensionale Würfel,
Δ4 = δt δx δy δz .
4
66
FUNKTIONALINTEGRALE
Auf jedem Würfel ist das Feld
φ(xi , yj , zk , t� ) = φ(x�n ) = φ�n ,
�n = (i, j, k, �) ,
wobei
x�n = n1 ex + n2 ey + n3 ez + n0 et ,
durch eine Konstante approximierbar.
In diesem diskretisierten Minkowski–Raum werden Ableitungen als Differenzen zwischen
benachbarten Feldern definiert, etwa
φ(�x, t� + δt) − φ(�x, t)
∂φ
=
.
(4.62)
∂t
δt
In die Lagrangedichte setzen wir dann die gegitterten Felder und deren Ableitungen im
Sinne von (4.62) ein,
L (φ, ∂µ φ) = L (φ�n , ∂µ φ�n ) .
Das Wirkungsintegral wird dann zur Summe,
�
S[φ] =
d4 x L (φ, ∂µ φ)
�
=
δx δy δz δt L (φ�n , ∂µ φ�n ) .
� �� �
�
n
(4.63)
=Δ4
Das Pfadintegral erhält man dann durch den Kontinuumslimes
�
�
�
��
�
dφ�n exp i
Dφ exp(i S) = lim
Δ4 L (φ�n , ∂µ φ�n ) .
4
Δ →0
(ii)
�
n
(4.64)
�
n
Erzeugendes Funktional
Wir setzen nun als erzeugendes Funktional
�
� �
�
�
�
ε
Z[J] = N Dφ exp i d4 x L φ(x), ∂µ φ(x) + J(x) φ(x) + i φ2 (x) , (4.65)
2
wobei J hier die Quelldichte ist.
Z[J] ist proportional der Übergangsamplitude vom Grundzustand zur Zeit t → −∞ in
den Grundzustand t → ∞ in Gegenwart einer Quelldichte J(x),
�−| U (+∞, −∞) |−� ∼ Z[J] .
Beispiel:
Für das freie Skalarfeld haben wir die Lagrangedichte
1
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 .
2
2
Für Felder, die im Unendlichen verschwinden, ergibt sich
�
�
�
d4 x ∂µ (φ ∂ µ φ) − d4 x φ � φ .
d4 x (∂ µ φ) (∂µ φ) =
�
��
�
L0 =
=0
Damit ist das erzeugende Funktional des freien Skalarfeldes
4
FUNKTIONALINTEGRALE
Z0 [J] = N
�
� �
�
��
1
Dφ exp −i d4 x
φ (� + m2 − i ε) φ − J φ
.
2
67
(4.66)
Zur expliziten Berechnung solcher Terme benötigt man Anhang C.
Zunächst wird die Formel (C.11),
�
�
�
1
dx
1
dx
√ 1 . . . √ N e− 2 (x,Ax)−(b,x) = exp (b, A−1 b) (det A)−1/2 ,
2
2π
2π
verallgmeinert durch
��
� �
�
�
1
φ (� + m2 − i ε) φ − J φ
Z0 [J] = N Dφ exp −i d4 x
2
�
�
�
�
i
= N exp −
d4 x d4 y J(x) ΔF (x − y) J(y) ·
2
�
�−1/2
· det i (� + m2 − i ε)
.
(4.67)
Hierbei ist gemäß (C.16)
� �
�
��
�
�
�−1/2
1
det i (� + m2 − i ε)
=
Dφ exp −i d4 x
φ (� + m2 − i ε) φ
,(4.68)
2
und ΔF (x − y) ist das negative Inverse“ des Operators � + m2 − i ε,
”
ΔF (x − y) = − (� + m2 − i ε)−1 δ (4) (x − y) ,
bzw.
(� + m2 − i ε) ΔF (x − y) = − δ (4) (x − y) .
Dabei handelt es sich um den Feynman–Popagators, den wir bereits in (3.58) explizit
berechnet haben,
�
d4 k
e−i k·(x−y)
ΔF (x − y) =
.
(4.69)
4
2
(2π) k − m2 + i ε
Der wesentliche Aspekt von Formel (4.67) ist die Faktorisierung in einen J–abhängigen
Teil, den man explizit angeben kann, und einen J–unabhängigen Teil, den wir in die
Normierung stecken können, d.h.
�
�
�
�
i
4
4
d x d y J(x) ΔF (x − y) J(y) .
(4.70)
Z0 [J] = Z0 [0] · exp −
2
Im Folgenden betrachten wir nur noch das normierte erzeugende Funktional
�
�
�
�
i
d4 x d4 y J(x) ΔF (x − y) J(y) ,
Z0 [J] = exp −
2
(4.71)
d.h. Z0 [0] = 1. Damit haben wir einen analytischen Ausdruck für das erzeugende Funktional gefunden ohne auf Gitter zurückgreifen zu müssen.
4
68
FUNKTIONALINTEGRALE
(iii)
Korrelationsfunktionen des freien Skalarfeldes
Betrachte die zweite Funktionalableitung des erzeugenden Funktionals Z0 an der Stelle
J = 0,
�
�
δ
δ
=
(4.72)
Z0 [J]��
δJ(x1 ) δJ(x2 )
J=0
��
�
�
�
�
δ
δ
i
=
d4 x d4 y J(x) ΔF (x − y) J(y) ��
exp −
δJ(x1 ) δJ(x2 )
2
J=0
�
�
�
�
�
δ
i
i
�
4
4
=
−
d y ΔF (x2 − y) J(y) −
d x J(x) ΔF (x − x2 ) Z0 [J]�
δJ(x1 )
2
2
J=0
= −i ΔF (x1 − x2 ) Z0 [J] +
�
�
�2
�
�
�
i
i
�
−
d4 y ΔF (x2 − y) J(y) −
d4 x J(x) ΔF (x − x2 ) Z0 [J]�
�
2
2
J=0
=
−i ΔF (x1 − x2 ) .
(4.73)
Somit läßt sich die Korrelationsfunktion aus dem erzeugenden Funktional durch Funktionalableitung gewinnen,
�
�
δ
δ
(4.73)
�
� �
� Z0 [J]��
=
i ΔF (x1 − x2 )
�
δ i J(x1 ) δ i J(x2 )
J=0
=
�−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−� .
(4.74)
Dieses Ergebnis ist in Übereinstimmung mit den Überlegungen, die auf den Feyman–
Propagator geführt haben (vgl. Gleichung (3.50)).
Bemerkung: Man beachte, dass der ‘i ε Term’ aus zwei unterschiedliche Überlegungen
resultiert. Zum Einen legt diser Term die Polstruktur des Feynman–Propagators (vgl.
S. 44) fest, zum Anderen wurde in der QM Diskussion motiviert, dass der Term für vom
Betrag große Zeiten auf den Grundzustand projiziert (siehe S. 63). Man kann sich auch
überlegen, dass der Term die Konvergenz der Gauß’schen Integrale sicherstellt (vgl. Abbildung 3).
n–Punkt–Funktionen.
Man nennt
τ (x1 , x2 ) = �−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−�
oft Zweipunkt–Funktion und entsprechend
τ (x1 , . . . xn ) = �−| T φ(x1 ) . . . φ(xn ) |−�
n–Punkt–Funktion.
Analog zu (4.73) zeigt man
�
�
δn
.
Z0 [J]��
τ (x1 , . . . xn ) = (−i)
δJ(x1 ) · · · δJ(xn )
J=0
n
(4.75)
4
69
FUNKTIONALINTEGRALE
Bemerkung: Für ungerade n verschwinden die n–Punkt–Funktionen. Dies sieht man
am leichtsten dadurch ein, dass man die Feldoperatoren φ durch Erzeuger bzw. Vernichter
a† bzw. a ausdrückt. Eine ungerade Anzahl an Feldoperatoren im Erwartungswert führt
auf eine ungerade Anzahl an Erzeugern und Vernichtern, und der Vakuumerwartungswert
verschwindet. In Pfadintegral–Formalismus sieht man, dass eine ungerade Anzahl an Funktionalableitungen nach J immer auf Ausdrücke proportional zu [. . . ] in (4.73) führt, also
Null ergibt für J → 0.
Fourier–Transformierte von J .
�
d4 k −i k·x �
e
J(k)
J(x) =
(2π)4
Führen wir durch
(4.76)
die Fouriertransformierte J� der Quelle ein, so ergibt sich
�
�
i
4
d x d4 y J(x) ΔF (x − y) J(y)
−
2
� 4
�
�
i
d p1 d 4 p2 d 4 k
4
= −
d x
d4 y
2
(2π)4 (2π)4 (2π)4
� 1 ) e−i (p1 +k)·x e−i (p2 −k)·y J(p
� 2)
J(p
=
−
i
2
�
k 2 − m2 + i ε
� J(−k)
�
d4 k J(k)
.
4
2
(2π) k − m2 + i ε
(4.77)
Feynman–Regeln. Wie bei der Diskussion des Pfadintegrals in der Quantenmechanik
(siehe Gleichung (4.71)) können wir die Exponentialfunktion in Z0 [J] entwickeln. Es ergibt
sich
�
� J(−k)
�
d4 k J(k)
� = 1− i
Z0 [J]
4
2
2
(2π) k − m2 + i ε
�
�2
�
� J(−k)
�
i
d4 k J(k)
1
−
+ ... .
(4.78)
+
2!
2
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
Im Folgenden werden wir den Hut bei J� weglassen und durch das Argument kenntlich machen, ob wir im x- oder k–Raum arbeiten. Die oben gewonnen Formeln können graphisch
dargestellt werden.
Prozeß
Graph
Term in der Entwicklung (4.78)
i
2
k − m2 + i ε
J
i J(k)
freie Propagation
Quelle
Propagation zwischen
zwei Quellen
1
2
J
J
−i
�
� J(−k)
�
d4 k J(k)
4
2
(2π) k − m2 + i ε
4
70
FUNKTIONALINTEGRALE
Damit können wir das erzeugende Funktional bzw. die Vakuum–Amplitude graphisch darstellen,
Z0 [J]
=
�−|−�J
=
1+
1
2
� �3
1 1
+
3! 2
(iv)
+
� �2
1 1
2! 2
+ ... .
(4.79)
Skalarfelder mit Wechselwirkung
Strategie.
L =
Es geht darum, Korrelationsfunktionen zur Lagrangedichte
1
1
(∂µ φ)(∂ µ φ) − m2 φ2 + Lint (φ)
2
2
(4.80)
zu erzeugen, wobei wir immer annehmen, dass sich Lint als Potenzreihe in φ schreiben
läßt.
Das erzeugende Funktional für eine derartige Skalarfeld mit Wechselwirkung lautet
� �
�
�
4
Z[J] = N Dφ exp i d x [L0 + Lint + J φ] ,
(4.81)
wobei der Faktor N die Normierung Z[0] = 1 liefert,
� �
�
�
−1
4
N
=
Dφ exp i d x (L0 + Lint ) .
Ausserdem enthält
�
1�
L0 =
(∂µ φ) (∂ µ φ) − (m2 + i ε) φ2
2
(4.82)
(4.83)
bereits den ε–Term, der aus den Anfangs- bzw. Endzuständen den Grundzustand herausfiltert.
In (4.81) kann man die Exponentialfunktion in ein Produkt umformen,
�
� �
�
� �
�
4
4
(4.84)
Z[J] = N Dφ exp i d y Lint · exp i d x [L0 + J φ] .
Wenn der erste Faktor nicht unter dem Pfadintegral stünde, hätte man genau das erzeugende Funktional für freie Felder. Mit einem Trick gelingt es, den ersten Faktor vor das
Pfadintegral zu ziehen: Mit der Formel
� �
�
�
δ
4
Dφ exp i d x [L0 + J(x) φ(x)]
i δJ(y)
�
� �
�
4
(4.85)
=
Dφ φ(y) exp i d x [L0 + J(x) φ(x)]
4
71
FUNKTIONALINTEGRALE
δ
sieht man, dass man in (der Potenzreihe) Lint anstatt φ(y) die Funktionalableitung iδJ(y)
einsetzen und vor das Pfadintegral ziehen kann9
�
��
� �
δ
4
·
Z[J] = N exp i d y Lint
i δJ(y)
�
�
�
�
4
· Dφ exp i d x [L0 + J(x) φ(x)] .
(4.86)
�
��
�
∼Z0 [J]
Das verbleiben Pfadintegral entspricht gemäß (4.71) bis auf den Normierungsfaktor dem
erzeugenden Funktional für das freie Skalarfeld. Es ist also mit einem neuen Normierungsfaktor, den wir der Einfachheit halber wieder N nennen. Wir erhalten also
�
� �
Z[J] = N exp i d4 y Lint
mit
δ
i δJ(y)
��
Z0 [J]
(4.87)
�
�
�
�
i
4
4 �
�
�
Z0 [J] = exp −
d x d x J(x) ΔF (x − x ) J(x ) .
2
Erzeugendes Funktional der φ4 –Theorie.
grangedichte gegeben durch
g
Lint = − φ4 ,
4!
(4.88)
Ist der Wechselwirkungsanteil der La(4.89)
spricht man von der φ4 –Theorie. Das erzeugende Funktional ist dann
�
� �
� g � � δ �4
4
Z0 [J] .
Z[J] = N exp i d y −
4!
i δJ(y)
(4.90)
Im Folgenden wollen wir eine Störungsentwicklung, d.h. eine Potenzreihe von Z[J] in der
Kopplungsstärke g, finden. Dazu berechnen wir
��
�
δ
Z0 [J] = −
d4 x ΔF (y − x) J(x) · Z0 [J] ,
i δJ(y)
�
�2
�
��
�2 �
δ
4
Z0 [J] =
i ΔF (0) +
d x ΔF (y − x) J(x)
Z0 [J]
i δJ(y)
�
�3
�
��
�
δ
Z0 [J] =
−3i ΔF (0)
d4 x ΔF (y − x) J(x)
i δJ(y)
��
� �
3
−
9 Zur
�
Erinnerung:
d4 y Lint =
�
d4 y Lint (φ(y)) .
d4 x ΔF (y − x) J(x)
Z0 [J] ,
4
72
FUNKTIONALINTEGRALE
�
δ
i δJ(y)
�4
Z0 [J]
=
�
−3 [ΔF (0)]2 + 6i ΔF (0)
+
��
��
d4 x ΔF (y − x) J(x)
d4 x ΔF (y − x) J(x)
�4 �
�2
Z0 [J] .
Feynman–Diagramme im Ortsraum. Eine Alternative zur Darstellung dieser Formeln bieten Feynman–Diagramme im Ortsraum. Man ersetzt die obigen analytischen Ausdrücke durch Diagramme,
y ⇐⇒ ΔF (x − y) ,
x
⇐⇒ ΔF (0) ,
⇐⇒ Quelle ,
−
ig
4!
⇐⇒ Wechselwirkung .
Mit diesen Symbolen können wir die vierte Funktionalableitung schreiben als


�4
�


δ
· Z0 [J] .
Z0 [J] = g −3
g
+ 6i
+


i δJ(y)
(4.91)
Nun betrachte noch den Normierungsfaktor N , gegeben durch
�
��
�
� �
�
δ
−1
4
Z0 [J]��
.
N
= exp i d y Lint
i δJ(y)
J=0
(4.92)
Mit dieser Entwicklung erhalten wir für N in erster Ordnung in g
�
�
��
�
g
2
1−i
N −1 =
,
d4 y −3 (ΔF (0))
4!
(4.94)
Wir entwickeln sowohl in (4.90) als auch in (4.92) die Exponentialfunktion bis zur ersten
Ordnung in g,
�
� �
��
�4
�
�
δ
g
δ
exp i d4 y Lint
= 1−i
+ O(g 2 ) .
(4.93)
d4 y
i δJ(y)
4!
i δJ(y)
da die Terme mit J für J = 0 verschwinden.
Insgesamt erhält man in erster Ordnung in g
Z[J] =


�

g
d4 y −3
1−i

4!
g
1−i
4!
+ 6i
�
�
d4 y −3
+
�


 · Z0 [J]

.
(4.95)
4
73
FUNKTIONALINTEGRALE
Insbesondere fällt der Doppel–Loop–Term
�
�
d4 y [ΔF (0)]2 =
d4 y
in erster Ordnung in g heraus.
Bemerkung: Diese Aussage gilt sogar allgemeiner. Es läßt sich zeigen, dass in allen
Ordnungen Störungstheorie solche Vakuum–Diagramme durch die Normierung gekürzt
werden.
Das endgültige Ergebnis in erster Ordnung in g lautet



�


g
 · Z0 [J] + O(g 2 ) .
d4 y 6 i
1−i
(4.96)
Z[J] =
+


4!
Die graphische Entwicklung von Z0 hatten wir uns in (4.79) erarbeitet.
(v)
Zweipunkt–Funktion der φ4 –Theorie
Zweipunkt–Funktion der φ4 –Theorie.
τ (x1 , x2 )
Es geht darum,
�−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−�
�
�
δ 2 Z[J]
�
= −
δJ(x1 ) δJ(x2 ) �J=0
=
bis zur ersten Ordnung in g zu entwickeln und zu diskutieren.
Jetzt zeigt sich der Vorteil der diagrammatischen Darstellung: Bei der zweifachen Funktionalbleitung der Klammer {. . . } in (4.96) überleben“ für J = 0 nur die Terme, in denen
”
J genau zweimal vorkommt. Des Weiteren kann die zweifache Funktionalableitung auf den
zweiten Faktor Z0 wirken; gemischte Terme treten nicht auf, da die erste Funktionalableitung von Z0 für J = 0 verschwindet. Es ergibt sich also
�
g
τ (x1 , x2 ) = i ΔF (x1 − x2 ) − ΔF (0) d4 y ΔF (y − x1 ) ΔF (y − x2 ) + O(g 2 )
2
�
g
+O(g 2 ) .
(4.97)
= i
−
d4 y
x1
x2 2
x1 y x2
�
��
�
=:
x1
x2
Unter Benutzung von
�
d4 k
e−i k·(x−y)
ΔF (x − y) =
4
2
(2π) k − m2 + i ε
erhalten wir für den zweiten Term der Entwicklung
�
g
− ΔF (0) d4 y ΔF (x1 − y) ΔF (y − x2 )
2
� 4
�
� 4
d p2
e−i p1 ·(x1 −y) e−i p2 ·(y−x2 )
g
d p1
4
d
y
= − ΔF (0)
2
(2π)4
(2π)4
p21 − m2 + i ε p22 − m2 + i ε
4
74
FUNKTIONALINTEGRALE
=
g
− ΔF (0)
2
�
e−i p·(x1 −x2 )
d4 p
.
(2π)4 [p2 − m2 + i ε]2
Damit können wir τ auch anders darstellen,
�
�
�
d4 p e−i p·(x1 −x2 )
g
ΔF (0)
τ (x1 , x2 ) = i
1+i
+ O(g 2 ) .
(2π)4 p2 − m2 + i ε
2 p 2 − m2 + i ε
(4.98)
Der Term in geschweiften Klammern {. . . } ist der erste Term der Entwicklung von
�−1
�
ΔF (0)
g
,
1−i
2 p 2 − m2 + i ε
wobei die Entwicklung der geometrischen Reihe entspricht. Schematisch erhalten wir für
die Zweipunktfunktion
τ (x1 , x2 ) =
x1
x2
+
x1
x2
+
x1
x2
+ ... ,
wobei die Vorfaktoren i, g etc. in die Diagramme gesteckt seien.
In erster Ordnung in g kann man also ebensogut schreiben
�
d4 p
e−i p·(x1 −x2 )
τ (x1 , x2 ) = i
4
2
(2π) p − m2 − i gΔF (0) + i ε
�
d4 p e−i p·(x1 −x2 )
= i
(2π)4 p2 − m2ren + i ε
(4.99)
mit der renormierten Masse
m2ren = m2 +
i
i
g ΔF (0) = m2 + g
2
2
.
Das Teilchen propagiert also so, als hätte es die Masse mren , d.h. mren ist die physikalische
Masse, und das in der Lagrangedichte auftretende m ist nicht direkt meßbar. Die Schleife
trägt zur Selbstenergie des Teilchens in der Weise bei, dass es seine Masse renormiert.
An dieser Stelle wird auf diese Problematik nicht weiter eingegangen. Es sei auf die QFT
II Vorlesung verwiesen, in der Renormierung systematisch behandelt wird.
Vierpunkt–Funktion der φ4 –Theorie.
τ (x1 , x2 , x3 , x4 )
=
=
Es soll
�−| T (φ(x1 ) φ(x2 ) φ(x3 ) φ(x4 )) |−�
�
�
δ 4 Z[J]
�
δJ(x1 ) δJ(x2 ) δJ(x3 ) δJ(x4 ) �J=0
(4.100)
bis zur ersten Ordnung in g berechnet werden.
Ohne Wechselwirkung ergibt sich für die Vierpunktfunktion
�
τ (0) (x1 , . . . x4 ) = − ΔF (x1 − x2 ) ΔF (x3 − x4 ) + ΔF (x1 − x3 ) ΔF (x2 − x4 )
�
+ ΔF (x1 − x4 ) ΔF (x2 − x3 ) ,
(4.101)
4
75
FUNKTIONALINTEGRALE
oder diagrammatisch
 x3
x4 x3


+

x2
x1
x4
x3
+
x2
x1
x1
x4 
�

 = 3

�
.
(4.102)
x2
Dabei wurden die drei topologisch äquivalenten Diagramme in einem zusammengefaßt.
Mit Wechselwirkung ergibt sich mit der Konvention, topologisch äquivalente Diagramme
zusammenzufassen
�
�
�
�
ig
+ 24
72
−
τ (x1 , . . . x4 ) = − 3
4!
�
�
�
�
�
�
=
−3
− 3i g
− ig
.
(4.103)
Das Vakuum–Diagramm
fällt durch die Normierung heraus; es ist physikalisch irrelevant, da es keine beobachtbaren
Effekte liefert.
(vi)
Erzeugendes Funktional für zusammenhängende Diagramme
Zusammenhängende Diagramme. Diagramme, die im topologischen Sinne zusammenhängen, heißen zusammenhängend. Betrachte z.B.
zusammenhängend
nicht zusammenhängend
Betrachte das Funktional W [J], definiert durch
Z[J] = ei W [J] .
Behauptung:
(4.104)
Das Funktional
W [J] = − i ln Z[J]
(4.105)
erzeugt nur zusammenhängende Anteile von n–Punkt–Funktionen.
Anwendung.
Die zusammenhängenden n–Punkt–Funktionen berechnen sich über
Φ(x1 , . . . xn ) = (−i)n
δ n W [J]
.
δJ(x1 ) · · · δJ(xn )
(4.106)
4
76
FUNKTIONALINTEGRALE
Beispiel:
(vgl. Übung) Für n = 4 ergibt sich
�
δ2 Z
δ2Z
1
δ4W
= i
+ Permutationen
δJ(x1 ) · · · δJ(x4 )
Z 2 δJ(x1 ) δJ(x2 ) δJ(x3 ) δJ(x4 )
��
�
1
δ4Z
�
−
Z δJ(x1 ) · · · δJ(x4 ) �J=0
= i {τ (x1 , x2 ) τ (x3 , x4 ) + Permutationen
(4.107)
− τ (x1 , x2 , x3 , x4 )} .
Dabei verschwinden die Terme mit ungeraden Ableitungen, da diese für J = 0 Vakuumerwartungswerten eines Produkts von einer ungeraden Anzahl an Feldoperatoren entsprechen.
In erster Ordnung in g haben wir gemäß (4.97)
x2
−
τ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = − 3
�
τ (x1 , x2 ) = i
x1
1
2 x1
x2
und gemäß (4.103)
�
− 3i g
�
�
− ig
�
�
.
Durch Einsetzen erhalten wir dann in erster Ordnung in g für Φ,
i Φ(x1 , . . . x4 )
=
τ (x1 , . . . x4 ) − [τ (x1 , x2 ) τ (x3 , x4 ) + Permutationen]
=
ig
.
(4.108)
Mit τ (x1 , x2 ) = i Φ(x1 , x2 ) kann man diese Relation umkehren,
�
τ (x1 , . . . x4 ) = i Φ(x1 , . . . x4 ) −
Φ(xi1 , xi2 ) Φ(xi3 , xi4 ) .
Permutationen(i)
Graphisch stellt sich das folgendermaßen dar:
=
+
zusammenhängend
Dabei ist in erster Ordnung in g
=
+
.
(4.109)
4
77
FUNKTIONALINTEGRALE
(vii)
Erzeugendes Funktional für OPI–Diagramme
Reduzible und OPI–Diagramme. Betrachte nun Diagramme, bei denen die äußeren
Beinchen abgetrennt — man sagt auch amputiert — wurden. Ein solches Diagramm heißt
reduzibel , falls es durch Durchschneiden einer inneren Linie in ein nicht zusammenhängendes Diagramm, d.h. in zwei unverbundene Teildiagramme, verwandelt werden kann. Ansonsten spricht man von OPI–Diagrammen.10 Beispiele hierfür sind:
x1
x2
x1
OPI
x2
reduzibel
Genau wie die zusammenhängenden lassen sich auch die OPI–Greensfunktionen aus einem
erzeugenden Funktional generieren. Zur Definition dieses Funktionals benötigt man einige
Vorbetrachtungen.
Klassisches Feld.
φc (x) :=
Man definiert als klassisches Feld
δW [J]
.
δJ(x)
(4.110)
φc (x) ist nach Konstruktion ein Funktional von J.
Wegen
δZ[J]
= i �−| φ(x) |−�J
δJ(x)
ist
φc (x) =
�−| φ(x) |−�J
,
�−|−�J
(4.111)
was den Terminus klassisch“ rechtfertigt.
”
Effektive Wirkung.
Die Legendretransformierte von W bzgl. des klassischen Feldes φc ,
�
Γ[φc ] := W [J] − d4 x J(x) φc (x)
(4.112)
wird als effektive Wirkung bezeichnet.
Vertex-Funktion.
Als Vertex-Funktion definiert man
Γn (x1 , . . . xn ) := (−i)n
δ n Γ[φc ]
.
δφc (x1 ) · · · δφc (xn )
(4.113)
Diese entsprechen bis auf i–Faktoren den OPI–Diagrammen, genauer:
Bedeutung der Vertex–Funktionen.
tional für die OPI–Greensfunktionen.
10 OPI
steht für One Particle Irreducible“.
”
Die effektive Wirkung ist das erzeugende Funk-
4
78
FUNKTIONALINTEGRALE
4.3
(i)
Funktionalmethoden für Dirac–Felder
Motivation von a–Zahlen
�
In Funktionalintegralen wurden bisher gewöhnliche“ Felder, d.h. Felder, die Werte im n
”
annehmen und keine Operatoren sind, verwendet. Für Bosonen kann man die Anordnung
der Felder vertauschen, d.h. für �x �= �y hat man
�
�−| T φ(x) φ(y) |−� ∼
Dφ φ(x) φ(y) ei S[φ]
�
=
Dφ φ(y) φ(x) ei S[φ] �−| φ(y) φ(x) |−� .
(4.114)
Dies ist in Übereinstimmung damit, dass der Kommutator für Skalarfelder verschwindet
(für �x �= �y ).
Bei der kanonischen Quantisierung der Feldtheorie werden die Felder zu Operatoren,
und man erhält Antikommutatorrelationen für die Feldoperatoren der Fermionen–Felder.
Will man den Funktionalintegralformalismus auf Fermionen–Felder übertragen, muß man
auch für die “klassischen“ Felder Antikommutatorrelationen fordern,
{Ψ(x), Ψ(y)} = 0 .
In Anhang D wird ein Formalismus, mit dem man solche antikommutierenden Felder zu
behandeln hat, vorgestellt. Dabei werden die Feldvariablen Ψ(x) als Elemente einer unendlichdimensionalen Grassmann–Algebra aufgefaßt.
(ii)
Erzeugendes Funktional für freie Dirac–Felder
Erzeugendes Funktional.
µ
Die Lagrangedichte für freie Dirac–Felder ist
L0 = i Ψ γ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ .
(4.115)
Nun definiert man analog zu (4.65) das erzeugende Funktional für freie Dirac–Felder,
�
Z0 [η, η] = N DΨ DΨ
�
� �
�
�
.(4.116)
exp i d4 x Ψ(x) (i γ µ ∂µ − m − i ε) Ψ(x) + η(x) Ψ(x) + Ψ(x) η(x)
Hierbei sind die Felder η, η, Ψ und Ψ Spinoren mit Einträgen aus den a–Zahlen (siehe
Anhang D). Ausserdem haben wir den üblichen i ε“ Term eingefügt.
”
Als Operator O in der Formel (D.32) ist der diagonale Operator (i γ · ∂x� − m) δ(x� − ·)
einzusetzen. Damit verschwindet eines der Integrale im Exponenten und der Operator wird
zu i γ · ∂x − m.
Die Quellen η(x) und η̄(x) für die Dirac–Felder sind ebenfalls unabhängige Grassmann–
Spinorfelder. Der Normierungsfaktor legt Z0 [0, 0] auf 1 fest und lautet daher
� �
�
�
−1
4
µ
N
=
DΨ DΨ exp i d x Ψ(x) (i γ ∂µ − m − i ε) Ψ(x) .
(4.117)
Unter Verwendung von (D.32) erhält man für das erzeugende Funktional des freien Dirac–
Feldes die Form
4
79
FUNKTIONALINTEGRALE
� �
�
�
Z0 [η, η] = exp −i d4 x d4 x� η(x) SF (x − x� ) η(x� ) .
(4.118)
SF ist der Feynman–Propagator des Dirac–Feldes oder Dirac–Propagator, hier definiert
(bis auf Retardierungseigenschaften) als das Inverse des Differentialoperators i γ µ ∂µ − m.
Er besitzt die Darstellung
SF (x) = (i γ ν ∂ν + m) ΔF (x) ,
(4.119)
wobei ΔF der Feynman–Propagator des Skalarfeldes ist, denn es gilt
SF−1 SF = (i γ ν ∂ν − m) (i γ µ ∂µ + m) ΔF (x) = (−� − m2 ) ΔF (x) = δ (4) (x) .
(iii)
n–Punkt–Funktionen des freien Dirac–Feldes
Die n–Punkt–Funktionen, also die Greensfunktionen der Theorie, gewinnt man wie beiden
skalaren Feldern aus Funktionalableitungen des erzeugenden Funktionals. Es gilt
� � �
�� �
(2n)
G0 (y1 , · · · , yn ; x1 , · · · , xn ) = − �T Ψ(y1 ) · · · Ψ(yn ) Ψ(x1 ) · · · Ψ(xn ) � −
�
� �
�
δ 2n Z0 [η, η]
1
�
.
(4.120)
=
2n
i
δη(xn ) · · · δη(x1 ) δη(y1 ) · · · δη(yn ) �
η=η=0
Der Index 0“ kennzeichnet die “freie“ Greensfunktion.
”
(iv)
2–Punkt–Funktion des freien Dirac–Feldes
Man erhält wie bei den freien skalaren Feldern für die 2–Punkt–Funktionen den freien
Propagator
� �
1
δ2
(2)
G0 (x1 ; y1 ) =
Z0 [η, η]|η=η=0
2
i
δη(x1 ) δη(y1 )
� �
��
� �
�
�
1
δ2
�
�
4
4 �
�
=
η(x)
S
(x
−
x
)
η(x
)
exp
−i
d
x
d
x
F
�
2
i
δη(x1 ) δη(y1 )
η=η=0
� �
��
�
�
1
δ
=
(−i)
d4 x� SF (y1 − x� ) η(x� ) Z0 �η=η=0
i2
δη(x1 )
= i SF (y1 − x1 ) .
(4.121)
Gegenüber dem Propagator für ein reelles Skalarfeld besteht hier der Unterschied, dass
eine Richtung ausgezeichnet ist. Die Punkte x1 und y1 sind nicht gleichberechtigt, da x1
dem Erzeugen und y1 dem Vernichten des Teilchens zugeordnet ist. Der Propagator wird
durch eine gerichtete Linie dargestellt.
(2)
G0 (y1 ; x1 ) = y1
x1 .
Man beachte, dass SF ebenso Antiteilchen propagiert, allerdings entgegen der ausgezeichneten Richtung.
4
80
FUNKTIONALINTEGRALE
(v)
4–Punkt–Funktion des freien Dirac–Feldes
Nach (4.120) lautet die 4–Punkt–Funktion
� �
�
δ 4 Z0 [η, η]
1
(4)
�
G0 (y1 , y2 ; x1 , x2 ) =
4
i
δη(x2 ) δη(x1 ) δη(y1 ) δη(y2 ) η=η=0


�
�
δ3
 d4 x SF (y2 − x) η(x) Z0 �
= (−i)
η=η=0
δη(x2 ) δη(x1 ) δη(y1 )


�
2
δ
 d4 x SF (y2 − x) η(x)
= (−i)2
δη(x2 ) δη(x1 )


�
�
·  d4 x� SF (y1 − x� ) η(x� ) Z0 �η=η=0
=
=



�
δ
SF (y2 − x1 )  d4 x� SF (y1 − x� ) η(x� )
(−i)2
δη(x2 )



�
�
−  d4 x SF (y2 − x) η(x) SF (y1 − x1 ) + · · ·  Z0 �η=η=0
i2 [SF (y1 − x1 ) SF (y2 − x2 ) − SF (y2 − x1 ) SF (y1 − x2 )] .
(4.122)
Graphisch lautet das Ergebnis
y2
y2
x2
x2
(4)
−
G0 (y1 , y2 ; x1 , x2 ) =
y1
.
x1
y1
x1
Da beim Feynman–Propagator des Dirac–Feldes eine Richtung ausgezeichnet ist, gibt es
nur zwei Möglichkeiten, die Punkte x1 bzw. x2 und y1 bzw. y2 zu verbinden. Die beiden Graphen haben als Folge der Differentiationsregeln für Funktionalableitungen nach
Fermionen–Feldern als relatives Vorzeichen ein “−“.
Hier zeigen sich zwei Unterschiede zur freien Vierpunktfunktion des rellen Skalarfeldes:
(1) Die Propagatoren von Dirac–Feldern sind gerichtet, die Punkte xi und yi sind also
nicht gleichberechtigt. Den xi wird das Erzeugen und den yi das Vernichten von
Teilchen zugeordnet. Pysikalische Konsequenz dessen ist, dass die Dirac–Teilchen
nicht ihre eigenen Antiteilchen sind.
(2) Der Austauschterm hat ein negatives Vorzeichen, welches den Fermi–Charakter des
Dirac–Feldes zum Ausdruck bringt.
(vi)
Dirac–Theorie mit Wechselwirkung
Betrachtet man eine Lagrangedichte der Form
L = L0 + Lint
(4.123)
4
FUNKTIONALINTEGRALE
81
mit dem Wechselwirkungsanteil Lint (Ψ, Ψ, . . . ) der Lagrangedichte, so kann man Lint , wie
bei der Theorie mit Skalarfeldern (vgl. Gleichung (4.87)), aus dem Pfadintegral herausziehen,
��
�
� �
δ
δ
4
,
,...
Z0 [η, η, · · · ] . (4.124)
Z[η, η, . . . ] = exp i d x Lint −
i δη(x) i δη(x)
Wählt man Lint = g Ψ Ψ φ, wobei φ(x) ein Skalarfeld ist, erhält man die Theorie der
Yukawa–Kopplung. Diese Art von Kopplung ist wesentlich zum Verständnis des Ursprungs
der Fermion–Massen.
Mit Lint = g Ψ γµ Ψ Aµ beschreibt man die Kopplung an ein Spin–1–Vektorfeld Aµ ,
wie sie in der QED auftritt. Die n–Punktfunktionen der Theorie mit Wechselwirkung
erhält man analog zu (4.120) aus dem erzeugenden Funktional (4.124). Dies wird nun im
Folgenden diskutiert.