Aufgabe 1 a) Ein Körper bewegt sich reibungsfrei aus eine Höhe

Aufgabe 1
a) Ein Körper bewegt sich reibungsfrei aus eine Höhe von 2,0 m herab. Welche Geschwindigkeit kann
er unten maximal erreichen?
Lösung:
m ·g ·h =
1
· m · v2
2
→
v=
p
g · h = 6, 26 m/s
b) Eine Kraft von 40 N dehnt eine Feder um 8 cm. Wie groß ist die in der gespannten Feder gespeicherte Energie?
Lösung:
Die Kraftkonstante der Feder ist gegeben durch: F = D · x ⇒ D =
E
E
E
F
x
1
1 F
· D · x2 = · · x2
2
2 x
1
·F ·x
=
2
= 1, 6 J
=
Aufgabe 2
Peter springt vom 10-Meter-Turm ins Wasser.
a) Mit welcher Geschwindigkeit taucht er in das Wasser ein?
b) Aus welcher Höhe müsste Peter springen, wenn er nur die Hälfte der Geschwindigkeit von Aufgabe
a) beim Eintauchen haben will?
c) In welcher Höhe über dem Wasser hat Peter die Hälfte der Geschwindigkeit von Aufgabe a)?
Lösung:
a)
m ·g ·h =
b)
c)
1
· m · v2
2
→
v=
p
g · h = 14 m/s
h
4 = 2, 5m
3h
4 = 7, 5m
Aufgabe 3
a) Ein Ball wird von einem 25 m hohen Turm mit einem Geschwindigkeitsbetrag v1 = 10 m/s weggeworfen. Mit welcher Geschwindigkeit v2 erreicht er den Erdboden, wenn man vom Luftwiderstand
absieht?
Lösung:
1
m · g · h + · m · v12
q2
v2 = v12 + 2gh
=
1
· m · v22
2
=
24, 3 m/s
b) Ein Akrobat mit 70 kg Masse fällt aus einer Höhe von 4 m auf ein Trampolin. Das Trampolin
kann als Feder mit der Federkonstante 4000 N/m betrachtet werden. Mit welcher Geschwindigkeit
trifft der Akrobat auf das Trampolin und wie weit wird dieses eingedrückt?
Lösung:
v = 8, 85 m.
m ·g ·h +m ·g ·x
=
1
· D · x2
2
1
· D · x2 − m · g · x − m · g · h
2
=
0
Lösen der quadratische Gleichung ergibt: x = 1, 35 m.
Aufgabe 4
Auf einer Bergstrecke, deren Steigungswinkel 1,5◦ beträgt, löst sich von einem stehenden Eisenbahnzug der letzte Wagen. Welche Geschwindigkeitwürde er nach 5 km Fahrt bei vernachlässigung der
Reibung erreichen?
Lösung:
h
p
v = 2gh
=
l · sin(1, 5◦ ) = 0, 131 km = 131 m
=
50, 6 m/s
Aufgabe 5
Ein Wagen (m = 0,32kg) startet in 100 cm Höhe und rollt eine schiefe Ebene (Steigungswinkel 30◦
) herab.
a) Welche Geschwindigkeit v1 und v2 hat er nach Durchlaufen der Strecken s1 = 15 cm, bzw. s2 =
65 cm erreicht?
b) Wie groß ist der Zuwachs an kinetischer Energie von s1 nach s2 ?
Lösung:
a) Gesamtlänge der Ebene: sges =
100
sin(30)
= 200 cm.
Nach der Strecke 15 cm liegt noch eine Strecke von 185 cm vor ihm. Das ist auf der Höhe h1 = 92, 5
cm.
Nach der Strecke 65 cm liegt noch eine Strecke von 135 cm vor ihm. Das ist auf der Höhe h1 = 67, 5
cm.
Nun berechne die Geschwindigkeit vx auf der Höhe hx :
m ·g ·h
=
vx
=
1
m · g · hx + · m · vx2
2
p
2g(h − hx )
v1 = 1, 21 m/s und v2 = 2, 5 m/s.
2
b)
∆E =
1
· m · (v22 − v12 ) = 7, 6 · 10−3 J
2
Aufgabe 6
Welche Geschwindigkeit erreicht ein Vollzylinder, der auf einer schiefen Ebene die Höhe h = 40 cm
ohne zu gleiten durchläuft? Reibungseffekte können vernachlässigt werden.
Lösung:
m ·g ·h
m ·g ·h
g ·h
v
1
· m · v2 +
2
1
=
· m · v2 +
2
3 2
=
v
4
= 2, 28 m/s.
=
1
2
1
2
· J · ω2
·
1
· m · r 2 · ω2
2
Aufgabe 7
Eine Walze mit Radius R = 5 cm und der Masse m = 1 kg rollt eine schiefe Ebene hinunter, ohne
dabei zu gleiten. Aus dem Zustand der Ruhe wird nach Durchlaufen einer Höhendifferenz h = 40
cm eine Geschwindigkeit der Translationsbewegung von v=2 m/s erreicht. Was schließt Du daraus
über den inneren Aufbau der Walze (hohl oder voll)?
Lösung:
Unbekannt ist der Faktor im Trägheitsmoment. Wir nennen ihn x .
m ·g ·h
m ·g ·h
m ·g ·h
x
1
1
· m · v 2 + · J · ω2
2
2
1
1
=
· m · v 2 + · x · m · r 2 · ω2
2
2
= x · m · v2
g ·h
=
= 0.999
v2
=
Das Trägheitsmoment ist also x · m · r 2 = 1 · m · r 2 = m · r 2 .
Trägheitsmoment eines Hohlzylinders.
Aufgabe 8
Eine Kugel der Masse m = 150 g soll in einer Kugelbahn eine Loopingschleife durchlaufen. Der
Radius des Loopings beträgt r = 25cm. Die Kugel muss dazu eine gewisse Mindestgeschwindigkeit
besitzen, damit sie nicht herab fällt. Bestimme diese Mindestgeschwindigkeit! (Hinweis: Zeichne das
Kräftediagramm für die Kugel am höchsten Punkt der Bahn)
Lösung:
3
FZ
v2
m
r
v
=
m ·g
=
m ·g
√
g · r = 1, 56 m/s
=
Aufgabe 9
Schwungräder werden im Automobilbereich als Energiespeicher eingesetzt. Beim Bremsen wird die
Energie in der rotierenden Scheibe gespeichert und steht anschließend wieder zum Beschleunigen zur
Verfügung. Wie schnell muss eine Scheibe (Masse 1194 kg, Radius 0.5 m) rotieren, um die Energie
eines 30 t schweren Busses aufzunehmen, der bei einer extremen Talfahrt 1000 Höhenmeter überwindet?
Lösung:
Epot = mBus · g · h
1
Erot = · JScheibe · ω 2
2
2, 943 · 108
ω
2, 943 · 108 J
1 1
=
· · mScheibe · r 2 · ω 2
2 2
1
mScheibe r 2 · ω 2
=
4
= 1985, 8 rad /s.
=
Aufgabe 10
Eine Festplatte macht 7200 Umdrehungen pro Minute. Der äußere Rand hat einen Abstand von 4,5
cm von der Mitte. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Punktes in diesem Abstand?
Lösung:
v = 33, 9 m/s.
4