Übungsblatt 4 mit Musterlösung

Musterlösung Übungsblatt 1
Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01
Die Brücke ist abgeglichen, wenn gilt: U B = 0 . Somit läßt sich schreiben:
R4 
R2
– -----------------0 = U ⋅  ----------------- R 1 + R 2 R 3 + R 4
Musterlösung Übungsblatt 4
Prof. Baitinger / Lammert
Aufgabe 1
R2
R4
-----------------= -----------------R1 + R2
R3 + R4
Besprechung: 18.12.2000
R3 + R4
R1 + R2
-----------------= -----------------R2
R4
Wheatstone-Brückenschaltung
Diese Meßbrücke wird oft verwendet, um Widerstände sehr genau zu messen. R1
entspricht dem zu messenden Widerstand, wobei R4 so lange verändert wird, bis
U B = 0 . Der gesuchte Wert kann dann an R4 abgelesen werden.
R
R
-----1- + 1 = -----3- + 1
R2
R4
und man erhält für die abgeglichene Brücke:
I1
I
I3
R1
U
=
R
R
-----1- = -----3R2
R4
R3
UB
U2
R2
Aufgabe 2
R4
U4
Leistung und Wirkungsgrad
Gegeben sei eine Schaltung nach Abb. 2-1 mit einer Spannungsquelle U1 und dem
Innenwiderstand Ri. Die Leitung habe den ohmschen Widerstand RL und der Verbraucher den Widerstand R2.
I
Abbildung 1-1: Brückenschaltung
a) Berechnen Sie UB in Abhängigkeit von U und R1 bis R4.
Ri
Die Spannung UB läßt sich aus den Spannungen U2 und U4 zusammenstellen
nach der Maschenregel: U B = U 2 – U 4 . Nun müssen U2 und U4 durch gegebene
Größen ersetzt werden:
U 2 = R2 ⋅ I 1
U
I 1 = -----------------R1 + R2
U1
=
RL
U2
R2
U 4 = R4 ⋅ I 3
P1
U
I 3 = -----------------R3 + R4
P2
Abbildung 2-1: Übertragungsstrecke
Nach dem Einsetzen erhält man:
a) Berechnen Sie die Spannung U2 und den Strom I allgemein.
R2
R4 
– -----------------U B = U ⋅  ----------------- R 1 + R 2 R 3 + R 4
b) Wie müssen die Widerstände gewählt werden, damit die Brücke abgeglichen
ist?
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Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01
Musterlösung Übungsblatt 1
Die Spannung U2 läßt sich berechnen aus: U 2 = I ⋅ R 2 .
Die maximale Leistung erhält man durch Einsetzen von R l = R 2 in die Gleichung für P2:
U1
I = ----------------------------Ri + RL + R2
2
2
R2
(U1)
(U1)
2
- = ------------P 2max = ( U 1 ) ⋅ ------------------------2- = ------------4
⋅
R
4 ⋅ Rl
2
( Rl + R2 )
U 1 ⋅ R2
U 2 = I ⋅ R 2 = ----------------------------Ri + RL + R2
b) Berechnen Sie die von der Quelle gelieferte Leistung P1 und die im Verbraucher umgesetzte Leistung P2. Stellen Sie den Wirkungsgrad η = P 2 ⁄ P 1 auf.
( U 1 )2
( U 1 )2
= -------------.
für P1 ergibt sich bei R l = R 2 : P 1 = ----------------Rl + R2
2 ⋅ Rl
Somit ist der maximale Wirkungsgrad:
2
2
(U1)
P 1 = U 1 ⋅ I = ----------------------------Ri + RL + R2
( U 1 ) 2 ⋅ Rl
P
2⋅R
1
η max = -----2- = -------------- ⋅ -------------2- = ------------l = --4 ⋅ Rl ( U )
4 ⋅ Rl
P1
2
1
2
( U 1 ) ⋅ R2
P 2 = U 2 ⋅ I = ------------------------------------2
( Ri + RL + R2 )
Schaubild:
2
Ri + RL + R2
( U 1 ) ⋅ R2
R2
P
- = ----------------------------η = -----2- = -------------------------------------2- ⋅ ----------------------------2
P1
Ri + RL + R2
( Ri + RL + R2 )
(U1)
P2
2
c) Da man meist weder Ri noch RL beeinflussen kann, muß R2 so gewählt werden,
daß die in ihm umgesetzte Leistung maximal wird.
 dP 
Leiten Sie P2 nach R2 ab  d R2  und ermitteln Sie das Maximum von P2.

(U1)
------------4 ⋅ Rl
2
Vereinfachung: da sich weder Ri noch RL ändern, führt man R l = R i + R L ein.
Dann ergibt sich für P2:
2
( U 1 ) ⋅ R2
P 2 = -----------------------2
( Rl + R2 )
dP 2
2 Rl + R2 – 2 ⋅ R2
= ( U 1 ) ⋅ -----------------------------------d R2
( Rl + R2 )3
Ri+RL
R2
Abbildung 2-2: Leistungskurve
Rl – R2
dP 2
2
= ( U 1 ) ⋅ ------------------------3d R2
( Rl + R2 )
dP
Das Maximum von P2 liegt demnach bei 2 = 0 und für Rl und R2 ergibt sich
d R2
folgende Beziehung: R i + R L = R 2 .
d) Zeichnen Sie P2 in Abhängigkeit von R2 in ein Schaubild und markieren Sie das
Maximum. Wie groß ist der Wirkungsgrad η bei maximalem P2?
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Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01
Aufgabe 3
Musterlösung Übungsblatt 1
Transistorschaltung mit induktiver Last
Gegeben sei die Schaltung nach Abb. 3-1. Der Transistor T wird als Schalter verwendet, dessen Durchlaßwiderstand im gesättigten Bereich vernachlässigt wird,
wobei jedoch die Sättigungsspannung u CE = U Sat an ihm abfällt.
U0, L, R1 und USat sind gegeben.
uL
L
R1
U 0 – U Sat
U 0 = i C R 2 + U Sat ⇒ i C = ----------------------R2
c) Dimensionieren Sie den Widerstand R2 so, daß iC im stationären Zustand den
Wert Istat hat. Istat sei gegeben.
iL
uR1
iC
Da die Spule L im stationären Zustand einen Kurzschluß darstellt, fällt an ihr
keine Spannung ab, d.h. u L = u R1 = 0 .
iR1
uCE
uR2
Im Ergebnis aus Teilaufgabe b) wird i C = I stat gesetzt und nach R2 aufgelöst:
iR2
U 0 – U Sat
R 2 = ----------------------I stat
R2
=
T
U0
UE
Abbildung 3-1:
a) Zunächst sei der Transistor T gesperrt und der Spulenstrom i L = 0 . Nun wird
der Transistor T durch die Eingangspannung U E » U S eingeschaltet und in
den Sättigungsbereich gebracht. Bestimmen Sie den Collectorstrom iC(0) (in
Abhängigkeit vom Widerstand R2) unmittelbar nach dem Einschalten.
Da der Spulenstrom iL nicht springen kann, ist die Spule L im ersten Moment
stromlos und daher fließt der gesamte Collectorstrom über R1.
Nach der Maschenregel gilt:
U 0 = u R1 + u R2 + u CE = i C R 1 + i C R 2 + U Sat = i C ( R 1 + R 2 ) + U Sat
U 0 – U Sat
i C = ----------------------R1 + R2
d) Die Schaltung befinde sich im stationären Zustand. Zum Zeitpunkt t = 0 wird
der Transistor T gesperrt. Berechnen Sie den abklingenden Spulenstrom iL und
die Spulenspannnug uL.
Da der Strom i L = i C = I stat durch die Spule nicht springen kann, fließt er zunächst über den Widerstand R1 weiter, während iC wegen des offenen Transistorschalters sofort auf 0 geht.
Daher gilt für L und R1 nach der Maschenregel: u L – u R1 = 0 .
di L
Mit der Spulengleichung u L = L ------- und u R1 = R 1 i R1 = – R 1 i L folgt die DGL:
dt
di L
L di L
L ------- + R 1 i L = 0 ⇒ ------ ------- + i L = 0
dt
R 1 dt
L
mit der Zeitkonstanten τ = ------ .
R1
t
– -τ
Lösungsansatz: i L = ke
Die Anfangsbedingung i L ( t = 0 ) = I stat wird in den Lösungsansatz eingesetzt
und nach k aufgelöst: k = I stat .
i L ( t ) = I stat ⋅ e
t
– -τ
mit
L
τ = -----R1
b) Wie groß ist i c ( t → ∞ ) (in Abhängigkeit von R2) im stationären Zustand ?
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Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01
Musterlösung Übungsblatt 1
g) Skizzieren Sie für t ≥ 0 den zeitlichen Verlauf von iL(t), uL(t) und uCE(t). Zeichnen Sie dabei Anfangs- und Endwerte sowie die Zeitkonstante τ ein.
Für die Spulenspannung gilt:
t
t
– -– -di L
τ
1 τ
u L ( t ) = L ------- = LI stat  – --- e ⇒ u L ( t ) = – R 1 I stat e


dt
τ
iL(t)
Istat
e) Welchen zeitlichen Verlauf hat die Ausgangsspannung uCE(t) des Transistors
T?
0
Nach der Maschenregel gilt: u R2 + u R1 + u CE = U 0
u CE = U 0 – u R1 – u R2 = U 0 – u L – R 2 i C
u CE ( t ) = U 0 + R 1 I stat e
mit
τ
t
iC = 0
t
– -τ
uL(t)
f) Wie muß der Widerstand R1 gewählt werden, damit uCE den Wert Umax beim
Abschalten nicht überschreitet ?
τ
Die Spannung uCE erreicht für t = 0 ihren Maximalwert u CEmax = U 0 + R 1 I stat .
Mit u CEmax ≤ U max gilt:
t
0
-R1Istat
U max – U 0
U 0 + R 1 I stat ≤ U max ⇒ R 1 ≤ ------------------------I stat
uCE(t)
U0+R1Istat
U0
τ
USat
t
0
Abbildung 3-2:
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Musterlösung Übungsblatt 1
b) Zeichnen Sie die Richtung des Diffusions- und des Feldstromes in Abb. 4-2 ein.
Durch welche physikalischen Unterschiede (“Gradienten”) entstehen diese
Ströme? Kennzeichnen Sie die Raumladungszone und ihre Polung.
PN-Übergang
Aufgabe 4
Gegeben sind die beiden Halbleitergebiete P und N in Abb. 4-1.
a) Was passiert, wenn man ein Gebiet mit Defektelektronen ( P-Gebiet ) und ein
Gebiet mit Elektronen ( N-Gebiet ) zusammenbringt?
Zeichnen Sie in Abb. 4-1 die Majoritätsladungsträger und ihre Bewegungsrichtung ein und kennzeichnen Sie die Sperrschicht am PN-Übergang.
P
N
+
+
+
+
+
+
ID
+
technische Stromrichtung
(=Bewegungsrichtung
der Defektelektronen)
-
-
-
-
+
-
+
P
-
-
+
+
-
N
+
+
+
-
-
+
+
+
P
IF
+
+
-
-
+
-
N
-
+
+
+
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
+
-
-
Abbildung 4-2: Ströme im PN-Übergang
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+ +
-
-
-
-
-
-
Sperrschicht
+
-
+
Der Diffusionsstrom entsteht durch ein Dichtegefälle an dem PN-Übergang. Die
freien Ladungsträger wandern aus ihrem Überschußgebiet in das angrenzende
Gebiet, somit kommt es zur Rekombination der Ladungsträger. Die Zurückbleibenden Ionen, die fest im Gitter verankert sind, bilden die Raumladung. Aufgrund des Potentialgefälles entsteht ein Feldstrom, der dem Diffusionsstrom
entgegengesetzt ist.
-
-
-
+
+
+
+ +
+
-
-
-
c) Wie verhält sich der PN-Übergang, wenn eine externe Spannung angelegt
wird? Zeichnen Sie den PN-Übergang bei unterschiedlicher Polung in Abb. 4-3
ein. Welche Besonderheit entsteht durch das Anlegen von Spannung?
-
P
Abbildung 4-1: PN-Übergang
N
Fall 1:
-
Bringt man ein N- und ein P-Gebiet zusammen, kommt es zu einer Rekombination im Grenzgebiet der Halbleiter. Die jeweils freien Ladungsträger können
zum Beispiel mittels Wärmebewegung von ihrem Überschußgebiet zur anderen
Seite wandern und sich damit im Bereich des Übergangs neutralisieren. Zurück
bleiben auf beiden Seiten nur die ortsfesten Ionen des Gitters.
-
+
+
+
-
+
-
-
Sperrschicht
+
-
+
P
Fall 2:
N
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Abbildung 4-3: Spannung am PN-Übergang
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Elektrotechnische Grundlagen, WS 00/01
Musterlösung Übungsblatt 1
Im Fall 1 kommt es zur Verbreiterung der Sperrschicht, da die freien Ladungsträger von der Spannungsquelle abgesaugt werden. Es fließt kein Strom, der
PN-Übergang sperrt.
Im 2. Fall werden die freien Ladungsträger vom gegenüberliegenden Pol angezogen, dabei löst sich die Sperrschicht auf und es kann ein Strom fließen. Der
PN-Übergang leitet.
Aufgabe 5
c) Zeichnen Sie für jeden Bereich ein Ersatzschaltbild. Verwenden Sie dafür
Strom- und Spannungsquellen, ohmsche Widerstände und Dioden
Für den gesperrten Bereich gilt das Ersatzschaltbild nach Abb. 5-1:
C
Grundlagen des bipolaren Transistors
B
a) Benennen Sie die drei Betriebsbereiche eines bipolaren Transistors.
Der bipolare Transistor hat 3 Betriebsbereiche:
-gesperrter Bereich
-linearer Bereich
-gesättigter Bereich
E
Abbildung: 5-1
b) Erläutern Sie die Funktionsweise des NPN-Transistors für jeden dieser Betriebsbereiche. Geben Sie dabei an, welche PN-Übergänge leitend bzw. gesperrt sind, sowie Werte(bereiche) für die Basis-Emitter- und die CollectorEmitter-Spannung.
Im gesperrten Bereich sind beide PN-Übergänge gesperrt. Die Basis-EmitterSpannung UBE ist kleiner als 0,7V und die Collector-Emitter-Spannung UCE erreicht ungefähr den Wert der Betriebsspannung des Transistors.
Im linearen Bereich ist der Basis-Emitter-Übergang in Durchlaßrichtung gepolt
und injiziert Minoritätsladungsträger (Elektronen) in die Basiszone, die anschließend durch den gesperrten Basis-Collector-Übergang in den Collector diffundieren. Dabei ist U BE > 0, 7V und UCE liegt zwischen 0,2V und der
Betriebsspannung.
Im gesättigten Bereich sind beide PN-Übergänge in Durchlaßrichtung gepolt
und injizieren beide Minoritätsladungsträger (Elektronen) in entgegengesetzten
Richtungen in die Basiszone. Dabei ist -wie im linearen Bereich- U BE > 0, 7V
und UCE erreicht die Sättigungsspannung U CESat = 0, 2V .
Für den linearen bzw. gesättigten Bereich gilt das linke bzw. das rechte Ersatzschaltbild nach Abb. 5-2:
C
C
=
IC=BNIB
0,5V
RT
IB
IB
B
B
RT
=
RT
0,7V
=
E
0,7V
E
Abbildung: 5-2
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