Aufgabenzettel 6 Gruppe B:

Aufgabenzettel 6
Gruppe B:
6.1
Standardnormalverteilung
1. Die Zeit, bis man in einem Restaurant bedient wird, ist normalverteilt
mit einem Mittelwert von 10 Minuten und einer Standardabweichung
von 3 Minuten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es länger als
15 Minuten dauert, bis man seine Bestellung aufgeben kann (1 Punkt)?
Lösung:
= 53 = 1, 67
z = 15−10
3
F (1, 67) = 0, 9525
Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:
100% − 95, 25% = 4, 75%
2. Die Zeit, die Pharmaziestudierende für die Bearbeitung ihre Matheabschlussklauser benötigen ist normalverteilt mit einem Mittelwert von
40 Minuten und einer Standardabweichung von 6 Minuten. Die von
Tom benötigte Zeit entspricht dem 0,42-Quantil (42%-Perzentil). Wie
lange hat Tom über seiner Klausur gesessen (1 Punkt).
Lösung:
F(z)=0,42
⇒ z = −0, 2 ⇔ x = −0, 2 · σ + µ = −0, 2 · 6 + 40 = 38, 8
Tom hat seine Klausur nach 38,8 Minuten abgegeben.
3. Ein Tablettenhersteller fertigt 128mg Kapseln (σ = 1mg). Der Hersteller garantiert eine maximale Abweichung von 1%. Wieviel Prozent
1
der Gesamtproduktion muss der Hersteller als Ausschuss verwerfen (1
Punkt).
Lösung:
A = {X < (128 − 1, 28) = 126, 72} ∩ X > (128 + 1, 28) = 129, 28}
= P (X < 126, 72) + P (X > 129, 28)
) + 1 − F ( 129,28−128
)
= F ( 126,72−128
1
1
= F (−1, 28) + 1 − F (1, 28)
= 0, 1003 + 1 − 0, 8997 = 0, 2006
Der Hersteller muss 20,06 % seiner Gesamtproduktion verwerfen.
4. Ein Drucker kann mit einer Farbpatrone im Durchschnitt 75 000 Etiketten bedrucken. Die Anzahl ist dabei normalverteilt und in 20% der
Fälle bedruckt eine Patrone über 100.000 Etiketten. Wie groß ist die
Standardabweichung der Anzahl der Etiketten, die mit einer Patrone
bedruckt werden kann (1 Punkt)?
F(z)=0,8 ⇔ z = 0, 84 ⇔ σ = 100000 − 750000, 84 = 29761, 9
Die Standardabweichung beträgt 29761,9 (Etiketten) .
6.2
Poissonverteilung
Angenommen, die Anzahl X der zur Hauptgeschäftszeit eintreffenden Anrufe
in einer Telefonzentrale ist poissonverteilt. Die Zentrale erhält im Mittel 120
Anrufe pro Stunde (= Schätzwert für den Erwartungswert). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute:
1. kein Anruf,
2. genau ein,
3. höchstens drei,
4. mehr als drei Anrufe eintreffen (jeweils 0,5 Punkte)?
Lösung:
1.
Erwartungswert: λ = 2
0
P(x=k=0) = 20! · e−2 = 0,135
2.
1
P(x=k=1) = 21! · e−2 = 0,271
3.
P(x ≤ 3) = P(k=0) + P(k=1) +P(k=2) + P(k=3) = 0,135 + 0,271 + 0,271
2
+ 0,18 = 0,857
4.
P(x > 3) = 1 - P(x ≤ 3) = 1 - 0,857 = 0,143
6.3
Fehlerrechnung
1. Es wurde eine Strecke 4 mal gemessen. Der Mittelwert beträgt x̄ =
45,672m und die Standardabweichung der Einzelmessung s = ± 3,6mm
(jeweils 0,5 Punkte).
(a) Berechnen Sie den Standardfehler für den Mittelwert.
Lösung:
√
= 1, 8mm
σ(X) = √σn = 3,6mm
4
(b) Wie groß wird der Standardfehler für ein Mittel aus 10 solchen
Messungen? Lösung:
√
σ(X) = √σn = 3,6mm
= 1, 138mm
10
6.4
Fehlerfortpflanzung
Eine Zielgröße z errechnet sich aus den folgenden fehlerbehafteten Größen
a,b und c nach folgender Formel:
√
z = a2 · cb
mit: a= 16±0,1; b=42,00±1, 2, c=8,0±0,14
Wie groß ist der absolute und der relative Fehler von z (jeweils 1 Punkt)?
Lösung:
δy δy ∆y = δx
·
∆x
+
δx2 · ∆x2 + · · ·
1
1
√
√
δz
| · ∆a = |2a · cb | · 0, 1 = |2 · 16 · 842 | · 0, 1 = 2, 592
| δa
| δz
| · ∆b = |a2 · 0, 5 · √1b · 1c | · 1, 2 = |256 · 0, 5 · √142 · 81 | · 1, 2 = 2, 963
δb
√
1
2
| δz
|·∆c
=
|a
·
b·−1· c12 |·0, 14 = |256·6, 48·−1· 64
|·0, 14 = 25, 92·0, 14 = 3, 629
δc
∆z = 2, 592
+
2,
963
+
3,
629
=
9,
184
√
z = 162 · 842 = 207, 384
maximaler absoluter Fehler von z: 9,184
9,184
maximaler relativer Fehler von z: 207,384
= 0,04428 = 4,428%
3