¨Ubungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14) 11. ¨Ubung
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H.-W. Hammer Institut für Kernphysik Übungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14) 11. Übung 21.01.2014 A.16: Diracgleichung mit externen Feldern 1. Sei ψp,s (x) eine Lösung der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2 Teilchen mit Viererimpuls p und Spin s. Geben Sie die Beziehung zwischen Energie E und Dreierimpuls p~ für die Lösung ψp,s (x) an. Woraus folgt diese Beziehung? Welche Werte kann der Spinindex s annehmen? 2. Betrachten Sie nun eine allgemeine Lösung ψ(x) (nicht notwendigerweise ein Impulseigenzustand). Berechnen Sie unter Verwendung der Diracgleichung die Viererdivergenzen des Vektor- und Axialvektorstromes j µ (x) = ψ̄(x)γ µ ψ(x) und j5µ (x) = ψ̄(x)γ5 γ µ ψ(x) . (1) Diskutieren Sie die Rolle der Masse des Teilchens m. 3. Betrachten Sie nun die Diracgleichung mit einem externen elektromagnetischen Feld (Vektorfeld Aµ (x)). Multiplizieren Sie die Gleichung von links mit ψ̄(x) um Bilinearformen der Spinoren zu erhalten. Welche Form hat die Ankopplung des Vektorfeldes Aµ (x)? 4. In der schwachen Wechselwirkung treten sowohl Vektor- als auch Axialvektorfelder auf. Betrachten Sie ein Axialvektorfeld Bµ . Ein solches Feld transformiert sich unter eigentlich orthochronen Lorentztransformationen wie ein Vektorfeld, ändert aber unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen. Wie müssen Sie Bµ an die Diracgleichung ankoppeln, um die Lorentzinvarianz der Theorie zu gewährleisten? Wie müssen Sie skalare, pseudoskalare und tensorielle Felder ankoppeln? Kennen Sie Elementarteilchen, die durch diese Felder repräsentiert werden? µ 5. Betrachten Sie nun Diracspinoren mit festem Impuls und Spin ψp,s (x) = us (p)e−ipµ x . Für die Standarddarstellung der Diracmatrizen hat us (p) laut Vorlesung die Form r E+m 1 χs . us (p) = ~ σ ·~ p 2m E+m Welche Form hat das Matrixelement ūs0 (p0 )γ µ us (p)Aµ , welches die Kopplung des elektromagnetischen Feldes and Spin-1/2 Teilchen beschreibt, im nichtrelativistischen Limes (bis auf Korrekturen der Ordnung 1/m2 und höher)?
