Modul 1: RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK 1 Einleitung

Modul 1:
RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Zusatz zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (LVA Nr. 142.073)
H. Leeb, Wintersemester 2005
1
Einleitung
Die Schrödingergleichung ist nicht geeignet um die Bewegung eines mit relativistischer Geschwindigkeit bewegten freien Elektrons quantenmechanisch
zu beschreiben. Man erkennt dies sofort, wenn man als Lösung die ebene
Welle betrachtet,
t
) ,
(1)
ψ(r, t) = A exp i(k · r −
~
wobei p = ~k der Impuls des Elektrons ist und seine nichtrelativistische
Energie. Setzt man die ebene Welle in die Schrödingergleichung des freien
Elektrons ein,
∂
~2 2
∇ ψ(r, t) = i~ ψ(r, t) ,
(2)
−
2m
∂t
so erhält man die nichtrelativistische Energie-Impuls Beziehung,
p2
= .
2m
(3)
Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist also nicht invariant unter LorentzTransformationen und verletzt damit die Symmetrieforderungen der speziellen Relativitätstheorie. Dies erkennt man auch an der unterschiedlichen
Form wie Zeit- und Raumkoordinaten in die Schrödingergleichung eingehen
(zweite Ableitung für die Raumkoordinaten, erste Ableitung für die Zeitkoordinate).
Nach der speziellen Relativitätstheorie transformieren sich die Gesamtenergie E und die Impulse (px , py , pz ) als Komponenten eines kontravarianten Vektors
E
pµ = (p0 , p1 , p2 , p3 ) =
(4)
, px , py , pz
c
mit invarianter Länge
3
X
pµ pµ = p µ pµ =
µ=0
1
E2
− p2 = m2o c2
c2
(5)
Dies ist die relativistische Energie-Impulsbeziehung,
E 2 = m20 c4 + p2 c2 ,
(6)
wobei m0 die Ruhmasse des Teilchens ist. Annahme der kanonischen Quantisierung und Einsetzen der Darstellungen des Energieoperators i~∂/∂t und
des Impulsoperators −i~∇ für E bzw. p führt von (6) zu der Gleichung
∂
i~
∂t
2
h
i
ψ(r, t) = m20 c4 + (−i~∇)2 ψ(r, t) .
(7)
Nach Auswerten der Quadrate und entsprechender Umformung erhalten
wir die Klein-Gordon-Gleichung
m20 c2
1 ∂2
2
(8)
− ∇ + 2 ψ(r, t) = 0 .
c2 ∂t2
~
Ein kompaktere Schreibweise der Klein-Gordon-Gleichung,
Q + κ2 ψ(r, t) = 0 ,
(9)
ergibt sich durch Einführung des D’Alembert-Operators
Q=
1 ∂2
− ∇2
c2 ∂t2
(10)
und
m0 c
.
(11)
~
Die Klein-Gordon-Gleichung (8) bzw. (9) entspricht einer Wellengleichung mit Masseterm. Die hier gegebene Ableitung ist allerdings nur auf
die freie Bewegung des Teilchens beschränkt. Für ein Elektron wäre κ/2π =
412.14856 nm−1 die inverse Comptonwellenlänge.
Durch die quadratische Form der relativistischen Energie-Impulsbeziehung
wurden auch Lösungen mit negativer Energie eingeführt. Diese Lösungen
zu negativer Energie werden mit Antiteilchen in Verbindung gebracht. Die
Existenz von Antiteilchen unterstützt diese Interpretation.
Eine wichtiges Anliegen ist die Konstruktion eines Stromes in der relativistischen quantenmechanischen Beschreibung, für welchen ein Erhaltungssatz gilt. Wir gehen dabei analog wie bei der Schrödingergleichung
vor und multiplizieren (9) von links mit ψ ∗ und die konjugiert komplexe
Klein-Gordon-Gleichung mit ψ. Subtraktion der beiden Gleichungen liefert,
(12)
ψ ∗ Q + κ2 ψ − ψ Q + κ2 ψ ∗ = 0 .
κ=
Herausheben einer Ableitung führt auf die kompakte Form
∇µ [ψ ∗ ∇µ ψ − ψ∇µ ψ ∗ ] = 0 .
2
(13)
Durch Trennung der Zeit- und Raumkoordinaten ergibt sich die Beziehung
i~
∂ψ ∗
~
∂
∗ ∂ψ
∗
∗
ψ
+
∇
−
ψ
(ψ
∇ψ
−
ψ∇ψ
)
= 0 . (14)
∂t 2m0 c2
∂t
∂t
2im0
deren Form sehr stark einer Kontinuitätsgleichung ähnelt. Der Ausdruck in
eckigen Klammern im zweiten Term von (14) entspricht der Stromdichte
der nichtrelativistischen Quantenmechanik. In Analogie zur nichtrelativistischen Quantenmechanik wäre man nun versucht den Ausdruck in eckigen
Klammern des ersten Termes von (14) als Wahrscheinlichkeitsdichte ρ zu
interpretieren. Dies ist aber nicht möglich, da der Ausdruck nicht positiv definit ist. Das Problem erkennt man sofort, wenn man eine stationäre Lösung
ψ = A(r) exp(−Et/~) einsetzt,
E
∂ψ ∗
i~
∗ ∂ψ
ψ
=
−ψ
.
(15)
2
2m0 c
∂t
∂t
m0 c2
Für negative Energieeigenzustände wird der Ausdruck (15) negativ. Historisch wurde deshalb die Entwicklung der Klein-Gordon-Gleichung zunächst
fallen gelassen und nach einer Gleichung erster Ordnung gesucht. Das Ergebnis dieser Suche wird im nächsten Abschnitt diskutiert.
Es soll aber bereits hier festgestellt werden, dass in der relativistischen
Quantenmechanik die Klein-Gordon-Gleichung sehr wohl eine Bedeutung
hat. Im Laufe der Entwicklung stellte sich heraus, dass es bei physikalischer Interpretation der negativen Energiewerte gar nicht möglich ist, die
Einteilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ beizubehalten. Dies gilt
für die Klein-Gordon-Gleichung wie für die in Abschnitt 2 eingeführte DiracGleichung. Die Begründung liegt in der Tasache, dass bei physikalischer Interpretation der Zustände mit negativer Energie E, die Wellenfunktion ψ
nicht mehr die einfache Wahrscheinlichkeitsinterpretation der EinteilchenTheorie hat, da sie auch Erzeugung und Vernichtung von Teilchen-Antiteilchenpaaren berücksichtigen muss. In diesem Sinn können wir die KleinGordon-Gleichung zur quantenmechanischen Beschreibung der Entwicklung
bosonischer Felder verwenden. Die Gleichung (13) bzw. (14) stellt die entsprechende Kontinuitätsgleichung dar.
2
Die Dirac Gleichung des freien Elektrons
Als Ausweg schlug P.A.M. Dirac [1] einen relativistischen Hamiltonoperator vor, der den Impulsoperator (−i~∇) linear enthält und beim Lösen der
entspechenden Differentialgleichung auf die relativistische Energie-Impulsbeziehung (6) führt. Der Diracsche Hamiltonoperator für ein freies Teilchen
der Masse m0 lautet
Ĥ = c α·p + βm0 c2 .
(16)
3
Dabei ist c = 2, 99792458 × 108 ms−1 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
Die Koeffizienten α und β sind dimensionslos.
Das Quadrat des Dirac-Hamiltonoperators,
Ĥ 2 = c2
3
X
1
2
(αi αk + αk αi ) p̂i p̂k + m0 c3
3
X
(αi β + βαi ) p̂i + β 2 m20 c4 , (17)
i=1
i,k=1
kann nur dann zu der relativistischen Energie-Impulsbeziehung führen, wenn
die Koeffizienten α und β die Antikommutatorrelationen
{αi , αk } = 2δi,k ,
{αi , β} = 0
und β 2 = 1
(18)
erfüllen. Der Antikommutator ist dabei folgend definiert:
{αi , αk } = αi αk + αk αi .
(19)
Um (18) zu erfüllen, können die Koeffizienten α, β keine einfachen Zahlen
sein, sondern sind zumindest quadratische 4×4-Matrizen. 1 In der Standarddarstellung werden die Koeffizienten durch die Pauli-Matrizen ausgedrückt
0 σ
1 0
α=
,
β=
,
(20)
σ 0
0 −1
wobei die Paulimatrizen die folgenden 2 × 2 Matrizen sind:
0 1
0 −i
1 0
σx =
σy =
σz =
.
1 0
i 0
0 −1
(21)
Für die Beschreibung der Bewegung eines relativistischen Elektrons tritt
nun statt der zeitabhängigen Schrödingergleichung (2) die Diracgleichung,
∂
c α·p + βm0 c2 Ψ(r, t) = i~ Ψ(r, t) .
∂t
(22)
An die Stelle der Wellenfunktion tritt nun der vierkomponentige Spinor


ψ1 (r, t)
 ψ2 (r, t) 

(23)
Ψ(r, t) = 
 ψ3 (r, t)  .
ψ4 (r, t)
1
Die Antikommutatorbeziehungen für αi entsprechen jenen der Pauli-Matrizen σi . Allerdings lässt sich keine 2 × 2 Matrix bestimmen, welche die Antikommutatorbeziehungen
erfüllt. Man kann aber zeigen, dass αi und β spurlose Matrizen gerader Dimension sein
müssen. Im Fall verschwindender Masse m0 = 0 tritt β nicht auf und man kann auf αi = σi
reduzieren. Masselose Neutrinos können daher durch 2-er Spinoren beschrieben werden.
4
Für viele Überlegungen ist es zweckmäßig, den vierkomponentigen Spinor
Ψ(r, t) mit einem Paar von zweikomponentigen Größen ψA (r, t) und ψB (r, t)
anzuschreiben,
ψA (r, t)
ψ1 (r, t)
ψ3 (r, t)
Ψ(r, t) =
, ψA (r, t) =
, ψB (r, t) =
.
ψB (r, t)
ψ2 (r, t)
ψ4 (r, t)
(24)
In dieser zweikomponentigen Darstellung zerfällt die Diracgleichung in zwei
gekoppelte Differentialgleichungen für ψA und ψB
∂
1
2
i~ − m0 c ψA ,
(25)
σ·p̂ ψB =
c
∂t
1
∂
σ·p̂ ψA =
i~ + m0 c2 ψB .
(26)
c
∂t
Betrachten wir nun eine stationäre Lösung
i
Ψ(r, t) = Ψ(r, t = 0) exp − Et ,
~
(27)
so muß der Energieoperator in den Gleichungen (25) und (26) durch den
Energieeigenwert E ersetzt werden und man erhält eine zeitunabhängige
Form der Diracgleichung. Für ein ruhendes Teilchen (p̂ψA = 0 und p̂ψB = 0)
erhalten wir zwei linear unabhängige Lösungen von (25,26). Zwei zu positiver
Energie (E = m0 c2 ),
 
 
0
1



i
1 
0  − ~ m0 c 2 t
(2)
(1)
 − ~i m0 c2 t ,
, Ψp=0 = 
(28)
Ψp=0 = 
 0 e
 0 e
0
0
und zwei zu negativer Energie (E = −m 0 c2 ),
 

0

 0  i m c2 t
(3)
 ~ 0 , Ψ(4) = 
Ψp=0 = 
p=0
 1 e

0

0
0 
 e ~i m0 c2 t .
0 
1
(29)
Die Lösungen zu positiver Energie werden als die beiden Spinzustände des
Teilchens, die Zustände negativer Energie als die Spinzustände des Antiteilchens interpretiert. Man erkennt daraus, daß der Impuls nicht mehr eindeutig die Energie festlegt.
Haben wir ein bewegtes Teilchen (px = py = 0, pz 6= 0), so kommt es
zu einer Kopplung der zweikomponentigen Funktionen ψ A und ψB im Gleichungssystem (25, 26). Die vier linear unabhängigen normierten Spinoren
5
haben dann die

1

0
Ψ(1) = N+ 
 χ
0
Form


 , Ψ(2)




0
 1 

(3)


= N+ 
 0  , Ψ = N− 
−χ


−χ

0 
 , Ψ(4) = N− 


1
0
(30)
wobei
N± =
s
E+ + m 0 c2
1
exp i (p · r − E± t) ,
2E+
~
χ=
cp
. (31)
E+ + m 0 c2
Die Energie erfüllt die relativistische Energie-Impulsbeziehung
q
E± = ± p2 c2 + m20 c4 .
(32)
Macht man nun wieder die Aufteilung in zweikomponentige Vektoren, so
sieht man, daß für positive Energien die Elemente von ψ B wesentlich kleiner
sind als jene von ψA . Man spricht daher von großen (ψA ) und kleinen (ψB )
Komponenten.
3
Stromerhaltung in der Dirac Gleichung
Bei Konstruktion einer Kontinuitätsgleichung geht man wieder analog zur
Schrödingergleichung vor, wobei man allerdings beachten muss, dass wir im
Fall der Dirac Gleichung mit 4-er Spinoren arbeiten. Wir führen zunächst
den hermitesch konjugierten 4-er Spinor Ψ † ein,
Ψ† = (ψ1∗ , ψ2∗ , ψ3∗ , ψ4∗ ) ,
(33)
und multiplizieren die Dirac Gleichung (22) von links
−i~c
3
X
Ψ† αk
k=1
∂Ψ
∂Ψ
+ m0 c2 Ψ† β Ψ = i~ Ψ†
.
∂xk
∂t
(34)
Dann multiplizieren wir die zu (22) hermitesch konjugierte Gleichung mit Ψ
von rechts,
i~c
3
X
∂Ψ†
k=1
∂x
α Ψ + m0 c2 Ψ† β Ψ = −i~
k k
∂Ψ†
Ψ,
∂t
(35)
wobei wir α†i = αi und β † = β verwendet haben. Durch Subtraktion von
(35) von (34) erhält man eine Kontinuitätsgleichung
∂
ρ + ∇j = 0
∂t
6
(36)

0
χ 
,
0 
1
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
ρ = Ψ† Ψ
(37)
und dem dreikomponentigen Wahrscheinlichkeitsstrom
j = cΨ† αΨ .
(38)
Integrieren wir über den gesamten Raum und verwenden den Greenschen
Satz so ergibt sich
Z
∂
d3 xΨ† Ψ = 0 .
(39)
∂t
Dies weist darauf hin, dass ρ als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann. Allerdings muss man noch zeigen, dass ρ und j unter LorentzTransformation einen 4-er Vektor bilden, um die Kovarianz der Kontinuitätsgleichung und die Wahrscheinlichkeitsinterpretation zu gewährleisten.
4
Erhaltungsgrößen
Für das freie Elektron vertauscht der relativistische Hamiltonoperator (16)
mit dem Impulsoperator p̂, d.h. man kann daher Wellenfunktionen finden,
die gleichzeitig Energie- und Impulseigenfunktionen sind. Die Energie und
der Impuls sind Erhaltungsgrößen des freien Elektrons.
Keine Erhaltungsgrössen sind L̂ und L̂2 wie man aus den Vertauschungsrelationen sofort ersehen kann:
h
i
L̂ , H = i~c (α × p̂) ,
(40)
h
i
L̂2 , H = 2i~c (α × p̂) ·L̂ + 2 ~2 c α·p̂ .
(41)
Die Notwendigkeit der vierkomponentigen Spinoren enthält neben Zuständen
positiver und negativer Energie noch einen weiteren Freiheitsgrad, den wir
als Spin bezeichnen. In der Paulidarstellung ist der Spinoperator durch
~ σ 0
.
(42)
Ŝ =
0 σ
2
Dieser Operator erfüllt die Vertauschungsbeziehung
h
i
Ŝk , Ŝl = i~klm Ŝm
(43)
welche, wie bereits in 1.4.2 angeführt, vollkommen analog zu jener des Bahndrehimpulses ist.
Auch der Spin ist keine Erhaltungsgröße, da Ŝ nicht mit dem Hamiltonoperator vertauscht,
i
h
Ŝ , H = −i~c (α × p̂) .
(44)
7
Im Gegensatz zu L̂2 vertauscht aber

1
2 
3~
 0
Ŝ2 =
4  0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
(45)
mit dem Hamiltonoperator und ist somit eine Erhaltungsgröße. Der zugehörige Eigenwert s(s + 1)~2 entspricht einem Teilchen mit der Spinquantenzahl s = 21 , also einem Fermion.
Bildet man nun den Operator Ĵ = L̂ + Ŝ, so vertauscht dieser mit dem
Hamiltonoperator
h
i
Ĵ, H = 0 ,
(46)
wie man aus (40) und (44) sofort ersieht. Der Operator Ĵ wird als Gesamtdrehimpuls oder oft einfach als Drehimpuls bezeichnet. Dies ist eine direkte
Konsequenz der Symmetrie des Systems, d.h. der Hamiltonoperator ist gegenüber der Transformation
1
(47)
Û = exp −i Ĵ·ϕ
~
invariant. Bedingt durch die spezielle Form von Ŝ transformieren sich bei den
räumlichen Drehungen jeweils zwei Komponenten untereinander. Es handelt
sich also um zwei zweikomponentige Spinoren, die sich zu einem Viererspinor
ergänzen, um der Lorentztransformation zu genügen.
Abschließend soll noch erwähnt werden, daß der Operator p̂ · Ŝ mit dem
Hamiltonoperator vertauscht,
h
i
p̂ · Ŝ, H = 0 .
(48)
Berücksichtigt man, daß das Quadrat des Operators p̂ · Ŝ die Beziehung


1 0 0 0
2
~2  0 1 0 0 

(49)
p̂ · Ŝ = p̂2 
4  0 0 1 0 
0 0 0 1
erfüllt, so ist es naheliegend die Größe
sp =
p·S
p
(50)
zu definieren. Diese wird als Helizität bezeichnet und stellt eine Erhaltungsgröße dar. Die Eigenwerte der Helizität sind mit sp = ±~/2 gegeben.
8
5
Kovariante Formulierung
Die Diracgleichung ist gegenüber Lorentztransformationen invariant. Es ist
nun üblich die Orts- und Zeitkoordinaten in einem Vierervektor zusammenzufassen
x = (ct, −x, −y, −z),
d.h. x0 = ct, x1 = −x, x2 = −y, x3 = −z .
(51)
Statt der Matrizen α und β werden die Diracmatrizen
γ0 = β , γ 1 = α x β , γ 2 = α y β , γ 3 = α z β
(52)
verwendet. Diese sind 4 × 4 Matrizen mit den Eigenschaften
{γµ , γν } = 2gµν 14 ,
㵆 = γ0 γµ γ0 ,
wobei 14 die vierreihige Einheitsmatrix und

1 0
0
0
 0 −1 0
0
gµν = 
 0 0 −1 0
0 0
0 −1




(53)
(54)
der metrische Fundamentaltensor sind.
Mit diesen Definitionen läßt sich die Diracgleichung in eine kovariante
Formulierung bringen
γµ ∂ (µ) + iκ Ψ(x) = 0 ,
(55)
wobei die Einsteinkonvention anzuwenden ist, d.h. es muß über zwei gleiche
in einem Term vorkommende Indices µ summiert werden (µ = 0, 1, 2, 3).
Weiters haben wir die Definitionen
∂ (µ) =
∂
∂xµ
und κ =
m0 c
~
(56)
verwendet. In dieser Form läßt sich die Invarianz der Diracgleichung eines
freien Teilchens gegenüber Lorentztransformationen zeigen.
Die Diracgleichung kann man auch aus einer Lagrangedichte ableiten.
Dies ist analog zur Lagrangeformulierung der klassischen Mechanik bei der
die Euler-Lagrangegleichungen die Bewegungsgleichungen des Systems sind.
Der formale Unterschied liegt nun darin, daß man statt den verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten die Spinoren und ihre Ableitungen
als Variable des Systems auffaßt. Die Lagrangedichte L übernimmt dabei
die Rolle der Lagrangefunktion. Wie schaut nun die Lagrangedichte für ein
freies relativistisches Fermion aus? Diese ist einzig dadurch festgelegt, daß
ihre Euler-Lagrangegleichung
∂L
∂L
− ∂µ
=0
∂Ψ
∂ (∂µ Ψ)
9
(57)
auf die Diracgleichung führt. Die Lagrangedichte eines freien Spin- 12 Teilchens ist,
L = Ψ̄ γµ ∂ (µ) + iκ Ψ ,
(58)
wobei Ψ̄ = Ψ† γ0 ist. Die Verwendung des Lagrange-Formalismus hat entscheidende Vorteile für die Formulierung von Theorien mit Wechselwirkung
und deren Quantisierung.
Die Diracgleichung ist ein gekoppeltes Gleichungssystem für Spinorkomponenten. Durch Multiplikation der Diracgleichung mit (−γ ν ∂ (ν) + iκ) von
links lassen sich die Gleichungssysteme entkoppeln und man erhält für jede
Spinorkomponente die Klein-Gordon-Gleichung
gµν ∂ (µ) ∂ (ν) + κ2 Ψ = 0
(59)
Während die Klein-Gordongleichung auch für spinlose Teilchen gilt, ist die
Diracgleichung nur für Teilchen mit s = 21 erfüllt. Die zugehörige Lagrangedichte für ein skalares Teilchen ist daher
(60)
L = Ψ̄ gµν ∂ (µ) ∂ (ν) + κ2 Ψ
Literatur
[1] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London) A 117, 610 (1928); ibid A
118, 351 (1928).
10