Übungszettel – 12

Physik für Erdwissenschaften – WS 2004/2005
Übungszettel – 12
27.1.2005
Grundlagen Elektrizität (für diesen Zettel):
Stromdichte I/A = j = ρL v, Ladungsdichte ρL = q nT, nT = Teilchendichte, q = Teilchenladung
Magnetfeld einer Spule im Zentrum und auf der Achse: B = µ0 NI/l (µ0 = 4π⋅10−7 Vs/Am)
Induktionsspannung Uind = −dΦ/dt, Φ = B⊥⋅A = Fluss des Magnetfeldes durch die Fläche A
66. Elektronengeschwindigkeit im Leiter: [EM11]
Wie gross ist die Geschwindigkeit v eines Elektrons in einem Kupferdraht mit dem Radius
1 mm wenn ein Strom von 1 A fliesst? Um welche Art von Geschwindigkeit handelt es
sich? Angaben: Atommasse von Kupfer ACu = 63.5 g/mol, Dichte ρCu = 8.9⋅103 kg/m3,
nur 1e−/Atom trägt zur Stromleitung bei.
67. Strom und Magnetfeld [bewegte geladene Teilchen erzeugen Magnetfeld]: [EM10]
Wie gross ist die Kraft pro Längeneinheit (anziehend oder abstossend?) für zwei
antiparallele Ströme der Stärke 9 Ampere bei einem Abstand von 3 mm?
68. Magnetfeld wirkt auf bewegte geladene Teilchen ein (siehe auch 67.): [EM27]
Ein α-Teilchen der Masse m = 6.65⋅10−27 kg bewegt sich unter dem Einfluss eines
senkrecht zur Bahn stehenden magnetischen Feldes B = 0.5 T auf einer Kreisbahn mit
Radius R = 0.65 m. Wie groß sind Geschwindigkeit und kinetische Energie (in MeV)?
69. Magnetfeld einer Spule auf der Achse (ALEPH Experiment):
Eine zylindrische Spule mit der Länge l = 6.3 m, dem Durchmesser d = 5.3 m und mit
N = 1530 Windungen soll im Inneren ein homogenes Magnetfeld B = 1.5 Tesla erzeugen.
Wie gross ist die erforderliche Stromstärke?
Sollte die Spule supraleitend ausgeführt sein? (Wie würde man die Leistung berechnen?)
70. Magnetfeld eines Kreisstroms:
Mit dem Gesetz von Biot-Savart kann man relativ einfach das Magnetfeld einer
Stromschleife mit Strom I und Radius R auf der Achse berechnen. Die Lösung ist
Bz(z) = µ0 M/2π (R2 + z2)−3/2 [siehe unten], mit dem magnetischen Moment M := I R2π.
Beachte: aus Symmetriegründen besitzt das Magnetfeld auf der Achse nur eine
Komponente in Richtung der Achse (= z-Achse).
a) Welche funktionelle Abhängigkeit besitzt Bz für grosse z?
b) Vergleiche die Größe des Magnetfeldes im Zentrum der Stromschleife (z = 0) mit der
Größe des Erdmagnetfeldes am Äquator: BErde = 3⋅10−5 T, M = 19 Am2, R = 0.05 m.
c) Wie groß ist die Ableitung (Gradient) S = dB/dz des Magnetfeldes bei z = 0 und im
Abstand von 0.05 m?
Physik für Erdwissenschaften – WS 2004/2005
71. Energie eines Dipols:
a) Die Energie eines magnetischen Dipols in einem Magnetfeld ist gegeben durch
W = − m⋅B (Skalarprodukt von Vektoren, analog zum elektrischen Fall: W = − P⋅E)
Bei welcher Ausrichtung des Dipols m tritt das Energieminimum auf, bei welcher das
Maximum? Wie groß ist die Energiedifferenz zwischen Minimum und Maximum für
einen kleinen Dipol mit m = 0.65 Am2 im Punkt z = 5 cm von voriger Aufgabe?
b) Die Kraft auf einen magnetischen Dipol ist gegeben durch
F = − dW/ds
(aus dW = F⋅ds)
Wie groß ist die Kraft auf obigen Dipol (für einen festen Winkel α zwischen m und B)
im homogenen Erdmagnetfeld bzw. im Zentrum der Stromschleife bei z = 0?
(vergleiche: Kraft auf elektrischen Dipol im homogenen Feld in Aufgabe 65)
Bemerkung: im Gegensatz zum elektrischen Dipol können die Pole im magnetischen Fall nicht so
einfach lokalisiert werden, da es genaugenommen keine magnetischen (Mono-)Pole gibt.
72. Schwebender Magnet-Kreisel:
Da sich gleichnamige Magnetpole abstoßen, wollen wir versuchen, einen kleinen
Magneten über einer großen Magnetunterlage im Gravitationsfeld der Erde zum
Schweben (´balancieren´) zu bringen. Dazu muss die magnetische Abstoßungskraft die
Gravitationskraft gerade kompensieren. Die Magnetunterlage wird durch die vorher
beschriebene Stromschleife simuliert. Abstoßung bedeutet, dass m antiparallel zu B sein
muß, daher W(z) = mB(z) und F(z) = - dW/dz = - mS.
a) Der kleine Magnetdipol soll im Abstand z = 5 cm schweben. Wie groß muss dazu
seine Masse x gewählt werden?
b) Zum Überlegen: Warum handelt es sich hier um ein instabiles Gleichgewicht?
Was für eine Möglichkeit gibt es, den Dipol gegen das Bestreben "umzukippen" zu
schützen? (Was schützt z.B. einen Kreisel davor "umzukippen"?)
c) Zeichne einen Graphen für die Gesamtenergie des Systems Wges(z) = mB(z) + xgz
(berechne z.B. Wges für z = 0,1,2, ..., 9 cm) und kontrolliere, wo sich ein Minimum
befindet.
73. Induktionsspannung einer rotierende Spule:
a) Berechne die Induktionsspannung einer kreisförmigen Spule als Funktion der Zeit:
Anzahl der Windungen n = 1000, Durchmesser d = 10.6 cm, Drehfrequenz f = const.
Der feste Winkel zwischen Drehachse der Spule und Magnetfeld sei mit β bezeichnet.
b) Wie gross ist die maximale Scheitelspannung U0 für den Fall an, dass sich die Spule
mit einer Frequenz von 10 Umdrehungen pro Sekunde im Erdfeld dreht?
BErde = 2⋅10−5 T, β = ?
c) Wie kann man im Prinzip mit dieser Spule die Richtung des Erdmagnetfelds
bestimmen?
Alle Aufgaben sind bis zur nächsten Stunde schriftlich vorzubereiten,
Aufgaben 66, 70 und 72 sind abzugeben.