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Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 8.
Arbeit, kinetische und potentielle Energie, konservative Kräfte, Energieerhaltungssatz
Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 1.2.7
I. Eigenschaften der Arbeit.
r2
-Arbeit ist als Integral W = ∫ F ⋅ dr definiert.
r1
-Bei einer konstanten Kraft gilt
r2 W = F ∫ dr = F ( r2 − r1 ) = F ∆r
W ( P → Q ) = U ( P ) − U (Q )
r1
θ
W = F ⋅ ∆r ⋅ cos θ
F
∆r
- Wann ist W=0? ⇒ F = 0 oder ∆r = 0 oder
θ = 90° .
- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die
Arbeit von B nach A.
-Die Arbeit ist eine additive Größe (Die Arbeit
mehrerer gleichzeitig wirkender Kräfte ist
gleich der Summe der Arbeiten einzelner Kräfte). Folgt aus der Definition.
II. Konservative Kräfte
Gegeben sei ein Kraftfeld F ( x, y, z ) = F ( r ) .
Das Kraftfeld (oder einfach die Kraft) heißt
konservativ, wenn die von dieser Kraft auf einem beliebigen geschlossenen Weg geleistete
Arbeit gleich Null ist: W = ∫ Fdr = 0 .
Schlussfolgerung:
Die Arbeit zwischen 1 und 2 hängt nicht vom
Weg ab!
Konservative Kräfte: Gravitationskraft, elastische Kraft, elektrostatische Kräfte.
Nichtkonservative Kräfte: Widerstandskraft,
Reibungskraft
III. Potentielle Energie einer konservativen
Kraft
Wir definieren eine neue Funktion:
P
U ( P ) = − ∫ F (r )dr = −W (O → P )
O
Q
U (Q) = − ∫ F (r )dr = −W (O → Q)
O
Jetzt gehen wir den Weg
O → P→Q →O.
Die Arbeit ist gleich
P
Q
O
W (O → P ) + W ( P → Q ) + W (Q → O) = 0
oder
−U ( P ) + W ( P → Q ) + U (Q ) = 0 .
Daraus folgt
Bei einer Bewegung unter der Wirkung von
konservativen Kräften gilt
K 2 − K1 = W = U1 − U 2 .
Daraus folgt der Energieerhaltungssatz
K 2 + U 2 = K1 + U 1 = konst
IV. Wie stellt man fest, ob eine Kraft konservativ ist?
• Ein homogenes Kraftfeld ist konservativ.
r1 W = F ∫ dr = F ( r1 − r1 ) ≡ 0 P
Q
r1
R
• Eine zentrale Kraft, die
nur vom Abstand zu einem
Zentrum abhängt, ist konservativ.
• Die Summe konservativer
Kräfte ist wieder eine konservative Kraft:
Gravitationskraft einer beliebigen Massenverteilung
Elektrostatische Kraft einer beliebigen Verteilung von Ladungen
Elastische Kräfte (letztendlich nichts anderes als elektrische Kräfte)
Eine beliebige Kombination aus elektrischen, elastischen und Gravitationskräften.
V. Potentielle Energien:
a) Einer elastischen Feder mit Steifigkeit c:
x2
U ( x) = c
(1)
2
b) Im Gravitationsfeld:
mm
U ( r ) = −G 1 2 .
(2)
r
c) Der Zentrifugalkraft in einem rotierenden
Bezugssystem:
m
U (r ) = − ω 2r 2 .
(3)
2
VI. Kräfte, die senkrecht zur Bewegungsrichtung gerichtet sind, leisten keine Arbeit
1
und brauchen weder im allgemeinen Arbeitssatz, noch im Energieerhaltungssatz
berücksichtigt zu werden:
- Zwangs- oder Reaktionskräfte
- magnetische Kräfte F = qv × B
(
)
- Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem
F = 2mv × ω
(
)
- (aerodynamische) Auftriebskraft.
Erläuterung zur Arbeit von Zwangskräften
Zwangskräfte in mechanischen Systemen sind
Kräfte, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung gerichtet sind. Daraus folgt für die Arbeit:
r2
r1
r2
r1
r2
r1
r1
r2 W = ∫ Fdr = ∫ FZwangs + Feingeprägt dr =
(
)
r
2 ∫ FZwangs dr + ∫ Feingeprägt dr = ∫ Feingeprägt dr
r1
Bei Berechnung der Arbeit können Zwangs(Reaktions-)kräfte außer Acht gelassen werden.
VII. Arbeitssatz in Anwesenheit von konservativen und nicht konservativen Kräften?
Der Arbeitssatz in der allgemeinen Form
K 2 − K1 = W gilt immer. Die Arbeit können
wir schreiben als K 2 − K1 = W = Wkons + Wnichtkons
Für die Arbeit der konservativen Kräfte gilt
Wkons = U1 − U 2 . Der Arbeitssatz nimmt die
Form K 2 − K1 = U1 − U 2 + Wnichtkons an oder
K1 + U1 = K 2 + U 2 − Wnichtkons .
VIII. Gravitationsfeld einer Kugel
Eine dünne
Kugelschale
mit Masse m .
Masse des infinitesimalen Ringes:
ds
2π h ⋅ adθ
sin θ ⋅ dθ
dm = m
=m
= m⋅
.
2
2
4π a
4π a
2
Die durch den Ring erzeugte potentielle EnerGm ' dm
gie: dU = −
=
r
m'm
sin θ dϑ
= −G
2
R 2 − 2 Ra cos θ + a 2
Die volle potentielle Energie:
π
Gm ' m
sin θ dθ
U =−
=
∫
2
2 0 R − 2 Ra cos θ + a 2
a
Gm ' m 
( R − a) 2 − ( R + a )2 


2 Ra
R >a:
U = −Gm ' m / R
b
R<a:
=
U = −Gm ' m / a
IX. Anwendungsbeispiele
B1. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit für
eine Rakete, die unter einem Winkel α zur
Vertikale gestartet wird?
α v
Lösung:
mv 2
Mm
Am Anfang: K1 =
, U 1 = −G
2
R
R
Am Ende: K 2 = 0 , U 2 = 0 .
Energieerhaltungssatz:
mv 2
Mm
−G
=0.
2
R
2GM
= 2 gR - hängt vom WinR
kel α nicht ab!
Daraus v =
B2. Ein Fadenpendel wird nach
links bis zur Höhe h ausgelenkt
und losgelassen. In der vertikalen Position stößt der Faden auf
ein Hindernis. Welche maximale Höhe erreicht das Pendel in
der rechten Position?
h
Lösung:
Am Anfang: K1 = 0 , U1 = mgh
Am Ende: K 2 = 0 , U 2 = mgh2 .
Zwangskräfte bleiben unberücksichtigt. Aus
dem Energieerhaltungssatz folgt h2 = h .
B3. Im Abstand h über dem Ende einer ungespannten Feder befindet sich eine Masse m. Sie
wird ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Wie groß ist die maximale Zusammendrückung der Feder?
m
Lösung: Sowohl die Gravitationskraft
als auch die elastische Kraft sind konh
servativ. Es gilt der Energieerhaltungsx
satz.
Am Anfang: K1 = 0 , U1 = mgh + 0
x2
Am Ende: K 2 = 0 , U 2 = −mgx + c
2
2
x
Energiesatz: mgh = − mgx + c . Daraus
2
mg 
2hc 
x=
1 + 1 +
 . Sonderfall: Bei h = 0
c 
mg 
ist x = 2mg / c - zwei Mal größer, als bei statischer Belastung.
2