Aufgabenblatt 13

Einführung in die Quantenfeldtheorie
Univ.-Prof. Andreas Läuchli und Dr. Thomas Lang
Blatt 13
21.06.2016
Aufgabe 1: Antikommutierendes Feld
Die Diracgleichung ist die Bewegungsgleichung realtivistischer Spin-1/2 Teilchen. Die entsprechende
Lagrangedichte die zur Diracgleichung führt ist durch L = ψ(i∂/ − m)ψ = ψ † γ 0 (iγ µ ∂µ − m)ψ, gegeben.
Nach der Quantisierung, sind die Operatoren des Dirac Feldes durch
r
2 Z
i
1 X
m h
3
d p
(1)
us (p) cs (p) e−ip·x + vs d†s (p) eip·x ,
ψ(x) =
3
Ep
(2π) 2 s=1
r
2 Z
i
1 X
m h
†
ip·x
−ip·x
3
,
(2)
ψ(x) =
u
(p)
c
(p)
e
+
v
d
(p)
e
d
p
s
s s
3
s
Ep
(2π) 2 s=1
gegeben, us und vs sind hierbei die Lösungen der Dirac Gleichung. Weiters gilt mit (p · σ)2 = p2 =
Ep2 − m2
2
X
p
1 Ep + m
/+m
−σ · p
.
(3)
us (p)us (p) =
=
σ·p
−Ep + m
2m
2m
s=1
(a) Ausgehend von den Antikommutator Relationen {cr (p), c†s (q)} = {dr (p), d†s (q)} = δrs δ(3) (p − q),
zeigen Sie, dass man iSab (x − y) = {ψa (x), ψ b (y)} als
Z 3 h
i
d p
1
−ip·(x−y)
ip·(x−y)
,
(4)
(
p
+
m)
e
+
(
p
−
m)
e
iSab (x − y) =
/
/
ab
ab
(2π)3
2Ep
schreiben kann.
(b) Schreiben Sie nun die obige Gleichung in der Form (iγµ ∂ µ + m) ∆(x − y) und identifizieren Sie
∆(x − y).
(c) Für den Fall x0 = y0 , kann man im zweiten Term in Gl. (4) p durch −p ersetzen. Zeigen Sie, dass man in diesem Fall die gleichzeitige Antikommutator Relation des Dirac Felds
{ψa (x), ψ b (y)} = (γ 0 )ab δ(3) (x − y) erhält.
Aufgabe 2: Observable
Drücken Sie die folgenden Größen durch Erzeuger und Vernichter aus:
R
(a) Ladung Q = −e d3 x : ψ † ψ :.
Ohne es explizit auszurechnen, was ergibt [H, c†s (p)cs (p)]? Begründen Sie!
R
(b) Energie H = d3 x [: ψ(−iγ i ∂i + m)ψ :].
R
(c) Impuls P = −i d3 x [: ψ † ∇ψ :].
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