Eichtheorie

Modul 2:
EICHFELDER UND DIE ANKOPPLUNG
ELEKTROMAGNETISCHER FELDER
Zusatz zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (LVA Nr. 142.073)
H. Leeb, Wintersemester 2005
1
Einleitung
Bei der Behandlung des Wasserstoffatoms haben wir die Schrödingergleichung mit dem Coulombpotential gelöst. Dieser Ansatz ist naheliegend, soll
aber jetzt etwas allgemeiner im Rahmen des Eichkonzepts begründet werden. Die konsequente Durchführung des Eichkonzept erlaubt eine konsistente Einbindung elektromagnetischer Felder in die Bewegungsgleichungen.
Die Eichfreiheit ist keine spezielle Eigenschaft der Quantenmechanik, sondern ein Grundkonzept, welches bereits in der klassischen Physik auftritt.
Wir wiederholen daher kurz das Konzept der Eichung in der klassischen
Mechanik im Abschnitt 2.1 und in der Elektrodynamik im Abschnitt 2.2.
Die Übertragung des Eichkonzepts auf die Quantenmechanik wird im
Kapitel 3 am Beispiel der Dirac Gleichung gezeigt. Die Forderung der Invarianz der Dirac Gleichung gegenüber lokalen Phasentransformationen erfordert die Einfürung zusätzlicher Felder, deren Eichtransformation jener
des elektromagnetischen Feldes entspricht. Die Identifizierung mit dem elektromagnetischen Feld ist naheliegend, sodass sich die entsprechende Dirac
Gleichung unter Berücksichtigung des elektromagnetischen Feldes ergibt. In
analoger Weise ergibt sich die gleiche Ankopplung des elektromagnetischen
Feldes für die Schrödingergleichung. Man kann dieses Konzept der sogenannten Eichtheorien verallgemeinern, wenn man die Invarianz der Dirac Gleichung unter Transformation mit anderen Symmetrieoperationen fordert. Auf
diese Art erhält man z.B. die Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung sowie die Quantenchromodynamik (QCD).
In den folgenden Kapitel werden Anwendungen der Dirac Gleichung mit
elektrostatischem Potential behandelt. Insbesondere wird die Dirac Gleichung für das Wasserstoffatom gelöst, um die Feinstrukturaufspaltung zu
bestimmen. Im Kapitel 5 werden die relativistischen Korrekturen für die
Schrödingergleichung abgeleitet.
1
2
2.1
Eichtransformationen
Eichtransformationen in der klassischen Mechanik
In der klassischen Mechanik ist das zweite Newtonsche Gesetz der Ausgangspunkt für die Beschreibung der Bewegung eines Massepunktes unter
der Wirkung einer Kraft F
m
d2 xk
= Fk (x, ẋ, t)
dt
für k = 1, 2, 3 .
(1)
Für komplexe Systeme ist es meist günstiger die Lagrangesche Formulierung
der Mechanik zu verwenden. Lässt sich die Kraft Fk aus einem geschwindigkeitsabhängigen Potential V (xk , ẋk , t) über die Beziehung
∂V
d ∂V
Fk = −
+
(2)
∂xk
dt ∂ ẋk
ableiten, so ergibt sich die Lagrange Funktion mit
L(xk , ẋk , t) = T − V ,
(3)
wobei T die kinetische Energie ist. Hier sind x k und ẋk verallgemeinerte
Koordinaten bzw. verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Die entsprechenden
Bewegungsgleichungen sind dann in Form der Euler-Lagrange-Gleichungen
gegeben
d ∂L
∂L
= 0.
(4)
−
∂xk
dt ∂ ẋk
Die Größe
∂L
d
[L]x =
−
∂xk
dt
∂L
∂ ẋk
(5)
wird als Euler Ableitung von L bezeichnet.
Die zu einer Bewegungsgleichung gehörende Lagrange-Funktion ist nicht
eindeutig bestimmt. Sei L(xk , ẋk , t) eine Lagrange-Funktion, welche (4) erfüllt
und sei Ω(xk , t) eine beliebige, aber nur von xk und t abhängige Funktion,
dann ist auch
dΩ(xk , t)
L0 (xk , ẋk , t) = L(xk , ẋk , t) +
(6)
dt
eine Lagrange-Funktion, welche zur gleichen Bewegungsgleichung wie L führt.
Die Ersetzung von L durch eine hinsichtlich der Bewegungsgleichung äquivalente Lagrange-Funktion L0 bezeichnet man als Eichtransformation. Die
Größe Ω wird als Eichfunktion bezeichnet. Umeichungen der Lagrange-Funktion lassen die mechanischen Bahnen unverändert, d.h. eine Umeichung entspricht keinem empirisch beobachtbaren Phänomen in der Mechanik.
2
2.2
Eichtransformationen in der Elektrodynamik
Um das Konzept von Eichtransformationen einzuführen, betrachten wir zunächst
die Maxwellgleichungen1
∇×H −
∇×E +
∂
∂t D
∂
∂t B
= j,
∇ · D = ρ,
(7)
= 0,
∇· B = 0,
(8)
wobei ρ die elektrische Ladungsdichte und j die Ladungsstromdichte ist. In
homogener Materie sind die elektrische Flußdichte D = E und die magnetische Feldstärke H = B/µ, wobei = r · 0 und µ = µr · µ0 . Für das
Vakuum sind die elektromagnetischen Feldkonstanten im SI-System durch
µ0 = 4π ·10−7 H/m und 0 = 1/c2 µ0 = 8.854187817622·10−12 F/m gegeben.
Die Größen r und µr bezeichnen die relative Dielektrizitätskonstante bzw.
die relative Permeabilität des Mediums.
Die meßbaren Feldgrößen E und B werden durch die Potentiale φ und
A ausgedrückt,
∂A
, B = ∇ × A.
(9)
E = −∇φ −
∂t
Aus der klassischen Elektrodynamik ist bereits bekannt, daß die Potentiale
φ und A aus den Feldern E und B nicht eindeutig bestimmt sind. Alle
Potentiale, die durch die Transformation
φ0 = φ −
∂
Λ(r, t) ,
∂t
A0 = A + ∇Λ(r, t)
(10)
verknüpft sind, führen zu den gleichen Feldstärken E und B. Dabei ist Λ(r, t)
eine stetige und differenzierbare skalare Funktion. Der Zusammenhang (10)
wird als Eichtransformation bezeichnet.
1
Wir verwenden hier das internationale seit 1970 vorgeschriebene SI-Maßsystem. Es
benutzt neben der Länge, Zeit und Masse mit den Einheiten m, s und kg als elektromagnetische Grundgröße die Stromstärke mit der Einheit A (Ampere). Daraus lassen sich die
Einheiten der anderen elektromagnetischen Größen ableiten. In der theoretischen Physik
und in der Atomphysik wird allerdings auch oft das Begriffsystem von Gauß verwendet.
Dieses geht vom Coulombgesetz aus und führt die elektromagnetischen Größen etwas anders ein, verwendet aber dieselben Namen und Buchstaben. Es gelten dabei folgende Zusammenhänge, wobei die Größen im Gaußschen System mit dem Suffix G gekennzeichnet
sind,
p
√
EG =
4π0 E ,
BG = 4π/µ0 B ,
p
p
4π/0 D ,
DG =
HG = 4πµ0 H ,
√
√
jG = j/ 4π0 .
ρG = ρ/ 4π0 ,
Die Maxwellgleichungen erscheinen dann in der Gestalt
∇ × HG −
1 ∂
DG
c ∂t
∇ × EG +
1 ∂
BG
c ∂t
4π G
j ,
c
= 0,
=
3
∇ · DG = 4πρG ,
∇ · BG = 0 .
Bei Anwendungen der Maxwellgleichungen ist es oft aus rechentechnischen Gründen günstig, sich auf eine bestimmte Eichung festzulegen. Eine
bekannte Eichvorschrift ist die Lorentzeichung
∇A +
1 ∂
φ = 0,
c2m ∂t
(11)
p
wobei cm = 1/µ die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist. Diese Eichvorschrift führt für die Potentiale zu den Gleichungen,
1 ∂2
ρ
1 ∂2
2
2
∇ − 2
φ=− ,
A = −µj .
(12)
∇ − 2
cm ∂t2
cm ∂t2
Im Fall von verschwindender Ladungs- und Stromdichte sind dies Wellengleichungen für die Potentiale. Eine andere Eichvorschrift ist die Coulombeichung, ∇A = 0, bei der im quellenfreien Fall das Potential φ = 0 gesetzt
werden kann und somit ebenfalls zur Wellengleichung für A führt.
Für eine kovariante Schreibweise werden die Potentiale φ und A zu einem Vierervektor (A(0) , A(1) , A(2) , A(3) ) = (φ/c, A) zusammengefaßt. Die
Eichtransformationen nehmen dann die Form
A0(µ) = A(µ) − ∂ (µ) Λ ,
(13)
an. Bei mikroskopischen Betrachtungen ( r = µr = 1 erhält man unter Annahme der Lorentzeichung für die Wellengleichung die kompakte kovariante
Form,
∂ (ν) ∂(ν) Aµ = µ0 j µ
3
mit der Eichvorschrift
∂ µ Aµ = 0 .
(14)
Das Konzept von Eichfeldtheorien
Man kann dieses Konzept der Eichinvarianz physikalischer Größen in die
quantenmechanischen Beschreibung übertragen. Wir gehen dabei von der
Diracgleichung für ein freies Teilchen aus und betrachten die Wirkung der
Transformation
q
(15)
Ψ0 (x) = exp i Λ(x) Ψ(x) = Û (q)Ψ(x) ,
~
wobei Λ(x) analog zu den Eichtransformationen der klassischen Elektrodynamik eine beliebige stetige und differenzierbare skalare Funktion ist. Die
Größe q ist vorerst ein Parameter. Setzt man die transformierte Lösung in
die freie Dirac-Gleichung (3.59) ein, so erhält man
n h
i
o
q
γµ ∂ (µ) + i (∂ (µ) Λ) + iκ Ψ = 0 .
(16)
~
4
Verlangt man, daß die Diracgleichung unter der Transformation (15) invariant bleibt, so muß man einen Vierervektor i(q/~)A (µ) mit dem Transformationsverhalten (13) in die Diracgleichung einführen, welcher die zusätzlichen
Terme kompensiert. Man erhält damit die unter der Transformation (15)
invariante Form der Diracgleichung
o
n q
(17)
γµ ∂ (µ) + i A(µ) + iκ Ψ(x) = 0 .
~
Die Forderung der lokalen Invarianz der Diracgleichung unter der Transformation (15) hat zur Einführung eines Vierervektors geführt, welcher alle Eigenschaften der elektromagnetischen Potentiale erfüllt. Die Größe q
wird als elektrische Ladung interpretiert und vermittelt die Kopplung des
Dirac-Teilchens mit dem elektromagnetischen Feld. Die Transformationen
(15) werden als Eichtransformationen bezeichnet. Die Operatoren Û (q) sind
von x abhängige unimodulare Zahlen und bilden eine Gruppe, die sogenannte Eichgruppe U(1).
Formal ist die Eichinvarianz durch die Substitution der Ableitung ∂ (µ)
durch die kovariante Ableitung
q
D (µ) = ∂ (µ) + i A(µ)
~
(18)
zu erfüllen. Dies gilt sowohl für die Diracgleichung als auch für die Schrödingergleichung. Man bezeichnet dies auch als minimale Substitution. Die Diracgleichung (17) beschreibt die relativistische Bewegung eines Spin- 21 -Teilchens
mit der Ladung q in einem elektromagnetischen Feld.
4
Relativistische Korrekturen im Wasserstoffspektrum
Die relativistische Bewegung eines Elektrons (q = −e 0 ) im Feld eines Kernes
der Ladung Ze0 wird durch die Diracgleichung (17) mit dem Viererpotential
(A(0) = Zαf ~/(re0 ), A(1) = 0, A(2) = 0, A(3) = 0) beschrieben,
n
o
e0
γµ ∂ (µ) − i γ0 A0 + iκ Ψ(x) = 0 .
(19)
~
Die Annahme eines statischen Potential widerspricht allerdings dem Konzept
der speziellen Relativitätstheorie, da dadurch ein Bezugssystem ausgezeichnet wird. Trotzdem handelt es sich um eine sinnvolle Näherung, da der Kern
wesentlich schwerer ist als das Elektron und daher als statische Quelle des
Zentralpotentials angesehen werden kann. Es muß allerdings betont werden,
daß man bei der relativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms die Bewegung des Elektrons als ‘echtes’ Einteilchenproblem betrachtet, weil eine
Trennung in Schwerpunktsbewegung und Relativbewegung im Rahmem der
speziellen Relativitätstheorie (derzeit) nicht möglich ist.
5
Einsetzen der Definitionen (3.55) und (3.57) sowie die Verwendung der
Eigenschaften von α und β (3.29) liefert die Darstellung
Zαf ~c
∂
(e)
+ βm0 c2 Ψ(r, t) = i~ Ψ(r, t) .
(20)
c α·p −
r
∂t
Zerlegt man analog zu (3.35) den vierkomponentigen Spinor Ψ(r, t) in ein
Paar von zweikomponentigen Größen, so erhält man das Gleichungssystem
Zαf
1
2
ψA ,
(21)
σ·p ψB = − − −
~
r
Zαf
1
σ·p ψA =
2+ +
ψB ,
(22)
~
r
wobei wir die Größen
s
(e)
m0 c2 ± E
± =
(23)
~c
eingeführt haben. Analog zum nichtrelativistischen Fall ist es auch hier günstig, eine Separation von Radial- und Winkelanteil durchzuführen
ψA (r) =
f (r)
exp(−+ − r) Yj,m,`A ,
r
ψB (r) = i
g(r)
exp(−+ − r) Yj,m,`B .
r
Verwendet man die Identität
1
∂
σ·p = 2 (σ·r) −i~r
+ i σ·L
r
∂r
(24)
und die Eigenschaften
1
(σ·r)Yj,m,`=j+1/2 = −Yj,m,`=j−1/2 ,
r
1
(σ·r)Yj,m,`=j−1/2 = −Yj,m,`=j+1/2 ,
r
(25)
(26)
so erhält man aus (21) und (22) ein System von gekoppelten Radialgleichungen für die Funktionen f (r) und g(r),
!
j + 21
Zαf
df
− + − f + v
f
=
2+ +
g,
(27)
dr
r
r
!
j + 21
Zαf
dg
2
− + − g − v
g
=
− −
f.
(28)
dr
r
r
Bei gegebener Drehimpulsquantenzahl j gibt es zwei Fälle, die durch die
Vorzeichenfunktion v unterschieden werden
Fall 1:
v = +1 , `A = j + 21 , `B = j − 21 ,
(29)
Fall 2:
v = −1 , `A = j − 21 , `B = j + 21 .
(30)
6
Die Differentialgleichungen für f (r) und g(r) (27) und (28) können wieder
durch einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz gelöst werden
f (r) =
∞
X
ak r k+q ,
g(r) =
∞
X
bk r k+q .
(31)
k=0
k=0
Einsetzen der Reihe in das Differentialgleichungssystem (27) und (28) und
Vergleich der Koeffizienten der Terme mit r q−1 liefert die Bedingung für q,
q
2
q=
j + 12 − (Zαf )2
(32)
Für höhere Potenzen von r liefert der Koeffizientenvergleich die Rekursionsformeln
(k + 1 + q) + v(j + 21 ) ak+1 − Zαf bk+1 = + − ak + 2+ bk , (33)
Zαf ak+1 + (k + 1 + q) − v(j + 21 ) bk+1 = 2− ak + + − bk . (34)
Aus diesen Gleichungen läßt sich sofort ersehen, daß die Koeffizienten a k
und bk zueinander proportional sind
ak
bk
=
[(k + q) − v(j + 1/2)] + + Zαf −
[(k + q) + v(j + 1/2)] − − Zαf +
(35)
und auf die Rekursionsformel
ck =
ck+1 =
2+ − (k + q) − Zαf (2+ − 2− )
ck
(k + 1)(2q + k + 1)
(36)
zurückgeführt werden können.
Bei der Untersuchung der Reihenentwicklung (31) zeigt sich, daß die
Forderung einer quadratintegrablen Wellenfunktion nur durch den Abbruch
der Reihen (31) bei einem endlichen Wert k = n erfüllt werden kann. Dies
ist genau dann erfüllt, wenn der Zähler der Rekursionsformel (36) bei k = n
verschwindet, d.h.
2+ − (n + q) − Zαf (2+ − 2− ) = 0 .
(37)
Aus dieser Bedingung erhält man direkt die Feinstrukturformel
EN 0 =
(e)
m 0 c2
(
1+
Zαf
N0
2 )−1/2
,
(38)
wobei wir die effektive Hauptquantenzahl
0
N =n+q =n+
q
j+
1 2
2
7
(Zαf )2
− (Zαf ) ≈ N −
2j + 1
2
(39)
eingeführt haben. Die Größe N = n + j + 21 bezeichnen wir als die wahre
Hauptquantenzahl.
Die relativistische Behandlung des Wasserstoffatoms hat also zur Aufhebung der Entartung der Zustände bezüglich der Drehimpulsquantenzahl
j geführt. Bei gleicher Hauptquantenzahl N liegen Zustände mit kleinerem
j tiefer als Zustände mit großem j. Dies läßt sich auch erkennen, wenn man
EN 0 nach Potenzen von Zαf entwickelt,
(Zαf )2 (Zαf )4
1
3
(e) 2
+ ··· .
(40)
−
−
EN 0 = m 0 c 1 −
2N 2
2N 3
j + 1/2 4N
(e)
Der erste Term ist die Ruheenergie m 0 c2 , der zweite Term ist die Bindungsenergie des Bohrmodells und ab dem dritten Term haben wir die Auswirkungen der relativistischen Korrekturen, welche zumindest um einen Faktor
(Zαf )2 /N kleiner sind als die nichtrelativistischen Beiträge.
Die charakteristische Länge ergibt sich aus der Exponentialfunktion im
Separationsansatz (24)
exp (−+ − r) = exp(−r/2b) .
(41)
Für Zustände mit n = 0 ergibt sich
(e)
b = a∞
1+
m0
(nucl)
m0
!
N
.
2Z
(42)
Dieser Wert ist identisch mit jenem der Bohrtheorie.
5
Relativistische Korrekturterme
Die Diracgleichung in der Form (21,22) kann durch Einsetzen der zweiten
Gleichung in die erste auf eine partielle Differentialgleichung für die großen
Komponenten ψA umgeschrieben werden
−1
E − m0 c2 − V (r)
1
σ·p 1 +
σ·pψA = (E − mo c2 − V (r))ψA , (43)
2m0
2m0 c2
wobei ein allgemeines Potential V statt des Coulombpotentials eingesetzt
wurde. Unter der Annahme, daß = E − m 0 c2 sowie das Potential V klein
im Vergleich zur Ruheenergie sind, läßt sich die eckige Klammer in (43)
entwickeln. In erster Näherung erhält man für die linke Seite von (43)
− V (r)
1
σ·p
1−
+ · · · σ·p ψA
2m0
2m0 c2
(σ·p)(σ·p)
− V (r)
(σ·∇V )(σ·p)
=
1−
+
·
·
·
−
i~
ψA
(44)
.
2m0 c2
2m0
4m0 c2
8
Mit Hilfe der Identität
(σ·A)(σ·B) = A · B + iσ(A × B)
(45)
kann man (43) in eine effektive Schrödingergleichung mit Korrekturterme
umschreiben. Für ein radialsymmetrisches Potential V (r) ergibt sich
2
( − V )p2
~ 1 dV
p
1 1 dV
−
(r
·
p)
+
σ·(r
×
p)
ψA = ψA .
+
V
(r)
−
i~
2m0
4m20 c2
4m20 c2 r dr
4m20 c2 r dr
(46)
2
Im zweiten Term nähern wir − V mit p /(2m0 ). Der vierte Term auf der
linken Seite ist nicht hermitesch, da die großen Komponenten für sich allein
im Prinzip keine geschlossene Schrödingergleichung ergeben. Nach Darwin
ist es daher sinnvoll einen hermiteschen Mittelwert zu bilden
1 dV
1
1 dV
~2
i~(p
·
r)
∇2 V (r) . (47)
HD =
−
i~
(r
·
p)
=
2
2
2
2
r dr
r dr
8m0 c
8m0 c
Damit ergibt sich eine effektive Schrödingergleichung für die großen Komponenten [relativistische Korrekturen bis zur ersten Ordnung in p 2 /(m0 c2 )]
2
p2 p2
p
(48)
+ V (r) + HLS + HD ψA = ψA .
−
2m0 8m30 c2
Neben dem Darwin-Term enthält der effektive (nichtrelativistische) Hamiltonoperator (48) eine Spin-Bahn-Kopplung
HLS =
1 1 dV
L·S
2m20 c2 r dr
(49)
und eine Korrektur der kinetischen Energie, die den Impuls zur vierten
Potenz enthält. Die Aufhebung der Entartung bezüglich der Drehimpulsquantenzahl j ist eine direkte Konsequenz des Spin-Bahn-Terms, welcher in
der Atom- aber vor allem in der Kernphysik eine wichtige Rolle spielt. Der
Spin-Bahn-Term wird nur bei ` > 0 wirksam. Der Darwin-Term nimmt für
das Punkt-Coulomb-Potential die Form einer Kontaktwechselwirkung an,
HD ∝ δ(r), sodaß er nur bei ` = 0 in Erscheinung treten kann.
9