Berechnung eines Magnetmotors nach Turtur

Berechnung eines Magnetmotors nach Turtur
Dr. H. Rausch, 07.08.2011
[email protected]
Nachrechnung der Meßergebnisse mit Daten des EMDR-Testaufbaus von
R. Lehmann gemäß Info über Eingabeparameter vom 04.08.11
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Der Anwurfpuls wurde so bemessen, dass der Magnet bis 17500/min hochläuft. Mit
dem abgeschätzten quadratisch drehzahlabhängigen Lastmoment wird nach 1 Sek.
eine Drehzahl von ca. 17140/min und nach 30 Sek. ca. 10000/min erreicht.
Desweiteren ist ein ohmscher Lastwiderstand in Reihe mit dem ohmschen
Spulenwiderstand berücksichtigt.
Der Kondensatorwert gemäß der Versuchsvorgabe führt auf eine Eigenfrequenz des
Schwingkreises von 287,5 Hz.
Das Lastmoment hinsichtlich Lager- und Luftreibung ist für 17500/min mit 0,002 Nm
und von der Drehzahl als quadratisch abhängig angenommen worden.
Im Interesse eines möglichst geringen Luftwiderstandes wird angenommen, dass der
Stabmagnet in eine Kunststoffscheibe eingebettet ist. Das Drehträgheitsmoment
setzt sich somit aus Stabmagnet und Kunststoffscheibe zusammen.
Die gewählte Schrittweite in den Plots entspricht 1000 Stützstellen pro Sek.
Eingabeparameter
N := 144
Windungszahl der Spule
di := 0.120
(m)
Spulenkörper-Innendurchmesser
dbl ≡ 0.001475
(m)
Drahtdurchmesser blank (gemittelt aus Ovaldrahtquerschnitt)
d := 0.001563
(m)
Drahtdurchmesser isoliert (Lackdraht 2L)
bs := 0.020
(m)
Breite der Wickelkammer
ls := 0.020
(m)
Spulenlänge
FF := 0.8
Füllfaktor für Spulenkammer
ρ20 := 0.0175 ⋅ 10− 6 (Ωm) spezif. Widerstand (Betriebstemp.)
Tw := 20
(°C)
Betriebstemperatur Spule
α ≡ 0.004
(1/°C) Temperaturkoeffizient
rm := 0.050
(m)
Radius Magnet (Stabmagnet mit Länge 0.1 m)
dm := 0.015
(m)
Magnetdicke (Stabmagnet mit Poldurchmesser 0.015 m)
ρm := 7800
(kg/m3)
spez. Gew. von Magnetmaterial
(T bzw. Vs/m2)
B0 := 0.05
−6
µo ≡ 1.257 × 10
(Vs/Am)
magnetische Induktionsamplitude
magnetische Permeabilität an Luft
Berechnung der Systemparameter
2
π ⋅ dbl
(m2)
Drahtquerschnitt blank
A = 1.709 × 10− 6
(m2)
Drahtquerschnitt isoliert
Aiso = 1.919 × 10− 6
ASq := bs ⋅ ls
(m2)
Wickelkammerquerschnitt
ASq = 4 × 10− 4
ASiso := N ⋅ Aiso
(m2)
Drahtquerschnittsfüllung
A :=
4
2
π ⋅d
Aiso :=
4
ASiso = 2.763 × 10− 4
Überprüfung der Füllung von der Spulenwickelkammer
ASiso
kF :=
ASq ⋅ FF
Füllung der Spulenwickelkammer
kF = 0.863
(m2) magnetisch wirksame Spulenfläche
AS = 0.011
2
AS := π ⋅
di
4
Korrekturfaktor für Induktivität
kL := 0.3582
2
L :=
µo ⋅ AS ⋅ N
ls
⋅ kL
(H bzw. Vs/A)
Spuleninduktivität
ρ := ρ20 ⋅ [ 1 + α ⋅ ( Tw − 20) ] (Ωm) spezif. Widerstand (Betriebstemp.)
ρ = 1.75 × 10− 8
Korrekturfaktor für ohmschen Widerstand
kR := 1.598
lDr := π ⋅ ( di + d) ⋅ N ⋅ kR
R :=
L = 5.28 × 10− 3
ρ ⋅ N ⋅ π ⋅ ( di + d) ⋅ kR
A
( m)
Drahtlänge für Spulenwicklung
(Ω
Ω bzw. V/A)
RLast := 0.1
ohmscher Spulenwiderstand
(Ω
Ω bzw. V/A)
ohmscher Lastwiderstand
lDr = 87.88
R = 0.9
RLast = 0.1
kJ := 0.265
2
(kg)
mt := π ⋅ rm ⋅ dm ⋅ ρm
J :=
1
2
2
Magnetmasse
(kg*m2 )
⋅ mt ⋅ rm ⋅ kJ
Drehträgheitsmoment Magnet
mt = 0.919
J = 3.044 × 10− 4
Berechnung der Kapazität:
fr := 287.5
ωr := 2 ⋅ π ⋅ fr
C :=
(Hz bzw. 1/s)
Eigenkreisfrequenz (Vorgabe)
(Hz bzw. 1/s)
Eigenfrequenz Schwingkreis
fr = 287.5
ωr = 1.806 × 103
1
2
L ⋅ ωr
(F bzw. As/V)
Kondensatorkapazität
C = 5.804 × 10− 5
Berechnung von Lastmoment und Anfahrkriterien
n := 0 , 1 .. 17500
MLm := 0.0000000000065
 2 ⋅ π ⋅ 57.3 ⋅ 60 
MLm0 := MLm ⋅ 

360


2
MLm0 = 2.34 × 10− 8
Ann.: Von Drehzahl quadratisch abhängiges Lastmoment
1) Lastmoment
2
(als mechan. Lastmoment für realen Anwurf vorgesehen)
ML ( n) := MLm ⋅ n
0.002
ML( n ) 0.001
0
4
1.5 .10
4
a0 := 0.2
a := 0.95
1 .10
n
5000
4
2 .10
2) Anwurfmoment
t := 0 , 0.001 .. 1
MAm := 0.53
 a ⋅ sin ( 25 ⋅ π ⋅ t2) 

2
 1 − a ⋅ cos ( 25 ⋅ π ⋅ t ) 
y1 ( t ) := atan 
(Verschleifungsgrad)
(Funktionsbeschreibung mittels
serramorpher Funktionen)
 a ⋅ sin ( 25 ⋅ π ⋅ t2 − π ) 
y2 ( t ) := −atan 

2
 1 − a ⋅ cos ( 25 ⋅ π ⋅ t − π ) 
MA ( t ) :=
MAm
MA1 ( t ) :=
3
(für realen Anwurf vorgesehen)
⋅ ( 1 − sign ( t − a0) ) ⋅ ( y1 ( t ) + y2 ( t ) )
MAm
2
(für Test)
⋅ ( 1 − sign ( t − 1 ⋅ a0) )
0.6
0.4
MA( t)
0.2
MA1( t)
0
0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1
Berechnung von Strom und Induktionsspannung, Drehwinkel,
Drehgeschwindigkeit, Drehbeschleunigung und Drehmoment
  −sin ( δ ( t) )   0 
A
d⌠
d 
d
ui = −N ⋅ φ = −N ⋅  B dA = −N ⋅ B ⋅  −cos ( δ ( t ) )  ⋅ A ⋅  1  = N ⋅ B ⋅ A ⋅ ( cos ( δ ( t ) )
⌡


dt
dt 0
dt  
dt
  0 
0
 


uR + uL + uC + ui = 0
q ( t)
d
d2
d
--->
q ( t) +
R ⋅ q ( t) + L ⋅
− N ⋅ B ⋅ A ⋅ sin ( δ ( t ) ) ⋅ δ ( t ) = 0
2
C
dt
dt
dt
d
d2
dt
2
q ( t) =
N ⋅ B0 ⋅ AS
L
R d
q ( t)
d
⋅ sin ( δ ( t ) ) ⋅ δ ( t ) − ⋅ q ( t ) −
L dt
L⋅C
dt
(Spannungsgleichung)
Auf stromdurchflossene Leiter wirken im Magnetfeld Lorentzkräfte, die selbst fixiert, gemäß
Aktio gleich Reaktio diese Kräfte auf den beweglichen Magneten übertragen.
 −sin ( δ ( t) ) 
 cos ( δ ( t) ) 

 0 
F ( t ) = N ⋅ ( dm × B) ⋅ I = N ⋅ I ⋅ dm ⋅  0  × B ⋅  −cos ( δ ( t ) )  = N ⋅ B ⋅ ( dm + di) ⋅ I ⋅  −sin ( δ ( t ) ) 

 




0
0

 1 
M ( t ) = 2 ⋅ rm ⋅ F ( t ) y = −2 ⋅ rm ⋅ N ⋅ B ⋅ dm ⋅ sin ( δ ( t ) ) ⋅ I = −N ⋅ B ⋅ A ⋅ sin ( δ ( t ) ) ⋅ I
d2
J⋅
dt
2
(Drehmomentgleichung)
δ ( t ) + ML ( t ) = MA ( t ) + M ( t )
Lösung des Gleichungssystems
d2
dt
d2
dt
2
2
q ( t) =
( δ ( t) ) =
N ⋅ B0 ⋅ AS
L
MA ( t )
J
−
R + RLast d
q ( t)
d
⋅ sin ( δ ( t ) ) ⋅ δ ( t ) −
⋅ q ( t) −
L
L⋅C
dt
dt
ML ( t )
J
−
N ⋅ B0 ⋅ AS
J
⋅ sin ( δ ( t ) ) ⋅ I1 ( t )
q ( 0) = 0
q' ( 0 ) = 0
δ ( 0) = 0
δ' ( 0 ) = 0
Zeit-Verläufe mechanische Größen
Drehwinkel (rad)
300
200
δ
100
0
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
0.6
0.67
0.73
0.8
0.87
0.93
1
0.73
0.8
0.87
0.93
1
0.73
0.8
0.87
0.93
1
t
Zeit (s)
Drehgeschwindigkeit (1/min)
4
2 .10
4
1.75 .10
4
1.5 .10
4
dδ⋅ 2⋅ π ⋅
57.3⋅ 60
1.25 .10
4
1 .10
360
7500
5000
2500
0
0
0.067 0.13
0.2
0.27
0.33
0.4
0.47
0.53
0.6
0.67
t
Zeit (s)
Drehbeschleunigung (rad/s2)
( d2δ)
g
1000
0
0
0.067 0.13
0.2
0.27
0.33
0.4
0.47
0.53
tg
Zeit (s)
0.6
0.67
Schwingkreis- und Lastdrehmoment
0.5
0.4
( )
− N⋅ B0 AS⋅ sin δ g dqg⋅ 1
MLm0⋅ ( dδ) g


0.3
2
( )
MA tg ⋅ 1
0.2
0.1
0
0.1
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
0.6
0.67 0.73
0.8
0.87 0.93
1
tg
Zeit (s)
Drehmoment-Drehzahl-Charakteristik
Antriebs-, Lastdrehmoment (Nm)
0.5
0.4
J⋅ ( d2δ) g
0.3
− MLm ⋅ ( dδ) 


2
g
0.2
0.1
0
0.1
0
50
100
150
dδg
Geschwindigkeit (rad/s)
200
250
300
Zeit-Verläufe elektrische Größen
Induzierte Spannung (V)
40
20
( )( )
N⋅ B0⋅ AS⋅ sin δ g ⋅ dδg
0
20
40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tg
Zeit (s)
Ladung (As)
0.002
q
0
0.002
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
0.6
0.67
0.73
0.8
0.87
0.93
1
0.6
0.67
0.73
0.8
0.87
0.93
1
0.8
0.87
0.93
1
t
Zeit (s)
Strom (A)
0.5
dq
0
0.5
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
t
Zeit (s)
ohmscher Spannungsabfall Spule (V)
0.5
1R⋅ dq
0
0.5
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
t
Zeit (s)
0.6
0.67
0.73
induktiver Spannungsabfall (V)
1
0.5
L ⋅ ( d2q ) g
0
0.5
1
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
0.6
0.67 0.73
0.8
0.87 0.93
1
tg
Zeit (s)
kapazitiver Spannungsabfall (V)
40
20
q
C
0
20
40
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
0.6
0.67 0.73
0.8
0.87 0.93
1
t
Zeit (s)
Leistung am Lastwiderstand (W)
0.02
( ) 2 0.01
RLast⋅ dqg
0
0
0.067 0.13
0.2
0.27 0.33
0.4
0.47 0.53
tg
Zeit (s)
0.6
0.67 0.73
0.8
0.87 0.93
1