Elektrotechnik
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Physik && ET Zusammenfassung Spule = j*ω*L j Kond= ω*C U1 R iq Utot=U1+U2 Beim Kreis oder Maschenstromverfahren: Allgemeines: Spannung oder Potentialdifferenz: V=E*s (s= kürzeste distanz von A nach B Bei Leistungsrechnung: nur Eingangsleistung von 1 Gerät Prozente: 75% = 23 100%=23/75%*100% Uq U2 + U1 + U1 - U1 Utot=U1-U2 - R1 Die Masche: i1 R1 U1 U2 Uq R2 R2 Ersatzquellen: -U über R4 bestimmen (ULL) -Quelle in Stromquelle wandeln (R1 // R2) -Rtot ausrechnen -itotal = ULL/Rtot R4 i2 R3 R U2 U1-R2*i2-i1*R1-U2=0 Fluss durch P1 (1, 0, 0) und P2 (0, 1, 0) : z 2 2−x ∫ ∫ f (x, y , z * dy * dx 0 P(0,2,0) y 2-x P(2,0,0) x Ux R1 R1 Uq Ux=Uq+i*R1 0 Physik && ET Zusammenfassung 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 E 24 E 21 E 18 E 15 E 12 E 9 E 6 E 3 E 2 E 1 E -1 E -2 E -3 E -6 E -9 E-12 E-15 E-18 E-21 E-24 yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto Y Z E P T G M k h da d c m µ n p f a z y Länge Meter: m Masse Kilogramm: kg Zeit Sekunde: s elektrische Stromstärke Ampère: A thermodynamische Temperatur Kelvin: K Substanzmenge Mol: mol Lichtstärke Candela: cd Physik && ET Zusammenfassung radial : v2 r mittlere Geschwindigkeit : stotal t1 * v1 + t 2 * v2 + ... = t total t1 + t 2 + ... a= Physik && ET Zusammenfassung P =U *I P = I2 *R U2 R U = R*I Q = I *t P= Achtung: Kupferdraht 2 x 0,8 mm hat 36 W R* A l= Widerstand wird kleiner2 *δ da Leitungen parallel.. n=Anzahl Elektronen e=1,602*10- 19 Q = n*e 1 G= R 1 γ= ρ ρ * l[m] spez.Widerstand*Länge in Meter R= = A[mm 2 ] Querschnitt in m 2 A= d 2 *π = π *r2 4 Serielle Schaltung: U teilt sich auf Uges = U1 + U 2 ........ R teilt sich auf R ges = R1 + R2 ........ I beleibt gleich Parallele Schaltung: I teilt sich auf I ges = I1 + I 2 ........ U bleibt gleich R ist im Kehrwert zu berechnen 1 1 1 = + .... R ges R1 R2 bei zwei unterschiedlichen Widerständen R= bei n gleichen Widerständen R= R n R1*R 2 R1 +R 2 Physik && ET Zusammenfassung R=Widerstand Ohm [E] U=Spannung Volt [V] I=Strom Ampere [A] P=Leistung Watt [W] Q=Ladung [Ampere/h] oder [Ampere/s] t=Zeit sekunden [s] ρ(roh)=spez. Widerstand [Ωmm2/m] γ(gamma)=elektrische Leitfähigkeit[m/Ωmm2] G=Leitwert S=Simens oder J [A/mm2] Bei der Spule: d a = äusserer Spulendurchmesser di = innerer Spulendurchmesser N=Windungszahl l=Länge d a + di in mm 2 l=N*d m * π mm in Meter umrechnen d m (mittlerer Spulendurchmesser ) = R= ρ *l A Material Kupfer Aluminium Konstantan Chromnickel Silber Kohle Rges = U ges I ges = spez. Widerstand ρ in [Ωmm2/m] 0,0175 * 10-6 0,029 * 10-6 0,5 * 10-6 1,1 * 10-6 1,6 * 10-6 40-100 * 10-6 U ges I1 + I 2 ...... = U ges U ges U ges + ....... Ampere R1 R2 Stromdichte[J] pro mm 2 = mm 2 1 1 = Simens [S] = Widerstand R Physik && ET Zusammenfassung DR α * Dv Rw R20 = (1 + α * Dv) DR = Rw - DR R20 = Wirkungsgrat Etta η: Leistung die weggeht Leistung die hineinkommt η ges. = η1 *η2 *η3 .... η= DR = Widerstandänderung R20 = Kaaltwiderstand R w = Warmwiderstand α =Temperaturkoeffizient Dv=Temperaturänderung = Endtemperatur - Anfangstemperatur v e - va Achtung Vorzeichen Aluminium Blei Kupfer Konstantan Kohle Wolfram 0,004 0,0038 0,004 0 -0,0003 0,0051 PTC = positiv Temperatur Koiffizient : Kaltleiter:Leitet bei tiefen Temperaturen besser NTC = negativ Temperatur Koiffizient : Heissleiter:Leitet bei hohen Temperaturen Energieverbrauch, Arbeit [W] in kWh oder Wh Achtung:immer in h rechnen!! Gesamtsumme fürr alle Kilowatts durschn. Kosten pro Kilowatt= gesamte Kilowatt Bei Leistung Motor immer Leistungs Ausgabe gegeben (wenn nicht anders vermerkt): W=P* *t = R*t*100 bei 82% Wirkungsgrad 82 Physik && ET Zusammenfassung Arbeit Leistung Zusätze Mechanisch W=F*s Elektrisch W=P*t W=U*I*t W=U*Q W F *s = = F *v t t m* g *h P= t P =U *I F=m*a Fg=m*g K=k*w K=Kosten k=Preis p. kWh c=Umdrehungen p. kWh 1Ws (Wattsekun- 1 Joul de) P= 1 Nm (Newton meter) U I R I *R U R U I Wärme W=m*c*∆φ P= U2 R P = I2 *R W P= t P= P I P R U2 P 1Nm = 1Ws = 1 Joul 1kWh = 3 600 000 Ws 1kWh = 3600 kWs Leistung P in Watt Arbeit W in kWh oder Ws (Energie) P*R W t W I*t W U*t P I2 W=Q Nutzwärme in W Physik && ET Zusammenfassung Serielle Schaltung: U teilt sich auf Uges = U1 + U 2 ........ R teilt sich auf R ges = R1 + R2 ........ I beleibt gleich Parallele Schaltung: I teilt sich auf I ges = I1 + I 2 ........ U bleibt gleich R ist im Kehrwert zu berechnen 1 1 1 = + .... R ges R1 R2 bei zwei unterschiedlichen Widerständen R= bei n gleichen Widerständen R= R1*R 2 R1 +R 2 R n Rges = R1 + R2 + R3 ...... I= U ges Rges = I1 + I 2 + I 3 U ges = U1 + U 2 + U 3 ...... U = U1 + U 2 + U 3 ...... - U ges = 0 I4 I5 I1 I2 I3 In einem Knoten ist die Suamme aller Ströme jederzeit gleicch Null. I = I1 + I 4 - I 2 - I 3 - I 5 = 0 Physik && ET Zusammenfassung Stern-Dreiecksschaltung: Dreieck − Stern : R2 Ra Rb R3 R1 Rc Produkt der Nachbarwiderstände Gesamtwiders tan d Ra * Rc R1 = Ra + Rb + Rc Ra * Rb R2 = Ra + Rb + Rc Rb * Rc R3 = Ra + Rb + Rc Stern − Dreieck : Pr odukt der Nachbarwid. + beide Nachbarwid. dritter Widerstand R1 * R 2 Ra = + R1 + R 2 R3 R2 * R3 Rb = + R2 + R3 R1 R1 * R 3 Rc = + R1 + R 3 R2 Achtung: Bleibt bestehen!! Physik && ET Zusammenfassung Spannung von Widerständen in Serie: R1 60 Ω 220 V R2 80 Ω R3 40 Ω Man rechnet mit dem Spannungsverhältnis: 220 * 60 180 220 R2 = * 80 180 220 R3 = * 40 180 R1 = Gesammtspannnung * Widerstand Gesammtwiderstand Spannungsteiler: allgemein: U2 R2 = U1 R1 + R2 + R parallel R1 U R2 U2 R3 Rlast Widerstandsbrücke: R1 Uges R3 UB R2 R4 Bei der abgeglichenen Brücke ist das Widerstandsverhältniss in beiden Spannungsteilern gleich. Spannung U B ist dann 0, es fliesst auch kein Brückenstrom. R1 R3 = R2 R4 Physik && ET Zusammenfassung Serieschaltungen: Die Spannungen und die inneren Widerstände summieren sich, der Strom darf nicht grösser sein als derjenige des schwächsten Elements. Parallelschaltung: Die Ströme summieren sich, der innere Widerstand wird kleiner. Es dürfen nur Elemente mit der gleichen Spannung parallel geschaltet werden. Gemischte Schaltungen: Spannungen und Ströme summieren sich, der innere Gesamtwiderstand verändert sich je nach Schaltung der Gruppen. - Spannungsquellen + Stromquellen Strom und Spannungsrichtung von + nach - Uq1 + + - - Uq2 U ges = Uq1 - Uq 2 (Spannungsrichtung) U ges = Uq1 - Uq 2 = R1 * i1 + R2 * i2 Physik && ET Zusammenfassung Magnetismus: Θ = Theta = Durchflutung ,magnetische Kraft, abhängig von Strrom und Windungszahl Θ = N*I N=Windungszahl I=Strom in Ampere ≈ Spannung [a] H = Feldstärke = Magnetische Spannung pro Meter A Θ H= m l Φ = Phi = magnetischer Fluss, Feldstärke die gesammtzahl aller Feldlinien einer stromdurchfluteteen Spule oder eines Dauermagneten. ≈ Storm, F in Vs(VoltSekunden) = 1 Wb (Weber) Φ = A*B B = Induktion(Flussdichte) Feldliniendichte, Induktion, Fllussdichte oder Induktion ist auf die Fläche bezogen ne Feldrichtlinien bei homogenen Feldern gilt: Φ A B=µ 0 *H Vs 2 oder [ T(Tesla ) ] m Bei Luft µ 0 = 1, 257 * 10−6 sonst B=µ *H B= ≈ A mm 2 bei Luft µ =µ relativ * µ 0 Vs Permeabilität (Materialkonstante) µ in Am Physik && ET Zusammenfassung homogen = gerichtete Feldlinien inhomogen = nicht gerichtete Feldlinien Aufhebung= gegenseitig ausgelöschte Feldlinine Süd zu Nordpol = + zu - (Finger Drahtrichtung Daumen zu -) Strom fliesst von mir weg von + zu - ( - gegen mich) Strom fliesst auf mich zu von + zu - (- gegen mich) + - + - Rmagnet = F = ΘL ΘFe Θ = ΘL+ΘFe l µ*A Q Rmagnet Q = H *l Physik && ET Zusammenfassung Strom und Kraft im Magnetfeld: Ausgestreckte linke Hand Daumen 90° abgespreizt: Fingerrichtung: Stromrichtung Daumenrichtung : ablenkung 90° auf Handfläche zu : Feldlinien F[ N ] = l * B * I l[m] B[Tesla ] I[A] Kraft zwischen zwei paralleleen stromdurchflossenen Leitern: µ * I * I *l F[ N ] = 0 1 2 2 *π * r Für eine Spule: F[ N ] = l * B * I * z z = 2* N N = Windungszahl F[ N ] = l * B * I * 2 * N P= F *s t Umdrehungen / min* 2 * π 60 Leerlaufspannung=Spannung Quelle + Spannung über R beim Motor s = DU Di Bei maximaler Leistung R i = RLast Ri = Physik && ET Zusammenfassung Superposition oder Überlagerungssatz: R1 i1 i2 R2 i3 Uq2 R3 Uq1 In einem Netzwerk mit mehreren Quellen können die von einer Quelle erzeugeten Ströme einzeln berechnet un zu den Strömen der anderen Quellen summiert werden. 1: R1 * i1 + R3 * i3 = Uq1 2: R2 * i2 + R3 * i3 = Uq 2 3: i1 + i2 - i3 = 0 3 in 1 und 2: i3 = i1 + i2 R1 * i1 + R3 * i1 + R3 * i2 = Uq1 R2 * i2 + R3 *ii1 + R3 * i2 = Uq 2 I[A] Fläche = Q t[s] Physik && ET Zusammenfassung Machenregel: In jeder Masche ist die Sume sämtlicher Spannungen gleich Null. U4 U5 R5 R4 U3 Uq3 Uq1 R1 U1 R3 Uq2 R2 U2 U1 + U 2 + U 3 + U 3 + U 4 + U 5 = 0 I1 = I 2 = I 3 = I 4 = I 5 = I ( R1 * i + U q1 ) + ( R2 * i - U q 2 ) + (R R3 * i + U q 3 ) + R4 * i + R5 * i = 0 Physik && ET Zusammenfassung Generator Ersatzschaltung: U q = Ri * I q Superposition: Stromquelle offen, Spannung kurzschliessen R3 R1 U1 R1 = U R1 + R3 Uq Ri = R1 * R3 R2 * R4 + R1 + R3 R2 + R4 R4 R2 R2 wird bei der Spannungsmesung vernachlässigt!!!!!!! i1 R1 Uq R2 R1 Uq R2 R2 i2 U2 U2 R2 = Uq R1 + R2 R1 Uq - U 2 = R2 U2 i2 = i1 2 Ri = parallel Ri = R1 * R2 R1 + R2 Physik && ET Zusammenfassung R4 R1 R3 R7 R5 Uq1 Uq2 R2 i4 + b i1 a Bei Spannung umgekehrt R6 c i7 - Vorgehensweise: 1.Baum bestimmen 2.Sehnenrichtung gibt Stromrichtung vor. -Knotengleichungen, Maschengleichungen, char. Gleichungen ui Zusammenhang Zweig: Verbindungslinie von zwei Knoten Knoten: Verbindungspunkt von mind. 2 Zweigen Kreis: Eine ununterbrochen geschlossene Kette von Zweigen Baum: Teil eines Graphen, der alle Knoten, aber keine Kreise enthält Ast: Zweig eines Baums Sehne: Zweig, der nicht zum Baum gehört Basiskreis: Kreis, der nur eine Sehne enthält n=5 Zweige = 5 Unbekannte k=3Knoten k-1=2 Äste = 2 Knotengleichungen n-k+1=3 Basiskreise = 3 Sehnen Physik && ET Zusammenfassung [R ][Sehnenströme]=U q n=5 k=3 n-k+1=3 Basiskreise Gesucht : i1 , i 4 , i 7 a b a R1 + R 2 + R 3 b −R 3 c 0 c −R 3 R3 + R4 + R5 R5 i 2 = i1 − i 6 i1 Uq1 0 * i 4 = 0 R5 R 5 + R 6 + R 7 i 7 Uq 2 Kreis und Maschenstromverfahren i 3 = i1 − i 5 i4 = i5 − i6 a )R 1 * i 1 + R 2 * ( i 1 − i 6 ) + R 3 * ( i 1 − i 5 ) = U q 1 − U q 2 b ) − R 3 * (i1 − i 5 ) + R 4 * (i 5 − i 6 ) + R 5 * i 5 = U q 2 c) − R 2 * (i1 − i 6 ) + R 6 * i 6 − R 4 * (i 5 − i 6 ) = U q 3 R1 + R 2 + R 3 −R 3 −R 2 R6 i1 R3 Uq1 Uq2 i3 −R 2 −R 4 +R 2 + R 4 + R 6 n=5 k=3 n −k +1 = 3 i2 i4 R4 R1 R2 Uq3 i1 U q1 − U q 2 i 5 = U q 2 i U 6 q3 3*3Matrix [ R oder 1 oder 0] [ i k ] = UQ R5 i6 −R 3 +R 2 + R 4 + R 5 −R 4 i k = unbekannte Zweigströme i5 U Q = Quellen Vektoren R oder 1 oder 0 = Zweigstrommatrix Physik && ET Zusammenfassung Iq R3 R2 Uq1 R7 R4 R6 R8 R9 R1 R5 n=9 Zweige k=5 Knoten k-1=4 Äste n-k+1=5 Basiskreise 9 Unbekannte 5 Basiskreisgleichungen 4 Knotengleichungen Behandlung von Stomquellen: -Reale Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln -Bei idealen Stromquellen wird Ri unendlich gross. Physik && ET Zusammenfassung 5 Basisgleichungen 5 R 1 * i1 + R 2 * i 2 = U q1 6 − R 2 * i2 + R4 * i4 − R5 * i5 = 0 7 R 3 * i3 + R6 * i6 − R4 * i4 = 0 8 − R6 * i6 + R7 * i7 + R8 * i8 = 0 −R 2 * i 2 + R 3 i 3 − R 5 * i 5 + R 6 * i 6 = 0 −R 6 * i 6 + R 7 * i 7 + R 9 * i 9 = 0 9 R8 * i8 − R9 * i9 = 0 4 Knotengleeichungen 1 i1 − i 2 − i 3 − i 4 − i q = 0 2 i3 − i6 − i7 = 0 3 i7 − i8 − i9 + iq = 0 −i1 + i 2 − i 5 = 0 4 i4 + i6 + i8 + i9 + i5 = 0 Matrize: i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i −1 −1 −1 0 0 0 0 0 i1 1 q 1 0 0 i 2 2 0 1 0 0 − 1 − 1 0 0 −i i 3 0 0 0 0 0 0 1 − 1 − 1 q 3 0 0 1 1 1 0 1 1 i 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * i 5 5 Uq = R1 R 2 0 0 −R 2 0 R 4 −R 5 0 0 0 0 i 6 6 0 0 0 R 3 −R 4 0 R6 0 0 0 i 7 7 0 0 0 0 0 −R 6 R 7 R 8 0 i 8 8 0 0 i 9 9 0 0 0 0 0 0 − R R 8 9 0 Physik && ET Zusammenfassung Knotenspannungsverfahren: k*U2 U2 iq1 G2 G1 U30 U10 G3 G4 U20 G5 G 1 + G 2 (+G i ) U10 iq1 (+iq 2 ) −G 1 −G 2 U 20 = −iq1 −G 1 G1 + G 4 + G 5 −G 4 U − G − G G + G + G 0 2 4 2 3 4 30 k * U 2 = U10 gesteuerrte Quelle U 2 = U10 − U 30 U10 = −iq1 −G 1 G 1 + G 4 + G 5 −G 4 U −G − G G + G + G 0 2 4 2 3 4 20 G1 + G 4 + G 5 U 20 = −iq1 + G 1 * U10 −G 4 U − + + 0 + G 2 * U10 G G G G 4 2 3 4 30 k * U 2 = U10 = k * ( U10 − U 30 ) U10 − k * U10 = −k * U 30 = U10 * (1 − k ) U10 = −k k U 30 * U 30 = (1 − k ) k −1 G1 + G 4 + G 5 −G 4 k U = −iq * G 1 −G 4 − 20 1 k − 1 U 0 30 k G 3 + G 4 + G 2 * 1 − k − 1 Physik && ET Zusammenfassung Strömungsfelder:V Kraftfelder:F P(x,y,z) Geschwindigkeitsvektor -> Strom ->Spannung V1(x,y,z) Vx V2(x,y,z) Vy V3(x,y,z) Vz Dem Punkt P(x,y,z) wird ein Vektor V(p) zugewiesen, dessen Komponenten den Skalar v1(x,y,z), v2(x,y,z) und v3(x,y,z) entsprechen. v(P) liefert für jeden Punkt im Raum (in D(v)) einen Vektor. Eine im Definitionsbereich von D(v) liegende Kurve heisst Feldlinie, wenn sie in jedem Punkt zu v(P) tangential ist. Der Fluss F : Im Definitionsbereich eines Vektorfeldes v liegt eine Fläche A, auf A ist die Normalenrichtung n angezeichnet. n =1 F = v n * dA Für die gesammte Fläche A ergibt sich der Fluss durch A: F = v n * dA = v dA dA = n * dA Physik && ET Zusammenfassung e = Elementarladung = 1 = 1, 6022 *10-19 C 6, 23 *1018 1C = 6, 23 *1018 e E = Elektrische Feldstärke, Kraft F pro Ladung q F ist proportional zu E F E= q Menge aller E = elektrisches Feld, kann als Ursache des el. Stromes in einem Leiter angeesehen werden. Die elektrische Feldstärke zeigt von der Laddung weg, falls sie positiv ist. Ist sie negativ zeigt sie zur Ladung hin. 1 Q*q Fµ 2 Fµ 2 r r Q*q 1 C2 Fc = ε 0 = 8, 85 *10-12 * 2 r 4 *π * ε 0 N * m2 E= Q 1 * 2 4 *π * ε 0 r Q+ Q+ Q+ F Q- Q- Q- Q- Q+ E Physik && ET Zusammenfassung Influenz = Ladungstrennung bzw. Ladungsverschiebung DQ Elektronen, die pro Zeit durchfliessen Dt I = e*n*v* A Anzahl Elektronen n= Volumen I Elektornengeschwindigkeit v = e * A* n m Dichteϕ = = n * µ µ =Masse eines Atoms V I * mol v= L=6*1023 A=Fläche e=1.6*10-19 e * A *ϕ * L I= q Ft P2 ∆s F=q*E P1 E Im elektrostatischen Feld hängt die zur Verschiebung einer Ladung notwendige Arbeit nicht von der Gestalt des Weges, sondern nur von seinem Anfangs- und Endpunktes ab. W hängt nur vom Anfangs -und Enpunkt ab und kann somit geschrieben werden als Differenz zweier Potentieller Energien. Beim Kondensator U=E*d d= Abstand zwischen den Platten Technische Stromrichtung von + nach el. Stromrichtung (e) von - nach + neutral: + und - gleich positiv: Elektrronen entfernt negativ: Elektronen zugeführt Physik && ET Zusammenfassung = Q2 * ∫ E (r )°dr r2 ∆W = W2 −W1 = ∫ F (r )dr r1 Q E = k * 21 *e r2,1 r Q *Q F = k * 1 2 2 *e r2,1 mitQ 2 = 1 r el. Spannung U ist die Änderung der potentiellen Energie (∆W ), falls die Ladung Q 2 = 1 ist. r2 ∆W ∑ F * ∆s ∑ q * E * ∆s U= = = = ∫ E (r )dr Q2 q q r1 U = ∫ E °ds U = ∫ E * ds *cos(ϕ ) ( ) ( ) E potentiell = q * E * d c 6,, 24 *1018 Elektronen 1A = 1 = Sekunde s U R φ I R = tan(ϕ ) R(ϑ ) = R20i (1 + Dϑ * α ) lineare Approximation R(ϑ ) = R20i (1 + Dϑ * α + β 20 * Dϑ 2 ) quadratische Approximation bei grossen Temperaturbereichen Physik && ET Zusammenfassung Allgemeines: a *t2 2 P = F *V W = F *s Energie = Leistung pro Zeit Feldstärke = E - Feld s= Radialbeschleunigung: FElektron = melektron * aradius V= a= v2 r Fe * r me Dichte δ = kg m3 Konstanten: m e = 9 *10-31 Gravitationskonstante G = 6, 673 *10-11 c2 N * m2 1C = 6, 23 *1018 e Elektronenladungen ε 0 = 8, 85 *10-12 1eV = Elementarladung = 1.6022 *10-19 Joul beides Arbeit Für Ladung Physik && ET Zusammenfassung U = ∫ E *d = Feld * Abstand E pot = m * g * h = W = Joul = Energie U m * v2 = W = Joul = Energie Arbeit 2 W W Energie F * s P(Watt ) = = = = F *v t Zeit t Fg F E ≈ g F ≈ Fg q ≈ m g= E= m Q W U= Q E zeigt von der Ladung weg, falls positiv E zeigt von zur Ladung hin, falls neggativ Achtung: Q ist Vorzeichenbehaftet Ladungsverschiebung = E-Feld = Influenz = Ladungstrennung Ekin = t Physik && ET Zusammenfassung V Feldstärkte = E m Q E= 4 * π * ε0 * r 2 F= Q*q Q2 = 4 * π * ε0 * r 2 4 * π * ε0 * r 2 F Q ∆Q I= ∆t W Joule J U= = = 1 = 1Volt Q Columb C E= = ∑ F * ∆s = ∑ E * Q * ∆s = Q Q 2 ∑ E * ∆s = ∫ E * ds 1 Arbeit = Kraft * Weg W ( E pot ) = F * d = Q * E * d E ist ein konservatives Kraftfeld (Arbeit unabhängig vom Wegg, nur Anfangs und Endpunkt) 2 E = ∫ F * dr = −( E pot (2) − E pot (1)) = −(V (2) −V (1)) 1 E (2) E pot (1) W = −(V (2) −V (1))) = U = − pot − Q Q Q Physik && ET Zusammenfassung Der Kondensator (A ? d): E= Q e0 * A bei 1.Platte E = Q e0 * A *2 F= Q2 e0 * A bei 1.Platte F = Q2 e0 * A *2 F im Kondesator = Q*E = Q * E+ (positive Platte) = Q * E - (negative Platte) 2 m*g = q*E U E= d U = E*d = Q e0 * A = U d Q = C*U e *A C= 0 d Q*d e0 * A ist Geometrie Q ist µ zu Spannnung und Kapazität C Mit Dielekttrikum : E*d Q*d U = E' * d = = er er * e0 * A C= Q A = er * e0 * U d Q = er *C ohne U e *A C ohne Dielektrikum = 0 d el. Energie von Kondensator : C mit Dielektrikum = Q * U C * U2 = 2 2 Energiedichte w, die pro Volumeneinheit gespeicherte Energie : E e [WKondensator ]= w= e0 * E2 2 Physik && ET Zusammenfassung Der Feldfluss (Satz von Gauss): ∫ Φ= E * dA = A ( Fläche ) ∫ Φ= E* ∫ E * dA *cos(0)) /cos(0)=1 = A ( Fläche ) dA A ( Fläche ) Bei der Kugel: Φ= E* ∫ dA = A ( Fläche ) Beim Kondensator: E+ = Q+ 2 * A * ε0 E− = Q− 2 * A * ε0 E= Q A * ε0 Q Q *4*π *r2 = 2 4 * π * ε0 * r ε0 Physik && ET Zusammenfassung Flächenladungsdichte: dQ Ladung = = Flächenladungsdichte dA Fläche 1.Im Innern eines geladenen Leiters im elektrostatischeen Gleichgewichts zustand ist das elektrische Feld E=0. 2..An der Oberfläche steht E senkrecht zur Oberfläche 3.Der gesammte Leiter hat ein Potential V0 . σ= V (r ) = - 1 Q * 4 *π * ε 0 r Q Q 1 1 * 1 =* 2 4 * π * ε 0 r1 4 * π * ε 0 r2 oder Q1 = σ 1 = 4 * π * r12 Q 2 = σ 2 = 4 * π * r2 2 σ 1 * 4 * π * r12 r1 = σ 2 * 4 * π * r2 2 r2 oder σ 1 * r1 = σ 2 * r2 Q2 Q1 Q1 r1 = Q 2 r2 Physik && ET Zusammenfassung Allgemeines: Gasgemische: Gewicht für ein Teilchen (Atom) = Ne22 (Gewicht 1 Mol in g) L(6 *1023 Teilchen pro Mol) p *V = n * R * T m n= M Dn = n2 - n1 = V *( P2 - P1 ) R *T Dm M P = Druck V = Volumen T = Temperatur[ K ] m = Masse M = Molarmasse Joul R= Mol K Dn = ar (radiale Beschleunigung) = v 2 ( tangential) r(Radius) Arbeit = Kraft * Weg W = F *s r2 Eende − Eanfang = ∫ F * dr r1 2 m*v 2 −9 10 C = 10−9 *1.6 *10−19 Joul 0 E= m *V 2 = eV *1.6 *10−19 Joul 2 Physik && ET Zusammenfassung U= W Q = ∫ E * ds 2 1 U = Epot ∆Q = Watt ∆Q = kWh 3600 s m * v2 = m* g *h E= 2 W = Q * ∆V = Q *(Vr 2 −Vr 2 ) = 1 1 Q2 * − 4 * π * ε0 r2 r2 Gauss : ∑ Ei * ∆A = r2 Q+ ε0 U = ∫ E * dr = r1 Q+ 1 * ∫ 2 * dr 4 * π * ε0 r Kugelfläche = 4 * π * r 2 Das magnetfels eines Permanentmagneten entsteht durch geordnete atomare Kreisströme. Erwärmung über die Curietemperatur zerstört die Kreisströme. Magnetfeldlinien sind immer geschlossen (Wirbelfeld) ≠ E Felder nie geschlossen. B vom Nord zum Südpol Strom erzeugt -> Magnetfeld wirkt -> auf Magneten Magnet erzeugt -> Magnetfeld wirkt -> auf Strom Strom erzeugt B-Feld B-Feld erzeugt Strom Physik && ET Zusammenfassung Magnetismus: Magnetfeldlinien sind immer geschlossen. Strom->erzeugt Magnetfeld->Kraft auf Magnet Magnet->erzeugt Magnetfeld->Kraft auf Strom Paramagnetismus: Moleküle haben resultlierende Kreisströme B=B0+BM B=µ*B0 (µ = Premeabilität , Temperaturabhängig und nahe bei 1 Diamagnetismus: Tritt bei allen Stoffen auf und ist nicht Temperaturabhängig B=µ*B0 , wobei µ kleiner 1 ist! Ferromagnetismus: Eisen, Nickel Kobalt und einige Legierungen zeigen einen ungewöhnlich starken Magnetismus. µ viel grösser als 1 Das Magnetfeld eines Permamagneten entsteht durch geordnete atomare Kreisströme. Erwärmung des Magneten über die Curietemperatur zerstören die Ordnung der atomaren Kreisströme. FL = Lorenzkraft B = Magnetstärke[Tesla ] q = Ladung v = Geschwindigkeit µ = Permeabilität N = Windungszahl FL = I * lx( Kreuzprodukt ) B FL = q * vx( Kreuzprodukt ) B B= µ0 I * 2*π r bei 90° FL = I * l * B bei 90° FL = q * v * B (Draht) B = µ0 * µ * I * B = µ0 * I * Restmagnetismus bei Ferromagnetismus ist Remanenz N l N l B = µ0 *( I + I Eisen ) * (Spule) (Spule ohne Kern) N l (Spule mit Kern) rechte Hand: Stromrichtung Daumen Magnetfeldlinien gekrümmte Finger Geschwindigkeit oder I :Daumen Feld : Zeigfinger Kraft : Mittelfinger: Bei q(Elektron) um 180 gedreht Physik && ET Zusammenfassung g= Fg m F E= e q beliebig geschlossene Kurve um I Gravitation ∆si E-Feld αi Bi Das Amperesche Durchflutungsgesetz: ∑ B °∆s i i Bi = µ0 * I 2 * π * ri K1 i K1 B * Fläche = µ0 * I µ0 * I ∑ B °∆s = 2 * π * r * r * ∆α = i ∫ B * dr = B * ∫ dr i i µ0 * I * ∆α 2*π µ0 * I µ *I * ∑ ∆αi = 0 * 2 *π π = µ0 * I 2*π 2*π i Die Liniensumme des B-Feldes längs einer beliebig geeschlossenen Kurve ist gleich der Summe von der Kurve umsch hlossenen Ströme: = ∑ B °∆s = µ * ∑ I i i ∫ geschlossene Kurve 0 j j B i * ∆s = µ0 * ∑ I j j A = r 2 *π F = B * A *cos(δ ) v2 m * v2 W =U *q = 2 r F = e[eV ]*Ve * B a= µ0 = 4 * π *10-7 Kraft rechtwinklig Geschwindigkeit = Kreisbewegunng Achtung: Mittelwert nur einmal verrechnen Physik && ET Zusammenfassung Das Induktionsgesetz: E-Felder erzeugen B-Felder I1 FL = Fe I2 q *v* B = q * E v*B = E L*v* B = E * L ( Uindiziert ) L=Leiterlänge U indiziertt = L * v * B = L * L * ∆x = ∆A U indiziert U indiziert U indiziert U indiziert U indiziert 1 ∆t ∆A *B = * L * ∆x * B = B * ∆t ∆t ∆t ∆A = B* ∆t ∆B = A* ∆t ∆A ∆B = B* + A* ∆t ∆t ∆( A * B) magnetischer Fluss Φ = ∆t ∆Φ wobei Φ= ∑ Bi * ∆Ai mit Bi ⊥ ∆Ai =− ∆t i ∫ U indiziert = B * dA F = l * I 2 * B1 F = I * l * Bres Uind bei cosinus bei Spule, die kippt nicht -Φ Uind=ΦSchluss-ΦAnfang Uind=B*A*cos(180°)B*A*cos(0) mit B ⊥ dA von B durchflossene Fläche ∆q n * q * A * ∆s n * q * A * ∆v * ∆t = = = n * q * A*v ∆t ∆t ∆t F Kraft auf ein Elektrron FL = L 0 n B* A ∆Φ U ind = − *N =− *N ∆t ∆t U ind = R * I I= Φ = B* A v= U ind T n * r 2 *π s Physik && ET Zusammenfassung W 1 W=U*q= * m * v 2 q 2 m*v r= e = 1, 6 *10-19 e* B 2 *π ω = 2 *π * f = T=Zeit für 1 Periode T Kraft 90° zu Geschwindigkeit = Kreeisbewegung Eelektron = EαTeilchen U= Physik && ET Zusammenfassung vE vA S = Vanfang * t + t a * t2 2 v= gegeben gegeben gegeben v +a*t v *t+ gegeben gegeben v -a*t gegeben v *t- gegeben gegeben gegeben gegeben s a*t s 2 t v -v E E gegeben gegeben 2*a*s+v gegeben 2*s − 2 2*v E t v 2 E - 2*s -v 2*s t 2 A 2 A -v A gegeben A t 2 t a gegeben 2*v A gegeben t v E v 2 E -2*a*s a gegeben 2*s v +v E A Anfang E a A v 2* g * t t v -v v g*t 2 v*t = 2 2 v = g*t h= a gegeben t für den Freien Fall: 2 Grundformeln: Vende = Vanfang + a * t - gegeben gegeben s Ende A + A v 2*s a*t 2 -v 2 A 2*a v +v E 2 A *t gegeben 2 2 A gegeben A gegeben gegeben gegeben E gegeben gegeben gegeben gegeben gegeben v 2 E -2*a*s 2*s t -v t -v 2 E 2 2 E a*t 2*a*s+v a*t 2 Physik && ET Zusammenfassung Arbeit W [kWh] mechanisch Elektrisch W = F *s W = U * I *t 2 m*v Wkin = 2 W pot = m * g * h WFeder = Leistung P [W] P= Kraft F [N] F = G* Geschwindigkeit v [m/s] Federkonst * s 2 F * s = 2 2 W t F *s P= t P = F *v m* g *h P= 2 m1 * m2 r2 F = m*a Dv F = m* Dt P =U *I U2 P= R P = I2 *R W P= t F= Q1 * Q2 4 *π * ε 0 * r 2 FElektron = m * a siehe Blatt!!! Wärme Arbeit W [kWh] Leistung P [W] U 2 *t W= R 2 W = I * R *t W = P *t W = U *Q W( ePot ) = F * d = Q * E * d W = m * c * DT P= W t Magnetismus Physik && ET Zusammenfassung U I *R I U R U I R P I P R U2 P P*R W U*t P I2 Kreisring : A = 2 * π * r * dr (Umfang*dr) Ellipse : Fläche = a * b * π Kreis : d2 * π Fläche A= = π * r2 2 Umfang =d*π=2*r*π Kreisumfangfragment s = ϕ (im Bogenmass) * r Kugel: Oberfläche A=4*π * r 2 4 Volumen V= * π * r 3 3 Kegel : π Volumen V= * r 2 * h 3 Oberfläche = π * r 2 (Kriesfläche) + π * r * s(Mantel ) Pyramide : Volumen V= Grundfläche*h 3 W I*t Physik && ET Zusammenfassung Allgemeines zu ET, was gerne vergessengeht: i 3 -2 Zylinder : i(t) 1 i( t ) = ∫ i * dt = 3 2 E(r ) = 2 3 − 2 * (t − 1) 2 3 Q 2 * π * r * ε0 * εr * h i&S : Fläche ist ⊥ zu i t 5 - + 3 * ( t − 3) 2 i = ∫ S°dA Beim Kond densator: Q bleibt immer gleich U verändert sich A C = ε0 * εr * d Bei geschichtetem ε r : 1 C= 1 ∑ ∆C z 2 * x2 S = 2 * x * y3 2* x* y 1 1 Fluss durch x = ∫ ∫ 2 * x 2 * dy * dz 0 0 1 1 y Fluss durch y = ∫ ∫ 2 * x * y 3 * dy * dz 0 0 1 1 Fluss durch z = ∫ ∫ 2 * x * y * dy * dz 0 0 x Achtung : Bei normaler Zahl (ohne x,y,z) wird der Fluss 0, weil gleichviel reinfliesst, wie rausflliesst!!! Physik && ET Zusammenfassung Maschengleichung : 1 R * i + * Q = 100V C R*i+ Q= ∫ i*dt Q'=i 1 * i*dt = 100V C ∫ | R* di 1 d d + * * i*dt = * 100V dt C dt ∫ dt R* di 1 + *i = 0 dt C d dt d * i*dt = i dt ∫ d * 100V = 0 dt 1 di + *i = 0 dt C * R − i( t ) = K * e 1 *t R*C i (t = 0) : U R (t = 0) = U q − U C i (t = 0) = UC = U R (t = 0) Q0 C Q 0 ist als Anfangsbedingung gegeben R 1 *y deSolve y ' = − C* R and y (0) = U R (t = 0) R , t, y Stromfluss i,v Physik && ET Zusammenfassung Bei negativen Ladungen linke Hand, sonst Rechte Daumen : Stromfluss eFl Mittelfinger gekrümmte Finger : Feldlinien BZeigefinger bei v oder Elektronenfluss linke Hand, bei technischer Stromrichtung rechte Hand vElektronenfluss tangentialer B-Vektor E Feldlinie R parallel Lorenzkraft: FL = I * l(Kreuzprodukt )B ( Arbeit W verschiebung im E-Feld = I * l * B * sin(I , B ) FL = q * v(Kreuzprodukt )B bei 90° FL = q * v * B ∫ B°dr = µ 0 * i ∫ B°dA = 0 R seriell ( ) A Kreis e- e- e- A eFlächenladungsdichte e- µ I B= 0 * 2*π r (Draht) B = µ0 * µ * I * B = µ0 * I * N l N l (Spule) A Stromdichte A Verschiebungsfluss + (Spule ohne Kern) N l (Spule mit Kern) magnetische Feldstärke H : Θ H= l durchflutung, magnetische Spannung Θ: Θ = ∫ H°dl * B = µ 0 * (I + I Eisen )* ee- bei 90° FL = I * l * B ) magnetischer Fluss Φ: Φ = ∫ B°dA magnetische Flussdichte, Induktion B: ∆Φ B = µ*H = ∆A µ = µ0 * µr Physik && ET Zusammenfassung S E - Feld E = = = r*S = Q 4 * p * e0 * r 2 k W F Q Spannung U = R * i = [ Volt] = - ∫ E°ds Q beim Kugelwiderstand: r 1 I U = ∫ E°dr = ∫ R r0 V m Arbeit, Energie Wpot = ∫ F°s = Q * U = -Q * ∫ E°ds = ∫ U * i * dt Kraft F = Strom I = Q1 * Q2 4 * p * e0 * r2 = ∫ S°dA = R [N ] = Q*E U DQ C * DU = Dt [ J] Dt [A] Veerschiebung, Verschiebungsdichte, Verschiebungsflussdichte, Flussdichtee, el. Verschiebung D : D= eingeschlossene Ladung Hüllfläche = e0 * E = DY DA = Q A Q A Q ∫ E°dr = 0 ∫ E°dA = e 0 Stromdichte S Ladung pro Zeit & Flächeneinheit durch eine Querschnittsfläche : i i = * n (Normalenvektor) = n (menge der e ) * e einheitsvektor * v dA A A r r aussen E°ds l r * dr r U r*l ∫ Widersstand R = = = = Röhrenwid. = dR = = ∫ * dr [ W ] k * A ∫ S°dA A 2*p*l*r i A r innen E S= = di Simens G = = 1 dG = R dA = r*l r aussen Leistung P = Arbeit, Energie pro Zeit ∫ r innen DW breite * dr r*r*2*p = U*i = U 2 Dt R elektrischer Verschiebungsfluss Y durch die Fläche A : Y = ∫ D°dA = e0 * ∫ E°dA = A Y= ∫ A - = i 2 * R [W] e- e- e- techn. Stromrichtung ∫ i * dt [C, As] D°dA = Qtotal innen (Summe der durch die Fläche eingeschlossene Ladung) e- e- E F + Fläche R*m spezifischer Widerstand r = 2 m Flächenladungsdichte (kann bei Cond. D sein ) s : s= a= C 2 m Q DQ = lim D → 0 A DA Q*E Wkin = m WKondensator = Q*U 2 = C*U 2 m*v 2 E= 2 2 = Q 2 2*C U d C= Q U el. Leitwert k = = 1 r e r * e0 * A d Q = ∫ i * dt E Vakuum e r = E Isolator As Vm e = e0 * e r Physik && ET Zusammenfassung Konstanten und Masseinheiten: Q = Coulomb = 1As Q = n(wieviele Elektronen) * e 1elektron = -e =1.60217733 * 10-19 As melektron = 9.1094 * 10-31 kg 1eV=1.602*10-19C=1.602*10-19Joul Ladung * Spannung = eV 1proton = +e = 1.6022 * 10-19 As mproton = 1.6726 * 10-27 kg k = 8.988 * 109 Nm2/C2 ε0=8.854 * 10-12 C2/Nm2 (bei Vac = 1) G=6.673 * 10-11 Nm2kg-2 F in Newton E-Feld in N/C oder Vm-1 elektron e = Q B − Feld : Kraft ⊥ zu Feldlinien E-Feld: Kraft zu Feldlinien Konvention: -E-Feld vom + weg (bei - Senke) -Rechtwinklig von Körpern weg. -konservatives Feld = keine Wirbelungen -Feldlinien schneiden sich nie falls Zeit t keine Rolle spielt -> Energiesatz sonnst -> Kinetik 1Coulomb=1As Energie W = 1J(Joul) =1Ws = 1Nm = 1m2kgs-2 Leistung P = W(Watt) = Js-1 = m2kgs-3 Leistung[P ] = Energie( W ) pro Zeit U=Joule/Coulomb= 1Volt I=1Ampere= 1C/s=6.2*1018e/s S=Stromdichte=A/m2 W t Energie[ W ] = Leistung überr eine Zeit P= W= ∫ P T=Tesla Ns/Cm 1Nm = 1Ws = 1Joul H=Henry Vs/A 1kWh = 60kWm = 3600kWs h=4,14*10-15 (bei Joul 6,6*10-34) eVs c(Lichtgeschwindigkeit)=3*108 0°C=273°K σ=5,671*10-8 Wm-2K-4 K=1,38*10-23 JK-1 h=4.14*10-15 eVs = 6.63228*10-34 Js λ=Wellenlänge in m µ0=1.256637*10-6 Vs/Am (bei Vac = 1) Physik && ET Zusammenfassung DasE -Feld : N Volt E= = = Vm -1 C Meter Joul U= = Volt Colomb Bei 2 Kugelladungen auf einer Linie: E=E1-E2 1 4 * p * e0 Q *Q m *m F1,2 = F2,1 = k * 1 2 2 analog mech. F1,2 = F2,1 = G * 1 2 2 r r - > um die Feldrichtung zu bestimmen : F F E = elektrisch analog mech. g = G Q m 1 Q F E(r) = * 2= 4 * p * e0 r Q 1 Q e r1,2 = Einheitsvektor = Vektor beim Vektorfeld E = * 2 * e r1,2 4 * p * e0 r Betrag Q *Q e r1,2 = Einheitsvektor = Vektor F = k * 1 2 2 * e r1,2 Betrag r DW = Fänderung °Ds 2 2 W1,2 = ∫ F°Ds = -q * ∫ E°Ds k= 1 1 -q * ∫ E°Ds 2 U= W1,2 q = 1 q = 2 -∫ F°Ds 1 q 2 = -∫ E°Ds 1 Wpot = q * U DWpot = Wpot2 - Wpot1 = q * V2 - q * V1 = q *(V2 - V1 ) = q * U1,2 Fres = m * a = q * E a= q*E m ϑ(phi = Äquipotentialfläche ) = Spannungspotential( V ) ϑ = ρ(spez .Widers tan d )* S(Stromdichte) S immer parallel zu E Physik && ET Zusammenfassung Potentialflächen : E(r ) = Q 4 * π * ε0 * r 2 r2 V = −∫ E(r )°dr = r1 V= 1 1 Q * − 4 * π * ε 0 r2 r1 r1 = ∞ Q 4 * π * ε0 * r W = Q * ∆V = Q 2 * [ V(r2 ) − V(r1 ) ] = Joul Wpot = Q * V ∆W = ∫ F°ds = Q * ∫ E°ds m 2 ∆W *v = E ° ds =ϕ ∫ 2 Q beim Kondensator oder ϕ = elektrisches Pootential = konstant= htetem homogenen E-Feld: gleichgerich Äquipotential-Linie U E= d Wkin = Der Strom: Strom->Ladungsbewegung, Wärme, Magnetfeld Spannungg->Änderung der potentiellen Energie ∆Q I= = Q ' Elektronen, die pro Zeit durchfliessen ∆t A I = ∫ S°dA S = 2 = Stromdichte m I = e*n* v* A Anzahl Elektronen n= Volumen I Elektornengeschw windigkeit v = e* A*n m Dichteϕ = = n * µ µ =Masse eines Atoms V I * mol L=6*1023 A=Fläche e=1.6*10-19 v= e* A*ϕ*L Physik && ET Zusammenfassung Energie W: Joule J=Nm=m 2kgs−2 =Ws ∆W = Q * U Q= ∫ i*dt W = ∫ U * i * dt W = −Q * ∫ E°∆s = ∫ F°∆s Leistung P (Energie nach Zeitt): Watt W=Js-1 = m 2kgs−3 Nm J W = VA = = s s U2 ∆W = U*i = = i2 * R R ∆t Wechselstrom : P= 2 Pmittel i i 2 = * R = * R 2 2 Flächenladungsdichte σ: C 2 m Q ∆Q = lim ∆ A → 0 A ∆A 1 Q 1 E = * = *σ ε0 A ε0 ε0 * E = D = σ σ= U L (Spule) = -L * i ' U R ( Widerstand ) = R * i U C (Kondensator) = Q C Wirkungsgrad η: Nutzleistung P η= Quelleleistung Ptotal Maximum bei Quellen: Netzspannung = 230V = U eff = 230V * 2 U R innen = R last η = 1 2 Stromdichte S: Bewegte Ladung pro Zeit und Flächeneinheit du urch eine Querschnittsfläche. dq = S = n*e* v v =Mittler Geschwindigkeit ev * dt n=menge freier Elektronen pro Volumeneinheit e v =Richtung von v i = ∫ S°dA = ∫ S °dA = S * ∫ dA A A S = konstant S ⊥ A A i S= * n (Normalenvektor) A =0 Falls der Körper keine Ladung speichert, Summe = 0 sein ∫ S°dA i = S* A Der Widerstand: Physik && ET Zusammenfassung E ° ds l U ∫ R = = ϕ * länge = i A Fläche S°dA ∫ ϕ =Materialgrösse Roh in Ω α , β=Materialkonstanten υ =Temperatur in ° Celsius mm 2 ϕ Kupfer = 0.0175Ω m ∆υ = υ − 20°C ϕ( υ ) = υ 20° * (1 + α * ∆υ ) mm 2 m R( υ ) = R 20° * (1 + α * ∆υ ) bei sehr grosser Wärme: Quantenobjekte (Photon): E = h*f c = λ*f E = m * c2 h*f h m= 2 = c c*λ h*f h Puls p = m*c= = λ c h h λ= = m* v p ϕ( υ ) = υ 20° * (1 + α * ∆υ + β * ∆υ 20 ) R( υ ) = R 20° * (1 + α * ∆υ + β * ∆υ 20 ) G = Simens = 1 1 = Ω R Das Gaussche Gesetz: D=elektrische Flussdichte (oder elektrische Verschiebung) AsV -1m−1 Vm−1 = Asm−2 = Cm−2 cos(Winkel) = im Vakuum :D=ε 0 * E Winkel zwischen Flussrichtung von E im Material :D=ε * ε 0 * E und Flächennormale in Flussrichtung. Ψ =elektrischer Verschiebungsfluss durch eine gedachte Fläche A Ψ durch geschlossene Fläche = Q total innen =Summe der durch die Fläche eingeschlossene Ladung ∫ E * dr = 0 Cm -2m 2 = C 1 E ∫ * dA = ε0 * Q Ψ = ∫ D°d A = ε 0 * ∫ E°dA Fläche A A Physik && ET Zusammenfassung 1.elektrisches Strömungsfeld: Achtung : Bei Rechnungen mit W, Joul verwenden → kein Ev (Ev1 * 1.6022 * 10−19 ) * (Ev 2 * 1.6022 * 10−19 ) Q*q W= = 4** π * ε 0 * r 4 * π * ε0 * r Physik && ET Zusammenfassung Der Kondensator: Der Kondensator: i = C* dU dt Bei beschleunigungsspannung eines Elektrons von Kondensator C auf eine Punktladung: Uc=V(r)Punktladung Q U Q E= ε0 * A C= U = E*d = Q= E*d Q*d 1 = = *∫ i*dt εr εr * ε 0 C −> U für Platten ε0 * A ε *ε *A *U = 0 r *U d d A Beim Plattenkondensator C = ε 0 * εr Platte d D°dA Q ∫ bei geschichtetem C: Cmit = = U E°ds -D berechen, immer gleiches D egal ε ∫ εr = CDielektrikum CVakuum F(auf eine Platte) = Q * E+ = r -E berechnen -U berechen Q2 2 * ε0 * A 1 1 Q2 W = * Q * U = * C * U2 = 2 2 2*C W(beide Platten ) = Q * U Energiedichte( w , pro Volumeneinheit gesp. Energie ) = bei verdoppelung des Abstandes d beim Plattenkondensator: 2*U Q=Q E=E Bei Zylinderkond und Kugelkond nimmt E mit zunehmendem r ab. ε0 * E2 2 Physik && ET Zusammenfassung Der Kondensator: ε 0 * εr * E2 D * E D2 Energiedichte w = = = 2 2 2 * ε0 * εr ε 0 * εr * E2 * dV Energie W = ∫ w * dV = ∫ 2 Volumen Volumen Bei Koaxialkabel: r Q2 * ln aussen W= 4* π * ε 0 * ε r rinnen Kraft auf Kondensatorplattten: Q2 ∆C F= Q = C* U * 2 ∆l 2*C U 2 ∆C A ∆C = C = ε0 * εr * = − ε 0 * ε r * A * l −2 * ∆l l 2 ∆l U 2 −ε0 * εr * A * = 2 l2 D = εr * ε 0 * EG lim mer = ε 0 * ELuft ELuft = εr * EG lim mer EG lim mer = U1 d1 U 2 = U1 + ELuft * (d 2 − d 2 ) (d 2 − d 2 ) = dLuft Kondensator-Anordnungen; C1 gleiches Q C2 U1 C3 C1 Uq U1 + U2 U2 U1 C2 C3 U2 Q1 + Q 2 = Q 3 W = Q*U W( U1 ) = C 2 * U C 2 * U 2 W( U 2 ) = C1 * U C1 * U1 Kondensatoren parallel zuert mit Quelle 1000 Volt gespiesen Uges = 1000V Cges=C1+C2+..+Cn Qges=C*U Kondensatoren werden geladen seriell geschaltet Q bleibt erhalten! Q=C*U Uges= UC1+UC2+...+UCn = n*1000V 1/Cges=1/C1+1/C2+...+1/Cn Q Ausfluss bei Kurzschluss =Qges/n Physik && ET Zusammenfassung Der Kondensator: t U= 1 0 * i(t )* dt + U ( t = 0 ) C ∫0 C an idealer Stromquelle : U C (t ) = 1 * iq * t C Bei Wechselstrom: π i(t)=U*C* ω*cos ( ω * t ) = U*C* ω*sin ω * t + 2 * sin ( ω * t ) U( t ) = U i = U * ω*C 1 U = = Impedanz z i ω * C Verhältnis E1 ε r 2 = E2 ε r1 U = U1 + U 2 ε U = E1 * l1 + E2 * l 2 = E1 * l1 + r 2 * E1 * l 2 ε r1 U E1 = εr 2 U1 εr2 l1 + *l ε r1 2 ε r1 U1 C beim Koaxialkabel: 1 Ctotal = raussen ∫ rinnen r aussen 1 1 1 * ∫ = C 2 * π * ε r * ε 0 * h rinnen r 2 * π * εr * ε0 * h C= r ln aussen rinnen C bei zwei parallelen Koaxialkabeln: π * εr * ε0 * l C= Astand ln rKabel εr1 εr2 E1n E1 α1 E2t α2 E2n E2 U1 = U 2 = U E1 = E2 D1 D2 U2 U1 εr1 εr2 = ε 0 * εr1 ε 0 * εr 2 D1 ε 0 * ε r1 = D2 ε 0 * ε r 2 ∫ D°dA = Q -> Ladung ist ungleichmässig verteilt D1 normal = D2 normal an Grenzfläche E1 tangential = E2 tangential an Grenzfläche D1n = D2n D1n * cos(α1 ) = D2n * cos(α 2 ) ε 0 * ε r1 * E1 * cos(α1 ) = ε 0 * ε r 2 * E2 * cos(α 2 ) E1t = E2 t E1 * sin(α1 ) = E2 * sin(α 2 ) E1 * sin(α1 ) E 2 * sin(α 2 ) = ε 0 * ε r1 * sin(α1 )* E1 ε 0 * ε r 2 * sin(α 2 )* E2 tan(α1 ) ε r1 = tan(α 2 ) ε r 2 Physik && ET Zusammenfassung Strömngsfeld Kraftfeld Flussintegral Φ= ∫ v Geschwindigkeitsfeld ->Strom F ->Spannung v°dA Fläche ist v ein Strömungsfeld, so liefert Φ das Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeitintervall in Richtung n durchfliesst. v = Vektorfeld des Strömungsfeldes n = Normalenvektor auf dem infinitsemalen Flächenstück dA entfällt, da Fläche gerichtet und n = 1 Bei ebener Fläche Flussintegral Φ= v°dA ( ) n φ v Wegintegral oder Arbeit W = ∫ v°ds s Berücksichtigt wird zu ds parallele Komponente von v . P ds besitzt eine Richtung W(P-Q) = −W(Q − P ) Bei geradem Streckenstück W=v*s v ds Q Physik && ET Zusammenfassung B-Feld (Lorenzkraft): Masseinheit: Ns Nms Vss 1 Tesla = 1 =1 =1 2 2 Cm cm m −4 1 Gauss = 10 Tesla Al lg emein : F = Megnetkraft + el .Kraft = q * vxB + q * E Die Lorenzkraft FL auf ein bewegtes Teilchen ist immer senkrecht zur Geschwindigkeit v . FL = i * lx(Kreuzprodukt )B bei 90° FL = I * l * B = i * l * B * sin(i , B ) bei Vektofeld i*l*e v xB FL = q * vx(Kreuzprodukt )B bei 90° FL = q * v * B ( ) ( ) = Q * v * B * sin( v , B ) µ i B= 0 * (Draht) 2*π r N B = µ0 * µr * i * (Spule) Länge der Spule N B = µ0 * i * (Spule ohne Kern) Länge der Spule N B = µ 0 * (i + i Eisen )* (Spule mit Kern) Länge der Spule E-Feld: -“offene“ Feldlinien -Wirkt auf ruhende und bewegte Ladung -Potentialfeld -Elektron wird beschleungt -Kraft ║ zu zu E-Feld B-Feld: -geschlossene Feldlinien -Wirkt nur auf Bewegte Ladung -Wirbelfeld -können nicht beschleunigen, nur Kraft umlenken -> v bleibt erhalten -Kraft ┴ zu B-Feld Physik && ET Zusammenfassung Die Spule L: Masseinheit 1Henry = 1H = 1 Φ = magnetischer Fluss Φ = N * ∫ B°dA ∆i U = L* ∆t i= Das Gesetz von Ampere: ∫ B*dr = µ 0 * i Kreis 1 * U * dt L ∫ Gauss'sche Gesetz für die magnetische Induktion: B ∫ * dA = 0 Φ = L*i A ∆Φ ∆t ∆Φ = −N * ∆t U ind = − U ind U i nd = −B * l * v Vs A µ 0 = 4 * π * 10−7 = 1.256637 * 10−6 Φ = ∫ B°dA A Φ = B * dA d U ind = ∫ E°dr = − dt * ∫ B°dA falls ⊥ Bei bewegter Leiterschleife im B-Feld: ∆A ∆A U ind = B * = l* v ∆t ∆t U ind = B * l * v U ind = E * l U ind = ΦSchluss − Φ Anfang A ∆A = ∆B * ∆t ∆t ∆A U ind = B * * cos( B, A ) falls Spule dreht ∆t ∆A A + ∆B * ändert sich A und B gleichzeitig U ind = B * ∆t ∆t FL = FE v*B = E l * v * B = E * l( U ind ) U ind = B * U1 U2 U2 = − N1 * U1 N2 Physik && ET Zusammenfassung Divergenz div D : Raum wird nach Ladungsveränderungen "gescannt" V = Volumen ∫ D°dA = lim eingeschlossene Ladung div D = lim ∆V → 0 ∆V → 0 Volumen auf Punktgrösse ∆V ∂ D ∂ Dy ∂ Dz x + div D = + ∂y ∂z ∂x ∫ D°dA = ∫ div D°dV = Q = ∫ ρ * dV div D = ρ Im Ladungsfreien Raum ist div D =0 Wenn div D ≠ 0, dann muss in diesem Raumpunkt Ladung sein! Kraft : Fkugel = Q2 4 * π * ε0 * r 2 Fzylinder = Q2 2 * π * ε0 * r Physik && ET Zusammenfassung Bei beweger Drahtschleife(Motor oder Generator): δ = ω * t = ∫ B°dA = − B * A * cos ( δ ) ∆Φ d = − * B * A * cos ( ω * t ) U ind = − /Ableiten ∆t dt = B * A * ω * cos ( ω * t ) Amplitude = B * A * ω = U Winkelgeschwindigkeit ω = 2 * π * f 1 2* π Periodendauer T = = f ω Durcch Ströme erzeugte Magentfelder: Φ = B* A 1 ∫A S°dA = µ 0 * µr * gesch∫. Weg B°ds ∫A S°dA = ∫S H°ds B = µ0 * µr * H Bei bewegter Leiterschleife im B-Feld: ∆A ∆A U ind = B * = l* v ∆t ∆t U ind = B * l * v Die Grundgesetze der Elektrodynamik: Quellen (feste Zeit t):: Q innen ∫A E°dA = ε 0 d.h Ladungen sind Quellen des E-Feldes B d.h das b-Feld besitzt keine Quellen ∫ °dA = 0 A Zeitabhängige (veränderliche) Felder->Wirbel: d d E°dr = = − Φ = U ind − * ∫ B°dA ∫ dt A dt Kreis d ε 0 * * ∫ E°dA = ∫ B°dr dt A Kreis d ∫ B°dr = µ 0 * i + µ 0 *ε 0 * dt * ∫ E°dA d ( B*A*cos(ω*t) ) d = B * A * ω * sin(ω * t ) Φ = dt dt Am litude= B * A * ω U ind = − ( *N Windungen ) Physik && ET Zusammenfassung Physik && ET Zusammenfassung Achtung ε 0 = εr *ε 0 Coulomb − Gesetz : Q *Q 1 * 1 2 2 F= 4 * π * ε0 r Betrag der elektrischen Feldstärke des radialen Feldes eier Punklaadung: E= 1 Q * 2 4 * π * ε0 r Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke und Flächenladungsdichte: E= Q σ(Flächenladungsd.) = ε0 * A ε0 Elektrisches Potential im Abstand r von einer Punktlaadung: 1 Q V= * 4 * π * ε0 r Elektrischer Fluss durch eine geschlossene Hüllfläche um die Ladung Q: Ψ =ε 0 * ∫ E°dA = Q A Energiedichte des elektrischen Feldes: ε0 * E2 We = 2 Plattenkondensator : ε *A C= 0 d Kugelkondensator : 4 * π * ε 0 * r1 * r2 C= r2 − r1 Kugel C = 4 * π * ε 0 * rk Physik && ET Zusammenfassung RC-Glied: R Uq UR UC Physik && ET Zusammenfassung Wechselstrom: ω = 2*π*f = T= 1 f i( t ) = C * 2*π T dU(t ) dt t0 1 U(t ) = * ∫ i(t )* dt + U(t = 0) C 0 Imp petanz z = 1 ω*C * sin(ω * t + 0) U( t ) = U π i(t ) = i * cos (ω * t ) = i * cos ω * t + = i * cos (ω * ϕ i ) 2 ϕ = (ϕ u − ϕ i ) = − π 2 Stromverlauf: k<0 Wichtig : entweder τ oder ω, nie beides!!! y' = k *y y ' = k (G − y ) 1 τ= k y max = G y ''+ ω0 2 * y = 0 y (t ) = A * sin ( ω0 * t + δ 0 ) Anfangsbedingungen n A, y(0) y'(0) Stromverlauf: k>0 δ0 : G Ladung des Kondensators 5*τ Physik && ET Zusammenfassung Kreisbewegung : Bei Dreharbeit: Drehwinkel j (Weg s) Umlaufdauer T = ω = 2* π * ( Anzahl Drehungen) 1 f M (Drehmoment ) = F * Radiius 2*p Kreiisfrequenz w = 2 * p * f = P (Leistung) = M * ω T Umdrehungen 1 Drehfrequenz f = = = Hertz Sekund den s Winkelgeschwindigkeit w (Geschwindigkeit v) Winkelbeschleunigung a (Beschleunigung a) zurückgelegterr Winkel j Dj w= = j' Dt v= t2 Ds = s' Dt t2 j = ∫ w * dt s = ∫ v * dt t1 t1 gleichförmige Drehbewegung (w konstant) : j= w*t nkelbeschleunigung : Win Dw a= = w' = j'' Dt Winkelgeschwindigkeit w : t2 w = ∫ a * dt t1 s = v*t a= Dv = v' = s'' Dt t2 v = ∫ a * dt t1 Gleichmässig beschleunigte Drehbewegung (a konstant) : w =a*t a * t2 2 sonstiges : j= v2 = w2 * r r m * v2 F= = m * az r a= v=a*t s= a * t2 2 s ( Kreisstrecke ) = r * ϕ ( Winkel in Rad ) Physik && ET Zusammenfassung UC = UL 1 * Q = −L * i ' C L | d dt 1 * Q ' = − L * i '' |i=Q' C 1 * i = − L * i '' C wenn Kraft proportional zu Weg -> harmnische Schwingung Harmonische Schwingng = sin() i '' + 1 *i = 0 L*C ω2 = 1 L*C ω= -> y''+ω2 * y = 0 1 L*C i(t ) = i 0 * sin ( ω * t + δ 0 ) Wichtig : entweder τ oder ω, nie beides!!! Stationärer Fluss, Die Änderungsrate y' einer Grösse y ist konstant: y ' = konstant Beispiel: freier Fall ohne Luftwiderstand y ' = g Wärmedurchgang Q ' = k * A * ∆υ natürliches Wachstum, Die Änderungsrate y' ist proportional zur Grösse y: abklingendes e → Zerfall ansteigendes e → Wachstum 1 y' = k *y charakteristische Zeit τ = k Beispiele : Radioaktver Zerfall N ' = - λ * N 1 Entladen Kondensator Q ' = *Q R*C beschränktes Wachstum, Die Änderungsrate y' ist proportional zur Differenz G-y: y ' = k * (G − y ) G Grenze für y d.h, y max = G 1 charakteristische Zeit τ = Sättigung bei 5* τ k y (5 * τ ) = y max Beispiele : 1 Aufladen eines Kondensators Q ' = * ( U0 * C − Q ) R*C Harmonische Schwingung: Y''+ω2 * y = 0 Physik && ET Zusammenfassung Harmonische Schwingung, wenn Fres proportional zu Weg Harmonische Schwingung: y ''+ ω0 2 * y = 0 Fres = m * a = − Frücktreib = − D * y 2* π ω0 = 2 * π * f = T die Feder: N F m*g D= s= = m D D F*s D * s 2 W= = ( entspricht der Fläche unter dem F-s Diagramm ) 2 2 F = −D * s 1 1 1 seriell geschaltete Federn = + Dgesamt D1 D2 nur ω ist für die Schwingungsdauer parallel geschlatete Federn Dgesamt = D1 + D2 verantwortlich y (t ) = A * sin ( ω0 * t + δ 0 ) mit ω = D m Pendel : sin 0° - 30° ist linear, sin kann weggelassen werden! Bogenllänge s = ϕ * r Energiebetrachtung bei Schwingung: A = Amplitude ϕ = Anfangswinkel T = Periodendauer ϑ = Abklingkonstante oder Abklingkoeffizien nt m = Masse β = Reibungskonstante D = Federnkonstante Wtotal = Wpot + Wkin = konstant zu jedem Zeitp. 1 Wpot = * D * y 2 2 1 Wkin = * m * v 2 2 1 Wtotal = * D * A 2 2 y (t ) = A * sin ( ω0 * t + ϕ 0 ) ev. ϕ = 0 v(t ) = y '(t ) = A * ω0 * cos ( ω0 * t + ϕ 0 ) g oder a = y ''(t ) Maximales s, v, oder a bei sin() = 1 oder cos( ) = 1 Wann Maximales s, v, oder a Ableitung = 0 bei Röhre: m * s '' = −FR ρ * A * l * h '' = −ρ * A * 2 * h * g beim Eisklotz: m * x '' = −seite 2 * x * ρflüssigkeit * g mit Geschwindigkeit und x0 : m*v 2 m*g = m*g*h x0 = D 2 v aufprall = 2 * g * h 2 v aufprall A = x 0 2 + ω0 Bei Spinne: Fadenpendel Resonanzfrequenz beim Motor: fQuelle < fmotor → keine Resonanz bei verschiedener Auslenkung ( A): nur v verändert sich gleichmässig beschleunigt: g * t2 s= 2 Physik && ET Zusammenfassung Mechanische Schwingung: Fres = FRe ibung + FFeder m * a = m * y '' = −β * y '− D * y m * y ''+ β * y '+ D * y = 0 m=Masse β=Reibungskonstante D=Federnkonstante y ''+ β D * y '+ * y = 0 m m Elektrische Schwin ngung: UL = U R + UC 1 d -L*i' = R * i + * Q / C dt 1 L * i ''+ R * i '+ * i = 0 C L=Selbstinduktivität R=Widerstand C=Kehrwert der Kapazität i ''+ ( i = Q ') R 1 *i+ *i = 0 L L*C Differentialgelichung für die gedämpfte Schwin ngung: 2 y ''+ 2 * ϑ * y '+ ω0 * y = 0 β 1 D R 2 ω0 = ϑ= ω0 2 = ϑ= 2*m 2* L m L*C u n = ϑ*T ln un +1 s ( Kreisstrecke ) = r * ϕ ( Winkel in Rad ) un = Verhältnis zweier un +1 aufeinanderfolgender Amplituden y t = y 0 * e−ϑ*t * sin (ω0 * t + ϕ 0 ) ev ϕ 0 = 0 2 D β − m 2 * m Schwache Dämfung Schwin ngfall Starke Dämpfung Kriechfall aperiodischer renzfall ω = ω0 2 − ϑ 2 = ϑ < ω0 ϑ > ω0 ϑ = ω0 ϑ ω0 Ampitudenabfall = e−ϑ*t Dämpfungsgrad = Fadenpendel : FR = m * g * sin (δ) m * δ '' = −m * g * sin (δ) Bogenlänge = r * δ g m * y '' = −m * * y r g y ''+ * y = 0 r ω0 = g l Physik && ET Zusammenfassung Wellen : c = λ*f c = Phasen oder Wellengeschwindigkeit. Gesch hwindigkeit, mit der sich die Phase (Wellenberg) ausb breitet. Achtung: c ist nicht mit der Geschwindigkeit der von der Welle erfassten Teilchen zu verwechselln. λ = Wellenlänge Abstand zweier Punkte gleicher Phase(d.h die Punkte müssen gleiche Auslenkung und gleiche Geeschwindigkeit haben) T = Schwingungsdauer für einen Punkt der Welle in der Zeit T schreitet die Welle um die Sttrecke λ voran. ϕ = Phase einer Welle. Beshreibt den Schwingungszustand der Welle an einer bestimmten Stellen 1 f = Frequenz. Zahl der Schwingungen eines Teilchens in der Zeeiteinheit f = T Quer − oder Tranversalwelle (Schwingung senkrecht zur Ausbreitung) x t y ( x, t ) = y max * sin 2 * π * − λ T Längs − oder Longitudianalwelle (Schwingung län ngs der Ausbreitung ) Es kommt zu Dichte- und Druckschwankungen Sinusförmige Wellen: 2 * π * x stehende Welle y = y(t ) = y max * sin λ 2*π * x − v * t ) laufende Welle y ( x, t ) = y max * sin λ ( im Raum (bei festem t) : ∆x = N * λ N=1 ∆x = λ in der Zeit (bei festem x): v*∆t = N * λ N=1 ∆t = T λ 1 T= = v = λ*f v f 2*π k = Wellenzahl m−1 = λ 2*π − 1 ω = reisfrequenz s = T x t y = y max * sin 2 * π * − λ T y ( x, t ) = y max * sin (k * x − ω * t − ϕ) falls Anfaangswinkel transversale Geschwindigkeit u y ( x, t ) = y (t ) = −ω * y max * cos (k * x − ω * t − ϕ) a( x, t ) = y t )(= ω 2 * y max * sin(k * x − ω * t − ϕ ) Physik && ET Zusammenfassung μ0, μr B1 B2 H1 μr2 H1 = H 2 1 1 * B1 = * B2 µ 0 * µ r1 µ0 * µr 2 B1 µ r 1 = B2 µr 2 H2 B2t B1n α1 μr1 μr1 B1 = B 2 H1 µ r 2 = H 2 µ r1 μr2 μr1 α2 Fluss einer Spule allgemein: φ = N * ∫ B°dA B1t B2n μr2 H − Feld eines Langen Leiters Ausserhalb: = ∫ H°ds ∫ S°dA i = H * 2* π*r i * etangential H= 2* π * rAbs tan d tan(α1 ) µ r1 = tan(α 2 ) µ r 2 r3 r2 r1 Koaxialkabel : Innenleiter 0 ≤ r ≤ r1 : i H= *r 2 * π * r12 Isolation r1 ≤ r ≤ r2 : i H= 2*π*r Aussenleiter r2 ≤ r ≤ r3 : r 2 − r 2 i H = 32 * r3 − r2 2 2 * π * r Ausserhalb des koaxialkabels r ≥ r3 : H=0 H − Feld eines Langen Leiters Inn nerhalb: i*r H= * etangential 2 * π * rKabel 2 r2 Θ = i* rKabel 2 H − Feld einer Spule mit kleinem Querschnitt: i*N H= l(Länge der Spule) H − Feld Spule auf Ringkern: i*N H= * etangential 2* π*r Fluss durch Fläche F: r µ *µ *i*N*d * ln aussen φ= 0 r r 2* π innen einer Ringspule mit R N*A *B = R* Ausgang A liedam Ausgang: Physik && ET Zusammenfassung Stromfluss ist in beiden Rohren entgegengesetzt im Lufraum im Innern: Θ=0 → kein magnetisches Feld innerer Leiter: i S= 2 r2 * π − r12 * π r2 − r 2 Θ = S * (r 2 * π − r12 * π) = i * 2 1 2 r2 − r1 Θ H= 2*π*r zwischen beiden Rohren: Θ=i i H= 2*π*r äusserer Leiter: i S= 2 r4 * π − r3 2 * π r4 r3 r2 r1 Θ = i − S * (r 2 * π − r3 2 * π) H= Θ 2*π*r S= i i = 2 A r2 * π − r12 * π Θ = S * (r 2 − r12 ) * π = i * r1 r2 H= Θ 2*π*r r 2 − r12 r2 2 − r12 dφ = B * dA r2 φ = ∫ dφ = r1 U2 = M * µ0 * i * l r2 2 * π * (r2 2 − r12 ) *∫ r− r1 r12 * dr r di dt i * µ * µ * N 1 Auch in N1 ist B = 1 0 r l dB A * µ 0 * µ r * N1 * di d = U1 Windung = * ∫ B°dA = A * dt l * dr dt N 1 2 * A * µ 0 * µ * di U1 = N1 * U1 Windung = l * dt di Selbstinduktion U1 = L1 * dt M i1 U1 i2 N1 N2 U2 Physik && ET Zusammenfassung l1-l6 i ∫ S°dA = ∫ H°ds = i * N i * N = H1 * l1 + H 2 * l 2 + ... + H n * l n m i * N = ∑ Hk * lk k =1 A1 Φ1 Knotensatz φ1 = φ2 + φ3 Maschensatz l3 Uq 2 Φ2 1 R3 l2 R1 A2 R2 l1 Φ3 ( ∑ φ = 0) : (i*N = ∑ R mk * φmk ) : 1 : H1 * l1 + H 3 * l 3 = i * N 2 : H2 * l2 + H3 * l3 = 0 H und B aus Tablelle entnehmen, da µ r im gleichen Material verschieden!!! im geschlossenen Kreis (ohne Zwischenschenkel) φ = konstant U ∫ H°ds R = = i B°dA φ = B* A ∫ H*l Θ l = = Rm = φ φ µ0 * µr * A B i*N Θ H= = = l l µ0 * µr φ Bn = n = µ 0 * µ r *H n An H*l ∑ i=∫ H * dl = H l * l l + H 2 * l 2 + ... + Hk * lk = N beim Kreis: Θ = i * N = ∑ R mk * φmk = ∑ H k * l k [Wb] S Simens = s s A Achtung Umlaufsinn! m [A] [A] Physik && ET Zusammenfassung H 2 H 2 HE Hl Hl HE magnetische Durchflutung Θ Mass für die Stärke des Magnetfeldes in eiener Spule: Θ = i * N = R m *φ [A] magnetischer Fluss Φ = B * A [ Wb ] Θ l Rm = = µ0 * µr * A φ A Θ B i*N = magnetische Feldstärke H = = µ0 * µr l l m umlaufgeicher Sinn : i 1 * N1 + i 2 * N 2 umlaufverschieededener Sinn : i1 * N1 − i 2 * N 2 Φ magnetische Flussdichte B = A i=∫ H* dl = 2 * H l * l l + 2 * H E * l E ∑H*l i= N Physik && ET Zusammenfassung UR UC UL R: U = R*i U i= R C: 1 * i * dt C ∫ dU i = C* dt U= L: U = L* i= di dt 1 * U * dt L ∫ U = ∑ U = U R + UC + UL 1 di = R * i + * ∫ i * dt + L * dt C Integral DLG Ableiten: di 1 di 2 dU = R* + *i + L* 2 dt dt C dt Die Spulengleichungen: di U = L* dt 1 i = * ∫ U * dt L t 1 0 i ( t 0 ) = * ∫ U(t )* dt + U ( t = 0 ) L 0 Leiterschleife : U total = ∑ U ind dΦ U = N* dt ϒ = N*Φ Achtung : Richtung dees Stromflusses (Wicklung) beachten Bei Schleifring & bewegten Platten: v = ω * r = Drehgeschwindigkeit * Radius E = v*B = ω*r*B r 2 U ind = ∫ E°dr r1 DLG besitzt 3 mögliche Lösungsformen: i(t)=K 1 * e − a1 *t + K 2 * e − a2 *t i(t ) = K 1 * e − a1 *t + K 2 * t * e − a1 *t i(t ) = e − a*t * ( K 1 * sin ( b * t ) + K 2 * cos ( b * t ) ) → hier etsteht eine Schwiingung i * N = ∑ H k * l k = H * l(bei mittlerem Weg) B = µ0 * µr * H dB d U = * ∫ B°dA = A * Uq dt dt U a = N * U1 Windung H*l B*l i= = N1 µ 0 * µ r * N1 d dB A * µ 0 * µ r * N1 di * U1 Windung = * ∫ B * A = A * = dt dt l dt µ0 * µr * A di * N1 * N 2 * Gegeninduktivität M Ua = dt l N1 N2 Ua Physik && ET Zusammenfassung Gegeninduktivität: -idealer Transformator -Vierpol i2-2 gekoppelte Spulen -L1 , L 2 Induktivität der Einzelspule U-M Koppelung zwischen L1 und L 2 Gegeninduktivität 2 di di U 1 = L 1 * 1 + M 2 ,1 * 2 dt dt Selbstinduktivität Spule 1 Wirkung des Stroms in Spule 2 auf Spule 1 di di U 2 = L 2 * 2 * M 1, 2 * 1 dt dt in der Regel gilt M1,2 = M 2 ,1 ψ 2 = N 2 * φ 2 = M * i1 dψ 2 d U2 = = * M * i1 dt dt di M>0 falls H1 = H 2 für i 2 = 0 wird U 2 = M * 1 , dt M i1 U1 N1 N2 L1 L2 i i a r a=Mittelpunkt-Mittelpunkt r=Rasius des Kabels Induktivität der Zweidrahtleitung: ∫ S°dA = ∫ H°ds → i = 2 * π * r * H φlinker Leiter = φrechter Leiter = φtotal = 2 a−r a−r φtotal 2 a−r ∫ B°dA = ∫ B(r )* l * dr = ∫ r r a − r µ *µ *i*l Ψ = φ = 2* 0 r * ln r 2*π a − r µ *µ *l L = 0 r * ln r π r a − r µ0 * µr * i * l µ *µ *i*l * ln * dr = 0 r r 2*π*r 2*π (N = 1) Physik && ET Zusammenfassung Allgemein: i * N = ∫ H°ds B = µ0 * µr * H d U = * ∫ B°dA dt Physik && ET Zusammenfassung A1 i1 i1 i2 A2 i2 Physik && ET Zusammenfassung Kraft & Energie im Magnetfeld: di U = L* dt P (t) = U(t) * i (t) Win L = t0 t0 −∞ t0 −∞ ∫ P ( t ) * dt = W = L* ∫ i (t) * −∞ ∫ U ( t ) * i ( t ) * dt di ( t ) dt * dt = L * i 2t0 2 Energiedichte im magnetischen Feld: ∫H°ds = ∫ S°dA H*l = i*N i*N*A φ = ∫ B°dA = µ 0 * µ r * l µ * µ * N 2 * A di di dψ dφ U= = N* = 0 r * = L* l dt dt dt dt wähle sehr kleines (d.h homogenes) Volumeenelement: W W Energiedicht w = = Volumen A * l i2 W = L * = ∫ w°dV 2 µ * µ * N 2 * A * i 2 µ0 * µr * N2 * i 2 L * i2 = 0 r 2 = w= 2* A* l 2* l * A 2 * l2 2 2 2 µ0 * µr * H µ0 * µr * H B*H B = = = w= 2 2 * µ0 * µr 2 2 A l Physik && ET Zusammenfassung Energie des Magnetfeldes im Leiterinnern: µ * i2 * l W= 0 16 * π innere Induktivität einer Zweidrahtleitung: a = Abstand der 2 Leiter r = Radius des Leiters i2 W = L* 2 i2 i2 Wtotal = Winnen + Waussen = L innen * + Laussen * 2 2 a − r µ0 * l * ln Laussen = r π µ *l L innen = 0 4*π a − r i 2 µ *l Waussen = 0 * ln * r 2 π µ * l * i2 Winnen = 0 → für 2 Leiter 8*π µ * l a − r i 2 µ 0 * l * i 2 Wtotal = 0 * ln * + r 2 8 * π π Kräfte im Magnetfeld: mech. Energie = Wm = ∫ F°ds ∆Wm = ∆x * F el . Energie = Wel = ∫ w°dV ∆Wel = w * A * ∆x = Energiesatz : ∆Wm = ∆Wel B2 * A * ∆x 2 * µ0 * µr L total = Laussen + L inneen Wechselstrom : effektive Spannung = U effektive Stromstärke = ω = 2*π*f = 2*π T 2 i 2 T= 1 f Physik && ET Zusammenfassung Widerstand R Strom-Spannungs-Beziehung U i= U = R*I R Kondensator C du i = C* 1 U= dt Ursache Erregergrösse x(t) angelegte Spannung U ( t) = U * sin (É * t + j Wirkung (Strom durch Netzwerkelement) i= C U R * sin (É + j U U * Spule L ∫ i * dt i = É * C * U * cos (É * t + j ( L ∫ u * dt * U = L* di dt ) ) 1 i= U ) = É * C * U * sin É * t + j + U i=- ) À 2 = U * cos (É * t + j É*L U É*L ( * sin É * t + j U U ) ) À 2 Ansatz für Wirkung i = i * sin (É * t + j Vergleich Ansatz-Wirkung Amplitude : i = ) U R Phase : j i = j U + U, i U, i ^U U φU U, i gleiche Phase Scheinwiderstand Z Impetanz (Defnition) Phase φZ zwischen Strom und Spannung Z= i = U I =R jZ = j U - j i = 0 Scheitelwert Y (Definition) Y= Phase φY zwischen Strom und Spannung U 1 G = i U = jy = ji - jU = 0 2 U, i ω*t Aussage i eilt À 2 Z= U Y= ^U U ^i ω*t i φU vor i eilt U i = 1 É *C i U = XC À 2 = É * C = BC jy = ji - jU = + À 2 ^i i ω*t φi φi jZ = j U - j i = - i É *L À Phase : j i = j U 2 ^U φU U Amplitude : i = À U ^i i Amplitude : i = É * C * U ji = jU Phase : Zeitverlauf (LinienDiagramm) i Z= À 2 U i nach = É * L = XL jZ = j U - j i = + Y= i U = jy = ji - jU = - À 2 1 É *L À 2 = BL Physik && ET Zusammenfassung Leistung mit Wechselstom : U2 P = i2 * R = R P (t ) = U (t ) * i (t ) R = 4W 2 i 1 1 * ∫ P (t ) * dt = * ∫ i 2 (t ) * R * dt = R * T 0 T 0 2 T P mittel = L = 3mH C= T 10-3 F 6 w = 1000s -1 Ueff = 100V/0° =U * 2 U eff i = i * 2 eff i * sin (w * t + j ) U (t) = U U i (t) = i * sin (w * t + j ) i R UL UR Ueff U~ U (t) = 100 * 2 * sin (w * t) 1 j* w *C = 4W + j * 3W - 6 * jW = 4W - j * 3W z total = zR + zL + zC = 4W + j * w * L + z total -3 j*arctan 4 = 5 * e j*-36.9° z total = 42 + 32 * e z total = 5W / - 36.9° 100V / 0° U i eff = eff = = 29A / + 36.9° z total 5W / - 36.9° i (t) = 2 * 20 * sin (w * t + 36.9°) UReffektiv = R * i eff = 4W * 20A = 80V ULeffektiv = j * w * L * i eff = j * 3W * 20A / 36.9° = 3W / 90° * 20A / 36.9° = 60V / 126.9° UCeffektiv = 1 * i eff = -j * 6W * 20A / 36.9° j* w *C = 6W / - 90° * 20A / 36.9° = 120V / - 53.1 1° Spule = j*ω*L j Kond= ω*C Beim Kreis oder Maschenstromverfahren: R + R - f= 500 p Physik && ET Zusammenfassung Im R3 R2 iReff Re R1 U~ j*1 iC iL iR 3 ieff iLeff iCeff R1 = 10W R 2 = 3W 10-33 L = 3mH C= F 6 U (t) = 2 * 50V * sin (w * t) j* w *L = j*4 1 = -j * 6 j* w *C R 3 = 8W Spule = j*ω*L j Kond= ω*C = 5 + j * 0 + 6 - j *8 = 15 - j *5A R 500 p iq Utot=U1+U2 Uq U2 + U1 + U1 - U1 Utot=U1-U2 R U2 - 3 + j * 4 = 5 / 53.1° 5A / 36.9° + f= U1 Beim Kreis oder Maschenstromverfahren: i eff = i Reff + i Leff + i Ceff U i Reff = eff R1 Ueff i Leff = R2 + j * w * L Ueff i Ceff = 1 R3 + j * w *C 50V / 0° 50V / 0° 50V / 0° + + i efff = 10W / 0° 3 + j * 4 8 - j*6 = 5A / 0° + 10A / - 53.1° + w = 1000s -1 Ueff = 50V/0° 8 - j * 6 = 10 / - 36.9° e0° -553.1° e53.1° = e e0° e -36.9° = e36.9° 4+ j*3 -5 = 152 + 52 A / arctan 15 = 15.8A / -18.5° 50V / 0° U = 3.16W / 18.5° z = eff = 15.8A / -18.5° i eff = 3 + j *1W 6 5A -53.1° 10 -8*j A 36.9° 4 3*j Physik && ET Zusammenfassung Beispiel Kreis- oder Maschenstromverfahren: Spule = j*ω*L j Kond= ω*C U1 Beim Kreis oder Maschenstromverfahren: R Utot=U1+U2 iq Uq U2 + U1 + U1 - U1 Utot=U1-U2 R i1 - U2 i2 i1 3Ω j*4Ω R 100V/45° U~ [R ]* i ] = Uq i2 j*10Ω → [ z ]* ik ] = Uq bei Kondensator : j *1 j 1 = =j*w *C j* j*w *C w *C Spannung : 100V/45° in Normalform = 70.7 + j *70.7 3 + j * 4 + j *10 -j *10 5* x−3* y + z = 7 −x + 2 * y = 3 x − y + 2 * z = −1 5 −3 1 x 7 −1 2 0 y = 3 1 −1 2 z -1 bei komplexem Wechselsstrom Einstellungen: Angel : Deg gree Complex Format : Polar TI − 89 : rref ([3, −3, 1, 7; − 1, 2, 0, 3; 1, −1, 2, −1]) -j *10 i1 100V/45° * = j10 - j10 i2 0 3 + j *14 -10 * -10 * j 0 j i1 70.7 + j *70.7 * = i2 0 i1 = 0 100V 10 i2 =10A / 135° -j*10Ω / 45° - ( -90° ) e 45° = e 45° -(-90°) = e135° -90° e Physik && ET Zusammenfassung Physik && ET Zusammenfassung Physik && ET Zusammenfassung Knotenpotential Verfahren: k*U2 U2 iq1 G2 G1 U30 U10 G3 G4 U20 G5 G 1 + G 2 (+G i ) U10 iq1 (+iq 2 ) −G 1 −G 2 U 20 = −iq1 −G 1 G1 + G 4 + G 5 −G 4 U − G − G G + G + G 0 2 4 2 3 4 30 k * U 2 = U10 gesteuerrte Quelle U 2 = U10 − U 30 U10 = −iq1 −G 1 G 1 + G 4 + G 5 −G 4 U −G − G G + G + G 0 2 4 2 3 4 20 G1 + G 4 + G 5 U 20 = −iq1 + G 1 * U10 −G 4 U − + + 0 + G 2 * U10 G G G G 4 2 3 4 30 k * U 2 = U10 = k * ( U10 − U 30 ) U10 − k * U10 = −k * U 30 = U10 * (1 − k ) U10 = −k k U 30 * U 30 = (1 − k ) k −1 G1 + G 4 + G 5 −G 4 k U = −iq * G 1 −G 4 − 1 20 k − 1 U 0 30 k G 3 + G 4 + G 2 * 1 − k − 1 Physik && ET Zusammenfassung Physik && ET Zusammenfassung Physik && ET Zusammenfassung Physik && ET Zusammenfassung ( ) Divergenz div Volumen drchgescannt lim, hat Raum Quellen oder Senken : v®¥ ∂f ∂x ∂f Gradient grad (Richtung der grössten Änderung ) : ∂y ∂f ∂z ∂ f ∂ f ∂ z - y ∂x ∂y ∂z fx ∂ ∂f ∂f Rotation rot Fläche zu lim : x f y = x - z A®0 ∂y ∂z ∂x fz ∂ ∂f y ∂fx ∂z ∂x ∂y Maxwell - Glleichungen in Integral - Form : ∫ D°dA = 0 ∫ B°dA = 0 dD ∫ H°ds = ∫ s + dt * dA d Uind = * ∫ B°dA dt dF Uind = -∫ E°ds = (Quelle) dt E = r*S dB ∫ E°ds = ∫ - dt * dA Maxwell - Gleichungen in Differential - Form : div B = 0 div D = r dD rot H = S + dt -dB rot E = dt E = e0 * e r * E B = m0 * m r * H E0 = v * B0 B0 = E0 * v * m 0 * e0 ( ) ∂f ∂f ∂f + + ∂x ∂y ∂z Physik && ET Zusammenfassung Physik && ET Zusammenfassung R2 Ra Rb R3 R1 Rc Stern − Dreieck : Pr odukt der Nachbarwid. + beide Nachbarwid. dritter Widerstand R1 * R 2 Ra = + R1 + R 2 R3 R2 * R3 Rb = + R2 + R3 R1 R1 * R 3 Rc = + R1 + R 3 R2 Dreieck − Stern : Produkt der Nachbarwiderstände Gesamtwiders tan d Ra * Rc R1 = Ra + Rb + Rc Ra * Rb R2 = Ra + Rb + Rc Rb * Rc R3 = Ra + Rb + Rc Der Stromteiler: i i1 R1 R2 i2 i1 U * G 1 R 2 = = i 2 U * G 2 R1 i2 U * G2 R1 = = i U * (G 1 + G 2 ) R 1 + R 2 Physik && ET Zusammenfassung MöglichkeitenderNetzwerkanalyse : charakteristische Gleichung g U=funktion(i) U=R*i Knotensatz:∑ i knoten = 0 (alle Ströme an einem Knoten =0) Maschensatz : ∑ U Masche = 0 (alle Spannungen einer Masche = 0) Superpositionssatz (nur für lineare Netzwerke) Stern-Dreieckschaltung Quelle Last i Uq1 Masche 1 i2 i3 R2 U Uq1 Masche U q2 2 Knotensatz : i1 + i2 + i3 = 0 Maschensatz : Uq1 + UR1 + UR2 = 0 Uq2 + UR2 + UR3 = 0 Superposition : Bei mehreren Quellen können die von einer Queelle erzeugten Ströme einzeln berechnet und zu den Strömen der anderen Quelle summiert werden. Wichtig : Vorzeichen!!! R 1 * i1 + R 3 * i 3 = Uq1 R 2 * i 2 + R 3 * i 3 = Uq 2 i1 + i 2 − i 3 = 0 U R3 i1 R3 R1 i Physik && ET Zusammenfassung Spannungquelle: Ri i Stromquelle: i Uq Ri iq Uq=Ri*i Uq1+Uq2 Uq1-Uq2 Uq1 Uq2 Uq1 Uq=Ri*i i3=i1+i2 i1 i2 i3 Uq1 i3=i1-i2 i1 i2 i3 Messbrücken && Spannungsteiler: i2 R1 R2 i1 R3 ieingang 1 R3 i1 = 1 i2 R1 + R 2 i eingang = i1 + i 2 i2 R1 R2 ieingang i1 R3 1 R + R3 i1 = 2 1 i2 R1 i eingang = i1 + i 2 Superpositionsprinzip: -nur eine Quelle mit allen Widerständen beachten, andere Quellen ausklinken. Bei Uq: -R total berechnen, dann itotal=Uq/Rtotal USchaltung=Uq-Ri*itotal i1=USchaltung/Rgesucht -Bei Iq: -R total berechnen, dann U=Rtotal*Iq i2=U/Rgesucht -itotal=i1+i2 oder itotal=i1-i2 Physik && ET Zusammenfassung Knotengleichungen (Kirchhoffsche Regel): -In einem Knoten ist die Summe aller Ströme jederzeit gleich 0 -Die Summe aller Einfliessenden und Ausfliessenden Strömen ist gleich 0 -ACHTUNG : Stromrichtung beachten Die Masche: i1 R1 Q1 Q2 R2 i2 Q1+R2*i2-i1*R1-Q2 Das Potentiometer (der Spannungsteiler): U1 R 1 = U2 R 2 Uq R2 wird bei der SpanR1 U1 R1 R verGenerator Ersatzschaltung: = = 1 U1 nungsmesung U q R 1 + R 2 R total U q = Ri * Inachlässigt!!!!!!! q R3 x = Schleifstellung 0-1 R2 R 2 = x * R total Superposition: U2 R i = x * (1 − x )* R total Stromquelle offen, Spannung kurzschliessen R 2 = x * R total R3 R1 Uq U1 R1 = U R1 + R3 Ri = R2 i1 R4 R1 * R3 R2 * R4 + R1 + R3 R2 + R4 Physik && ET Zusammenfassung -Strom oder Spannungsquellen umwandeln. immer wieder neuer Innenwiderstand dazurechnen. -ÄNDERUNGEN: falls Ri ändert, ändert auch die Quellengrösse (V oder I). -ACHTUNG: nur ein Widerstand als Ri verwenden, -Nach Quellwandlung itotal mit Geamtwiderstand neu berechnen. -Nach jeder Umwandlng kann ein Wderstand dazugenommen werden, dann Quellengösse neu bestimmen!!!!!!!! -Ändern bis ungefähr folgendes Bild: Ri R1 Uq1 Uq2 R2 R1 R1 Uq Iq R1 i=Uq/R1 R1 Iq R2 Iq R1//R2 24V R1//R2 Uq Uq=R1//R2*i = 24V/R1 R6 R4 Uq R2 24V R5 R3 Ri Iq Physik && ET Zusammenfassung Knotenspannungsverfahren: -Knotenpotential = Spannung zwischen einem Knoten und einem gemeinsamen Nullpunkt (Bezugspunkt) -Knotengleichungen zuziehen -für Widerstände Simens(S) verwenden (Kehrwert von Ohm (1/R)) k*U2 -G*U=i oder 1/R * U=i iq1 G1 U2 U30 G2 G3 U10 G4 U20 G5 G 1 + G 2 (+G i ) U10 iq1 (+iq 2 ) −G 1 −G 2 U 20 = −iq1 −G 1 G1 + G 4 + G 5 −G 4 U − G − G G + G + G 0 2 4 2 3 4 30 k * U 2 = U10 gesteuerrte Quelle U 2 = U10 − U 30 U10 = −iq1 −G 1 G 1 + G 4 + G 5 −G 4 U −G − G G + G + G 0 2 4 2 3 4 20 G1 + G 4 + G 5 U 20 = −iq1 + G 1 * U10 −G 4 U − + + 0 + G 2 * U10 G G G G 4 2 3 4 30 k * U 2 = U10 = k * ( U10 − U 30 ) U10 − k * U10 = −k * U 30 = U10 * (1 − k ) U10 = −k k U 30 * U 30 = (1 − k ) k −1 G1 + G 4 + G 5 −G 4 k U = −iq * G 1 −G 4 − 20 1 k − 1 U 0 30 k G 3 + G 4 + G 2 * 1 − k − 1 Physik && ET Zusammenfassung Superposition oder Überlagerungssatz: In einem Netzwerk mit mehreren Quellen können die von einer Quelle erzeugeten Ströme einzeln berechnet un zu den Strömen der anderen Quellen summiert werden. R1 i1 i2 R2 i3 Uq2 R3 Uq1 1: R1 * i1 + R3 * i3 = Uq1 2: R2 * i2 + R3 * i3 = Uq 2 3: i1 + i2 - i3 = 0 3 in 1 und 2: i3 = i1 + i2 R1 * i1 + R3 * i1 + R3 * i2 = Uq1 R2 * i2 + R3 *ii1 + R3 * i2 = Uq 2 Zweigstromverfahren i1 R2 R4 Uq2 3 R3 R1 i3 i4 +Uq Uq -Uq Uq 1 i2 2 R5 Uq1 Masche 1: − U q1 + R 2 * i1 + R 4 * i 2 + R 5 * i 2 + R 1 * i 4 = 0 Masche 2: − Uq 2 + R 4 * i 2 + R 5 * i 2 + R 3 * i 3 = 0 Masche 3: − U q1 + R 2 * i1 + R 3 * i 3 + R 1 * i 4 + U q 2 = 0 Knotenggleichungen: i 3 = i1 − i 2 i 4 = i 3 + i 2 -> wird nicht verwendet, da 3 Maschen Machengleichungen + Knotengleichungen in Matrize: U q1 R 2 R 4 + R 5 0 R 1 i1 i 0 R +R R Uq 2 0 2 4 5 3 = * R2 R 3 R 1 i 3 U q1 − U q 2 0 −1 −1 0 i 4 1 0 Physik && ET Zusammenfassung Kreis- oder Maschenstromverfahren: -Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist immer 0 -Knotengleichungen werden hinzugezogen -Innere Ströme eventuell durch Gleichung der Ä usseren Ströme ausdrücken (i2=i1-i6) -Falls Quellen vorkommen, in die Gleichung reinnehmen ACHTNG:+ oder -Gleichungen etwa: Rn*in=Uq -Nebenplätze von angrenzenden Maschen minus i3 R6 Uq3 Spule = j*ω*L j Kond= ω*C c R4 Beim Kreis oder Maschenstromverfahren: R b Utot=U1+U2 iq Uq U2 + R5 a R3 R1 R2 U1 U1 + U1 - U1 Utot=U1-U2 Uq1 Uq2 R - U2 i2 i1 innere Ströme durch äussere ausdrücken!! 5* x−3* y + z = 7 −x + 2 * y = 3 x − y + 2 * z = −1 R 1 * i1 + R 2 * (i1 − i 6 ) + R 3 * (i1 − i 5 ) = U q1 − U q25 −3 1 x 7 −1 2 0 y = 3 -R 3 * (i1 − i 5 ) + R 4 * (i 5 − i 6 ) + R 5 * i 5 = U q 2 1 −1 2 z -1 -R 2 * (i1 − i 6 ) + i 6 * R 6 − R 4 * (i 5 − i 6 ) = U q 3 bei komplexem Wechselsstrom Einstellungen: Angel : Deg gree ( R1 + R 2 + R 3 )* i1 - R 3 * i 5 - R 2 * i 6 = U q1 - U q 2 Complex Format : Polar -R 3 * i1 + ( R 3 + R 4 + R 5 )* i 5 - R 4 * i 6 = U q 2 TI − 89 : rref ([3, −3, 1, 7; − 1, 2, 0, 3; 1, −1, 2, −1]) - R * i − R * i + ( R + R + R )* i = U [ R ]* [Sehnenströme ] = Uq ] a) b) c) a) b) c) 2 1 4 5 2 4 6 6 q3 Matrix : ( R 1 + R 2 + R 3 ) i1 U q1 − U q 2 −R 3 −R 2 i 5 U q 2 − + + − R ( R R R ) R 3 3 4 5 4 −R 2 −R 4 ( R 2 + R 4 + R 6 ) i 6 U q 3
