Die Dirac-Gleichung für freie Elektronen

Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
Milner
Inhalt
Die Dirac-Gleichung für freie Elektronen
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
Raffaela Milner
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
10. Januar 2014
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
Milner
Inhalt
1 Einleitung
Von der QM zur RQM
Klein-Gordon-Gleichung
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
2 Dirac-Gleichung (DE)
DE in kovarianter Form
3 Lösung der freien DE
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
4 Fazit und Interpretation
Notation in der SRT
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
Milner
Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
wir bleiben in Einheiten von ~ und c
betrachten Vierervektoren: x µ = (x 0 , x k )
kovariante Vektoren aµ transformeiren wie
∂
∂x µ
kontravariante Vektoren aµ transformieren wie x µ
Metrik im Minkowski-Raum ist definiert durch metrischen
Tensor:

1 0
0
0
0 −1 0
0


gµν = 

0 0 −1 0 
0 0
0 −1
aµ = g µν aν und damit a0 = a0 und ak = −ak
für Vierervektoren gilt: aµ b µ = a0 b 0 − ~a~b
Skalarprodukt der Vierervektoren ist LT-invariant
Differentialoperatoren in der SRT
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
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Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
∂
∂x µ
∂µ =
kovarianter Vektor: ∂µ =
∂ ~
≡ ( ∂ct
, ∇)
∂
~
g µν ∂ν ≡ ( ∂ct
, −∇)
2
∂
~2
d’Alembert-Operator: ≡ ∂µ ∂ µ = c12 ∂t
2 − ∇
kontravarianter Vektor:
Historischer Überblick
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
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Schrödingergleichung (SE): 1926
Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
Klein-Gordon-Gleichung (KGE) : 1926
Dirac-Gleichung (DE) : 1928
Dirac postuliert das Positron : 1931
Anderson entedeckt das Positron : 1932
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
Unser Ziel ist die korrekte Beschreibung freier Elektronen.
Prinzipien aus der QM
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
Zustand des Systems wird durch Zustandsvektor |Ψi
im Hilbertraum beschrieben
jeder phys. Observable wird ein linearer hermitescher
Operator zugeordnet
der Mittelwert einer Observablen A im Zustand |Ψi ist:
hΨ|A|Ψi
bei Messung von A geht der Ausgangszustand in den
Eigenzustand |ni von A mit Eigenwert an über:
A|ni = an |ni
Aufstellen einer Wellengleichung in Ortsdarstellung
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Schrödingergleichung in allgemeinster Form :
Raffaela
Milner
i~
∂
|Ψi = Ĥ|Ψi
∂t
(1)
Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
∂
und
Korrespondenzprinzip: E 7−→ Ê = i~ ∂t
~
~p 7−→ ~pˆ = −i~∇
aus klassischer Mechanik : E = Ekin =
|~p |2
2m
anwenden dieser Prinzipien auf eine unbekannte
Wellenfunktion Ψ(~r , t) ergibt die freie, zeitabhängige SE
(z.B. für freies Elektron mit Ortsvektor h~r |):
Fazit und
Interpretation
i~
∂
−~2 ~ 2
Ψ(~r , t) =
∇ Ψ(~r , t)
∂t
2m ~r
(2)
wichtige Eigenschaften zur physikalischen
Interpretation der SE
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
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Wahrscheinlichkeitsdichte :
ρ ≡ Ψ∗ (~r , t)Ψ(~r , t) = |Ψ(~r , t)|2 ≥ 0
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Einleitung
Von der QM zur
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Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
Wahrscheinlichkeitsstromdichte :
~ − (∇Ψ
~ ∗ )Ψ]
~j ≡ ~ [Ψ∗ ∇Ψ
2im
Mithilfe der komplex-konjugierten SE lässt sich die
Kontinuitätsgleichung herleiten:
~ ~j = 0
ρ̇ + ∇
(d.h. die Teilchenzahl ist lokal erhalten)
(3)
Warum reicht uns die Schrödingergleichung nicht?
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Einleitung
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RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
∂
Ψ(~r , t) =
i~ ∂t
−~2 ~ 2
r , t)
2m ∇~r Ψ(~
⇒ SE ist nicht Lorentz-kovariant
SE beschreibt den Spin des Teilchens nicht
(dieses Problem lässt sich nur für nicht relativistische
Teilchen mit einer Methode von W. Pauli lösen)
⇒ wir suchen eine relativistisch-invariante Gleichung, die
den Spin kanonisch berücksichtigt.
Idee : benutze relativistisch korrekte
Energie-Impuls-Beziehung: E 2 = ~p 2 c 2 + m4 c 2
Transformationen von E und ~p in der SRT
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Einleitung
Von der QM zur
RQM
Energie und Impuls transformieren sich als Komponenten
eines kontravarianten Vierervektors:
p µ = ( Ec , px , py , pz ) = ( Ec , ~p )
mit kovarianten Komponenten: pµ = gµν p ν = ( Ec , −~p )
invariantes Skalarprodukt: pµ p µ =
(m ist die Ruhemasse)
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
E2
c2
− ~p 2 = m2 c 2
⇒ E 2 = ~p 2 c 2 + m4 c 2
(4)
daherpist H für ein relativistisches Teilchen:
H = ~p 2 c 2 + m4 c 2
Anwendung des Korrespondenzprinzips auf rel. Beziehung
führt zu relativistischem Äquivalent von Gleichung (2):
i~
∂
|Ψi =
∂t
q
~ 2 + m2 c 2 |Ψi
−~2 c 2 ∇
(5)
Die Klein-Gordon-Gleichung
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Einleitung
Von der QM zur
RQM
Wurzel macht Probleme (Ort und Zeit treten in der
Entwicklung unsymmetrisch auf)
⇒ wir betrachten die quadratische Relation mit
H = E 2 = ~p 2 c 2 + m4 c 2
∂
mit H und [ ∂t
, H] = 0 folgt:
Klein-GordonGleichung
−~2
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
⇐⇒
(
∂2
~ 2 + m2 c 2 )|Ψi
|Ψi = (−~2 c 2 ∇
∂t 2
(6)
1 ∂2
~ 2 + ( mc )2 )|Ψi = 0
−∇
2
2
c ∂t
~
(7)
aus der E-Dynamik wissen wir: ≡ ∂µ ∂ µ =
(ist LT-invariant)
1 ∂2
c 2 ∂t 2
~2
−∇
Die Klein-Gordon-Gleichung
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
( + (
mc 2
) )|Ψi = 0
~
(8)
freie Klein-Gordon-Gleichung
Schrödinger hat sie 1926 als relativistische
Verallgemeinerung der SE vorgeschlagen
mit dem 4er Impuls als Operator p µ = i~∂ µ schreibt sie
sich wie folgt:
[pµ p µ − m2 c 2 ]|Ψi = 0
(9)
Eigenschaften der KGE
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Von der QM zur
RQM
erfüllt die Kontinuitätsgleichung mit
ρKG = i~(Ψ∗ Ψ̇) − ΨΨ̇∗ und
µ
jKG
= −i~c 2 (Ψ∗ ∂ µ Ψ − Ψ∂ µ Ψ∗ )
Klein-GordonGleichung
KGE ist DGL 2. Ordnung ⇒ ρ(~x ) ist nicht positiv definit
Inhalt
Einleitung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
⇒ ρ(~x ) ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte
Was soll eine negative Wahrscheinlichkeit physikalisch
bedeuten?
Freie Lösungen der KGE
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
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es existieren zwei Lösungen in Form p
ebener Wellen:
Ψ(~x , t) = exp−i(Et−~p~x )/~ mit E = ± ~p 2 c 2 + m2 c 4
positive und negative Energien
Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
Energie ist nicht nach unten beschränkt
skalare Theorie
beschreibt nur Mesonen mit Spin 0
Interpretation der KGE als Theorie der Ladung umgeht
Problem der negativen Energien:
j µ → ej µ (x ) ≡ Stromdichte und ρ → eρ(x ) ≡ elektrische
Ladungsdichte
Kontinuitätsgleichung ∂µ j µ = 0 beschreibt
Ladungserhaltung
Warum reicht uns die KGE nicht?
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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ρ(x ) ist nicht positiv definit
Inhalt
beschreibt nur Spin 0 Teilchen
Einleitung
Lösungen der Wellenfunktionen mit negativer Energie sind
mathematisch wichtig (Basis des Hilbertraums)
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
Was bedeuten negative Energien in einer
Einteilchen-Theorie?
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
Ziel: relativistische Wellengleichung von 1. Ordnung in der Zeit
mit positiv definiter Wahrscheinlichkeitsdichte
Grundüberlegungen
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
zeitl. und örtl. lineare Gleichung:
i~
∂
Ψ = HD Ψ
∂t
mit Dirac-Operator HD =
~c k
i α ∂k
(10)
+ βmc 2 ≡ c α
~ ~p + βmc 2
korrekte wahl von αk (k = 1, 2, 3) und β ergibt DE
αk und β müssen hermitesche N × N Matrizen sein, damit
HD hermitesch
 ist

Ψ1
 . 




⇒Ψ= . 


 . 
ΨN
Forderungen an die DE
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Einleitung
Von der QM zur
RQM
1
Ψi müssen die KGE erfüllen
2
es existiert ein erhaltener Viererstrom, dessen
Nullkomponente eine positiv definite Dichte ist
3
die gesuchte Gleichung muss Lorentz-kovariant sein
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
Forderung 1
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
es folgen drei Bedingungen an αk und β
αi αj + αj αi = 2δ ij 1
αi β + βαi = 0
(αi )2 = β 2 = 1
Forderung 2
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
die Kontinuitätsgleichung ist erfüllt mit Dichte ρ = Ψ+ Ψ
und
der Stromdichte j k = cΨ+ αk Ψ , j 0 ≡ cρ
in kovarianter Form gilt: ∂µ j µ ≡
1 ∂ 0
c ∂t j
+
∂ k
j
∂x k
=0
Eigenschaften der Dirac-Matrizen
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Inhalt
{αk , β} = 0
(αi )2 = β 2 = 1 ⇒ EW = ±1
Sp(αk ) = Sp(β)= 0
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
N=4
spezielle Darstellung
der Matrizen ergibt:
!
!
k
0 σ
1 0
k
wobei die σ i die
α =
und β =
0 −1
σk 0
Pauli-Matrizen sind
Lösung der
freien DE
Standarddarstellung der DE
Fazit und
Interpretation
Ψ wird Spinor genannt
Forderung 3 - Definition neuer Dirac-Matrizen
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
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i~
∂
~c
β
Ψ − [ αk ∂k + βmc 2 ≡ c α
~ ~p + βmc 2 ]Ψ = 0| · (− ) (11)
∂t
i
c
Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
⇐⇒
[−i~β∂0 − i~βαk ∂k + mc]Ψ = 0
(12)
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
mit ∂0 = ∂/c∂t
definiere neue Dirac-Matrizen: γ 0 ≡ β und γ k ≡ βαk
es gilt: γ 0 = (γ 0 )+ , (γ 0 )2 = 1, −γ k = (γ k )+ , (γ k )2 = −1
außerdem gelten folgende Relationen: {γ 0 , γ k } = 0,
{γ k , γ l } = 0 für k 6= l und {γ k , γ l } = 0 für k = l
grundlegende algebraische Struktur: {γ µ , γ ν } = 2g µν
Clifford-Algebra
kovariante Form und Feynman-Schreibweise
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
mit Clifford-Algebra erhält die DE folgende Gestalt:
(−iγ µ ∂µ +
mc
)Ψ = 0
~
(13)
Feynman-Schreibweise: v/ ≡ γv = γµ v µ = γ 0 v 0 − γ k ~v
damit lässt sich die DE schrieben als: [−i ∂/ + mc
~ ]Ψ = 0
mit γ-Matrizen!in der Dirac-Darstellung:
!
1 0
0
σk
0
k
γ =
und γ =
0 −1
−σ k 0
dazu äquivalente Darstellung durch: γ → MγM −1
Lösungen zu definiertem Impuls ~p
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
positive Energie:
Raffaela
Milner

negative Energie:

DiracGleichung
(DE)
Ψ(−)
p 1,2
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
(14)
1,2
p0 +mc
Einleitung
Klein-GordonGleichung

−i(cp0 t−~p~x /~ 
(+) 
Ψ(+)
p 1,2 = exp
~
σ~p χ
Inhalt
Von der QM zur
RQM
(+)
χ1,2
=
(−)

~
σ~p χ1,2
i(cp0 t−~p~x /~  p0 +mc 
exp
(−)
χ1,2
(15)
p
p0 = + ~p 2 + m2 c 2 > 0 ,da E 2 = c 2 p02 = ~p 2 c 2 + m4 c 2
(±)
χ1,2 bezeichnen jeweils zwei linear unabhängige, konstante
und zweikomponentige Spinoren
Interpretation
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
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Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
E = +cp0 : Interpretation als Teilchenwellenfunktionen
(z.B. Elektron)
E = −cp0 : Zustände im Dirac-See
wir erwarten noch einen weiteren mit dem Spin
zusammenhängenden Operator
(Spin als interner Freiheitsgrad)
Fazit
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
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relat. E-p-Beziehung → relativistische-Invarianz
Inhalt
Einleitung
Von der QM zur
RQM
Klein-GordonGleichung
DiracGleichung
(DE)
DE in kovarianter
Form
Lösung der
freien DE
Fazit und
Interpretation
DGL 1. Ordnung in der Zeit → positiv definite
Wahrscheinlichkeitsdichte
negative Energien → Löchertheorie → Vorhersage des
Positrons
Prozesse mit Erzeugung und Vernichtung von Teilchen →
QED
Quellen
Die DiracGleichung für
freie
Elektronen
Raffaela
Milner
1
Dirac, P. A. M.: The Principles of Quantum Mechanics,
fourth edition,1967
2
Dirac, P. A. M.: The Quantum Theory of the Electron,
http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/
117/778/610.full.pdf+html, 1928
3
Wolschin,Georg: RQM-Skript SoSe 2013 Uni Heidelberg
4
Stepanov, Semjon: Relativistische Quantentheorie, 2010
5
http://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-Gleichung
6
http://de.wikipedia.org/wiki/Klein-Gordon-Gleichung
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