Impuls - Hochschule Düsseldorf

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Hochschule Düsseldorf
University of Applied Sciences
10. Dezember 2015
HSD
Physik
Impuls
Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016
Hochschule Düsseldorf
University of Applied Sciences
HSD
10. Dezember 2015
Impuls
Träge Masse in Bewegung
•
Nach dem 1. Newton‘schen
Gesetz fliegt ein kräftefreier
Körper immer weiter gradeaus.
•
Je größer die träge Masse desto
größer setzt sie einer
Beschleunigung einen
Widerstand entgegen.
•
Je größer die Geschwindigkeit
der trägen Masse, desto länger
oder stärker muss eine Kraft
einwirken, um die
Geschwindigkeit zu ändern.
Impuls
p~ = m · ~v
Impuls = Masse mal Geschwindigkeit
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10. Dezember 2015
Impuls
Impulsänderung
•
Eine externe Kraft ändert
den Impuls eines Objektes.
•
Weil die Beschleunigung die
zeitliche Ableitung der
Geschwindigkeit ist,
entspricht die Kraft grade
der zeitlichen Änderung des
Impulses.
F~ = m · ~a
d
= m · ~v
dt
d
= p~
dt
d
~
F = p~
dt
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HSD
•
•
10. Dezember 2015
Impulserhaltung
3. Newton‘sches Gesetz:
•
Actio = Reactio
•
Kräfte treten immer
paarweise auf.
In einem abgeschlossenen
System gilt die
Impulserhaltung.
X
p~i = const.
F~1 = F~2
) F~1 + F~2 = 0
d
) (~
p1 + p~2 ) = 0
dt
m1~v1 + m2~v2 + · · · = const.
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10. Dezember 2015
Impulserhaltung
•
Impuls eines Systems ist
wegen Actio = Reactio
immer erhalten.
d
) (~
p1 + p~2 ) = 0
dt
•
Nur äußere Kräfte ändern
den Impuls, und zwar den
Gesamtimpuls.
d ~
dX
p~i
= P =
dt
dt i
F~ext
Gesamtdrehimpuls
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10. Dezember 2015
Raketenantrieb
revisited
•
Impulserhaltung: wenn das
leichte, heiße Gas mit hoher
Geschwindigkeit
ausgestoßen wird kann es
eine schwere Rakete
beschleunigen:
F~reactio
F~actio
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10. Dezember 2015
HSD
Raketenantrieb
revisited
•
Impulserhaltung: wenn das
d
leichte, heiße Gas mit
F~reactio = M~v
dt
hoher Geschwindigkeit
M ~v
ausgestoßen wird kann es
eine schwere Rakete
F~reactio
beschleunigen:
große Geschwindigkeit
kleine Masse
⇣
⌘
d
~ =0
M · ~v + m · V
dt
große Masse
kleine Geschwindigkeit
F~actio
d ~
~
Factio = mV
dt
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m V~
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10. Dezember 2015
HSD
Stöße
Elastischer Stoß
•
•
•
Bei einem elastischen Stoß
wird die kinetische Energie
der Stoßpartner kurzeitig wie
in einer Feder gespeichert.
Nach dem Stoß ist die
kinetische Energie wieder so
groß wie vorher.
Die Impulse haben die
Richtung geändert, bleiben
aber natürlich erhalten.
Inelastischer Stoß
•
Bei einem inelastischen Stoß
wird ein Teil der kinetischen
Energie in Wärme oder
Verformung umgewandelt.
•
Nach dem Stoß ist die
kinetische Energie kleiner.
•
Die Impulse werden kleiner.
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10. Dezember 2015
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Stöße
Elastischer Stoß
•
Atome in einem Gas
•
Sehr harte Stahlkugeln
Inelastischer Stoß
•
Deformation: Schneeball
gegen eine Wand werfen,
Autounfall.
•
Wärme: Bälle (Tennis,
Basketball, Fussball)
•
Interne Bewegung: Moleküle
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10. Dezember 2015
Impulserhaltung
•
Experimente mit
Luftkissenbahn
•
Verschiedene m
•
Verschiedene v
•
Elastischer und inelastischer
Stoß
m1~v1 + m2~v2 = const.
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10. Dezember 2015
Bewegung und Drehbewegung
Bewegung
Drehbewegung
Name
Symbol
Symbol
Name
Ort
~x
⇥
Winkel
Geschwindigkeit
~v
!
Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung
~a
↵
Winkelbeschleunigung
Kraft
F~
m
~
M
Drehmoment
I
Trägheitsmoment
Masse
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•
•
•
•
10. Dezember 2015
Wiederholung: Trägheitsmoment
Das Drehmoment für jedes
Masseteil ist Hebel mal Kraft
Die Beschleunigung ist Radius
mal Winkelbeschleunigung
Das Gesamtdrehmoment ist
die Summe über alle einzelnen
Drehmomente.
Daraus ergibt sich das
Trägheitsmoment:
)I=
X
i
Mi = ri · Fi = ri · mi ai
= mi ri2 ↵i
M=
X
i
2
mi ri
Mi =
X
2
mi ri ↵
i
M =I ·↵
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10. Dezember 2015
Bewegung und Drehbewegung
Bewegung
Drehbewegung
Name
Symbol
Symbol
Name
Ort
~x
⇥
Winkel
Geschwindigkeit
~v
!
Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung
~a
↵
Winkelbeschleunigung
Kraft
~
M
Drehmoment
Masse
F~
m
I
Trägheitsmoment
Impuls
p~
~
L
Drehimpuls
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Drehimpuls
Impuls
Drehimpuls
p~ = m · ~v
L=I ·!
d
~
F = p~
dt
d
M= L
dt
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10. Dezember 2015
Drehimpulserhaltung
•
Genau wie der normale
Impuls ist der Drehimpuls
ebenfalls eine
Erhaltungsgröße.
•
Nicht überraschend: jedes
einzelne Masseteil unterliegt
der Impulserhaltung.
•
Nur wenn äußere
Drehmomente anliegen
ändert sich der GesamtDrehimpuls des Systems.
X
Mext
Li = const.
d~
dX
Li
= Lgesamt =
dt
dt i
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•
•
•
10. Dezember 2015
Zentripetalkraft
Bei einer Kreisbewegung muss
es eine zur Drehachse hin
gerichtete Kraft geben.
Ansonsten würde nach dem
1. Newton‘schen Gesetz ein
Masseteil einfach gradeaus
weiterfliegen.
Diese zum Zentrum der
Drehung gerichtete Kraft wird
Zentripetalkraft genannt.
~v (t2 )
~v (t1 )
r
v =r·!
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10. Dezember 2015
Zentralbeschleunigung
| ~v | = |~v (t2 )
~v (t2 )
= |~v | ·
~v (t1 )
~v (t1 )|
⇥
| ~v |
⇥
)
= |~v | ·
dt
dt
r
v =r·!
) |~az | = |~v | · !
=r·!
|~v |
=
r
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2
2
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•
10. Dezember 2015
Zentripetalkraft
v2
az =
= r · !2
r
Die Zentripetalkraft ist nun
einfach die Masse des
Teilchens mal der
Zentralbeschleunigung:
Fz = m · a z
2
v
2
Fz = m ·
=m·r·!
r
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10. Dezember 2015
Beschleunigung ohne Energie
Skalarprodukt!
•
Die Zentripetalkraft
(Beschleunigung) steht
senkrecht zur
Geschwindigkeit.
•
Nur die Richtung des
Geschwindigkeits-Vektors
ändert sich.
•
Der Betrag bleibt gleich.
•
Die kinetische Energie
ändert sich also nicht!
W = F~ ·
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~x = 0
F~
~x
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•
•
10. Dezember 2015
Kinetische Energie der Rotation
Wie immer: normale
Formeln für ein einzelnes
Masseteil nehmen und in
Größen der Rotation
darstellen.
Dann Summe über alle
Masseteile.
1 2
E = I!
2
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1
2
E i = mi v i
2
1
2
= mi (ri !)
2
1
2
2
= mi r i · !
2
E=
X
Ei
i
1X
=
mi ri2 · ! 2
2 i
1 2
= I!
2
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10. Dezember 2015
Bewegung und Drehbewegung
Größe
Bewegung
Größe
Rotation
Ort
~x
Winkel
⇥
Geschwindigkeit
d
~v = ~x
dt
Winkelgeschwindigkeit
d
!= ⇥
dt
d
d2
Beschleunigung ~a = ~v = 2 ~x
dt
dt
Kraft
Impuls
Kraft
Kinetische Energie
F~ = m · ~a
p~ = m · ~v
d
p~ = F~
dt
1
2
Ekin = mv
2
Winkelbeschleunigung
Drehmoment
Drehimpuls
Drehmoment
Kinetische Energie
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d
d2
↵ = ! = 2⇥
dt
dt
M =I ·↵
L=I ·!
d
L=M
dt
1 2
Ekin = I!
2
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