VL 7

Mechanik II / Vorlesung 7 / Prof. Popov
Arbeit, kinetische und potentielle Energie
r
r2
1 2
mv + mgh = konst
2
K.E P.E
kinetische potentielle
Energie
K + U = konst
Nachweis:
dK d  1 2 
dv
=  mv  = m ⋅ v =
dt dt  2
dt

dh
d
= Fv = − mg
= − ( mgh )
dt
dt
r r
K 2 − K1 = ∆K = ∫ Fdr = A
r
r1
die durch die Kraft am
Objekt geleistete Arbeit
Arbeitssatz: Änderung der kinetischen Energie
eines Objektes ist gleich der durch die einwirkenden Kräfte geleisteten Arbeit.
Für homogenes Schwerefeld:
r r
Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz = − mgdz
r r z2
∫ Fdr = ∫ −mgdz = −mg ( z2 − z1 )
2
1
dK
dv
= m ⋅ v = Ft ⋅ v = − mg sin θ ⋅ v =
dt
dt
dh
d
= − mg
= − ( mgh )
dt
dt
z1
[ Arbeit ] = Newton ⋅ Meter = {Joule}
[ Leistung ] = Joule pro Sekunde = {Watt}
1 Kilowattstunde = 103 ⋅ 3600 J =
= 3, 6 ⋅106 Joule.
Potentielle Energie einer Feder
x2
1
K = m ( v x2 + v 2y + v z2 )
2
dv
 dv
dK
dv 
= m  vx x + v y y + vz z  =
dt
dt
dt 
 dt
rr
= Fx v x + Fy v y + Fz vz = Fv
Kürzerer Weg:
dK m d 2
md r r
=
v )=
(v ⋅ v ) =
(
dt
2 dt
2 dt
r
r
r dv r r r dr
= mv
= Fv = F
dt
dt
Leistung
Die zeitliche Änderung der kinetischen
Energie eines Objektes ist gleich der durch
die einwirkenden Kräfte aufgebrachten Leistung
Arbeit:
r r
dK = Fdr = F ⋅ dr ⋅ cosθ ⇒
Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, ändert nicht die Energie!
A = ∫ − kxdx = −
x1
k 2
x2 − x12 ) = U ( x1 ) − U ( x2 )
(
2
U=
kx 2
2
Aus dem Arbeitssatz:
K 2 − K1 = A = U ( x1 ) − U ( x2 ) .
Daraus folgt
K 2 + U ( x2 ) = K1 + U ( x1 ) = konst
Energieerhaltung:
mv 2 kx 2
E = K +U =
+
= konst
2
2
Dieses Ergebnis haben wir schon längst benutzt!
dv
Erinnerung: m = − kx .
dt
dv dx
dv
m ⋅ = m ⋅ v = − kx
dx dt
dx
v
x
∫ mvdv = − ∫ kxdx
v0
x0
2
2
0
mv mv
kx 2 kx02
−
=−
+
2
2
2
2
1
mv 2 kx 2 mv02 kx02
+
=
+
= konst
2
2
2
2
Das gleiche Vorgehen im allgemeinen Fall:
mx&& = F ( x ) ;
mvdv = F ( x ) dx
x
mv 2 mv02
−
= ∫ F ( x )dx = U ( x0 ) − U ( x )
2
2
x0
U ( x ) = − ∫ F ( x )dx (unbestimmtes Integral)
mv 2
mv 2
∂U
+ U ( x ) = 0 + U ( x0 ) ; F ( x ) = −
2
2
∂x
Die Arbeit zwischen 1 und 2 hängt vom Weg
nicht ab!
Konservative Kräfte: Gravitationskraft, elastische Kraft, elektrostatische Kräfte.
Nichtkonservative: Widerstandskraft, Reibungskraft
Potentielle Energie einer konservativen Kraft
Wir definieren eine
neue Funktion:
P
Q
O
P
r r r
U ( P ) = − ∫ F ( r )dr = − A(O → P )
O
Durch Gravitation geleistete Arbeit
Q
r r r
U (Q ) = − ∫ F ( r )dr = − A(O → Q )
O
2
K 2 − K1 = − ∫ GMm
1
1 1
dr
= +GMm  −  :
2
r
 r2 r1 
1
Mm
E = mv 2 − G
= konst
2
r
Jetzt gehen wir den Weg O → P → Q → O .
Die Arbeit ist gleich
A(O → P ) + A( P → Q ) + A(Q → O ) = 0
oder
−U ( P ) + A( P → Q ) + U (Q ) = 0
Daraus folgt
A( P → Q ) = U ( P ) − U (Q )
Ist ein Perpetum mobile möglich?
Bei einer Bewegung unter der Wirkung von
konservativen Kräften gilt
K 2 − K1 = A = U 1 − U 2 .
Daraus folgt der Energieerhaltungssatz
Die auf dem geschlossenen Weg geleistete Arbeit
1 1 1 1 1 1 1 1
A = GMm  − + − + − + −  ≡ 0
 r2 r1 r4 r3 r6 r5 r8 r7 
Konservative Kräfte
Gegeben ist ein Kraftfeld
r
r
F ( x, y , z ) = F ( F )
Die Kraft heißt konservativ, wenn die von dieser Kraft auf einem beliebig geschlossenen
Weg geleistete Arbeit gleich Null ist.
Schlußfolgerung:
K 2 + U 2 = K1 + U 1 = konst
Arbeit in Anwesenheit von Zwangskräften
Zwangskräfte in mechanischen Systemen sind
Kräfte, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung gerichtet sind. Daraus folgt für die Arbeit:
r
r2
r
r
r1
r
r2
r
r1
r
r2
r
r1
r
r1
r r r2 r
r
r
A = ∫ Fdr = ∫ FZwangs + Feingeprägt dr =
(
)
r
r
r
r
r
r 2 r
r
∫ FZwangs dr + ∫ Feingeprägt dr = ∫ Feingeprägt dr
r
r1
Bei Berechnung der Arbeit können Zwangs(Reaktions-)kräfte außer Acht gelassen werden.
2