Aufgabe 1

Univ. Prof. Dr. rer nat. Wolfgang H. Müller
Technische Universität Berlin
Fakultät V
Lehrstuhl für Kontinuumsmechanik und
Materialtheorie - LKM, Sekr. MS 2
Einsteinufer 5, 10587 Berlin
PdvV und PdvK – Energiemethoden 06. Übungsblatt, WS 2012/13, S. 1
Aufgabe 1
Bestimmung der Euler-Lagrangeschen Bewegungsgleichung des Systems
Euler-Lagrange:
!
d ∂L
∂L
−
= Q∗i ,
dt ∂q̇i
∂qi
1
mit
i = 1, 2, . . . , f
und
L = E kin − U
Untersuchung der Freiheitsgrade des Systems
f =z−k
z:
k:
Anzahl der ursprünglich zur Beschreibung der Systembewegung erforderlichen Koordinaten
kinematische Bedingungen
Hier finden wir:
z : x̃1 , ỹ1 , ϕ1 , x2 , y2 , ϕ2
⇒
z=6
k:
ỹ1 = 0,
x2 = 0,
ϕ2 = 0 (Punktmasse)
x̃1 = Rϕ1 (Rollbedingung),
y2 = x̃1 + rϕ1 = (R + r)ϕ1 ,
⇒ k=5
Also folgt:
f = z − k = 1,
2
qi = q1 = x̃ (Absolutkoordinate)
Aufstellen der Energien (Trägheitskräfte, Potentiale) und generalisierten Kräfte (Dämpfungskräfte, äußere Kräfte)
E kin =
1 ˙2 1
1
m1 x̃1 + Θs ϕ̇21 + m2 ẏ22
2
2
2
Mit den kinematischen Beziehungen
x̃˙1
,
R
R+r˙
y2 = (R + r)ϕ1 ⇒ ẏ2 =
x̃1 ,
R
x̃ = x̃1 ,
ϕ1 =
x̃1
R
⇒ ϕ̇1 =
folgt dann für die kinetische Energie:
E kin =
R + r 2 !
1 ˙2
Θs
x̃ m1 + 2 + m2
.
2
R
R
Für die potentielle Energie finden wir zunächst
U = UFeder + U1 + U2 =
1
c (∆xF )2 − m1 gỹ1 − m2 gy2 .
2
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Materialtheorie - LKM, Sekr. MS 2
Einsteinufer 5, 10587 Berlin
PdvV und PdvK – Energiemethoden 06. Übungsblatt, WS 2012/13, S. 2
Mit den kinematischen Beziehungen
∆xF = 2 x̃
und ỹ1 = 0
folgt:
U = 2c x̃2 − m2 g
R+r
x̃.
R
Für die nicht-konservativen Kräfte stellen wir auf:
Q∗i = F j
∂ϕ j
∂x j
+ Mj
,
∂qi
∂qi
damit finden wir
∂ϕ1
∂y2
Q∗ = −kẏ2
+ M(t)
∂ x̃
∂ x̃
R + r 2
M(t)
= −k
x̃˙ +
.
R
R
Jetzt können wir die Lagrange-Funktion L bilden:
L = E kin − U
=
3
R + r 2 !
1 ˙2
Θs
R+r
x̃ m1 + 2 + m2
x̃
− 2c x̃2 + m2 g
2
R
R
R
Ableitungen von L bilden:
R + r 2
Θs
∂L
∂L ˙
=
= x̃ m1 + 2 + m2
∂q̇i
R
R
∂ x̃˙
!
∂L
∂L
R+r
=
= −4c x̃ + m2 g
∂qi
∂ x̃
R
4
In die Euler-Lagrange-Gleichungen einsetzen:
!
d ∂L
∂L
−
= Qi
dt ∂q̇i
∂qi
⇒
2 !
R + r 2
R+r
M(t)
¨x̃ m1 + Θs + m2 R + r
+
4c
x̃
−
m
g
=
−k
x̃˙ +
,
2
R
R
R
R
R2
⇒
2 !
2
¨x̃ m1 + Θs + m2 R + r
˙k R + r + x̃4c = M(t) + m2 g R + r .
+
x̃
R
R
R
R
R2
Die letzte Gleichung ist die Euler-Lagrangesche Bewegungsgleichung des Systems in der Koordinate x̃.
(∗)
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PdvV und PdvK – Energiemethoden 06. Übungsblatt, WS 2012/13, S. 3
Bestimmung der statischen Ruhelage
Für M(t) = 0 und x̃˙ ≡ 0, x̃¨ ≡ 0 ist die statische Ruhelage
R+r
.
4cR
Eingesetzt in die DGL (∗) ergibt sich mit
xstat. = m2 g
R+r
, x̃˙ = ẋ, x̃¨ = ẍ
4cR
die DGL für die Schwingung um die statische Ruhelage:
R + r 2
R + r 2 !
M(t)
Θs
+ ẋk
+ x4c =
.
ẍ m1 + 2 + m2
R
R
R
R
x̃ = x + xstat. = x + m2 g
Aufgabe 2
1
Untersuchung der Freiheitsgrade des Systems
Die Masse M auf der Ebene hat z = 3 Freiheitsgrade. In diesem System sind rotatorische und vertikale Bewegung nicht möglich, also ist k = 2 . Die Anzahl der Freiheitsgrade (Anzahl generalisierter Koordinaten) ist also
⇒ f = z − k = 1.
Bemerkung: Die Masse wird m wird extern angetrieben, ihre Bewegung ist also vorgegeben. Somit hat die Masse m keinen eigenen Freiheitsgrad.
Wir benötigen also eine generalisierte Koordinate q. Für diese wählen wir die Koordinate x, welche in einem raumfesten System auf den Massenschwerpunkt der Masse M
zeigt. Die Ortsvektoren in diesem System sind
!
dx
x
,
vM = M
Masse M: xM =
0
dt
!
dx
x + r sin(Ωt)
Masse m: xm =
, vm = m
r cos(Ωt)
dt
2
Aufstellen der Energien (Trägheitskräfte, Potentiale) und generalisierten Kräfte (Dämpfungskräfte, äußere Kräfte)
1 2 1 2
M vM + m vm
2
2
1
1 2
= M ẋ + m ẋ + rΩ cos(Ωt) 2 + − rΩ sin(Ωt) 2
2
2
M 2 m 2
= ẋ +
ẋ + 2 ẋrΩ cos(Ωt) + r2 Ω2 cos2 (Ωt) + sin2 (Ωt)
2
2
M + m
mr2 Ω2
= ẋ2
+ ẋmrΩ cos(Ωt) +
2
2
E kin =
1
U = mgr cos(Ωt) + cx2
2
M + m
1
mr2 Ω2
L = E kin − U = ẋ2
+ ẋmrΩ cos(Ωt) − cx2 +
− mgr cos(Ωt)
2
2
2
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PdvV und PdvK – Energiemethoden 06. Übungsblatt, WS 2012/13, S. 4
Am Dämpfungselement wird eine dissipative Kraft entgegen der Bewegungsrichtung ausgeübt:
⇒
Q∗ = −k ẋ
∂x
= −k ẋ
∂x
3
Ableitungen von L bilden
∂L
= ẋ(M + m) + mrΩ cos(Ωt)
∂ ẋ
∂L
= −xc
∂x
4
In die Euler-Lagrange-Gleichungen einsetzen
Wir finden zunächst:
ẍ(M + m) + mrΩ̇ cos(Ωt) − mrΩ2 sin(Ωt) + xc = −d ẋ.
Da die Erregerfrequenz Ω zeitlich konstant ist, finden wir mit
ẍ(M + m) + ẋd + xc = mrΩ2 sin(Ωt)
die Bewegungsgleichung des Systems.
Aufgabe 3 – Hausaufgabe
1
Untersuchung der Freiheitsgrade des Systems
z:
2 Körper, je 3 Freiheitsgrade
⇒ z=6
k:
x1 = x2 − rϕ1 = q2 − rq1 ,
y1 = 0
ϕ1 = q1
x2 = q2 ,
y2 = 0
ϕ2 = 0
⇒ k=4






















f = z−k = 2





















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PdvV und PdvK – Energiemethoden 06. Übungsblatt, WS 2012/13, S. 5
2
Aufstellen der Energien (Trägheitskräfte, Potentiale) und generalisierten Kräfte (Dämpfungskräfte, äußere Kräfte)
1
1
1
m2 ẋ22 + m1 1 ẋ12 + Θs ϕ̇21
2
2
2
Θs 2
m2 2 m1
(q̇2 − rq̇1 )2 +
q̇ +
q̇
=
2 2
2
2 1
!
2
Θs
2 m1 + m2
2 r m1
= q̇2
− m1 rq̇1 q̇2 + q̇1
+
2
2
2
E kin =
1
1
c1 (∆x1 )2 + c2 (∆x2 )2 , mit c1 = c2 = c, ∆x1 = q2 , ∆x2 = rϕ1 = rq1
2
2
c
c
= q22 + r2 q21
2
2
!
2
Θs
c
c
2 r m1
kin
2 m1 + m2
− m1 rq̇1 q̇2 + q̇1
+
− q22 − r2 q21
L = E − U = q̇2
2
2
2
2
2
U=
Im System sind keine dissipativen Kräfte vorhanden, also ist
Qi = 0.
3
Ableitungen von L bilden
∂L
= q̇1 (r2 m1 + Θs ) − q̇2 m1 r,
∂q̇1
∂L
= −q̇1 m1 r + q̇2 (m1 + m2 )
∂q̇2
∂L
= −q1 r2 c
∂q1
∂L
= −q2 c
∂q2
4
In die Euler-Lagrange-Gleichungen einsetzen
!
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂q̇i
∂qi
Die Auswertung liefert:
i = 1:
q̈1 (r2 m1 + ΘS ) − q̈2 m1 r + q1 r2 c = 0
i = 2:
−q̈1 m1 r + q̈2 (m1 + m2 ) + q2 c = 0