¨Ubungen zur Quantenmechanik II Blatt 8 Abgabe: 12. Dezember

Übungen zur Quantenmechanik II
Theoretische Physik V im WS 2008/2009 — Dr. M. Kastner
Abgabe: 12. Dezember
Blatt 8
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 24: Feldgleichungen
Gegeben sei ein Hamilton-Operator H = T + U + V auf dem Fock-Raum F ± (H), wobei T die
kinetische Energie, U ein Einteilchenpotenzial und V ein Paarpotenzial bezeichne. Leiten Sie die
Bewegungsgleichung des Feldoperators Ψ(x, t) im Heisenberg-Bild unter der durch H induzierten
Dynamik her.
Aufgabe 25: Das schwach wechselwirkende Bose-Gas
In der Vorlesung wurde zur Modellierung eines schwach wechselwirkenden Bose-Gases im kubischen
Volumen V = L3 der symmetrische Hamilton-Operator
H=
X
E(p)a†p ap +
p
1
2
X
p1 , p2 , p′1 , p′2
p1 , p2 W (|X 1 − X 2 |)p′1 , p′2 a†p a†p ap′ ap′
1
2
2
1
diskutiert. W ist dabei ein schwaches Zweiteilchenpotenzial und {|pi} die Impulsbasis von Einteilchenzuständen.
(a) Zeigen Sie unter der Annahme, dass die Reichweite von W sehr viel kleiner ist als L, dass sich
das auftretende Matrixelement als
mit
schreiben lässt.
f (p)/V
hp1 , p2 |W |p′1 , p′2 i = δp1 +p2 ,p′1 +p′2 W
f (p) =
W
4π~
|p1 − p′1 |
Z
0
∞
dr r W (r) sin (r |p1 − p′1 |/~)
Für die Dispersionskurve des schwach wechselwirkenden Bose-Gases haben wir in der Vorlesung den
Ausdruck
r
N p2 f
p4
+
W (p)
ε(p) =
2
4m
V m
hergeleitet.
(b) Berechnen Sie die Dispersionskurve für ein sphärisches Kastenpotenzial W (r) = λΘ(R − r) mit
Wechselwirkungsstärke λ ∈ und Reichweite R > 0, wobei Θ die Heaviside-Stufenfunktion bezeichne. Diskutieren Sie, für welche Parameterwerte die Dispersionskurve ein Rotonenminimum
aufweist. Sind für diese Parameterwerte die Annahmen der Bogoliubov-Theorie noch erfüllt?
R
Aufgabe 26: Quantenmechanische Beschreibung der linearen Kette
Betrachten Sie eine Kette bestehend aus N Atomen. In der Ruhelage befinde sich das n-te Atom
(n = 1, . . . , N ) auf dem Gitterplatz na, wobei a die Gitterkonstante bezeichne. Im folgenden sei
Qn der Ortsoperator der Auslenkung des n-ten Atoms aus seiner Ruhelage und Pn der zugehörige
Impulsoperator. Die Kette sei zu einem Ring geschlossen, d.h. Qn+N = Qn und Pn+N = Pn für alle
n ∈ . Sind die Einheiten so gewählt, dass ~ = 1, so gelten die Vertauschungsrelationen
(
1 für n = n′ mod N ,
N
N
[Qn , Pn′ ] = i δn,n′ , [Qn , Qn′ ] = 0 = [Pn , Pn′ ] mit δn,n′ =
0 sonst.
N
Der Hamilton-Operator der Kette mit harmonischer Wechselwirkung laute
H=
N
N
N
1 X 2 1XX
Pn +
Qn Vn−n′ Qn′
2 m n=1
2 n=1 ′
n =1
mit reellen Koeffizienten Vn = V−n = Vn±N für alle n ∈
qn (t) ∼ e
±i(kna−ω(k)t)
N. Aus der Mechanik ist die Lösung
mit ω(k) =
N
1 X
Vn e±ikna
m n=1
!1/2
Z
des klassischen Problems bekannt (qn ist die Ortskoordinate), wobei k = 2 πz/(N a), z ∈ durch die
Randbedingung eingeschränkt wird.
PN
P
2π/a
N
ikna
, wobei im
(a) Zeigen Sie P
die Hilfsformel
= N δk,0 und glauben Sie k eikna = N δn,0
n=1 e
P
folgenden k (·) als −π/a≤k<π/a (·) verstanden wird mit k = 2 πz/(N a) (summiert wird also
über die entsprechenden z ∈ ).
Z
(b) Wir führen nun die Phononen-Erzeugungsoperatoren
N
1
1 X ikna
e
Qn − iλ(k) Pn
a†k = √
λ(k)
2N n=1
und die Phononen-Vernichtungsoperatoren
ak = √
N
1 X −ikna
1
Qn + iλ(k) Pn
e
λ(k)
2N n=1
ein, wobei λ(k) = (m ω(k))−1/2 und ω(k) die Dispersionsrelation der klassischen Kette erfüllt.
Zeigen Sie, dass a†k und ak zu Recht bosonische Erzeuger und Vernichter genannt werden, dass
2π/a
also [ak , a†k′ ] = δk,k′ und [ak , ak′ ] = 0 = [a†k , a†k′ ] gilt.
(c) Zeigen Sie die Inversionsformel
und glauben Sie
1 X
λ(k) eikna ak + a†−k
Qn = √
2N k
−i X 1 ikna Pn = √
ak − a†−k .
e
2N k λ(k)
(d) Ernten Sie die Früchte Ihrer Arbeit indem Sie zeigen, dass das Problem in N unabhängige
harmonische Oszillatoren zerfällt,
X
H=
ω(k) a†k ak + 12 .
k
(e) Geben Sie, ausgehend vom Phononen-Vakuum
|0i mit
a†k ak |0i = 0
∀k,
alle möglichen Eigenzustände des Hamilton-Operators H in Besetzungszahldarstellung und die
zugehörigen Energieeigenwerte an.