s(t): Ortskoordinate v(t): Geschwindigkeit a(t): Beschleunigung

2 .1 Kinematik von Massepunkten
Bewegungsgrößen
s(t): Ortskoordinate
v(t): Geschwindigkeit
a(t): Beschleunigung
Physik f. Biochemiker, Chemiker & Geowissenschaftler | J. Winter
s (t )
ds(t )
v (t )=
= ṡ (t )
dt
dv (t ) d2 s(t )
a(t )=
= 2
= s̈ (t )
dt
dt
Gleichförmige Bewegung
dv( t )
a (t) 
0
dt
ds( t )
v( t ) 
 v 0 ( const )
dt
Die Bahnkurve folgt aus der Integration
s( t )   ds   v( t )dt  v 0  dt  v 0 t  s 0
Integrationskonstante:
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s0=s(t=0)
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
dv( t )
a(t) 
 a0 
dt
v( t )   dv( t )   a ( t )dt  a 0  dt  a 0 t  v 0
Die Bahnkurve folgt aus einer weiteren Integration
s( t )   ds   v( t )dt   (a 0 t  v 0 )dt
2 Integrationskonstanten:
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t2
 a0
 v0 t  s0
2
s0=s(t=0) und v0=v(t=0)
Vektoren
y
so

ey

s yey
s

ex
sx
s
x

s x ex
Komponenten des Ortsvektors sx und sy
Vektorsumme
a bc
s  sx  ex  sy  ey
y
cy
b
b
c
by
ay
a
Parallelogramm
x
ax
komponentenweise Addition
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c
bx
cx
a  b  (a x  b x )  e x  (a y  b y )  e y
a
Betrag des Vektors
y
Pythagoras
sy

ey
s

ex
2
s  sx  sy
2
x
sx
Multiplikation mit Skalar
y
Komponentenweise Multiplikation:
s
sy
sy
 s  s x e x  s y e y
Das bedeutet einfach eine Längenänderung
sx
sx
x
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Differenzieren
ds d
v

(s x  e x  s y  e y ) 
dt
dt
ds x
de x ds y
de y
ex  sx

ey  sy

dt
dt
dt
dt
ds y
ds x
ex 
ey  vx ex  vy ey
dt
dt
Integrieren
s   vdt   v x  e x dt   v y  e y dt  e x  v x dt  e y  v y dt  e x s x  e ys y
jeweils alles komponentenweise!
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Y- Richtung
X- Richtung
a y (t) 
dv ( t )
a x (t)  x  0 
dt
ds ( t )
v x (t )  x  v x 0
dt
v y (t ) 
s x ( t )   ds x   v x ( t )dt  v x 0  dt  v x 0 t  s x 0
dv y ( t )
dt
ds y ( t )
dt
0
 v y0
s y ( t )   ds y   v y ( t )dt  v y 0  dt  v y 0 t  s y 0
s( t )  e x ( v x t  s 0 x )  e y ( v y t  s 0 y )
keine Richtungsänderung!
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x-Richtung
z-Richtung
gleichförmige Bewegung
sx (t)  vx0 t sx0
mit sx0  0 folgt
sx (t)  vx0 t
gleichförmige beschleunigte Bewegung
g
sz (t)  t2  vz0 t  sz0
2
also mit vz0  sz0  0
g
sz (t)  t2
2
Bahnkurve
z
x
2
g sx(t) 
sz(t)   

2  vx0 
Schanze
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Wurfparabel
x-Komponente
s x (t)  v x 0 t  s x 0
z-Komponente
s z (t)  
g 2
t  vz0 t  sz0
2
mit sx0= sz0=0, ergibt sich als Bahnkurve :
2
z
g sx
sx
sz  
 vz0
2
2 vx0
vx0
v
vz
h
vxx
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x
Sir Isaac Newton 1643 - 1727
Newton galt als recht zerstreut und bescheiden, reagierte jedoch häufig mit großer Schärfe auf Kritik.
Bekannt ist sein von boshafter Rivalität gekennzeichnetes Verhältnis zu anderen Wissenschaftlern
wie Hooke, Huygens, Flamsteed oder auch Leibniz, dem er „das Herz gebrochen“ zu haben sich rühmte.
Nachdem Flamsteed ein Verfahren wegen geistigen Diebstahls gewonnen hatte, tilgte Newton in der
Ausgabe der Principia von 1713 jeden Hinweis auf Flamsteed (obwohl er gerade dessen präzisen
Beobachtungen viel verdankte).
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Kraft

m
F  kg 2  N
s
Schwerkraft (Gravitation)
Federkraft
Fg  mg
x
x
F0
F
F  D  x
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F ~ (m M) / r2
punktförmig
Singularität
schwarzes Loch
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Newton‘s Axiome
Trägheitssatz (1. Axiom)
In einem mechanischen System gibt es ohne eine äußere Kraft keine
Beschleunigung, die Geschwindigkeit bleibt konstant:
F  0  a  d v / dt  d 2 s / dt 2  0
Grundgesetz der Dynamik (2. Axiom):
Mit einer äußeren Kraft sind Kraft und die Beschleunigung proportional,
der Proportionalitätsfaktor ist die (träge) Masse:
F  ma  md v / dt  md 2 s / dt 2
3. Axiom (Actio=reactio)
Im statischen Gleichgewicht muss jede an einem Gegenstand angreifende
Kraft durch eine gleich große Gegenkraft kompensiert werden.
FBA   FAB
F1

i
F2
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F3
Fi  m i a i  0
Amalie „Emmy“ Noether (* 23. März 1882 in Erlangen; † 14. April 1935
in Bryn Mawr in Pennsylvania, USA)
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen
Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.
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Arbeit, Energie
F
W  Fs
(  W   Nm  kg m 2 / s 2 )

s
mit der Definition F  s  F  s cos 
W   Fi  s i
W   F(s )  ds
i
Hubarbeit
g
H
Spannarbeit (Feder)
Beschleunigungsarbeit
W  m g  H  mgH  E pot
 
1 2
W   F(s )  d s   Dsds  Ds  E pot
2
W   F  ds   Fds   Fvdt 
dv
m 2
m  vdt  m  vdv  v  E kin
dt
2
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Energieerhaltungssatz
E
i
ges i
  E pot i   E kin i  konstant
i
i
Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie bleibt konstant
Impulserhaltungssatz

i
p i   m i v i  konstant
i
Die Summe der Impulse definiert als bleibt konstant
jeweils in einem abgeschlossenen mechanischen System
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Elastischer Stoß
v1
⃗
v2
⃗
v 1'
⃗
m1
m2
m1
m
1 2
v +
2 1
Energieerhaltungssatz
Impulserhaltungssatz
m
2 2
v =
2 2
v 2'
⃗
m
m2
1
2
2
v ' +
1
m
2
v '2
2
2
mv 1 +m 2 v 2= m1 v 1 ' + m2 v 2 '
m
( v −v ' )=( v ' −v )=−v +v +v ' −v
m
m
m
−v ' ( 1+
)=−2v +v ( 1−
)
m
m
⇒
m −m
2m
v '=
v +
v
m +m
m +m
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
v2 ' =
2
1
m2 −m 1
m 1 +m2
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2
v 2+
2
1
2m 1
m1 +m 2
2
v1
1
2
Raketenantrieb
MR
MR
vR


vorher:
0
vT
nachher:
=
v R=−
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(MRvR+ MTvT )
MT
MR
vT