Vorlesung 8_meII

Kinematik und Dynamik / Mechanik II / Vorlesung 8 / Prof. Popov
Arbeit, kinetische und potentielle Energie, konservative Kräfte, Energieerhaltungssatz
Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7
I. Eigenschaften der Arbeit. G
G G
-Arbeit wird als Integral W = ∫ Fdr definiert.
r2
G
r1
-Bei einer
konstanten Kraft gilt
G
r2
G G G G G
G G
W = F ∫ dr = F ( r2 − r1 ) = F ∆r
W ( P → Q) = U ( P ) − U (Q)
G
r1
θ
W = F ⋅ ∆r ⋅ cos θ
G
F
G
∆r
- Wann ist W=0? ⇒ F = 0 oder ∆r = 0 oder
θ = 90° .
- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die
Arbeit von B nach A.
- Arbeit ist eine additive Größe (Arbeit mehrerer gleichzeitig wirkender Kräfte ist gleich der
Summe der Arbeiten einzelner Kräfte). Folgt
aus der Definition.
II. Konservative Kräfte
G
G G
Gegeben sei ein Kraftfeld F ( x, y, z ) = F ( r ) .
Das Kraftfeld (oder einfach die Kraft) heißt
konservativ, wenn die von dieser Kraft auf einem beliebigen geschlossenen Weg geleistete
G G
Arbeit gleich Null ist: W = v∫ Fdr = 0 .
Schlussfolgerung:
Die Arbeit zwischen 1 und 2 hängt vom Weg
nicht ab!
Konservative Kräfte: Gravitationskraft, elastische Kraft, elektrostatische Kräfte.
Nichtkonservative: Widerstandskraft, Reibungskraft
III. Potentielle Energie einer konservativen
Kraft
Wir definieren eine neue Funktion:
P
G G G
U ( P) = − ∫ F (r )dr = −W (O → P )
O
G G G
U (Q ) = − ∫ F (r )dr = −W (O → Q )
Q
O
Jetzt gehen wir den Weg
O→ P→Q→O.
Die Arbeit ist gleich
P
Q
O
W (O → P) + W ( P → Q) + W (Q → O) = 0
oder
−U ( P) + W ( P → Q) + U (Q) = 0 .
Daraus folgt
Bei einer Bewegung unter der Wirkung von
konservativen Kräften gilt
K 2 − K1 = W = U1 − U 2 .
Daraus folgt der Energieerhaltungssatz
K 2 + U 2 = K1 + U 1 = konst
IV. Wie stellt man fest, ob eine Kraft konservativ ist?
• EinGhomogenes Kraftfeld ist konservativ.
G r1 G G G G
W = F ∫ dr = F ( r1 − r1 ) ≡ 0 P
Q
G
r1
R
• Eine zentrale Kraft, die
nur vom Abstand zu einem
Zentrum abhängt, ist konservativ.
• Summe konservativer
Kräfte ist eine konservative Kraft:
¾ Gravitationskraft einer beliebigen Massenverteilung
¾ Elektrostatische Kraft einer beliebigen Verteilung von Ladungen
¾ Elastische Kräfte (letztendlich nichts anderes als elektrische Kräfte)
¾ Eine beliebige Kombination aus elektrischen, elastischen und Gravitationskräften.
V. Potentielle Energien:
a) Einer elastischen Feder mit Steifigkeit c:
x2
U ( x) = c
(1)
2
b) Im Gravitationsfeld:
mm
(2)
U ( r ) = −G 1 2 .
r
c) Der Zentrifugalkraft in einem rotierenden
Bezugssystem:
m
(3)
U (r) = − ω 2r 2 .
2
VI. Kräfte, die senkrecht zur Bewegungsrichtung gerichtet sind, leisten keine Arbeit
1
und brauchen weder im allgemeinen Arbeitssatz, noch im Energieerhaltungssatz
berücksichtigt zu werden:
- Zwangs- oder Reaktionskräfte
G
G G
- magnetische Kräfte F = qv × B
(
)
- Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem
G
G G
F = 2mv × ω
(
)
- (aerodynamische) Auftriebskraft.
Erläuterung zur Arbeit von Zwangskräften
Zwangskräfte in mechanischen Systemen sind
Kräfte, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung gerichtet sind. Daraus folgt für die Arbeit:
G
r2
G
G
r1
G
r1
G
r2
a
Gm ' m ⎡
( R − a)2 − ( R + a)2 ⎤
⎣
⎦
2 Ra
R > a:
U = −Gm ' m / R
b
R<a:
=
U = −Gm ' m / a
IX. Anwendungsbeispiele
B1. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit für
eine Rakete, die unter einem Winkel α zur
Vertikale gestartet wird?
α vG
Lösung:
Mm
mv 2
, U 1 = −G
Am Anfang: K1 =
2
R
R
Am Ende: K 2 = 0 , U 2 = 0 .
G G r2 G
G
G
W = ∫ Fdr = ∫ FZwangs + Feingeprägt dr =
Energieerhaltungssatz:
G
r2
Daraus v =
(
)
G
r
G
G
G
G 2 G
G
∫ FZwangs dr + ∫ Feingeprägt dr = ∫ Feingeprägt dr
G
r1
G
r1
G
r1
Bei Berechnung der Arbeit können Zwangs(Reaktions-)kräfte außer Acht gelassen werden.
VII. Arbeitssatz in Anwesenheit von konservativen und nicht konservativen Kräften?
Der Arbeitssatz in der allgemeinen Form
K 2 − K1 = W gilt immer. Die Arbeit können
wir schreiben als K 2 − K1 = W = Wkons + Wnichtkons
Für die Arbeit der konservativen Kräfte gilt
Wkons = U1 − U 2 . Der Arbeitssatz nimmt die
Form K 2 − K1 = U1 − U 2 + Wnichtkons an oder
K1 + U1 = K 2 + U 2 − Wnichtkons .
VIII. Gravitationsfeld einer Kugel
Eine dünne
Kugelschale
mit Masse m .
Masse des infinitesimalen Ringes:
ds
2π h ⋅ adθ
sin θ ⋅ dθ
.
dm = m
=m
= m⋅
2
2
4π a
4π a
2
Die durch den Ring erzeugte potentielle EnerGm ' dm
=
gie: dU = −
r
m'm
sin θ dϑ
= −G
2
R 2 − 2 Ra cos θ + a 2
Die volle potentielle Energie:
π
Gm ' m
sin θ dθ
U =−
=
∫
2
2 0 R − 2 Ra cos θ + a 2
mv 2
Mm
−G
=0.
2
R
2GM
= 2 gR - hängt vom WinR
kel α nicht ab!
B2. Ein Fadenpendel wird nach
links bis zur Höhe h ausgelenkt
und losgelassen. In der vertikalen Position stößt der Faden auf
ein Hindernis. Welche maximale Höhe erreicht das Pendel in
der rechten Position?
h
Lösung:
Am Anfang: K1 = 0 , U1 = mgh
Am Ende: K 2 = 0 , U 2 = mgh2 .
Zwangskräfte bleiben unberücksichtigt. Aus
dem Energieerhaltungssatz folgt h2 = h .
B3. Im Abstand h über dem Ende einer ungespannten Feder befindet sich eine Masse m. Sie
wird ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Wie groß ist die maximale Zusammendrückung der Feder?
m
Lösung: Sowohl Gravitationskraft als
auch elastische Kraft sind konservativ.
h
Es gilt der Energieerhaltungssatz.
x
Am Anfang: K1 = 0 , U1 = mgh + 0
Am Ende: K 2 = 0 , U 2 = −mgx + c
x2
2
Energiesatz:
x2
. Daraus
2
mg ⎡
2hc ⎤
x=
⎢1 + 1 +
⎥ . Sonderfall: Bei h = 0
c ⎣
mg ⎦
ist x = 2mg / c - zwei Mal größer, als bei statischer Belastung.
mgh = − mgx + c
2