Rotation
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Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Physik Rotation Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Schwerpunkt Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Schwerpunkt • Bewegungen, Beschleunigungen und Kräfte können so berechnet werden, als würden Sie an einem einzigen Punkt des Objektes angreifen. • Bei einem Körper mit homogener Dichte ist dies der geometrische Mittelpunkt. • Bei • Für Kugeln ist dies der Mittelpunkt. Planeten kann man näherungsweise den Mittelpunkt nehmen. X 1 ~= mi ~xi S M i Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Schwerpunkt M= • Ein Objekt der Masse M sei in viele einzelne Massteile mi zerlegt. • Für jedes einzelne Masseteil gelten die Newton‘schen Gesetze, insbesondere das 2.: • Die gesamte Kraft auf das Objekt ist die Summe aller Kräfte auf jedes Einzelteil. • Summe und Differentiation dürfen vertauscht werden. • Mit der Definition des Schwerpunkts kann die resultierende Kraft auf den Körper geschrieben werden als: X mi mi i 2 d F~i = mi 2 ~xi dt 2 X X d F~i = F~ = mi 2 ~xi dt i i ! 2 X d F~ = 2 mi ~xi dt i 2 X 1 d ~= ~ S mi ~xi ) F~ = M 2 S M i dt Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Schwerpunkt • Natürlich wird die Summe für differentiell kleine Massestücke zum Integral. • Anschaulicher wird das mit der Dichte. Dann ist jedes Massestück ein Volumen mal die Dichte am Ort. X 1 ~ = lim S mi ~xi mi !0 M i Z 1 = ~x dm M Körper Z 1 = ~x ⇢(~x) dV M Körper dm = ⇢(~x) dV Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD • 05. Dezember 2015 Schwerpunkt Für homogene Körper (bei denen die Dichte überall gleich ist) ist der Schwerpunkt gleich dem geometrischen Mittelpunkt! 1 ~= S M Z ~x ⇢(~x) dV Körper 1 = ⇢0 M Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Z Körper ~x dV Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Schwerpunkt • Ein Objekt setzt sich aus vielen (Größenordnung 1023) Atomen zusammen, die alle aneinander ziehen, drücken, schieben... • Innere Kräfte gleichen sich paarweise wegen actio = reactio aus. • Nur äußere Kräfte verändern den Bewegungszustand des gesamten Objekts. • Die Kraft greift am Schwerpunkt an (s. Vorlesung 08 - Gravitation). • Die Flugbahn wird durch die Flugbahn des Schwerpunkts beschrieben: 2 d ~ ~ F = M 2S dt Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Rotation Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Starrer Körper • Ein starrer Körper verformt sich nicht auch wenn eine äußere Kraft an ihm angreift. • Alle Masseteile mi behalten ihre relative Position ~xi zueinander. ~xi Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 mi Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Rotation • Zusätzlich zur Bahnbewegung kann sich ein ausgedehnter Körper drehen: Rotation. • Auch dieser Fall wird komplett nur mit dem 2. Newton‘schen Gesetz behandelt. • Es ergibt sich ein neuer Satz von physikalischen Größen und Formeln zur Drehbewegung. • Diese Größen und Formeln sind völlig analog zu der BahnBewegung im Raum. Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Bewegung und Drehbewegung Bewegung Drehbewegung Name Symbol Symbol Name Ort ~x ⇥ Winkel Geschwindigkeit ~v ! Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung ~a ↵ Winkelbeschleunigung Kraft F~ ~ M Drehmoment Masse m I Trägheitsmoment Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehbewegung Winkel ⇥ Drehachse Winkelgeschwindigkeit d⇥ != dt ~r(t2 ) ~r(t1 ) Winkelbeschleunigung 2 d! d ⇥ ↵= = dt dt2 Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Drehmoment skalar Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD • 05. Dezember 2015 Drehmoment Das Drehmoment ist für die Drehbewegung das, was die Kraft für die Bewegung ist. • Ein Drehmoment ist also eine Kraft, die die Winkelgeschwindigkeit beschleunigen oder bremsen kann. • Von der angesetzten Kraft wirkt nur der Teil tangential zur Kreisbahn. Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 F~radial F~tangential F~ Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD • • 05. Dezember 2015 Energieerhaltung Die Energieerhaltung gilt natürlich auch für Drehbewegungen. Auch für das Drehmoment soll Kraft x Weg gelten, nur eben als Drehmoment x Winkel. W = Z F · dx =F x ! M · = ⇥ = ?? · ⇥ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehmoment (skalar) 1 r = 2⇡r · · 2⇡ =r ⇥ r ⇥ ⇥ ⇥ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 r Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Drehmoment (skalar) 1 r = 2⇡r · · 2⇡ =r ⇥ W = Z ⇥ r ⇥ r F · dx =F x =F ·r ⇥ ! =M ⇥ Hebel mal Kraft )M =r·F Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehmoment (skalar) F )M =r·F Drehachse r ⇥ Welche Richtung hat die Drehachse? Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Drehmoment vektoriell Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehmoment (vektoriell) y ~r = F~ = ✓ ✓ rx ry Fx Fy ◆ F~ ◆ ~r ⇥ x Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD ~r = F~ = ~r = 05. Dezember 2015 Drehmoment (vektoriell) ✓ ✓ ✓ rx ry Fx Fy ◆ F~ ◆ rx ry ◆ rx ~r ⇥ ⇥ ~r ⇥ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 ry Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehmoment (vektoriell) rx = = = ry = | ~r| · sin ⇥ | ~r| · ry ⇥ F~ ry ⇥· |~r| rx | ~r| · cos ⇥ ~r ⇥ = rx ⇥ ✓ ry ⇥ ~r = rx ⇥ ✓ ◆ ry = · rx ◆ ⇥ ⇥ ⇥ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 ~r ry Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehmoment (vektoriell) Arbeit bei Drehung um die z-Achse Bahnbewegung ~ Wz = F · ~r ✓ ◆ ✓ ◆ Fx ry = · · Fy rx = ( Fx r y + F y r x ) · = Mz · ⇥ F~ rx ⇥ ⇥ ~r Drehbewegung Drehmoment bei Drehung um die z-Achse Mz = (rx Fy ry Fx ) ⇥ ~r ⇥ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 ⇥ ry Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehmoment (vektoriell) 0 1 0 Mx ry Fz ~ = @ M y A = @ r z Fx M Mz r x Fy 1 r z Fy rx Fz A = ~r ⇥ F~ ry Fx Kreuzprodukt ~ ~ M = ~r ⇥ F Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Kreuzprodukt Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Vektormultiplikation Typ Name Skalar mal Vektor Produkt mit einem Skalar Vektor mal Vektor Skalarprodukt Vektor mal Vektor Kreuzprodukt (inneres Produkt) (äußeres Produkt) (Vektorprodukt) Schreibweise 0 Resultat ~a = c · ~a Vektor s = ~a · ~b Skalar ~c = ~a ⇥ ~b Vektor Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Kreuzprodukt Komponenten http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt ~ ~c = ~a ⇥ b 0 1 0 1 0 1 0 a y bz bx cx ax @ c y A = @ a y A ⇥ @ by A = @ a z b x a x by bz cz az Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 1 a z by a x bz A a y bx Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Kreuzprodukt Geometrische Bedeutung • Der resultierende Vektor steht senkrecht auf der Ebene, die von den beiden Produktvektoren aufgespannt wird. • Die drei Vektoren folgen der Rechte-Hand-Regel. • Die Länge des resultierenden Vektors ist: ~ |~c| = |~a| · |b| · sin ⇥ http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Kreuzprodukt Rechenregeln (~a + ~b) ⇥ ~c = ~a ⇥ ~c + ~b ⇥ ~c Linear Nullvektor ~a ⇥ ~a = 0 Antikommutativ ~a ⇥ ~b = ~b ⇥ ~a Merken: beim Kreuzprodukt ist alles etwas anders => lieber nachschlagen! Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Drehmoment mit Kreuzprodukt Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Drehmoment Richtig vektoriell F~ |F~ | · sin ⇥ ~ ~ M = ~r ⇥ F ~ | = |~r| · |F~ | · sin ⇥ |M ⇥ ~r ~ M Die Projektion von F in die tangentiale Richtung ist bereits im Vektorprodukt enthalten! Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences 05. Dezember 2015 HSD Trägheitsmoment Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Bewegung und Drehbewegung Bewegung Drehbewegung Name Symbol Symbol Name Ort ~x ⇥ Winkel Geschwindigkeit ~v ! Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung ~a ↵ Winkelbeschleunigung Kraft F~ ~ M Drehmoment Masse m I Trägheitsmoment Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Trägheitsmoment • Gesucht: das 2. Newton‘sche Gesetz für Drehbewegungen. • Ansatz: stelle a durch ↵ dar. F =m·a M =I ·↵ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Tangentialgeschwindigkeit r=r ⇥ dr d⇥ ) =r· dt dt v =r·! r ⇥ ⇥ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 r Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD 05. Dezember 2015 Tangentialbeschleunigung r=r ⇥ v =r·! dv d! a= =r· dt dt a=r·↵ r ⇥ ⇥ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016 r Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences HSD • 05. Dezember 2015 Trägheitsmoment Das Drehmoment für jedes Masseteil ist Hebel mal Kraft Mi = ri · Fi = ri · mi ai • Die Beschleunigung ist Radius mal Winkelbeschleunigung • Das Gesamtdrehmoment ist die Summe über alle einzelnen X X 2 M= Mi = mi ri ↵ Drehmomente. • Daraus ergibt sich das Trägheitsmoment: )I= X i 2 mi ri = mi ri2 ↵i i i M =I ·↵ Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2015 / 2016
