Skript zu Theoretische Teilchenphysik I

Skript zu Theoretische Teilchenphysik I
Prof. Dr. Johann Kühn
Vorlesung Sommersemester 2004
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 26. April 2008
Skript der Vorlesung Theoretische Teilchenphysik I
von Herrn Prof. Dr. Johann Kühn
getext von Philipp Otter, Tobias Ulbricht und Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected],
[email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Feldgleichungen, Lagrangedichten, Symmetrien
1.1 Übergang vom diskreten zum kontinuierlichen System . . . .
1.2 Lagrange-Formalismusund Hamiltonsches Prinzip . . . . .
1.2.1 Erinnnerung: Punktmechanik . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Übergang zu relativistischer Schreibweise . . . . . . .
1.3 Symmetrien, Ströme, Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Innere Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 spezielle äußere Symmetrie: Translation . . . . . . . .
1.5 Einschub: Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 O(n) = orthogonale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 SU(n) = spezielle unitäre Gruppe . . . . . . . . . . . .
1.5.3 U(1) = reine Phasentransformation . . . . . . . . . . .
1.5.4 Beispiele für innere Symmetrienund erhaltene Ströme
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2 Quantisierung des skalaren Feldes
2.1 Erinnerung an Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Quantenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Dirac-Gleichung in quantisierter Form und Fermi-Statistik
3.1 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Algebra der Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Spin 1 Felder
4.1 Massives Vektorfeld . . . . . . . . . .
4.2 Photon-Felder (m2 = 0) . . . . . . . .
4.2.1 Lagrange Formalismus . . . .
4.2.2 Quantisierung im Impulsraum .
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5 Wechselwirkung, Störungstheorie
5.1 Störungstheoriefür zeitabhängige Probleme(Erinnerung
5.2 Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Berechnung der Elektron-Elektron-Streuung . . . . . .
5.3.1 Einschub: Wicksches Theorem . . . . . . . . .
5.3.2 Einschub: Zweipunkt-Funktionen (m 6= 0) . . .
5.3.3 Elektron-Elektron-Streuung . . . . . . . . . . .
5.3.4 Bhabba-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Erweiterung der Theorie auf Myonen . . . . . . . . . .
5.5 Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an
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Quantenmechanik II)
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6 Von der Amplitude zum Wirkungsquerschnitt
6.1 Phasenraum, Flussfaktor . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Quadrat der Amplitude, Summation über Spins .
6.2.1 Zwischenrechnung: Spin-Summen . . . . .
6.2.2 Berechnung des Quadrats der Amplitude
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3
INHALTSVERZEICHNIS
7 Schleifen-Diagramme
7.1 Beispiel: φ4 -Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Divergenz-Verhalten, qualitative Anmerkungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Regularisierung und Renormierung
51
9 Strahlungskorrekturen/ Quantenkorrekturen in der Quantenelektrodynamik
53
9.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Berechnung und Interpretation der Vakuum-Polarisation“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
”
9.2.1 Interpretation: Ladungsrenormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2.2 Bedeutung des Imaginärteils der Vakuum-Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.2.3 Renormierung der äußeren Photonlinien (Interpretation der Wellenfunktionsrenormierung) 58
9.3 Selbstmasse des Elektrons/Der Elektron-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.3.1 Renormierung der Elektronenmasse und des Elektron-Propagators . . . . . . . . . . . . 58
9.3.2 Vertexkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Renormierung allgemein
10.1 UV-Divergenzen per Abzählung (Power Counting)
10.1.1 Übergang zu d Dimensionen . . . . . . . . .
10.1.2 Beispiel: Skalare φn -Theorie . . . . . . . . .
10.1.3 Alternative Betrachtung zu Power-Counting
10.2 Renormierte Störungstheorie . . . . . . . . . . . .
10.3 Ein-Schleifen-Näherung . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 QED: Renormierte Störungstheorie . . . . . . . . .
10.5 QED in Ein-Schleifen-Näherung . . . . . . . . . . .
10.6 Renormierung in höheren Ordnungen . . . . . . . .
10.6.1 Überlappende Divergenz . . . . . . . . . . .
10.7 φ4 in zwei Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Das Standardmodell
11.1 Yang-Mills-Theorien (nicht-abelsche Eichtheorie) und spontane Symmetriebrechung
11.1.1 Goldstone-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Lokale Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Lokale abelsche Symmetrien, Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Higgs-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Beispiel aus der Festkörperphysik: Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Abelsche Eichtheorien (lokal eichinvariant!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Nicht-Abelsche Eichgruppen/Einschub über Lie-Gruppen . . . . . . . . . . .
11.3.4 Nichtabelsche Eichfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.5 Spezialisierung auf SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.6 Spontane Brechung der lokalen SU(2)-Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung
12.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Massenverhältnisse der Eichbosonen, Mischungswinkel“ . . . . .
”
12.3 Kopplungen der neutralen Eichbosonen an Ladung und Isospin . . . . .
12.4 MW , v und Fermi-Kopplung GF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Allgemeine Diskussion für beliebige Darstellung des Higgsfeldes
12.5 Elektron-Masse und Higgs-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Vektor- und Axial-Kopplungen des Z0 an Fermionen . . . . . . . . . . .
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4
Kapitel 1
Feldgleichungen, Lagrangedichten,
Symmetrien
1.1
Übergang vom diskreten zum kontinuierlichen System
Der Übergang vom diskreten zum kontinuierlichen System soll hier am Beispiel eines unendlich langen elastischen Stabes vollzogen werden.
Im diskreten Modell stellen wir uns den Stab aus Massenpunkten, die durch Federn miteinander verbunden sind,
bestehend vor. Sei a der mittlere Abstand zweier Massenpunkte, ηi die Auslenkung des i-ten Massenpunktes
aus der Ruhelage, k die Federkonstante und m die Masse eine Massenpunktes.
Die Kinetische Energie ist dann
T =
X1
i
2
mη˙i 2
(1.1)
Die Potentielle Energie ist
X1
V =
k(ηi+1 − ηi )2
2
i
(1.2)
Die Bewegungsgleichung für den i-ten Massenpunkt lautet
mη̈i = −
∂V
= k(ηi+1 − ηi ) − k(ηi − ηi−1 )
∂ηi
(1.3)
Die Lagrange Funktion des Systems lautet
"
µ
¶2 #
1X
m 2
ηi+1 − ηi
a
L=T −V =
η˙i − ka
2 i
a
a
Daraus ergeben sich die Bewegungsgleichungen
³
´
 ³ η −η ´
ηi −ηi−1
i+1
i
+
ka
a
a
m
=0
η¨i − ka 
a
a
(1.4)
(1.5)
Der Übergang zum Kontinuum sieht wie folgt aus:
1. Übergang vom diskreten Index i zu einem kontinuierlichen Index x
2. Einführung der Massendichte:
m
a
→µ
3. Die Ausdehnung eines Stabes pro Längeneinheit ξ ist proportional zur Kraft.
ξY = F
(1.6)
Die Materialkonstante Y wird als Youngscher Modul bezeichnet. In unserem Fall ist
ηi+1 − ηi
F = ka
a
ka ist der Youngsche Modul,
ηi+1 −ηi
a
(1.7)
ist die Ausdehnung pro Längeneinheit.
5
Kapitel 1. Feldgleichungen, Lagrangedichten, Symmetrien
Statt des Index i wird nun x, die Lage im Ruhezustand, verwendet. Statt der ηi hat man η(x) als Funktion
des Ortes. Damit gilt
ηi+1 − ηi
η(x + a) − η(x)
∂η(x + a)
∂η(x)
=
→
≈
a
a
∂x
∂x
(1.8)
Nun ersetzt man noch die Summe über i durch ein Integral über
kontinuierlichen Systems
Ã
µ
¶2 !
Z
1
∂η
L=
µη̇ 2 (t, x) − Y
(t, x)
dx
2
∂x
dx
a
und erhält als Lagrangefunktion des
(1.9)
Den Integranden bezeichnet man als Lagrangedichte L. Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus (1.5)
·
¸
1 ∂η(t, x + a) ∂η(t, x)
µη̈(t, x) − Y lim
−
a→0 a
∂x
∂x
(1.10)
2
∂ η(t, x)
= µη̈(t, x) − Y
=
0
∂x2
ist also eine Wellengleichung. Als allgemeines Prinzip gilt: nicht x ist kanonische Variable, sondern η(x). Die
Bewegungsgleichungen sind partielle Differentialgleichungen. Für dreidimensionale Systeme ist
Z
L = Ldxdydz
(1.11)
Der Integrand L, die Lagrangedichte, ist eine Funktion von η,
p = ∂L
∂ q̇ , hier also
∂η
∂t
und
∂η
∂x .
Der kanonische Impuls ist allgemein
∂L
∂ ∂η
∂t
(1.12)
1.2
Lagrange-Formalismus
und Hamiltonsches Prinzip
1.2.1
Erinnnerung: Punktmechanik
Zt2
Hamiltonsches Prinzip: S =
L(qi , q˙i , t)dt soll minimiert werden, wobei qi (t1 ) und qi (t2 ) festliegen.
t1
0 = δS
Zt2
=
dt
i
t1
Zt2
=
dt
t1
X µ ∂L
∂qi
X µ ∂L
i
∂qi
+
−
∂L
δ q˙i
∂ q˙i
d ∂L
dt ∂ q˙i
¶
(1.13)
¶
δqi
Bei der partiellen Integration verschwindet das Randglied:
µ
¶
∂L
δq(t)
=0
∂ q̇
t1,2
(1.14)
Durch unabhängige Variation der δqi folgt die Euler-Lagrange-Gleichung
d ∂L
∂L
−
=0
∂qi
dt ∂ q˙i
∂L
∂qi
ist die verallgemeinerte Kraft,
(1.15)
∂L
∂ q˙i
der verallgemeinerte Impuls (wichtig für die Quantisierung!).
6
1.2. Lagrange-Formalismus
und Hamiltonsches Prinzip
1.2.2
Felder
Lagrange Dichte:
L(η,
∂η
, ∇η, t, ~x)
∂t
(1.16)
Anwendung des Hamiltonschen Prinzips: die Wirkung
Zt2
Z
S[η] =
dt
d~xL
(1.17)
t1
sei stationär, d.h.
Zt2
0 = δS =
Ã
Z
dt
d~x
t1
!
∂L ∂η
∂L
∂L
δη + ∂η δ
+
δ(∇η)
∂η
∂∇η
∂ ∂t ∂t
(1.18)
Dieser Term wird partiell integriert bezüglich t und ~x. Dabei fallen die Randterme weg, wenn δη(t1,2 ) = 0 und
lim|~x|→∞ η = 0.
Zt2
⇒0=
Ã
Z
dt
d~x
t1
∂L
d ∂L
∂L
δη −
δη − ∇ ·
δη
∂η
dt ∂ ∂η
∂∇η
∂t
!
(1.19)
Wieder folgt die Euler-Lagrange-Gleichung:
∂L
∂L
d ∂L
−∇·
−
=0
∂η
∂η
dt ∂ ∂t
∂∇η
(1.20)
Im Beispiel des Stabes ist
Ã
µ
¶2 !
1
∂L
2
L=
µη̇ − Y
2
∂x
∂L
=0
∂η
∂L
∂η
=µ
∂t
∂ ∂η
∂t
∂L
∂η
= −Y
∂∇η
∂x
Also ist die Euler-Lagrange-Gleichung für dieses Beispiel (in Übereinstimmung mit 1.1)
µ
¶
d ∂η
d
∂η
− µ
−
−Y
=0
dt ∂t
dx
∂x
(1.21)
(1.22)
eine lineare partielle Differentialgleichung.
1.2.3
Übergang zu relativistischer Schreibweise
Sei
d
∂µ ≡
dxµZ
Z
dx ≡ dtdxdydz
(1.23)
Z
dx ist Lorentz-invariant (die Zeitdilatation kompensiert die Lorentzkontraktion).
Felder Φi sind Auslenkungen in einem noch zu bestimmenden Raum (z.B. elektrische oder magnetische Felder)
L hängt ab von diesen Feldern und ihren Ableitungen:
L(Φi , ∂µ Φi )
(1.24)
7
Kapitel 1. Feldgleichungen, Lagrangedichten, Symmetrien
Falls L Lorentz-invariant ist, sind die Feldgleichungen kovariant. H , Energie ist hingegen nicht Lorentzinvariant. Die Euler-Lagrange Gleichungen lauten
∂L
∂L
− ∂µ
=0
∂Φj
∂(∂µ Φj )
Zu Φj gehört der kanonische Impuls
(1.25)
∂L
∂(∂0 Φj ) .
Beispiele:
1. reelles skalares Feld ohne Wechselwirkung
L(Φ, ∂µ Φ) =
1 µ
1
(∂ Φ∂µ Φ) − m2 Φ2
2
2
∂L
= −m2 Φ
∂Φ
∂L
= ∂µΦ
∂(∂µ Φ)
(1.26)
Die Bewegungsgleichung, die Klein-Gordon-Gleichung
∂µ ∂ µ Φ + m 2 Φ = 0
(1.27)
beschreibt die Ausbreitung eines wechselwirkungsfreien neutralen Teilchens.
2. komplexes skalares Feld
L(Φ, Φ∗ , ∂µ Φ, ∂µ Φ∗ ) = ∂µ Φ∗ ∂ µ Φ − m2 Φ∗ Φ
(1.28)
Φ und Φ∗ können formal unabhängig voneinander variiert werden.
∂L
= −m2 Φ
∂Φ∗
∂L
= ∂µΦ
∂∂µ Φ∗
⇒∂µ ∂ µ Φ + m2 Φ = 0
∂µ ∂ µ Φ∗ + m2 Φ∗ = 0
(1.29)
(1.30)
3. Dirac-Feld
Hier ist
L(ψ, ψ̄) = ψ̄(i∂/ − m)ψ
(1.31)
wobei
a/ := aµ γµ = aµ γ µ
d
∂/ := γ µ µ = γ µ ∂µ
dx
(1.32)
Es ist
∂L
= (i∂/ − m)ψ
∂ ψ̄
∂L
=0
∂(∂µ ψ̄)
(1.33)
⇒ (i∂/ − m)ψ = 0
(1.34)
Übung: zeige, dass Variation bezüglich ψ die Gleichung für ψ̄ liefert, die auch unmittelbar durch komplexe
Konjugation aus 1.34 folgt.
8
1.3. Symmetrien, Ströme, Ladungen
1.3
Symmetrien, Ströme, Ladungen
1.3.1
Vorbemerkungen
Symmetrien −→ Klassifikation von Lösungen
• Gewinnung einer Mannigfaltigkeit von Lösungen aus einer vorgegebenen Lösung. (Beispiel: Translation,
Drehung)
• Quantenmechanik: Symmetrien → Entartung im Spektrum
• innere Symmetrien – zeigen sich ebenfalls meistens im Spektrum. (Analogie zum Spin)
Spin 12 : 2 Zustände, energetisch entartet, Brechung der Drehsymmetrie durch äußeres Magnetfeld: Entartung
wird aufgehoben. Isospin (Heisenberg):
Proton
Neutron
Pion
Kaon
mp = 938, 3 M eV
mn = 939, 6 M eV
mπ− = mπ+ = 139, 6 M eV
mπ0 = 135, 0 M eV
m(K+ ), m(K− ) = 493, 6 M eV
m(K0 ), m(K̄0 ) = 493, 6 M eV
(1.35)
Zusammenhang durch “Drehung” im inneren Symmetrieraum.
µ
¶ µ + ¶
p
K
• Isospin 12 :
;
Doubletts
n
K0
√  


π1
(π + + π − )/ √2
~ =  (π + − π − )/i 2  =  π2 
• Isospin 1: Π
π3
π0
Matrixelemente sind korreliert:
Symmetrien −→ Erhaltungssätze
1. “erhaltene” Ladungen:
Z
Q(t) = ρ(~x, t)d~x ;
d
Q(t) = 0
dt
(1.36)
R3
2. “erhaltene” Viererströme:
∂ µ jµ =
d
~ ~j(~x, t) = 0
ρ(~x, t) − ∇
dt
µ
mit jµ =
ρ
~j
¶
i.) und ii.) sind beinhalten physikalisch die gleiche Aussage, wobei i.) global und ii.) lokal gilt.
Z
Z
d
~ · ~j(~x, t)d~x
ρ(~x, t)d~x = ∇
Gaußscher Integralsatz
dt
R3
R3
Z
=
dF~ · ~j = 0
(1.37)
(1.38)
Oberfläche im ∞
wenn ~j für große Abstände abfällt.
9
Kapitel 1. Feldgleichungen, Lagrangedichten, Symmetrien
Quantenmechanisch:
Erhaltene Ladung: [H, Q] = 0
Erzeugende einer Symmetrietransformation: U = exp(iφQ)
Umkehrung:
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie gehört ein erhaltener Strom → Noether-Theorem.
Achtung:
Strom hat hier sehr verallgemeinerte Bedeutung.
Beispiel: Energie-Impuls-Tensor Tµν .
∂µ Tνµ = 0
(1.39)
R
⇒ 4 “Ladungen” : Pµ = Tµ0 d~x
Lösungen können nach ihrer “Ladung” klassifiziert werden. Neben den kontinuierlichen Symmetrien gibt es
zusätzlich diskrete Symmetrien, wie Paritätsspiegelung P, Ladungskonjugation C und Zeitumkehr T.
1.3.2
Noether-Theorem
• zu einer kontinuierlichen Symmetrie gehört ein erhaltener Strom
Betrachte die infinitesimale Transformation
xµ → x0µ = xµ + δxµ
φj (x) → φ0j (x0 ) = φj (x) + δφj (x)
(1.40)
Außerdem gelte die zusätzliche Annahme, dass L(x)dx unter dieser Transformation invariant ist, d.h.
L(x0 , φ0j (x0 ), ∂µ0 φ0j (x0 ))dx0 = L(x, φj (x), ∂µ φj (x))dx
(1.41)
Ferner sei B ein 4-dimensionaler Bereich des Minkowski-Raumes, ∂B sein Rand, eine 3-dimensionale Hyperfläche.
1
²λµνρ dxµ dxν dxρ .
Zur Erinnerung: in 3 Dimensionen steht dF~ in Richtung der Flächennormalen, hier ist dσµ = 3!
Dieser Vektor steht senkrecht auf allen 3 Vektoren, welche die Fläche aufspannen und ist proportional zum
Volumen. Dann besagt das Noether-Theorem
¶
Z µ
∂L
−
δφj + Tµλ δxµ dσλ = 0
(1.42)
∂(∂λ φj )
∂B
wobei
Tµλ ≡
∂L
∂µ φj − gµλ L
∂(∂λ φj )
(1.43)
Dies ist der kanonische Energie-Impuls-Tensor.
10
1.4. Spezialfälle
1.4
1.4.1
Spezialfälle
Innere Symmetrie
(relevant für ein n-Tupel von Feldern φi )


φ1


φ =  ... 
(1.44)
φn
L sei invariant unter den infinitesimalen Transformationen
φ → φ0 = φ + δφ
(Index i unterdrückt)
(1.45)
Dann folgt:
0 = δL(φ, ∂µ φ) = L(φ + δφ, ∂µ φ + δ∂µ φ) − L(φ, ∂µ φ)
∂L
∂L
=
δφ +
δ∂µ φ
∂φ
∂(∂µ φ)
|{z}
Euler−
Lagrange−
Glg.
µ
¶
∂L
∂L
= ∂µ
δφ +
(∂µ δφ)
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ)
µ
¶
∂L
= ∂µ
δφ
∂(∂µ φ)
1.4.2
(1.46)
spezielle äußere Symmetrie: Translation
Betrachte infinitesimales a, und transformiere
x → x0 = x + a
φ → φ0 = φ(x + a)
(1.47)
L sei invariant, d.h.
L → L0 = L(φ0 , ∂µ0 φ0 ) (keine explizite Ortsabhängigkeit)
(1.48)
Einerseits gilt:
δL = aµ ∂µ L
(Taylor-Entwicklung)
(1.49)
andererseits gilt
δφ = aν ∂ν φ(x),
δ∂µ φ(x) = aν ∂µ ∂ν φ(x)
(1.50)
11
Kapitel 1. Feldgleichungen, Lagrangedichten, Symmetrien
also
µ
¶
∂L
∂L
(aν ∂ν φ(x)) +
(aν ∂ν ∂µ φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
| {z }
δL =
Euler−
Lagrange−
Glg.
µ
¶
∂L
∂L
= ∂µ
(aν ∂ν φ(x)) +
(aν ∂ν ∂µ φ)
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ)
¶
µ
∂L
ν
= ∂µ
a ∂ν Φ
∂(∂µ Φ)
Und zusammengenommen:
µ
¶
∂L
ν
0 = ∂µ
a ∂ν φ − aµ ∂µ L
∂(∂µ φ)
µ
¶
∂L
ν
µ
0 = ∂µ
a ∂ν φ − a L
∂(∂µ φ)
¶
µ
∂L
0 = ∂µ a ν
∂ ν φ − g µν L
∂(∂µ φ)
(1.51)
(1.52)
Daraus folgen dann
∂µ T µν = 0,
mit T µν =
∂L
∂ ν φ − g µν L
∂(∂µ φ)
(1.53)
vier erhaltene “Ströme”.
1.5
Einschub: Gruppentheorie
Beispiele für häufig vorkommende innere Symmetrien.
1.5.1
O(n) = orthogonale Gruppe
Eine mögliche Darstellung dieser Gruppe sind die orthogonalen Matrizen mit der Dimension n. Meistens
beschränkt man sich auf SO(n), d.h. man fordert zusätzlich Determinante 1, was Spiegelungen ausschliesst.
Physikalisch bedeuted dies eine Drehung im n-dimensionalen Raum.
n
1
2
3
n
Zahl der Generatoren
1
1
3
(Identität)
(Drehwinkel)
(Eulerwinkel)
(1.54)
n(n−1)
2
Beispiel


φ1
. 
~ = 
~ µ φ,
~ φ
~ · φ)
~ ist
φ
 ..  sei ein reelles Tupel von n Feldern, D sei eine orthogonale Matrix. L = L(∂µ φ∂
φn
invariant unter
~ → φ0 = D φ
~
φ
(evident wg. DT D = 1)
(1.55)
~ transformiert sich unter der fundamentalen Darstellung. Tensoren können aus φ
~ aufgebaut werden (Beispiel
φ
Tij = Φi Ψj ). Infinitesimale Transformation in 2 Dimensionen:
µ
¶ µ
¶ µ
¶
cos φ sin φ
1 0
0 φ
=
+
+ O(φ2 )
− sin φ cos φ
0 1
−φ 0
µ
¶
(1.56)
0 −i
2
= 1 + iφ
+ O(φ )
i 0
12
1.5. Einschub: Gruppentheorie
Allgemeine Drehung in n Dimensionen, und zwar aus der l- in die m-Richtung:
(1)jk + i (Klm )jk
(1.57)
mit
(Klm )jk = −i (δmj δlk − δmk δlj )
1.5.2
(1.58)
SU(n) = spezielle unitäre Gruppe
Eine Darstellung sind unitäre Matrizen U mit Dimension n und det U = +1. Anzahl der Generatoren ist n2 −1.
Betrachte die infinitesimale Transformation
U = 1 + i²a T a
(1.59)
Nun gilt:
U unitär →
det U = 1 →
)
T a hermitesch
Spur (T a ) = 0
Warum?
Es gibt n2 − 1 linear unabhängige T a !
Beispiel


φ1


φ =  ...  sei ein komplexes Tupel von n Feldern, U sei eine unitäre Matrix. L = L(∂µ φ+ ∂ µ φ, φ+ φ) ist
φn
invariant unter
~→φ
~0 = U φ
~
φ
(evident wg. U + U = 1)
(1.60)
~ transformiert sich unter der fundamentalen Darstellung. Bekanntestes Beispiel: SU(2) = Isospin. Aus Isospin
φ
= 12 (Doublet) können höhere Darstellungen aufgebaut werden wie beim Spin.
1.5.3
U(1) = reine Phasentransformation
Diese Gruppe ist isomorph zu O(2).
Es lassen sich zusammensetzen:
SU(3)×
QCD
1.5.4
SU(2) × U(1) :
elektrom. + schwache WW
Teilchenphysik
(1.61)
Beispiele für innere Symmetrien
und erhaltene Ströme
Komplexes skalares Feld
φ sei ein komplexes skalares Feld, also jetzt kein Multiplett, aber doch zwei unabhängige Felder. Die Lagrangedichte sei
L = (∂µ φ)? ∂ µ φ − m2 φ? φ −
λ ? 2
(φ φ)
2
(1.62)
Höhere Potenzen in Φ? Φ führen zu Problemen in der quantisierten Theorie (→ später). φ? und φ sind unabhängig von einander zu variieren.
0=
∂L
∂L
− ∂µ
∂φ?
∂∂µ φ?
= −m2 φ − λ(φ? φ)φ − ∂µ ∂ µ φ
(1.63)
⇒ (¤ + m2 )φ = −λ(φ? φ)φ
13
Kapitel 1. Feldgleichungen, Lagrangedichten, Symmetrien
Das ist für λ = 0 die Klein-Gordon-Gleichung. Betrachte die Symmetrietransformation:
0
φ → φ0 = exp(iα)φ
δφ = iαφ
φ? → φ? = exp(−iα)φ?
δφ? = −iαφ?
(1.64)
Wegen
¶
X µ ∂L
δφ = 0
∂µ
∂∂µ φi
i
(1.65)
gilt
∂µ [(∂ µ φ)(−iαφ? ) + (∂ µ φ? )(iαφ)] = 0
(1.66)
also
∂µ j µ = 0
(1.67)
mit
jµ =
1 ? µ
(φ ∂ φ − φ∂ µ φ? )
i
(1.68)
Diracfelder
ψi seien n Diracfelder (i = 1, . . . , n). Die Lagrangedichte sei
L(ψ, ψ) = ψ j (i∂/ − m)ψj
(1.69)
wobei über j summiert wird und der Feynmandagger ∂/ = γ µ ∂µ ist. Aus den Lagrangegleichungen folgen
∂L
∂L
− ∂µ
= (i∂/ − m)ψj
(Diracgleichung für n Felder)
∂ψ j
∂(∂µ ψ j )
←
−
∂L
∂L
0=
− ∂µ
= −ψ j m − ∂ µ ψ j iγµ = −ψ j (i ∂/ + m)
∂ψj
∂(∂µ ψj )
0=
(1.70)
Die dazugehörige Symmetrie ist SU(n) ⊗ U(1), d.h. L ist invariant unter
ψj → ψj0 = Ujk ψk
(det U = 1; U + U = 1)
(1.71)
sowie unter
ψj → ψj0 = exp(iα)ψj
(1.72)
Infinitesimal lauten diese Transformationen
U ≈ (1 + i²a Ta )
exp(iα) ≈ 1 + iα
(1.73)
Aus den Bedingungen an U folgt wieder, dass T hermitesch und spurlos ist.
⇒ δψ = i²a Ta ψ
δψ = −iψ²a Ta
δψ = iαψ
δψ = −iαψ
Der Strom folgt aus
Ã
!
∂L
∂L
δψ j +
0 = ∂µ
δψj
∂(∂µ ψj )
∂(∂µ ψ j )
¡
¢
a
= ∂µ 0 + ψ j iγ µ i²a Tjk
ψk
(SU(n))
(U(1))
(1.74)
a
= −²a ∂µ (ψ j γ µ Tjk
ψk )
und damit
a
SU(n) jµa = ψ j γµ Tjk
ψk
U(1)
jµ = ψ j γµ ψj
(n2 − 1) Ströme
ein Strom
14
1.5. Einschub: Gruppentheorie
Beispiel für den Energie-Impuls-Tensor
Es sei
L=
1
1
1
∂µ φ∂ µ φ − m2 φ2 − λφ4
2
| 2
{z 4 }
(1.75)
≡−V (φ)
Dann ergibt sich aus
∂L
= −m2 φ − λφ3
∂φ
∂L
= ∂µφ
∂(∂µ φ)
die Euler-Lagrange-Gleichung zu
¤φ + m2 φ + λφ3 = 0
(1.76)
Der Energie-Impuls-Tensor war gegeben durch (s. Gl. (1.43))
T µν =
∂L
∂ ν φ − g µν L
∂(∂µ φ)
(1.77)
Mit obiger Lagrangedichte wird dieser zu
1
T µν = ∂ µ φ∂ ν φ − g µν ∂λ φ∂ λ φ + g µν V (φ)
2
(1.78)
Nachweis, dass ∂µ T µν = 0
∂µ T µν = ¤φ∂ ν φ + ∂ µ φ∂µ ∂ ν φ − ∂λ ∂ ν φ∂ λ φ + ∂ ν V (φ)
∂V ν
∂ φ
= ¤φ∂ ν φ +
∂φ
=0
(1.79)
unter Verwendung der Feldgleichungen. Anmerkungen:
• Verweis auf elektromagnetisches Feld: Energie-Dichte, Poynting Vektor, Spannungs-Tensor!
• andere äußere Symmetrien:
Drehungen im Minkowski-Raum entsprechen LorentzTransformationen.
• Skalentransformation: Es sei m = 0. Unter der Transformation
xµ → x0µ = (1 + δ)xµ
φ → φ0 = (1 + δ)−1 φ
(1.80)
bleibt L ungeändert. Berechne den zugehörigen Strom aus Gl. (1.42)!
15
Kapitel 1. Feldgleichungen, Lagrangedichten, Symmetrien
16
Kapitel 2
Quantisierung des skalaren Feldes
Die Elektrodynamik beschäftigt sich mit klassischen Feldern, die die Maxwell-Gleichungen erfüllen. Andererseits wissen wir, dass die Maxwell-Gleichungen die Ausbreitung der Photonen in der quantisierten Theorie
beschreiben. Wie hängen diese beiden Aspekte zusammen?
2.1
Erinnerung an Quantenmechanik
Im Schrödingerbild sind die Zustandsvektoren |ti zeitabhängig, wobei die Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung
i
∂
|ti = H |ti
∂t
(2.1)
gegeben ist. hx|ti = ψ(x, t) charakterisiert einen Einteilchen-Zustand mit Wellenfunktion ψ(x, t) in der Ortsdarstellung. Die Zustände sind normiert:
Z
ht|ti = dx ht|xi hx|ti
Z
(2.2)
2
= dx |ψ(x, t)|
=1
Die Messgrößen (Observablen) werden im Schrödingerbild durch Operatoren dargestellt. Der Erwartungswert eines Operators O im Zustand |ti ist gegeben durch das Matrixelement ht| O |ti. Der Erwartungswert des
Ortsoperators X berechnet sich zum Beispiel aus
x(t) = ht| X |ti
Z
= dyψ ? (y, t)yψ(y, t)
(2.3)
Die Messgrößen können auch explizit vom Ort abhängen. Z.B. ist der Operator für die Ladungsdichte am
Punkt ~a für ein Teilchen der Ladung e ρ(~a) = eδ(~x − ~a). Sein Erwartungswert ist
Z
ht| ρ(~a) |ti = e d~y ψ ? (~y , t)δ(~y − ~a)ψ(~y , t)
(2.4)
2
= e |ψ(~a, t)|
Die Matrixelemente von ρ(~a) sind dann Funktionen des Ortes.
Übergang zum Heisenbergbild:
AH := exp(iHt)A exp(−iHt)
|tiH := exp(iHt) |ti
(2.5)
Die Matrix-Elemente bleiben hierbei unverändert:
H
ht| AH |tiH = ht| A |ti
(2.6)
17
Kapitel 2. Quantisierung des skalaren Feldes
Die Zeitabhängigkeit wird auf die Operatoren umgewälzt:
µ
¶
d
∂
AH (t) = i [H, AH (t)] +
A
dt
∂t
H
(2.7)
Für eine orts- und zeitabhängige Observable gilt im Heisenbergbild
d
A(~x, t) = i [H, A(~x, t)]
dt
£
¤
d
A(~x, t) = i P j , A(~x, t)
j
dx
(2.8)
Ort und Zeit werden also im Heisenbergbild gleichbehandelt.
2.2
Quantenfelder
~ x), B(~
~ x) sind Felder (Funktion des Ortes). Felder sind Observable, die vermutlich nicht
Elektrodynamik: E(~
~ durch eine Probeladung am Ort ~x durch
alle gleichzeitig messbar sind (z.B. induziert eine Messung von E
~
Bewegung der Probeladung ein B-Feld), nichttriviale Vertauschungsrelationen sind also zu erwarten. Zustände,
die einer vorgegebenen Feldkonfiguration entsprechen, bestehen i.A. aus einer Überlagerung von Zuständen
mit verschiedener Teilchenzahl. Eine praktische Fragestellung ist z.B., welcher Teilchen-Inhalt für t → ∞
bei gegebenem Teilchen-Inhalt für t → −∞ zu erwarten ist. Wir wollen zunächst ein reelles skalares Feld
betrachten. Das klassische Feld erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung
¡
¢
¤ + m2 ϕ(x) = 0
(2.9)
wobei x = xµ , µ = 0, 1, 2, 3 ist. Spezielle Lösungen
dieser Gleichungen sind ebene Wellen der Form exp(ikx)
p
2
2
2
~
oder exp(−ikx)f mit k = m , also k0 = ± m + k 2 =: ±ω(~k):
Es gilt ¤ exp(ikx) = −k 2 exp(ikx). Die allgemeine Lösung erhält man als Linearkombination:
Z
ϕ(x) =
´
d~k 1 ³
? ~
~k)
exp(ikx)α
(
k)
+
exp(−ikx)α(
(2π)3 2ωk
Der Faktor
1
(2π)3 2ωk
ist Konvention. Beachte, dass d4 kδ(k 2 − m2 )Θ(k0 ) =
(2.10)
d~
k
2ωk
lorentzinvariant ist.
Übergang zum quantisierten Feld
Der klassischen Messgrösse ϕ(x) wird der Erwartungswert eines Operators φ(x) zugeordnet:
ϕ(x) = hZustand| φ(x) |Zustandi
(2.11)
Bezüglich φ machen wir zwei Annahmen:
• Annahme I: φ sei hermitesch, φ = φ† . Daraus folgt dann, dass ϕ reell ist. Ferner gelte
¡
¢
¤ + m2 φ(x) = 0
Daraus folgt
¢
¡
¤ + m2 ϕ(x) = 0
(2.12)
(2.13)
• Annahme II: Wirkung der Erzeugenden der Translation Pµ
∂µ φ(x) = i [Pµ , φ(x)]
Heisenberg Gleichung
(2.14)
Pµ muss noch explizit angegeben werden.
Unser Ziel ist es, eine Beschreibung von Teilchen mittels φ zu finden. Jede Lösung der Klein-GordonGleichung kann als Überlagerung von ebenen Wellen in der Form (2.10) angegeben werden. Die FourierKoeffizienten sind dann Operatoren.
Z
´
d~k 1 ³
† ~
~k)
φ(x) =
exp(ikx)a
(
k)
+
exp(−ikx)a(
(2.15)
(2π)3 2ωk
18
2.2. Quantenfelder
Wendet man die Heisenberg-Gleichung auf die rechte Seite an, so erhält man
Z
´
d~k 1 ³
† ~
~k)
exp(ikx)ik
a
(
k)
−
exp(−ikx)ik
a(
µ
µ
(2π)3 2ωk
Z
£
¤
¢
d~k 1 ¡
=
exp(ikx)i Pµ , a† + exp(−ikx)i [Pµ , a]
3
(2π) 2ωk
(2.16)
also durch Koeffizientenvergleich der Terme mit exp(ik0 x0 ) und exp(−ik0 x0 )
h
i
Pµ , a† (~k) = kµ a†
h
i
Pµ , a(~k) = −kµ a
(2.17)
(2.18)
Zur Erinnerung: Beim
harmonischen
Oszillator waren Auf- und Absteigeoperatoren durch die Vertau£
¤
schungsrelationen H, a† = ωa† und [H, a] = −ωa charakterisiert.
Konstruktion der Zustände auf algebraischem Weg (Fock-Raum)
Mit |0i identifizieren wir den Vakuumzustand (|0i 6= Null!). Er ist normiert h0|0i = 1. Im Vakuum ist
kein Teilchen vorhanden, es ist E = 0, p~ = 0, somit ist
Pµ |0i = 0
(2.19)
Gleichung (2.17) angewendet auf |0i ergibt
¡
¢
Pµ a† − a† Pµ |0i = kµ a† |0i
⇒ Pµ a† (~k) |0i = kµ a† |0i
Also ist a† |0i Eigenzustand des Energie und Impuls-Operators mit den Eigenwerten k0 und ~k (falls
a† |0i 6= 0). Gleichung (2.18) angewendet auf |0i ergibt
P 0 a |0i = −k0 a |0i
(2.20)
also wäre a |0i Eigenzustand zu negativem Energieeigenwert. Wir wollen fordern, dass stets E ≥ 0 gilt.
Also folgt
a(~k) |0i = 0
∀~k
(2.21)
Falls |pi Eigenzustand zu Pµ mit
Pµ |pi = pµ |pi
(2.22)
ist, so gilt
Pµ a† (~k) |pi = (pµ + kµ )a† (~k) |pi
Pµ a(~k) |pi = (pµ − kµ )a(~k) |pi
Insbesondere ist
P µ a† (k1 )a† (k2 ) |0i = (k1µ + k2µ )a† (k1 )a† (k2 ) |0i
(2.23)
a† ist also ein Erzeugungsoperator, a ein Vernichtungsoperator.
• Annahme III: Mikrokausalität
Messungen bei x und y dürfen sich nicht beeinflussen, wenn x, y relativ zueinander raumartig sind.
19
Kapitel 2. Quantisierung des skalaren Feldes
Es muss also gelten
[φ(x), φ(y)] = 0
für (x − y)2 < 0
(2.24)
Speziell gilt dann auch für ~x 6= ~y
[φ(~x, t), φ(~y , t)] = 0
h
i
φ(~x, t), φ̇(~y , t) = 0
(2.25)
Ausserdem gilt trivialerweise
[φ(~x, t), φ(~x, t)] = 0
(2.26)
Wir werden jetzt zeigen, dass daraus die Bose-Symmetrie der Teilchen folgt, d.h.
£ †
¤
a (k1 ), a† (k2 ) = 0
[a(k1 ), a(k2 )] = 0
(2.27)
Aus
Z
³
´
d3 k 1
exp(−i~k · ~x) exp(iωt)a† (~k) + exp(−iωt)a(−~k)
3
(2π) 2ωk
Z
³
´
d3 k 1
~k · ~x) iω exp(iωt)a† (~k) − iω exp(−iωt)a(−~k)
φ̇(~x, t) =
exp(−i
(2π)3 2ωk
φ(~x, t) =
folgt
(2.28)
Z
exp(iωt)a (~k) + exp(−iωt)a(−~k) = 2ω
†
d~x exp(i~k · ~x)φ(~x, t)
(2.29)
d~x exp(i~k · ~x)φ̇(~x, t)
(2.30)
Z
exp(iωt)a† (~k) − exp(−iωt)a(−~k) = −2i
Da [φ(~x, t), φ(~y , t)] = 0 ∀~x, ~y gilt, folgt
h
i
0 = (2.29)(~k1 ), (2.29)(~k2 )
h
i
= exp (+i(ω1 + ω2 )t) a† (~k1 ), a† (~k2 )
h
i
+ exp (−i(ω1 + ω2 )t) a(−~k1 ), a(−~k2 )
h
i
+ exp (+i(ω1 − ω2 )t) a† (~k1 ), a(−~k2 )
h
i
+ exp (−i(ω1 − ω2 )t) a(−~k1 ), a† (~k2 )
h
i
⇒ a† (~k1 ), a† (~k2 ) = 0,
h
i
a(~k1 ), a(~k2 ) = 0
(2.31)
(2.32)
Der letzte Schritt folgt aus der Tatsache, dass die Zeitabhängigkeit der ersten beiden Terme durch keinen
anderen Term kompensiert wird (im Gegensatz zu den beiden letzten Termen, die für ω1 = ω2 die gleiche
20
2.2. Quantenfelder
Zeitabhängigkeit haben und sich in der Tat kompensieren, s.U.) Dies impliziert bereits Bose-Symmetrie der
Teilchen:
|k1 , k2 i ≡ a† (k1 )a† (k2 ) |0i
= a† (k2 )a† (k1 ) |0i
= |k2 , k1 i
(2.33)
Zwei Teilchen-Zustände sind also symmetrisch unter Vertauschung von k1 und k2 . Dies ist das erste Beispiel
für das Theorem von Spin und Statistik, d.h. Teilchen mit ganzzahligem Spin erfüllen Bosestatistik, solche mit
halbzahligem Spin Fermistatistik.
£
¤
Als nächstes untersuchen wir den Kommutator a, a† . a† (~k) und a(~k) werden aus (2.29) und (2.30) berechnet:
Z
³
´
a† (~k) = exp(−iωt) d~x exp(+i~k · ~x) ωφ(~x, t) − iφ̇(~x, t)
(2.34)
Z
a(~k) = exp(+iωt)
³
´
d~x exp(−i~k · ~x) ωφ(~x, t) + iφ̇(~x, t)
Unter Verwendung von (2.25) und (2.26) und
h
i
[φ(~x), φ(~x)] = φ̇(~x), φ̇(~x) = 0
ergibt sich
Z
h
i
† ~
~
a(k1 ), a (k2 ) = exp(i(ω1 − ω2 )t) d~xd~y exp(−i~k1 · ~x + i~k2 · ~y )
h
i
h
io
n
iω2 φ̇(~x, t), φ(~y , t) − iω1 φ(~x, t), φ̇(~y , t)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Dieser Ausdruck soll nicht identisch Null sein (ansonsten wären a und φ einfach komplexe Zahlen). Andererseits
kann der Integrand nur für ~x = ~y von Null verschieden sein, siehe (2.25) und (2.26). Als Ansatz fordert man
für φ und φ̇ die “kanonische Vertauschungsrelation”
h
i
φ(~x, t), φ̇(~y , t) = iδ(~x − ~y )
(2.38)
Daraus folgt dann als Vertauschungsrelation für a und a†
h
i
a(~k1 ), a† (~k2 ) = (2π)3 2ω1 δ(~k1 − ~k2 )
(2.39)
Man kann den Ansatz “begründen”, indem man φ als kanonische Koordinate, φ̇ als kanonischen Impuls und ~x
als Index auffasst.
Zusammenfassung: φ und φ̇ gehorchen den kanonischen Vertauschungsrelationen
[φ(~x, t), φ(~y , t)] = 0
h
i
φ(~x, t), φ̇(~y , t) = iδ(~x − ~y )
Die Kommutatoren von a und a† sind
£ † †¤
a ,a = 0
[a, a] = 0
h
i
a(~k1 ), a† (~k2 ) = (2π)3 2ω1 δ(~k1 − ~k2 )
(2.40)
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
p
Bemerkung: Manche Definitionen von a unterscheiden sich durch einen Faktor (2π)3 2ω. Mit Hilfe von a†
konstruieren wir nun Einteilchen-Zustände
¯ E
¯
a† (~k) |0i ≡ ¯~k
(2.45)
Die Einteilchen-Zustände sind wie folgt normiert
E
D
~k|~k 0 = (2π)3 2ωδ(~k − ~k 0 )
sind also uneigentliche Zustände. Mathematisch sorgfältiger wäre es, Zustände mit Hilfe von Wellenpaketen
Z
¯ † ®
d3 k 1
¯a [f ] =
√ f (~k)a† (~k) |0i
(2π)3 2ω
einzuführen.
(2.46)
(2.47)
21
Kapitel 2. Quantisierung des skalaren Feldes
n-Teilchen-Zustände
Genauso lassen sich n-Teilchen-Zustände
N a† (~k1 ) . . . a† (~kn ) |0i
(2.48)
bzw.
N a† [f1 ] . . . a† [fn ] |0i
einführen. Die fi seien hierbei orthonormiert, d.h. es gelte
Z
d3 k ∗ ~
f (k)fj (~k) = δij
(2π)3 i
(2.49)
(2.50)
N ist eine Normierungskonstante. Es ist N = 1 falls alle fi verschieden sind. Falls alle fi gleich sind, ist
1
N = (n!)− 2 . Allgemeiner: sind r1 der fi gleich f1̂ , r2 der fi gleich f2̂ usw., so ist
1
N = (r1 !r2 ! . . .)− 2
(2.51)
(als Übung nachzurechnen unter Verwendung von (2.50))
Interpretation
Die Heisenberg-Zustände mit einem Teilchen und Impulswellenfunktion f (~k) sind
Z
d3 k 1
√ f (~k)a† (~k) |0i
|f i =
(2π)3 2ω
Entsprechend sind die Schrödinger-Zustände
Z
d3 k 1
√ exp(−iωt)f (~k)a† (~k) |0i
|f, ti =
(2π)3 2ω
Z ¯
¯
¯ ~ ¯2 d 3 k
Aus hf, t|f, ti = 1 folgt
= 1 und umgekehrt.
¯f (k)¯
(2π)3
(2.52)
(2.53)
22
2.2. Quantenfelder
Anmerkung:
Z
d3 k
exp(i~k · ~x)f (~k) exp(−iωt)
(2π)3
(2.54)
kann nicht als Ortswellenfunktion φ(x) eines Teilchens interpretiert werden! Denn es ist h0| φ(x)φ(y) |0i 6= 0
auch für (x − y)2 < 0 und wir müssten dies als Ausbreitung mit Überlichtgeschwindigkeit unterpretieren, was
einen Widerspruch zur Kausalität darstellen würde.
Aus den Quantenfeldern lassen sich nun Energie-, Impuls-, Teilchenzahloperator und weitere Operatoren
wie folgt aufbauen: man verwendet die Noether-Ströme,
integriert die 0-Komponente und führt “NormalR
R
Ordnung” durch, d.h. man ersetzt immer aa† durch a† a, so dass
h0| a† a |0i = 0
(2.55)
Das begründet man damit, dass die Reihenfolge in der klassischen Theorie nicht festgelegt ist.
Teilchenzahloperator
Der Teilchenzahl-Operator ist
Z
N ≡ dk̃a† a
(2.56)
Hierbei ist
dk̃ =
d4 k
d3 k 1
2
2
2πδ(k
−
m
)Θ(k
)
=
0
(2π)4
(2π)3 2ωk
(2.57)
ein Lorentz-invariantes Integrationsmaß. Damit ist (nachrechnen)
¯
¯
E
E
¯
¯
N ¯~k1 . . . ~kn = n ¯~k1 . . . ~kn
(2.58)
Die Energie- und Impulsoperatoren sind
Z
H = dk̃ ω a† (~k)a(~k)
(2.59)
Z
P~ =
dk̃ ~k a† (~k)a(~k)
und werden gewonnen aus
Z
H = d~xT 00 (~x)
Z
³
´
1
~ ∇φ
~ : +m2 : φ2 :
=
d~x : ∂ 0 φ∂ 0 φ : + : ∇φ
2
mit der Nebenrechnung
³
´
R
φ
= dk̃ exp(iωt) exp(−i~k · ~x)a† (~k) + exp(−iωt) exp(i~k · ~x)a(~k)
³
´
R
∂0 φ = dk̃ iω exp(iωt) exp(−i~k · ~x)a† (~k) − iω exp(−iωt) exp(i~k · ~x)a(~k)
³
´
R
~
∇φ
= dk̃ −i~k exp(iωt) exp(−i~k · ~x)a† (~k) + i~k exp(−iωt) exp(i~k · ~x)a(~k)
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
Z
2
m
2
d3 x |φ(~x, t)| |t=0 =
Z
Z
m2 dk̃ dk̃ 0 {δ(~k − ~k 0 )[a† (~k)a(~k 0 ) + a(~k)a† (~k 0 )]
(2.66)
+δ(~k + ~k 0 )[a† (~k)a† (~k 0 ) + a(~k)a(~k 0 )]}
23
Kapitel 2. Quantisierung des skalaren Feldes
Z
2
d3 x |∂0 φ(~x, t)| |t=0 =
Z
Z
ω 2 dk̃ dk̃ 0 {δ(~k − ~k 0 )[a† (~k)a(~k 0 ) + a(~k)a† (~k 0 )]
(2.67)
−δ(~k + ~k 0 )[a† (~k)a† (~k 0 ) + a(~k)a(~k 0 )]}
Z
¯
¯2
¯~
¯
d3 x ¯∇φ(~
x, t)¯ |t=0 =
Z
Z
dk̃ dk̃ 0 {δ(~k − ~k 0 )[~k · k~0 a† (~k)a(~k 0 ) + k~0 · ~ka(~k)a† (~k 0 )]
(2.68)
−δ(~k + ~k 0 )[~k · k~0 a† (~k)a† (~k 0 ) + k~0 · ~ka(~k)a(~k 0 )]}
⇒H=
1
2
Z
Z
dk̃
=2ω 2
}|
{
z
dk˜0 (2π)3 {[m2 + ω 2 + ~k 2 ](a† a + aa† )δ(~k − k~0 )
+ [m2 − ω 2 + ~k 2 ](a† a† + aa)δ(~k + k~0 )}
{z
}
|
=0
Z
Z
³
´
= dk̃ dk˜0 (2π)3 δ(~k − k~0 )ω 2 a† (~k)a(~k) + a(~k)a† (~k)
Z
³
´
1
dk̃ ω a† (~k)a(~k) + a(~k)a† (~k)
=
2
Z
= dk̃ ω a† (~k)a(~k) + const
(2.69)
24
Kapitel 3
Dirac-Gleichung in quantisierter Form
und Fermi-Statistik
Die allgemeinen Lösungen der Dirac-Gleichung vor der Quantisierung lauten:
Z
´
X ³
ψ(x) = dk̃
exp(ikx)vs (~k)βs? (~k) + exp(−ikx)us (~k)αs (~k)
s=± 12
Z
ψ(x) =
X ³
dk̃
exp(−ikx)v s (~k)βs (~k) + exp(+ikx)us (~k)αs? (~k)
´
(3.1)
s=± 12
wobei gilt
(3.2)
(i∂/ − m)ψ(x) = 0
(k/ + m)vs = 0
Lösung zu negativer Frequenz
(k/ − m)us = 0
Lösung zu positiver Frequenz
3.1
(3.3)
(3.4)
Quantisierung
Wir ersetzen
α → as
βs? → b+
s
Dann lautet die Lösung der Dirac-Gleichung in quantisierter Form
Z
´
X ³
exp(+ikx)vs (~k)b†s (~k) + exp(−ikx)us (~k)as (~k)
ψ(x) = dk̃
(3.5)
(3.6)
s=± 12
Wir nehmen wieder an, dass die Heisenberg-Gleichung gilt.
∂µ ψ = i[Pµ , ψ]
(3.7)
Daraus erhalten wir dann wie vorher
+ ~
~
[Pµ , a+
s (k)] = kµ a (k)
[Pµ , b+ (~k)] = kµ b+ (~k)
s
[Pµ , as (~k)] = −kµ as (~k)
[Pµ , bs (~k)] = −kµ bs (~k)
(3.8)
• Daraus folgt wie beim Skalarfeld
a |0i = b |0i = 0
(3.9)
da für alle Zustände die Energie positiv sein muss.
• Die Anwendung von ψ erzeugt e+ (Antiteilchen) und vernichtet e− (Teilchen).
1
1
~
~
• a+
s (k) |0i entspricht einem Elektronzustand mit Spin s = + 2 oder − 2 und mit Impuls ~k.
25
Kapitel 3. Dirac-Gleichung in quantisierter Form und Fermi-Statistik
3.2
Algebra der Operatoren
Für den Hamiltonoperator H = P0 erhält man durch einfache Rechnung (nachrechnen!) aus der Energiedichte
T 00 =
→
i 0←
ψγ ∂ 0 ψ
2
(3.10)
vor der Normalordnung
Z
´
X³
~k)bs (~k) − as (~k)a+ (~k) .
b+
(
H = dk̃k0
s
s
(3.11)
s
Würden wir hier für die Erzeuger und Vernichter die gewöhnlichen Vertauschungsrelationen fordern, so hätten
Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzte Energien.
⇒ Forderung von Antivertauschungsrelationen
n
o
~k) = δrs (2π)3 2ωk δ(~k − ~k 0 )
ar (~k), a+
(
s
o
n
3
~
~ ~0
br (~k), b+
s (k) = δrs (2π) 2ωk δ(k − k )
(3.12)
(3.13)
{a, b} = {a, a} = {b, b} = · · · = 0
(3.14)
Man erhält dann
Z
´
X³
~k)bs (~k) + a+ (~k)as (~k)
H = dk̃k0
b+
(
s
s
(3.15)
s
Ähnlich ergibt sich für den Impuls
Z
´
X³
+ ~
~
~
~
~
P = dk̃~k
b+
s (k)bs (k) + as (k)as (k)
(3.16)
s
sowie für die Ladung
Z
Z
Z
X
Q = d~x : j0 (x) : = d~x : ψ̄(x)γ0 ψ(x) : = dk̃
[a+ a − b+ b]
(3.17)
s
Bemerkungen
• Die negative (unendlich große) Konstante entfällt wegen der Normalordnung.
• Es folgen die Antivertauschungsrelationen für die Felder zur gleichen Zeit
ª
©
{ψr (~x, t), ψs (~y , t)} = ψ r (~x, t), ψ s (~y , t) = 0
©
ª
0
ψr (~x, t), ψ s (~y , t) = γrs
δ(~x − ~y )
d. h. ψ † ist kanonischer Impuls zu ψ
©
ª
ψr (~x, t), ψs† (~y , t) = δ(~x − ~y )δrs
(3.18)
(3.19)
(3.20)
• Dies liefert Mikrokausalität (Vertauschungsrelationen) für Observable, welche bilinear in den Spinorfeldern sind


⇒ ψ(~x, t)M1 ψ(~x, t) , ψ(~y , t)M2 ψ(~y , t) = 0
|
{z
} |
{z
}
Observable 1
für ~x 6= ~y
(3.21)
Observable 2
Hier sind Mi natürlich 4 × 4 Matrizen und (3.21) folgt aus folgender Identität
[AB, CD] = A{B, C}D − AC{B, D} − C{A, D}B + {C, A}DB
(3.22)
26
3.2. Algebra der Operatoren
• Insbesondere folgt aus den Antivertauschungsrelationen, dass
a†r (~
p1 )a†s (~
p2 ) |0i = −a†s (~
p2 )a†r (~
p1 ) |0i
(3.23)
und damit für Wellenpakete f1 und f2
a†r [f1 ]a†s [f2 ] |0i = 0
für
f1 = f2 , r = s
(3.24)
Das ist das Spin-Statistik-Theorem bzw. Pauli-Prinzip für Teilchen mit Spin 12 . Es gilt auch für wechselwirkende Teilchen. Neben dem CPT Theorem ist das ein grundlegendes Resultat der relativistischen QFT.
Nukleonen und Elektronen gehorchen der Fermi-Statistik. Sie manifestiert sich als Basis der Festkörperphysik in dem “Fermi-Gas” der Elektronen und ist verantwortlich für die Stabilität der Materie.
• andererseits: Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) z.B. Photonen, Bose-Gas, Laser, Helium-4,
Cooper-Paare
• CPT-Theorem: Lokale, relativistische QFT ist invariant, wenn sowohl Zeitspiegelung, Paritätsspiegelung
und Übergang zu Antiteilchen vorgenommen wird.
• es verbleiben für die Quantisierung Teilchen mit Spin 1 und Masse (3 Freiheitsgrade), Photonen/e.m.-Feld
(2 Freiheitsgrade)
27
Kapitel 3. Dirac-Gleichung in quantisierter Form und Fermi-Statistik
28
Kapitel 4
Spin 1 Felder
4.1
Massives Vektorfeld
• W ± , Z haben Spin 1 und sind Träger der schwachen Wechselwirkung
• ρ, ω, φ sind Spin-1 Mesonen und aus Quarks aufgebaut
• Spin 1 erlaubt 3 Einstellungen oder Freiheitsgrade. Ein Kandidat für ein zugehöriges Feld, ein Vektorfeld
Aν , hat jedoch 4 Komponenten, d.h. eine Nebenbedingung ist erforderlich.
Die Feldgleichungen kann man in Anlehnung an die Maxwell’schen Gleichungen hinschreiben. Die Gleichung
∂ρ F ρν + m2 Aν = 0
(4.1)
mit
F ρν = ∂ ρ Aν − ∂ ν Aρ
(4.2)
nennt man die Proca-Gleichung.
Weil die Viererdivergenz ∂ρ F ρν verschwindet, gilt m2 ∂ν Aν = 0. Nimmt man an, dass die Masse ungleich Null
ist, folgt als Nebenbedingung
∂ν Aν = 0
(4.3)
Setzt man dies in (4.2) ein so folgt ∂ρ F ρν = ¤Aν und damit
(¤ + m2 )Aν (x) = 0
∂ν Aν (x) = 0
(4.4)
äquivalent zur Proca-Gleichung. Die dazugehörige Lagrangedichte lautet:
1
m2
L = − Fµν F µν +
Aµ Aµ
4
2
(4.5)
wobei Aµ ein reelles Vektorfeld darstellt. In die zugehörigen Euler-Lagrange Gleichungen (Nachrechnen!)
setzt man als Ansatz ebene Wellen der Form
Aµ = exp(−ikx)²(λ)
µ (k) + konjugiert komplex
(4.6)
√
(λ)
ein, wobei ²µ (k) einen Polarisationsvektor darstellt und die Massenschalenbedingung gilt: k0 = ωk = m2 + k 2 .
Damit sind die Klein-Gordon-Gleichungen für die Aµ erfüllt. Aus der obigen Nebenbedingung folgt:
0 = ∂ µ Aµ ⇒ k µ ²(λ)
µ =0
(4.7)
(λ)
d.h. es gibt nur 3 linear unabhängige Polarisationsvektoren ²µ (k). Im Ruhesystem z.B. ist kµ = (k0 , ~0) =
(λ)
(λ)
(m, 0, 0, 0) und daher hat ²µ (k) keine Null-Komponente. In karthesischer Basis sind die drei ²µ (k) gegeben
durch


 


0
0
0
 1 
 0 
 0 

 ²(2)
  ²(3)


²(1)
(4.8)
µ = 0 
µ = 1 
µ = 0 
0
0
1
29
Kapitel 4. Spin 1 Felder
und werden orthonormal gewählt. Alternativ zur karthesischen Basis stellt man zirkulare Polarisation in den
Basisvektoren




0
0
 0 
1  1 
 ²(3)

²(±)
=√ 
=
(4.9)
µ
µ


 0 
±i
2
0
1
dar. Es gilt für beliebige Bezugssysteme
0
?µ(λ )
²(λ)
= −δλλ0
µ ²
und die Vollständigkeitsrelation lautet
¶
µ
X
kµ kν
?(λ)
²(λ)
²
=
−
g
−
µν
µ
ν
m2
(4.10)
(4.11)
λ
Also ist die allgemeine Lösung in quantisierter Form
Z
´
X ³
?(λ) ~ +(λ) ~
~ ( ~
Aµ (x) = dk̃
exp(−ikx)²(λ)
(k)a
(k)
µ (k)a λ)(k) + exp(ikx)²µ
(4.12)
λ=1,2,3
wobei hier der Operator a+(λ) (~k) Teilchen mit Polarisation λ und Impuls ~k erzeugt. Die zugehörigen Vertauschungsrelationen sind
h
[Aν (x), Aν (y)] = 0 für (x − y)2 < 0
i
0
a(λ) (~k), a+(λ ) (~k 0 ) = δλλ0 (2π)3 2ωk δ(~k − ~k 0 )
4.2
(4.13)
(4.14)
Photon-Felder (m2 = 0)
Die Maxwell-Gleichungen lauten
∂µ F µν = j ν
∂µ F̃
µν
=0
(4.15)
(4.16)
mit dem dualen Feldstärketensor
F̃ µν =
1 µναβ
²
Fαβ
2
(4.17)
Ausgedrückt durch Potentiale schreibt sich der Feldstärketensor
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(4.18)
und Gleichung (4.16) ist automatisch erfüllt.(nachrechnen!) Das Vektorpotential ist noch nicht eindeutig festgelegt (Eichfreiheit!). Z.B. bleibt Fµν ungeändert unter der Ersetzung
Aµ (x) → A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ Λ(x)
(4.19)
wobei Λ(x) ein beliebiges Skalarfeld ist. Wir können nun die Lorentz-Eichung fordern
∂µ Aµ = 0
(4.20)
denn, falls ∂µ Aµ = G(x) 6= 0 wäre , so wähle Λ(x) so, dass ¤Λ(x) = −G(x) und für das neue Feld A0µ (x) gilt
dann (4.20). In Lorentz-Eichung ist die erste Maxwellgleichung (4.15) äquivalent zu
¤Aν = j ν
(4.21)
oder im freien Fall (j = 0)
¤Aν = 0
(4.22)
Als weitere Freiheit in der Wahl der Eichung können wir noch solche Λ wählen, für welche gilt:
¤Λ(x) = 0
(4.23)
30
4.2. Photon-Felder (m2 = 0)
4.2.1
Lagrange Formalismus
Als einfachsten Ansatz für die Lagrangedichte könnten wir
1
1
L = − F 2 = − (∂µ Aν ∂ µ Aν − ∂µ Aν ∂ ν Aµ )
4
2
(4.24)
wählen. Beim Berechnen der zu Aµ kanonisch konjugierten Impulse
Πµ =
∂L
= −∂ 0 Aµ + ∂ µ A0
∂ (∂0 Aµ )
(4.25)
findet man Π0 = 0. Also modifiziert man Gleichung (4.24) zu
1
1
L = − F 2 − λ(∂µ Aµ )2
4
2
[−jµ Aµ ]
(4.26)
wobei der letzte Term die Wechselwirkung mit einem Strom jµ beschreibt. Die Feldgleichungen hierzu lauten
¤Aµ − (1 − λ)∂µ (∂ν Aν ) = 0
[= jµ ]
(4.27)
Und der Impuls ist hier
Πµ =
∂L
= −∂ 0 Aµ + ∂ µ A0 − λg µ0 ∂ν Aν
∂ (∂0 Aµ )
(4.28)
Für λ 6= 0 gilt, wenn wir die Divergenz von (4.27) bilden
λ¤(∂µ Aµ ) = 0
(4.29)
D.h. ∂µ Aµ ist ein freies Feld. Dies gilt auch wenn Wechselwirkung vorhanden ist, sofern ∂µ j µ = 0. Nun wird
quantisiert und gleichzeitige Vertauschungsrelationen postuliert
[Aµ (~x, t), Πν (~y , t)] = igµν δ(~x − ~y )
(4.30)
£
¤
Die Forderung ∂µ Aµ = 0 ist inkonsistent mit (4.30), denn Π0 = −λ(∂µ Aµ ) und A0 , Π0 6= 0, also ist ∂µ Aµ = 0
als Operatorgleichung nicht möglich. Wir werden aber sehen, dass
hphysikalischer Zustand| ∂µ Aµ |physikalischer Zustandi = 0
(4.31)
möglich ist. Außerdem wird im folgenden der “Eichparameter” λ aus Gleichung (4.26) zu λ = 1 gesetzt.
4.2.2
Quantisierung im Impulsraum
Wir wählen einen Ansatz wie zuvor
Z
i
Xh
~ (λ) (~k) + exp(ikx)²(λ) (~k)a+(λ) (~k)
Aν (x) = d~k
exp(−ikx)²(λ)
ν
ν (k)a
(4.32)
λ
wobei
• λ zunächst ein Index aus {1, 2, 3, 4} ist,
• die Notation
X
~ (λ) (~k) = aν (~k)
²(λ)
ν (k)a
(4.33)
λ
gilt und
• die Vertauschungsrelationen
+
[aµ , aν ] = [a+
µ , aν ] = 0
[aµ (~k), a+ (~k 0 )] = −gµν (2π)3 2ωk δ(~k − ~k 0 )
(4.34)
ν
gelten.
31
Kapitel 4. Spin 1 Felder
Hierbei ist allerdings das globale Vorzeichen zunächst nicht klar, aber unabhängig von dieser Konvention scheint
es Zustände mit positiver und negativer Norm zu geben. Definieren wir
Z
d3 k
a0 [f ] =
f (~k)a(~k)
(4.35)
(2π)3 2ωk
so gilt
Z
h0| a0 [f ]a+
0 [f ] |0i
= −1
für
¯
¯2
¯
¯
d~k ¯f (~k)¯ = 1
(4.36)
und das gibt ein Problem bei der Interpretation der Wahrscheinlichkeitsdichte. Ferner gibt es 4 Einteilchenzustände für ein festes ~k, aber nur 2 Photonpolarisationszustände (links/rechts-zirkular). Lösung ist hier der
“Gupta-Bleuler-Formalismus”. Anstelle von ∂µ Aµ = 0 als Operatorgleichung fordern wir hier
∂µ A(−)µ (x) |physikalischer Zustandi = 0
(4.37)
als Bedingung an die Zustände, wobei
Z
A(−)
≡
dk̃ exp(−ikx)aµ (~k)
µ
(4.38)
Daher gilt im Impuls- oder Fourierraum
k µ aµ (~k) |physikalischer Zustandi = 0
(4.39)
und daraus folgt
hphysikalischer Zustand| ∂µ Aµ |physikalischer Zustandi = 0
(4.40)
Das Problem ist aber viel weitreichender. Es gilt für Eichtheorien allgemein, dass die Forderung nach Kovarianz unphysikalische Zustände erzeugt (Zustände mit negativer Norm) mit sogenannten “Geisterteilchen”.
Während die Lösung in der QED noch “trivial” ist, weil die Geister entkoppeln, treten in der QCD und der
elektroschwachen WW diese Zustände in der Rechnung auf. Für einlaufende Wellen ohne Geister gibt es aber
auch nur auslaufende Wellen ohne Geister, insofern ist die Wahrscheinlichkeitsinterpretation gerettet.
32
Kapitel 5
Wechselwirkung, Störungstheorie
5.1
Störungstheorie
für zeitabhängige Probleme
(Erinnerung an Quantenmechanik II)
Wir beschäftigen uns hier mit Hamiltonoperatoren von der Form
H = H0 + V (t)
(5.1)
Das System mit H0 sei exakt und in geschlossener Form lösbar. V (t) sei klein und für t < t0 vernachlässigbar.
Für Streuprobleme können wir dies auch bei zeitlich konstantem V anwenden, wenn das gestreute Teilchen
erst bei t0 in den Bereich des Potentials gerät. In der Schrödingerdarstellung gilt dann
¯ 0 ®
i∂t ¯ψin
(5.2)
, t = H0 |ψin , ti
falls t < t0
i∂t |ψ, ti = (H0 + V (t)) |ψ, ti
für beliebige t
(5.3)
Wir gehen nun zur Wechselwirkungsdarstellung über (I≡Interaction)
|ψ, tiI = exp(iH0 t) |ψ, tiSchrödinger
(5.4)
und erhalten als Bewegungsgleichung
i∂t |ψ, tiI = VI (t) |ψ, tiI
(5.5)
wobei
VI (t) = exp(iH0 t)V (t) exp(−iH0 t)
(5.6)
Diese lässt sich iterativ lösen:
1
|ψ, tiI = |ψ, t0 iI +
i
1
+ 2
i
Zt
dt0 VI (t0 ) |ψ, t0 ii
t0
0
Zt
Zt
dt
t0
0
(5.7)
00
0
00
dt VI (t )VI (t ) |ψ, t0 iI
t0
+ ...
Wir wollen nun die Störungsrechnung auf die Streuung anwenden. Dazu setzen wir t0 → −∞ und definieren
ein- und auslaufende Zustände
|ψin iI = |ψ, t → −∞iI
|ψout iI = |ψ, t → +∞iI
(5.8)
(5.9)
(5.10)
die jeweils durch freie Felder beschrieben werden. |ψin iI und |ψout iI sind zeitunabhängig. (Der Grenzübergang
ist in einer geeigneten Norm zu verstehen, worauf hier nicht eingegangen werden soll.)
33
Kapitel 5. Wechselwirkung, Störungstheorie
Als nächstes suchen wir einen Operator S, die S-Matrix, der bei gegebenem |ψin iI die Übergängsamplitude
|ψout iI nach |ψout iI = S |ψin iI berechnet. Dieser lässt sich mit Gleichung (5.7) berechnen:
1
S = 1+
i
Z∞
dt0 VI (t0 )
−∞
1
+ 2
i
Z∞
Zt
0
0
−∞
(5.11)
dt00 VI (t0 )VI (t00 )
dt
−∞
+ ...
Um diesen Ausdruck in eine etwas kompaktere Form zu bringen, verwendet man
Z∞
Zt
dt
−∞
0
0
1
dt VI (t )VI (t ) =
2
00
−∞
0
Z∞
00
Z∞
0
dt
−∞
dt00 T (VI (t0 )VI (t00 ))
(5.12)
−∞
wobei der Zeitordnungsoperator T , definiert über
½
VI (t0 )VI (t00 ) t00 < t0
T (VI (t0 )VI (t00 )) =
VI (t00 )VI (t0 ) t00 ≥ t0
(5.13)
verwendet wurde.
Damit erhält man für die S-Matrix
S=
∞
X (−i)n Z
n
n!
Z∞
0
dt . . .
−∞
h
i
dt(n) T VI (t0 ) . . . VI (t(n) )
(5.14)
−∞

Z∞
⇒ S = T exp −i

dtVI (t)
(5.15)
−∞
5.2
Quantenfeldtheorie
In der QFT zerlegen wir den Hamiltonoperator in einen “freien Anteil”, der linear und bilinear in den Feldern
ist, und einen Wechselwirkungsterm, der höhere Potenzen der Felder enthält. Betrachten wir zum Beispiel die
QED. Hier ist
L = LMaxwell + LDirac + LWW
(5.16)
mit
1
1
LMaxwell = − Fµν F µν − (∂A)2 (Eichparameter λ = 1)
4
2
LDirac = ψ(i∂/ − m)ψ
LWW = −j µ Aµ = eψ(x)γ µ ψ(x)Aµ (x)
(5.17)
(5.18)
(5.19)
34
5.2. Quantenfeldtheorie
Der Wechselwirkungsterm im Hamiltonoperator ist
Z
HWW (t) = −LWW (t) = − d3 xLWW
Dem Integral
R∞
(5.20)
dtVI (t) in der Störungstheorie entspricht hier das Integral
−∞
Z∞
Z
dtHWW = −
d4 xLWW
(5.21)
−∞
LWW ist ausgedrückt durch freie Felder, also Aµ (x) und ψ(x) mit (i∂/ − m)ψ = 0, und ist normalgeordnet.
Für die Störungstheorie in n-ter Ordnung entwickelt man S nach (5.15) bis zur Ordnung n. Interpretation in
niedrigster Ordnung: Es ist
ψ ∝ (b† + a)
ψ ∝ (b + a† )
Aµ ∝ (α† + α)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
wobei a, b, α Elektronen, Positronen bzw. Photonen vernichten und a† , b† , α† sie erzeugen. Also ist
HWW ∝ : (b + a† )(b† + a) : (α† + α)
(5.25)
d.h. im Wechselwirkungsterm des Hamiltonoperators treten 8 Kombinationen aus Erzeugern und Vernichtern
auf. Sehen wir uns zum Beispiel den Term proportional a† aα an, der den Übergang
he| a† aα |γ, ei = (h0| a)a† aα(a† α† |0i)
(5.26)
also e + γ → e beschreiben könnte.
Dieser Übergang ist aber aus kinematischen Gründen verboten. In der QED treten nur Übergänge von mindestens zweiter Ordnung auf, wie z.B.
Im Fall einer skalaren Theorie mit
LWW = −
λ
: φ4 :
4!
(5.27)
wäre bereits das Matrixelement der Ordnung λ1 von Null verschieden:
35
Kapitel 5. Wechselwirkung, Störungstheorie
5.3
Berechnung der Elektron-Elektron-Streuung
Im folgenden sei p der Impuls und r der Spinfreiheitsgrad. Wir wollen uns folgenden Prozess näher anschauen:
e(p1 , r1 ) + e(p2 , r2 ) 7→ e(p3 , r3 ) + e(p4 , r4 )
(5.28)
Die Amplitude berechnet sich mittels das Matrixelements der Streumatrix S, wobei r1 der Spin von e1 sei
usw.:
Sfi = h0|ar3 (p3 )ar4 (p4 )|S|a†r1 (p1 )a†r2 (p2 )|0i
(5.29)
Die S-Matrix entwickeln wir bis zur zweiten Ordnung: S = 1 + e · Ausdruck + e2 · Ausdruck + . . .. Der erste
Term trägt nicht bei, da p1 , p2 6= p3 , p4 . Auch der zweite Term verschwindet, weil L linear in A ist und weder
im Anfangs- noch im Endzustand ein Photon auftritt. Betrachten wir also den zweiten Term der Entwicklung
Sfi =
(−i)2 2
e
2!
Z
Z
dx0
¤
£
dx00 h0|a(3)a(4)T : ψ(x0 )γ µ ψ(x0 ) : Aµ (x0 ) : ψ(x00 )γν ψ(x00 ) : Aν (x00 ) a† (1)a† (2)|0i + . . .
(5.30)
wobei
: ψ(x0 )γ µ ψ(x0 ) : Aµ (x0 ) = LWW (x0 )
5.3.1
(5.31)
Einschub: Wicksches Theorem
Dieses dient der Umformung eines Produkts von Feldoperatoren in normalgeordnete Produkte. Zunächst betrachten wir skalare Felder.
1.) φ(x)φ(y) =: φ(x)φ(y) : +h0|φ(x)φ(y)|0i
2.) φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 ) =: φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 ) : + : φ(x1 ) : h0|φ(x2 )φ(x3 )|0i+ : φ(x2 ) : h0|φ(x1 )φ(x3 )|0i+ : φ(x3 ) :
h0|φ(x1 )φ(x2 )|0i
Allgemein gilt:
φ(x1 ) . . . φ(xn ) =: φ(x1 ) . . . φ(xn ) : +
k<l

+
X X


p≥2
∗
X
©) . . . φ(x ) : h0|φ(x )φ(x )|0i + . . . +
©
©©
: φ(x1 )φ(x2 ) . . . ©
φ(x
φ(x
k) . . .©
l
n
k
l
») . . . φ(x ) : ∗
»k»
»k»
: φ(x1 ) . . . »
φ(x
) . . .»
φ(x
n
1
2p
k1 <k2
<...<k2p
X


h0|φ(xk1 )φ(xk2 )|0i . . . h0|φ(xk2p−1 )φ(xk2p )|0i
Alle
Permutationen
(5.32)
Bei T -Produkten erhält man:
T (φ(x1 )φ(x2 )) =: φ(x1 )φ(x2 ) : +h0|T (φ(x1 )φ(x2 ))|0i
(5.33)
36
5.3. Berechnung der Elektron-Elektron-Streuung
Bei Fermi-Feldern sieht die Formel ähnlich aus, man muss jedoch die Minuszeichen (Statistik-Faktoren) bei der
Vertauschung berücksichtigen! Von bereits normalgeordneten Produkten gibt es natürlich keine Kontraktion.
Wir wollen nun exemplarisch den (einfachsten) Fall, das Produkt zweier Feldoperatoren, herleiten. Sei dazu
Z
¡
¢
φ(x) = dk̃ exp(ikx)a† (k) + exp(−ikx)a(k)
(5.34)
≡ φc (x) + φa (x)
| {z }
| {z }
creation
annihilation
Damit ist
φ(x)φ(y) = (φc (x) + φa (x)) (φc (y) + φa (y))
= φc (x)φc (y) + φa (x)φa (y) + φc (x)φa (y) + φc (y)φa (x)
|
{z
}
:φ(x)φ(y):
(5.35)
+ φa (x)φc (y) − φc (y)φa (x)
|
{z
}
(?)
Der Term (?) ist
Z
(?) = dk̃dk˜0 exp(−ikx + ik 0 y) (a(~k)a† (k~0 ) − a† (k~0 )a(~k))
|
{z
}
(2π)3 2ωδ(~
k−k~0 )
Z
=
dk̃ exp(−ik(x − y))
(5.36)
Z
d~k 1
exp(−ik(x − y))
(2π)3 2ωk
= h0| φ(x)φ(y) |0i
=
mit k0 = ωk
Damit haben wir (??) gezeigt.
Als Spezialfall betrachten wir den Vakuum-Erwartungswert eines Produktes von Feldoperatoren (wobei
φ(xn ) ≡ φn ):
h0|φ1 φ2 φ3 φ4 |0i = h0|φ1 φ2 φ3 φ4 |0i + h0|φ1 φ2 φ3 φ4 |0i + h0|φ1 φ2 φ3 φ4 |0i =
(5.37)
= h0|φ1 φ2 |0ih0|φ3 φ4 |0i + h0|φ1 φ3 |0ih0|φ2 φ4 |0i + h0|φ1 φ4 |0ih0|φ2 φ3 |0i
Allgemein bildet man die Summe über alle möglichen Kontraktionen“ (≡ Vakuum-Erwartungswerte zweier
”
Feldoperatoren). Bei Fermi-Operatoren kommt aufgrund der Vertauschung ein Minuszeichen (an ≡ a(~kn )):
a1 a2 a†3 a†4 = −a1 a†3 a2 a†4
(5.38)
Betrachten wir ferner die Kontraktion des Feldoperators mit a† (~
p):
Z
φ(x)a† (~
p) =
i
d~k 1 h
exp(ikx)a† (~k) + exp(−ikx)a(~k) a† (~
p)
3
(2π) 2ω
(5.39)
Darüberhinaus gilt a(~k)a† (~
p) = (2π)3 · 2ω · δ(~k − p~) und somit φ(x)a† (~
p) = exp(−ikx). Analog ergibt sich
a(~
p)φ(x) = exp(ikx). Entsprechend gilt für die Kontraktion eines Dirac-Spinors ψ(x) mit a† (~
p):
ψ(x)a† (~
p) = u(p) exp(−ipx)
(5.40)
Aber es ist ψ(x)a† (~
p) = 0. Für jedes ein- bzw. auslaufende Teilchen erhalten wir damit einen Faktor exp(−ipx)
beziehungsweise exp(+ipx).
37
Kapitel 5. Wechselwirkung, Störungstheorie
Beispiel:
λ
: φ4 (x) :
1 + 2 7→ 3 + 4
4!
Mittels Störungstheorie 1.Ordnung folgt ergibt sich das Matrixelement
Z
1λ
dx : φ(x)φ(x)φ(x)φ(x) : a† (2)a† (1)|0i =
M = h0|a(4)a(3)
i 4!
Z
1λ
= dx
exp(+ip4 x + ip3 x − ip2 x − ip1 x) + weitere Permutationen
i 4!
LI = −
(5.41)
(5.42)
Man erhält 4! identische Terme und damit nach Ausführung der Integration:
1λ
4!
(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p3 − p4 ) = −iλ(2π)4 δ (4)
i 4!
Ã
4
X
!
pk
(5.43)
k
Dies ist die einfachste Feynman-Regel.
5.3.2
Einschub: Zweipunkt-Funktionen (m 6= 0)
Wir wollen als nächstes den Begriff des Propagators einführen. Dazu betrachten wir zunächst den Erwartungswert des Produkts zweier Feldoperatoren:
Z
d3 p 1
h0| φ(x)φ(y) |0i ≡ D(x − y) =
exp(−ip(x − y))
(5.44)
(2π)3 2ωp
Im zeitartigen, also beispielsweise für ~x − ~y = 0, x0 − y0 = t 7→ ∞ gilt D ∼ exp(imt). Im raumartigen, also für
x0 − y0 = 0, |~x − ~y | = r 7→ ∞ gilt D ∼ exp(−mr). Für (x − y)2 → +∞ ist D ∝ exp(−m |x − y|). (Frage: Wie
lauten die Vorfaktoren?)
£
¤
Der Kommutator [φ(x), φ(y)] ist für freie Felder eine gewöhnliche Zahl, da a† , a eine Zahl ist. Dies gilt nicht
mehr für wechselwirkende Felder. Also ist
h0| [φ(x), φ(y)] |0i = D(x − y) − D(y − x)
(5.45)
Als Propagatoren bezeichnen wir die Greensfunktionen unserer Feldgleichungen. Für skalare Felder sind das
Funktionen ∆(x − y) mit der Eigenschaft
(¤ + m2 )∆(x − y) = −iδ(x − y)
Um diese Gleichung zu lösen, betrachten wir die Fouriertransformierte von ∆:
Z
d4 p
exp(−ip(x − y))G̃(p)
∆(x − y) =
(2π)4
(5.46)
(5.47)
Dann lautet (5.46) einfach (−p2 + m2 )G̃(p) = −i, also ist
i
− m2
Z
d4 p
i
∆(x − y) =
exp(−ip(x − y))
4
2
(2π) p − m2
G̃(p) =
p2
(5.48)
38
5.3. Berechnung der Elektron-Elektron-Streuung
Die p0 -Integration kann man mit Hilfe des Residuensatzes als Kurvenintegral in der komplexen Ebene ausführen.
Dazu müssen wir den Polen bei ±ωp einen kleinen Imaginärteil ±i² geben. Je nach Vorzeichen des Imaginärteils
erhalten wir eine retardierte oder avancierte Greensfunktion.
Z
d4 p
exp(−ip(x − y))
∆ret (x − y) =
4
(2π) (p0 + i²)2 − p~2 − m2
(5.49)
Z
d4 p
exp(−ip(x − y))
∆av (x − y) =
(2π)4 (p0 − i²)2 − p~2 − m2
Die Bezeichnungen “retardiert” und “avanciert” werden anhand von Abb. 5.1 klar. Dort ist der Integrationsweg
für die p0 -Integration der retardierten Greensfunktion skizziert. Für x0 > y0 fällt der Integrand für Im
p0 → −∞ schnell genug ab, so dass der Integrationsweg in der unteren Halbebene geschlossen werden kann. Man
erhält dann einen Beitrag von beiden Residuen. Für x0 < y0 aber wird der Integrationsweg oben geschlossen
und das Integral verschwindet. Die retardierte Greensfunktion ist also nur für x0 > y0 ungleich null. Analog
verschwindet die avancierte Greensfunktion für x0 > y0 .
Abbildung 5.1: Integrationswege für das Integral in (5.49). a) Für x0 > y 0 wird der Integrationsweg unten geschlossen, und es gibt Beiträge von beiden Residuen. b) Für x0 < y 0 wird der Integrationsweg oben geschlossen,
und das Integral verschwindet.
Integriert man entlang des in Abb. 5.2 gezeigten Integrationsweges, so erhält man den sogenannten FeynmanPropagator. Die Pole bei ±(ωp − i²) erhält man mit
Z
d4 p
i
DF (x − y) =
exp(−ip(x − y))
(5.50)
(2π)4 p2 − m2 + i²
Für x0 > y0 schließt man den Integrationsweg in der unteren Halbebene und das Residuum des Pols bei
+(ωp − i²) ergibt D(x − y). Für x0 < y0 schließt man den Integrationsweg in der oberen Halbebene und erhält
D(y − x). Also ist
DF (x − y) = h0| T (φ(x)φ(y)) |0i
(5.51)
Der Feynman-Propagator spielt eine große Rolle bei der Entwicklung der S-Matrix nach (5.15). Der Vollständigkeit halber wollen wir den Feynman-Propagator des Photon Felds angeben (ohne Herleitung).
DFµν = h0| T (Aµ (x)Aν (y)) |0i
³
´
pµ pν
µν
Z
d4 p −i g − (1 − ξ) p2
exp(−ip(x − y))
=
(2π 4 )
p2 + i²
(5.52)
39
Kapitel 5. Wechselwirkung, Störungstheorie
In der Feynman Eichung ist ξ = 1, in der Landau-Eichung ξ = 0
Abbildung 5.2: Integrationsweg für den Feynman-Propagator (5.50)
5.3.3
Elektron-Elektron-Streuung
Kommen wir zurück zur Möller-Streuung:
e− (p1 , r1 )e− (p2 , r2 ) 7→ e− (p3 , r3 )e− (p4 , r4 )
(5.53)
Der Beitrag 2.Ordnung Störungstheorie liefert folgendes Matrixelement:
M = (−i)2
e2
=
2
(−e)2
2!
Z
dx0 dx00 h0|a(3)a(4)T [: ψ(x0 )γ µ ψ(x0 ) : Aµ (x0 ) : ψ(x00 )γ ν ψ(x00 ) : Aν (x00 )]a† (1)a† (2)|0i =
Z
dx0 dx00 T (Aµ (x0 )Aν (x00 )) · u(4)γ µ u(2) exp(−ip2 x0 + ip4 x0 ) · u(3)γ ν u(1) exp(−ip1 x00 + ip3 x00 )
(5.54)
Hier steht a(1) beziehungsweise u(1) für a(~
p1 , ~r1 ) beziehungsweise u(~
p1 , ~r1 ) usw. Außerdem ergeben sich drei
weitere Terme. Wir verwenden
Z
dp
−igµν
0
00
0
00
T (Aµ (x )Aν (x )) ≡ h0|T (Aµ (x )Aν (x ))|0i =
·
exp(−ip(x0 − x00 ))
(5.55)
(2π)4 p2 + iε
(später)
und
Z
Z
dx0 dx00 exp(−ip2 x0 +ip4 x0 −ipx0 )·exp(−ip1 x00 +ip3 x00 +ipx00 ) = (2π)4 δ(p4 −p2 −p)(2π)4 δ(p3 −p1 +p) (5.56)
womit wir erhalten:
M=
1
·
2
e2
−igµν
(u(p4 )γ µ u(p2 )) (u(p3 )γ ν u(p1 ))
(2π)4 δ(p3 + p4 − p1 − p2 ) + 3 weitere Terme
2
(p4 − p2 )2 + iε
(5.57)
+ identischer Beitrag +
(5.58)
−
1
·
2
− identischer Beitrag
Damit erhalten wir das Matrixelement, wobei u(p1 ) ≡ u1 , u(p2 ) ≡ u2 , u(p3 ) ≡ u3 und u(p4 ) ≡ u4 :
·
¸
−igµν
−igµν
4
2
µ
ν
µ
ν
(u4 γ u2 )(u3 γ u1 ) −
(u3 γ u2 )(u4 γ u1 )
(2π) δ(p3 + p4 − p1 − p2 )e
(p4 − p2 )2 + iε
(p3 − p2 ) + iε
(5.59)
40
5.4. Erweiterung der Theorie auf Myonen
Es bleibt noch die Kinematik (im Schwerpunktsystem) zu betrachten:
·µ ¶ µ ¶¸2
E
E
(p4 − p2 ) =
−
= −(~
p4 − p~2 )2 = −|~
p4 |2 − |~
p2 |2 + 2|~
p4 ||~
p2 | cos θ = −2|~
p2 |2 (1 − cos θ)
p~4
p~2
2
(5.60)
θ ist der Winkel zwischen p~2 und p~3 bzw. p~1 und p~4 :
Entsprechend gilt:
(p3 − p2 )2 = −2|~
p2 |2 · (1 + cos θ)
(5.61)
Der Nenner ist singulär für θ = 0, π.
5.3.4
Bhabba-Streuung
Die Bhabba-Streuung beschreibt den Prozess e+ e− 7→ e+ e− . Das Matrixelement lautet h0|a(3)b(4)|S|a† (1)b† (2)|0i.
Wegen der Zerlegung
Z
i
Xh
ψ = de
k
exp(+ikx)v(~k) · b† (~k) + exp(−ikx)u(~k) · a(~k)
(5.62)
s
gilt:
bs (~
p)ψ(x) = exp(ipx)vs (~
p) und ψ(x)b†s (~
p) = exp(−ipx)v s (~
p)
(5.63)
Anstelle des Faktors us (~
p) exp(−ipx) (einlaufendes e− ) steht vs (~
p) exp(+ipx) (auslaufendes e+ ) und anstelle
−
von us (~
p) exp(+ipx) (auslaufendes e ) steht v s (~
p) exp(−ipx) (einlaufendes e+ ). Fassen wir also zusammen:
·
¸
−igµν
−igµν
µ
ν
µ
ν
(2π)4 δ(p3 + p4 − p1 − p2 )e2
γ
v
)
(u
γ
u
)
−
γ
v
)
(v
γ
u
)
(5.64)
(v
(u
2
4
3
1
3
4
2
1
(p4 − p2 )2 + iε
(p3 + p4 )2 + iε
Relevant ist die Bhabba-Streuung für Elektron-Positron-Collider wie LEP. Der erste Beitrag wird singulär für
kleine Streuwinkel.
5.4
Erweiterung der Theorie auf Myonen
L = LDirac (e) + LDirac (µ) + LMaxwell + LWW (e, A) + LWW (µ, A)
(5.65)
41
Kapitel 5. Wechselwirkung, Störungstheorie
LWW (µ, A) hat dieselbe Form wie LWW (e, A). S sieht im Wechselwirkungsbild aus wie folgt:
µ Z
¶
S = T exp −i [LWW (e, A) + LWW (µ, A)] dx =
Ã
"µZ
¶2 µZ
¶2
Z
(−i)2
= T 1 + (−i) [LWW (e, A) + LWW (µ, A)] dx +
LWW (e, A) dx +
LWW (µ, A) dx +
2!
µZ
¶ µZ
¶¸¶
+2
LWW (e, A) dx
LWW (µ, A) dx
(5.66)
Betrachten wir die Reaktion e+ e− 7→ µ+ µ− (1 + 2 7→ 3 + 4). Hierbei ergibt sich die Amplitude durch
h0|bµ (3)aµ (4)|S|b†e (1)a†e (2)|0i, wobei der nichtverschwindende Beitrag aus
Z
Z
i2 dx LW (e, A) dx0 LW (µ, A) ∼ (be + a†e )(b†e + ae )(bµ + a†µ )(b†µ + aµ )
(5.67)
folgt. Nur eine Kontraktion trägt bei, womit sich folgende Amplitude ergibt:
u(4)γ ν v(3)
5.5
−igµν
v(p1 )γ µ u(p2 )
(p3 + p4 )2 + iε
(5.68)
Feynman-Regeln
(Genauer findet man dies in Lehrbüchern!) Diagramme mit vorgegebenen ein- und auslaufenden Linien:
U Vertex: ieγ µ
U Elektron im Anfangszustand: u(p)
U Photon im Anfangszustand: εµ
U Elektron-Propagator:
U Photon-Propagator:
i (p
¢ + m)
p2 − m2 + iε
−ig µν
p2 + iε
Z
An jedem Vertex gilt Impulserhaltung! Über Schleifenimpulse wird mit
dk
integriert.
(2π)4
42
Kapitel 6
Von der Amplitude zum
Wirkungsquerschnitt
6.1
Phasenraum, Flussfaktor
Wir folgen dabei der Diskussion, wie sie im Otto Nachtmann: Elementarteilchenphysik“ (Vieweg Braun”
schweig) gegeben ist. Etwas genauer findet man dies jedoch bei C. Itzikson, J. Zuber: Quantum Field
”
Theory“ (McGraw-Hill Book Co., New York 1980).


X
X
Sfi = δfi + i(2π)4 δ 
pf −
pi  hf |T |ii
(6.1)
f
i
Dies definiert die (lorentz-invariante) T-Matrix. Betrachten wir speziell die Reaktion a1 (p1 ) + a2 (p2 ) 7→
b1 (p01 ) + . . . + bn (p0n ). Der Wirkungsquerschnitt ist hierbei folgendermaßen definiert:
σ=
Übergangsrate (≡ Zahl der Ereignisse/Zeit)
Fluss der einlaufenden Teilchen
(6.2)
Zähler und Nenner sind im vorgegebenen Lorentz-System
definiert. Beispielsweise sei a2 ruhend und a1 läuft
P
2 P
− )
ein. Es sei i 6= f : Was ist die Bedeutung von δ (V =∞
? Der Trick ist, dass wir zum endlichen Volumen
übergehen. Bisher haben wir Zustände folgendermaßen normiert:
Z
1
†
3
0
3
0
ha(~
p1 )|a (~
p1 )i = (2π) · 2p1 δ(~
p1 − p~2 ) = (2π) · 2p1
d~x exp [+i (~
p1 − p~2 ) ~x]
(6.3)
(2π)3
V =R3
Für endliches Volumen kann man schreiben:
ha(~
p1 )|a† (~
p1 )i = (2p01 )V
(6.4)
Für einen Ein-Teilchen-Zustand ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte als 2p01 . Wir benötigen außerdem den
Fluss φ ≡ |~v | · 2p0 = 2|~
p| ≡ Stromdichte. Wir nehmen an, dass sich je ein Teilchen der Sorte a1 , a2 im Volumen
V befindet. Dann lautet die Übergangswahrscheinlichkeit:


2
·
¸
X
X
1 1 1
2
dwfi = (2π)4 δ 
pf −
pi 
0 2p0 V 2 |hf |T |ii|
2p
1
2
i
f
Y
f =1,...,n
Ã
d3 p~f
(2π)3 · 2p0f
!
(6.5)
Dies gilt für einen n-Teilchen-Endzustand. Normierung der auslaufenden Zustände: [a, a† ] = (2π)3 · 2p0f !
43
Kapitel 6. Von der Amplitude zum Wirkungsquerschnitt
Wir nehmen darüber hinaus an, dass die Wechselwirkung nur in V und während der Zeit T wirksam sei.




X
X
X
X
pf −
pi  =
(2π)4 δ 
pf −
pi  (2π)4 δ 
f
dx exp i 
=
dx(2π)4 δ 
i
f
 
X
pf −
X
f
i
X
X

Z
=
i
 
Z
pf −

pi  x (2π)4 δ 

X

pi  =
(6.6)
i
f


X
X
pi  = T V (2π)4 δ 
pf −
pi 
i
f
pf −
X
i
f
Die Übergangsrate ist definiert durch die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit:


!
Ã
3
X
X
Y
TV
dwfi
1
d
p
~
f
2
=
(2π)4 δ 
|hf |T |ii|
pf −
pi 
3 · 2p0
T
T V 2 2p21 · 2p02
(2π)
f
i
f
(6.7)
f =1,...,n
Wie groß ist der Fluss? Falls sich ein Teilchen im Volumen V befindet, gilt:
φ = |~v |
1
|~
p1 | 1
= 0
V
p1 V
(6.8)
Der Wirkungsquerschnitt ergibt sich aus
dw
φT .
Im Ruhesystem von Teilchen 2 gilt:


!
Ã
X
X
Y
1
1
d3 p~f
2
4 

dσ =
(2π) δ
pf −
pi
|hf |T |ii|
3 · 2p0
| {z }
2|~
p1 | 2m2
(2π)
f
i
f
f =1,...,n
| {z }
{z
} Matrixelement
Flussfaktor |
(6.9)
Phasenraum
Der Phasenraum ist universell und Lorentz-invariant. Auch das Matrix-Element ist lorentz-invariant; hängt
aber vom jeweiligen Prozess ab. Wenn wir über den Phasenraum integrieren, schreiben wir zukünftig:
Z
dLIPS(n) ≡ lorentz-invariant phase space (lorentz-invarianter Phasenraum)
(6.10)


X
X
(2π)4 · δ 
pf −
pi  ·
i
f
f =1,...,n
Kovariante Schreibweise:


X
X
(2π)4 δ 
pf −
pi 
i
f
Ã
Y
Y
f =1,...,n
Ã
d3 p~f
(2π)3 · 2p0f
d3 p~f
(2π)3 · 2p0f
!
≡ dLIPS(n)
(6.11)

!
= (2π)4 δ 

X
f
pf −
X
i
pi 
Y
f =1,...,n
(2π)δf (p2f − m2f )
d4 pf
(2π)4
(6.12)
Der Fluss-Faktor ist 2|~
p1 | · 2m2 und kann in kovarianter Form geschrieben werden. Im Ruhesystem von a2 ist
er gegeben durch:
¡
¢1
¡
¢1
£
¤1
2|~
p1 | · 2m2 = 4 p~21 · m22 2 = 4 E12 m22 − m21 m22 2 = 4 (p1 p2 )2 − m21 m22 2
(6.13)
Damit ergibt sich der Wirkungsquerschnitt aus:
Z
dσ =
Z
1
4 [(p1 p2
)2
−
2
1
m21 m22 ] 2
|hf |T |ii| dLIPS(n)
(6.14)
Beispielsweise hat man für n = 2 sechs Integrationen. Aufgrund der vier δ-Funktionen bleiben jedoch nur zwei
Winkelintegrationen.
44
6.2. Quadrat der Amplitude, Summation über Spins
Teilchenzahl Integrationen δ-Funktionen Verbleibende Integrationen
n=2
6
4
2
n=3
9
4
5
Bei drei Teilchen im Endzustand liegen die Impulse in einer Ebene:
Die Orientierung im Raum wird durch drei Eulerwinkel beschrieben; als zwei verbleibende Variable kann
man beispielsweise E1 und E2 (Dalitz-Variablen) wählen. Bei Zerfällen ergibt sich anstelle des Flussfaktors
1
als Koeffizient 2M
.
6.2
Quadrat der Amplitude, Summation über Spins
Wir betrachten den Prozess e+ (2)e− (1) 7→ µ+ (4)µ− (3) mit q = p1 + p2 .
M = (−ie) [v e+ γ α ue− ]
−igαβ
ie2
β
− γ vµ+ =
(−ie)u
(v(2)γ α u(1)) (u(3)γα v(4))
µ
q2
q2
(6.15)
Die Indizes 1 und 2 stehen für p1 , s1 , . . .. Wenn der Spin nicht beobachtet wird, wird über die Spins im
Endzustand summiert und über die Spins im Anfangszustand gemittelt.

 

³
´
4
X
X
X
?
0
e
?
|M|2 = 4 
(v(2)γ α u(1)) v(2)γ α u(1)  · 
(u(3)γα v(4)) (u(3)γα0 v(4))  (6.16)
q
+ −
+
−
Spins
6.2.1
Spins: e ,e
Spins: µ ,µ
Zwischenrechnung: Spin-Summen
Wir betrachten folgendes Beispiel, wobei Γ für eine beliebige Kombination von γ-Matrizen steht:
X
Spins 1,2
|u(1)Γu(2)|2 =
X
¡
¢
(u(1)Γu(2)) u† (2)Γ† u† (1) =
Spins 1,2
X
¡
¢
(u(1)Γu(2)) u† (2)(γ 0 γ 0 )Γ† (γ 0 γ 0 )u† (1)
Spins 1,2
(6.17)
Wir erinnern uns an u = u† γ 0 und definieren Γ = γ 0 Γ† γ 0 , womit wir dies umschreiben können zu:
X
¡
¢
(u(1)Γu(2)) u(2)Γu(1)
(6.18)
Spins 1,2
Weiterhin gilt:
X
uσ (2)u% (2) = (p
¢2 + m1)σ%
(6.19)
Spins 1,2
Im Ruhesystem vergewissern wir uns, dass die Formel stimmt:
 
 


1
0
1
0 ¡
1 ¡
0
¢
¢ 
 
 


2m 
0 1 0 0 0 % + 0 0 1 0 0 %  = 2m 0
0 σ
0 σ
0
Somit erhält man:
X
£
¤
|u(1)Γu(2)|2 = Sp Γ(p
¢2 + m1)Γ(p
¢1 + m1)
0
1
0
0
0
0
0
0

0
0

0
0 σ%
(6.20)
(6.21)
Spins 1,2
Für Antiteilchen gilt vσ (1)v % (1) = (p
¢1 − m1)σ% .
45
Kapitel 6. Von der Amplitude zum Wirkungsquerschnitt
6.2.2
Berechnung des Quadrats der Amplitude
Kommen wir nun zu unserer Amplitude zurück und verwenden γ µ = γµ :
|M|2 =
³
´
i
0
e4 X h
(v(2)γ α u(1)) (u(3)γα v(4)) u(1)γ α v(2) (v(4)γα0 u(3)) =
2
2
(q )
Spins
h
i
e
α0
= 2 2 Sp γ α (p
1 + m)γ (p
2 − m) Sp [γα (p
¢
¢
¢4 − M )γα0 (p
¢3 + M )]
(q )
4
(6.22)
Für die Auswertung solcher Spuren gilt (siehe Übungszettel):
Sp(a
¢¢b) = 4a · b
(6.23)
Sp(a
¢) = 4 ((a · b)(c · d) − (a · c)(b · d) + (a · d)(b · c))
¢¢b¢cd
(6.24)
Steht außerdem eine γ-Matrix mit offenem Index“ innerhalb der Spur, so ergibt sich beispielsweise:
”
α
α
α
Sp(γ α¢b¢cd
¢) = 4 (b (c · d) − c (b · d) + d (b · c))
(6.25)
Wir werten die Spur aus. Dazu betrachten wir m = me ¿ M , setzen also m = 0. Nach Integration über den
Phasenraum erhalten wir:
4π α2
σ=
3 s
µ
¶r
4M 2
2M 2
1−
1+
s
s
(6.26)
46
Kapitel 7
Schleifen-Diagramme
7.1
Beispiel: φ4 -Theorie
Betrachten wir zunächst eine skalare φ4 -Theorie:
L =:
S=
1
1
λ
λ
(∂µ φ)2 : − m2 : φ2 : − : φ4 : mit LWW = − : φ4 :
2
2
4!
4!
Z
Z
X in Z
T dx0 dx00 . . . dx(n) LWW (x0 )LWW (x00 ) . . . LWW (x(n) )
n!
n
(7.1)
(7.2)
Speziell für die 2-Teilchen-Streuung 1 + 2 7→ 3 + 4 ist das Matrixelement h0|a(3)a(4)||S||a† (1)a† (2)|0i von
Bedeutung.
1.) Bornsche Näherung:
Ein typischer Term der Bornschen Näherung ergibt sich aus:
Z
¯ E
D ¯
(−i)λ
¯
¯
Born
Sfi
= 0¯a(3)a(4) :
dx0 : φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 ) : a† (1)a† (2)¯0 + . . .
4!
(7.3)
Hierbei gilt φ(x0 )a† (1) = exp(−ip1 x0 ) und außerdem sind 4! Permutationen zu berücksichtigen.
Z
SfiBorn = −iλ
dx0 exp [i (p3 + p4 − p1 − p2 ) x0 ] = −iλ · (2π)4 · δ(p3 + p4 − p1 − p2 ), also Tfi = −λ (7.4)
2.) Ordnung λ2 :
¿ ¯
Z
¯ À
1 (−iλ)2
¯
¯
0
00
0
0
0
0
00
00
00
00
†
†
0¯a(3)a(4) : ·
dx dx T : φ(x )φ(x )φ(x )φ(x ) :: φ(x )φ(x )φ(x )φ(x ) : a (1)a (2)¯0
2 (4!)2
(7.5)
Mittels des Wickschen Theorems erhalten wir typische Beiträge.
a.) Die Kontraktionen von a† (1), a† (2) mit a(3), a(4) verschwinden, da h0|a(3)a† (1)|0i ∼ δ(~
p3 − p~1 ) = 0
(wegen p~3 6= p~1 ) ist. Also bleiben nur φa, φa† oder φ(x0 )φ(x00 ).
b.) Kontrahiert man drei oder vier der φ(x0 ) mit a oder a† , so bleiben für φ4 (x00 ) nur zwei oder null
Operatoren frei, also zu wenig.
c.) Es bleiben beispielsweise beide a† mit φ(x00 ) oder auch beide a mit φ(x0 ).
Sfi1-Schleifen =
(−iλ)2
2 · 4!
Z
dx0 dx00 T [Terme]
(7.6)
47
Kapitel 7. Schleifen-Diagramme
U Typ ¬:
¯
¯
¯ +
* ¯
¯
¯
¯
¯
0 ¯a(3)a(4) : φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 ) :: φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 ) : a† (1)a† (2)¯ 0
¯
¯
¯
¯
(7.7)
Es gibt weitere 2 · (4 · 3)2 identische Möglichkeiten, bei denen a(3), a(4) mit φ(x0 )φ(x0 ) kontrahiert
wird. Die Kontraktion von a(3)a(4) mit φ(x00 )φ(x00 ), beispiwelsweise wie folgt
*
+
¯
¯
¯
¯
0¯a(3)a(4) : φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 ) :: φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 ) : a† (1)a† (2)¯0
(7.8)
ergibt nochmals das gleiche Resultat. Insgesamt folgt ein Faktor 4!.
U Typ ­:
¯ E
D ¯
¯
¯
0¯a(3)a(4) : φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 ) :: φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 ) : a† (1)a† (2)¯0
(7.9)
Es gibt wiederum (4!)2 identische Möglichkeiten.
U Typ ®:
¯ E
D ¯
¯
¯
0¯a(3)a(4) : φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 )φ(x0 ) :: φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 )φ(x00 ) : a† (1)a† (2)¯0
(7.10)
Auch hier exisitieren 4! Möglichkeiten.
Auswertung des ersten Terms S1 :
Z
S1 = (−iλ)2 dx0 dx00 exp [i (p3 x0 + p4 x0 − p1 x00 − p2 x00 )] · h0|T φ(x0 )φ(x00 )|0i · h0|T φ(x0 )φ(x00 )|0i (7.11)
Fouriertransformation:
Z
dp
i
h0|T φ(x0 )φ(x00 )|0i =
exp [−ip (x0 − x00 )]
4
2
(2π) p − m2 + iε
Eingesetzt ergibt:
Z
Z
2
0
00
S1 =(−iλ)
dx dx
Z
dp
dq
i
i
·
∗
(2π)4
(2π)4 (p2 − m2 + iε) (q 2 − m2 + iε)
∗ exp [ix0 (p3 + p4 − p − q) + ix00 (−p1 − p2 + p + q)]
Integration über x0 und x00 liefert zwei δ-Funktionen:
Z
Z
dp
dq
i
i
S1 = (−iλ)2
· 2
·
4
4
2
2
(2π)
(2π) (p − m + iε) (q − m2 + iε)
4
(7.12)
(7.13)
(7.14)
4
· (2π) · δ(p3 + p4 − p − q) · (2π) · δ(−p1 − p2 + p + q)
Wir erhalten mit p = p1 + p2 − q:
2
4
(−iλ) · (2π) · δ(p3 + p4 − p1 − p2 ) ·
Z
dq
i
i
·
(2π)4 (q 2 − m2 + iε) [(q − p1 − p2 )2 − m2 + iε]
(7.15)
Interpretation von S1 im Ortsraum:
48
7.2. Divergenz-Verhalten, qualitative Anmerkungen und Beispiele
Interpretation von S1 im Impulsraum:
Integriert wird über p und q. Betrachten wir den Beitrag von S2
Ortsraum
Impulsraum
Der Beitrag ¬ hängt nur von (p1 + p2 )2 = s ab, der Beitrag ­ nur von (p1 − p3 )2 = t. Der Beitrag ®,
der hier nicht gezeigt wird, hängt nur von (p1 − p4 )2 = u ab. Allgemein gilt:
U Jeder Propagator:
Z
dp
1
4
2
(2π) p − m2 + iε
(7.16)
U Jeder Vertex:
4
(2π) · (−iλ) · δ
Ã
X
!
pi
(7.17)
i
Man erhält damit Ein-Schleifen-Diagramme mit n Propagatoren, n Vertizes
in der Schleife und einer
Z
dq
.
δ-Funktion für globale Impulserhaltung. Damit bleibt eine Integration:
(2π)4
Zwei-Schleifen-Diagramme:
Z
Man habe n Propagatoren und n−1 Vertizes. Dann bleiben zwei Integrationen, nämlich
7.2
dq
und
(2π)4
Z
dq 0
.
(2π)4
Divergenz-Verhalten, qualitative Anmerkungen und Beispiele
Wir nehmen an, dass das Divergenzverhalten der Integrale durch Abzählen der Impuls-Potenzen bestimmt ist
(Power Counting).
49
Kapitel 7. Schleifen-Diagramme
Beispiel:
Z
d4 q
1
1
·
(q 2 − m2 + iε) (q − p1 − p2 )2 − m2 + iε
(7.18)
Für feste p1 , p2 , m und große q 2 ist der Integrand proportional zu (q12 )2 . Im Impulsraum ergibt sich eine
logarithmische Divergenz. Es handelt sich im Ortsraum um das Quadrat einer singulären Funktion.
Sechs-Teilchen-Reaktionen und auftretende Divergenzen:
Betrachten wir eine Sechs-Teilchen-Reaktion in Ein-Schleifen-Näherung
Man kommt hierbei auf Integrale mit Hochenergieverhalten der Form:
Z
d4 q
(2π)4
µ
1
q2
¶3
(7.19)
Diese sind ultraviolett-konvergent. Ebenso gilt das für Acht-Teilchen-Reaktionen.
Zwei-Schleifen-Beiträge zum Propagator:
führt auf:
Z
Z
d4 q
d4 r
1
1
1
(−iλ)2
·
·
4
(2π)
(2π)4 (q 2 − m2 + iε) (r2 − m2 + iε) (p − q + r)2 − m2 + iε
(7.20)
Dies divergiert quadratisch. UV-Divergenzen treten nur bei Korrekturen zum Propagator und zum VierTeilchen-Vertex auf (modulo Subdiagramme!). In der φ4 -Theorie können alle Divergenzen von S-Matrixelementen
durch Umdefinition von λ und m absorbiert werden. (zuzüglich Wellenfunktionsrenormierung, siehe später).
Eine renormierbare Theorie besagt, dass die Divergenzen durch Umdefinition der Parameter λ, m absorbiert
werden. (Im Gegensatz hierzu treten bei renormierbaren Theorien, wie beispielsweise mit LWW = −κ · φ6 , in
höheren Ordnungen immer wieder neue Typen von divergenten Streuamplituden auf.)
50
Kapitel 8
Regularisierung und Renormierung
Ausgangspunkt der Diskussion ist die Quantenelektrodynamik. Es soll uns im folgenden möglich sein, die
divergenten Integrale zu berechnen, indem wir einem Abschneide-Parameter ( Cut-Off“) Λ einführen. Man
”
bezeichnet dieses Vorgehen als Regularisierung. Die Resultate hängen ab von e0 , m0 und Λ, welches groß zu
~ welche dieses in einem
wählen ist! Experimentell lässt sich die Ladung des Elektrons durch die Kraft F~ = e · E,
statischen elektrischen Feld erfährt, bestimmen. In der regularisierten Theorie findet man:
µ
µ
¶¶
µ
µ
¶
µ
¶¶
¸
·
Λ
ˆ2 + â2 · ln Λ + a2 · ln2 Λ
+ e40 · â
+ ...
(8.1)
e = e0 · 1 + e20 · â1 + a1 · ln
m0
m0
m0
Ebenso gilt:
·
µ
µ
¶¶
¸
Λ
2
m = m0 · 1 + e0 · b̂1 + b1 · ln
+ ...
m0
(8.2)
e0 ist aber experimentell nicht beobachtbar! Wir halten deshalb e, m fest und variieren e0 , m0 mit Λ. Die
nackten“ Größen divergieren nun mit Λ, sind aber nicht beobachtbar. Kommen wir zur Renormierungs”
theorie: Berechne die physikalische Amplitude A als Funktion von e0 , m0 , Λ in der regularisierten Theorie: A = F (e0 , m0 , Λ). Ersetze e0 = e0 (e, m, Λ) und m0 = m0 (e, m, Λ) durch Inversion von (8.1). Betrachte
A = F (e0 (e, m, Λ), m0 (e, m, Λ), Λ) als Funktion von Λ bei festem e, m. Im Rahmen der Renormierungstheorie
lässt sich beweisen, dass A im Limes Λ 7→ ∞ endlich bleibt.
51
Kapitel 8. Regularisierung und Renormierung
52
Kapitel 9
Strahlungskorrekturen/
Quantenkorrekturen in der
Quantenelektrodynamik
9.1
Einführung
Wir erinnern uns an die Entwicklung der S-Matrix
· Z
¸
LWW 4
S = T exp +i
d x
~
(9.1)
nach Potenzen von LWW
~ , welche zu den Feynman-Regeln führt. Zur Elektron-Positron-Streuung tragen beispielsweise folgende Feynman-Graphen bei:
Dies ist natürlich keine vollständige Liste. Das Divergenzverhalten schätzen wir mittels power counting“ ab:
”
Z
d4 k 1 1 1 1
a.),b.)
: im UV-Limes (für k À äußere Impulse) konvergent
(2π)4 k¢ k¢2 k¢ k¢2
Z
d4 k 1 1 1
: logarithmische Divergenz
c.)
(2π)4 k¢ k¢2 k¢
Z
d4 k 1 1
d.)
: lineare Divergenz
(2π)4 k¢ k¢2
Z
d4 k 1 1
e.)
: quadratische Divergenz
(2π)4 k¢ k¢
53
Kapitel 9. Strahlungskorrekturen/ Quantenkorrekturen in der Quantenelektrodynamik
Wir beschränken die folgende Diskussion auf die Schleifenanteile, und zwar lediglich auf die UV-divergenten
Schleifen.
Bei den Baumgraphen-Anteilen ist der Impuls der Propagatoren jeweils durch den äußeren Impuls festgelegt.
Wir untersuchen deshalb folgende Bausteine:
9.2
Berechnung und Interpretation der Vakuum-Polarisation“
”
In Figur (e) wird quasi der Photon-Propagator
0
−igµ µ
(−1) ·
·
(p1 + q1 )2 + iε
−i
= 2
·
q + iε
−igµν
aus der Bornschen Näherung ersetzt durch:
(p1 + q1 )2 + iε
·
¸
0
−ig ν ν
i
d4 k
i
0) ·
0) ·
·
·
(−ieγ
·
Sp
(−ieγ
=
ν
µ
2
(2π)4
k¢ − m + iε
k¢ − p
¢1 − ¢q 1 − m + iε } (p1 + q1 ) + iε
|
{z
Z
≡−iΠµ0 ν 0 (q)
¸
d k
i
i
−i
· (−1) · Sp (−ieγµ ) ·
· (−ieγν ) ·
·
mit q ≡ p1 + q1
(2π)4
k¢ − m + iε
k¢ − ¢q − m + iε q 2 + iε
|
{z
}
Z
4
·
≡iΠµν (q)
(9.2)
Der Vorfaktor (−1) kommt durch die geschlossene Fermion-Schleife. Wegen der Eichinvarianz erwarten wir
q µ Πµν (q) = 0. Begründung: Für reelles äußeres Proton (q 2 = 0, qµ 6= 0) taucht die Vakuum-Polarisation
ebenfalls auf. Beispiel:
(9.3)
54
9.2. Berechnung und Interpretation der Vakuum-Polarisation“
”
Das Resultat bleibt unverändert bei Eichtransformationen Aµ (q) 7→ Aµ (q) + qµ f (q 2 ), wobei für ein reelles
Photon q 2 = 0 ist. Daraus ergibt sich q µ Πµν = 0. Wegen der Stromerhaltung ∂ µ jµ = 0, q µ jµ (q) = 0 gilt dies
jedoch formal auch für q 2 6= 0. Die lässt sich auch explizit zeigen:
·
¸
Z
1
d4 k
1
2
2
q µ iΠµν = (−1) ·
·
(−ie)
·
(i)
·
Sp
·
q
·
·
γ
ν =
(2π)4
k¢ − ¢q − m + iε ¢ k¢ − m + iε
·
¸
Z
£
¤
d4 k
1
1
2
2
= (−1) ·
· (−ie) · (i) · Sp
· (k¢ − m) − (k¢ − ¢q − m) ·
· γν =
(2π)4
k¢ − ¢q − m + iε
k¢ − m + iε
·µ
¶
¸
Z
d4 k
1
1
= −e2
· Sp
−
· γν
(2π)4
k¢ − ¢q − m + iε k¢ − m + iε
(9.4)
Für ein endliches Integral würde man nun im ersten Term k 0 = k − q setzen und für den Integranden somit
den Wert 0 erhalten. Führt man an dieser Stelle einen Abschneide-Parameter ( Cut-off“) Λ mit k 2 < Λ2 ein,
”
so ergibt sich nicht Null! Wählt man eine geschicktere Regularisierung (dimensionale Regularisierung oder
Pauli-Villars, so erhält man q µ Πµν = 0. Daraus ergibt sich
¡
¢
Πµν (q) = i qµν q 2 − qµ qν Π(q 2 )
(9.5)
was unmittelbar aus dem Ansatz Πµν = gµν Π1 (q 2 ) + qµ qν Π2 (q 2 ) mit Π1 = −q 2 Π2 folgt.
9.2.1
Interpretation: Ladungsrenormierung
Betrachten wir den Photon-Propagator:
Terme ∼ q µ q ν verschwinden, wenn sie an erhaltenen äußeren Strom koppeln. Also folgt:
µ
¶
¤ −igµν
−igµν £
1
2
2 2
3 2
1
+
Π(q
)
+
Π
(q
)
+
Π
(q
)
+
.
.
.
=
q2
q2
1 − Π(q 2 )
(9.6)
Solange Πµν die Form (g µν q 2 − q µ q ν )Π(q 2 ) hat und Π(q 2 ) regulär bei q 2 = 0 ist, bleibt der Pol des Propagators
bei q 2 = 0 und damit bleibt mγ = 0.
a.) Betrachte nun die Streuung bei kleinem q 2 :
∼
1
e20
·
2
q 1 − Π(q 2 )
für q 2 7→0
=
e20
1
e2
· 2 ≡ 2
1 − Π(0) q
q
(9.7)
Definition:
e20
≡ e20 · Z3 = e2 oder e20 (1 + δZ3 ) ≡ e2
1 − Π(0)
(9.8)
e0 bezeichnet man als nackte Ladung und e als physikalische Ladung. Die Renormierungskonstante
Z3 ist definiert durch:
1
= Z3 = 1 + δZ3
1 − Π(0)
(9.9)
55
Kapitel 9. Strahlungskorrekturen/ Quantenkorrekturen in der Quantenelektrodynamik
In führender Ordnung gilt δZ3 = Π(0). Diskussion der q 2 -Abhängigkeit der Streuamplitude!. Definiere
Π̂(q 2 ) ≡ Π(q 2 ) − Π(0).
e20
e20
e2
bis auf Terme höherer Ordnung in e0
=
=
q 2 (1 − Π(q 2 ))
q 2 (1 − Π(0) − Π̂(q 2 ))
q 2 (1 − Π̂(q 2 ))
(9.10)
Nach längerer Rechnung (die später präsentiert wird) ergibt sich
Z1
2α
Π̂(q ) = −
·
π
2
h
i
x(1 − x) · − log(∆) + log(∆)|q2 =0 dx mit ∆ = m2 − x(1 − x) · q 2
(9.11)
¸
·
q2
x(1 − x) · log 1 − x(1 − x) · 2 dx
m
(9.12)
0
und somit:
2α
Π̂(q ) = +
π
Z1
2
0
U Verhalten für kleine
2α q 2
Π̂(q ) = −
·
·
π m2
q2
m2 :
Z1
2
x2 (1 − x)2 dx = −
0
1 α q2
· ·
15 π m2
(9.13)
Den Beitrag zum Potential im nichtrelativistischen Grenzfall erhält man für q 2 = −~q2 .
·
¸
e2
1 α ~q2
e2
1 α e2
1
+
·
·
= 2+
· ·
2
2
~q
15 π m
~q
15 π m2
Man erhält für kleine Impulsüberträge eine Abänderung des Potentials der Ordnung
ergibt sich
Z
d~q
exp(i~q · ~r) = δ(~r)
(2π)3
und (mit α =
e2
4π
α
π.
(9.14)
Im Ortsraum
(9.15)
(~ = c = 1)):
α α2 4
+
·
· δ(~r)
r
15 m2
(9.16)
Dies liefert einen zusätzlichen kurzweitreichigen Beitrag zum Potential und somit einen Beitrag zur
Lamb-Shift (Aufspaltung zwischen s- und p-Niveaus).
b.) Verhalten bei großen positiven oder negativen
2α
Π̂(q ) =
·
π
Z1
2
=
2α
·
π
2α
=
·
π
· µ
x(1 − x) log −
0
Z1
0
q2
2
m − iε
¶
q2
m2 :
µ
¶¸
m2 − iε
+ log x(1 − x) −
dx =
q2
· µ
¶
µ 2 ¶¸
q2
m
x(1 − x) · ln − 2 − iε + ln(x(1 − x)) + O
dx =
m
q2
"Z1
(9.17)
#
µ
¶ Z1
q2
x(1 − x) dx · ln − 2 − iε + x(1 − x) · ln(x(1 − x)) dx
m
0
0
|
|
{z
}
{z
}
= 16
5
=− 18
=const.
Damit erhalten wir mit ln(x + iε) = ln |x| + iπθ(x):
µ µ 2¶
¶
q
5
α
2
· ln
+ θ(q ) · iπ −
Π̂(q ) =
3π
m2
3
2
(9.18)
56
9.2. Berechnung und Interpretation der Vakuum-Polarisation“
”
Für große q 2 gilt damit für den Propagator:
³
q2 · 1 −
e2
α
3π
· ln
³
q2
m2
´
´
(9.19)
+ ...
Die effektive Ladung wächst mit q 2 ! Der Ausdruck divergiert, falls der Nenner des Bruchs null wird:
µ 2¶
µ ¶
α
q
3π
2
2
1−
ln
=
0
⇒
q
=
m
·
exp
(9.20)
3π
m2
α
Man bezeichnet diese kritische Stelle als Landau-Pol. Wählen wir für m die Elektronmasse me =
”
0, 511 MeV, so ergibt sich:
µ ¶
3π
me
(9.21)
|~q| ≈ exp
2α
9.2.2
Bedeutung des Imaginärteils der Vakuum-Polarisation
Wir betrachten den Fall q 2 > 0:
 1

Z
2α
Im[Π(q 2 )] =
· Im  x(1 − x) · ln(m2 − iε − q 2 · x(1 − x)) dx =
π
0
 1

Z
¡ 2
¢
2α 
=
·
x(1 − x) · π · θ q · x(1 − x) − m2 dx
π
(9.22)
0
Bestimmt man die Nullstellen des Ausdrucks innerhalb der θ-Funktion, so erhält man als neuen Integrationsbereich
s
s
1 1
4m2
1 1
4m2
− · 1− 2 <x< + · 1− 2
(9.23)
2 2
q
2 2
q
wobei q 2 > 4m2 gelten muss, sonst verschwindet das Integral. Damit ergibt sich:

q
µ
¶ s
2
1
1
2

1− 4m

2m
4m2
α
2
2+2·
q

Z

· 1+ 2
· 1− 2
für
3
q
q
Im[Π(q 2 )] = 2α
x(1 − x) dx =


q

2

1
1
1− 4m
2
0
sonst
2−2·
q
Interpretation im Zusammenhang mit dem optischen Theorem:
¯
¯2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Im[Π(q 2 )] ∼ ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Zur Erinnerung (mit me = 0, mµ = m):
µ
¶ r
4π α2
2m2
4m2
+ −
+ −
σ(e e 7→ µ µ ) =
·
· 1+
· 1−
3
s
s
s

Im 
q 2 ≥ 4m2
(9.24)
(9.25)
(9.26)

=
(9.27)
57
Kapitel 9. Strahlungskorrekturen/ Quantenkorrekturen in der Quantenelektrodynamik
9.2.3
Renormierung der äußeren Photonlinien (Interpretation der Wellenfunktionsrenormierung)
Wenn wir – ausgehend von einer äußeren Quelle – ein Photon ankoppeln, so taucht ebenfalls die Vakuumpolarisation auf:
√
Entweder werden Blasen
in äußeren Linien nicht berücksichtigt und εµ exp(−ikx) wird durch Z3 ·εµ exp(−ikx)
√
ersetzt
(liefert e0 · Z3 = eR , Wellenfunktionsrenormierung) oder sie werden berücksichtigt und es wird durch
√
Z3 dividiert.
9.3
Selbstmasse des Elektrons/Der Elektron-Propagator
In inneren (p2 6= m2 ) und äußeren Linen tritt das Selbstenergie-Diagramm“
”
auf, welches bei inneren Linien zur Abänderung des Elektron-Propagators und bei äußeren Linien zur ElektronWellenfunktionsrenormierung beiträgt.
Z
d4 k
(−i)
i
2
· γν
(9.28)
−iΣ(p)
≡
(−ie)
·
· γν ·
¢
(2π)4 k 2 − µ2 + iε
p
−
k
−
m
+
iε
¢
¢
Hierbei wurde eine kleine Photonmasse µ eingeführt und für den Photon-Propagator die Feynman-Eichung
−igµν
verwendet. Außerdem gilt:
k 2 + iε
1
p
¢ − k¢ + m
=
(p
−
k)2 − m2 + iε
p
−
k
−
m
+
iε
¢ ¢
(9.29)
Wir wenden an dieser Stelle wieder den Feynman-Trick an, nämlich die Kombination der Produkte. Die
logarithmische Divergenz wird regularisiert, indem wir Σ(µ2 7→ Λ2 ) abziehen, wobei Λ2 À m2 , Λ2 À µ2 und
Λ2 À p2 gelte. Im folgenden sei Σ(p)
¢ das regularisierte Σ(p).
¢
Σ(p)
¢ = Σµ2 − ΣΛ2
α
=
·
2π
µ
Z1
[2m − px]
¢ · ln
0
Λ2 · x
m2 (1 − x) + µ2 · x − p2 · x(1 − x) − iε
¶
dx
(9.30)
Achtung: Es tauchen Terme ∼ 1 und ∼ p
¢ auf; diese Terme sind voneinander unabhängig! Bei der Vakuumpolarisation hingen dagegen die gµν - und kµ -kν -Terme voneinander ab.
9.3.1
Renormierung der Elektronenmasse und des Elektron-Propagators
Für den Elektron-Propagator erhält man:
58
9.3. Selbstmasse des Elektrons/Der Elektron-Propagator
Dann ergibt sich mit der geometrischen Reihe:
"
#
µ
¶ µ
¶2
£
¤
i
i
i
i
Σ(p)
Σ(
p)
¢
¢
+
· −iΣ(p)
+ ... =
¢ · p − m0 + . . . = p − m0 · 1 + p − m0 + p − m0
p
p
¢ − m0
¢ − m0
¢
¢
¢
¢
i
³
i
´=
=
Σ(p)
p
¢
(p
¢ − m0 − Σ(p)
¢
¢ − m0 ) · 1 − ¢p−m
0
Der Pol soll bei m = mR liegen. Damit ergibt sich folgende Forderung an m0 :
¢¯
¡
¯
p
¢ − m0 − Σ(p)
¢ ¢p=m = 0
(9.31)
(9.32)
In der Umgebung von p
¢ ≈ m folgt mit einer Taylor-Entwicklung:
!
Ã
¯
¡
¢
dΣ ¯¯
2
+ O((p
p
¢ − m) )
¢ − m0 − Σ(p)
¢ = (p
¢ − m) 1 − dp ¯
¢ ¢p=m
(9.33)
Der Propagator hat nahe am Pol die Form (wobei Z2 die Wellenfunktionsrenormierungskonstante ist):
¯
¯
dΣ ¯¯
Z2
dΣ ¯¯
−1
mit Z2 = 1 −
und δZ2 =
(9.34)
¯
¯
p
dp
dp
¢−m
¢ ¢p=m
¢ ¢p=m
Wir berechnen den divergenten Anteil der Massenrenormierung:
α
δm = mR −m0 =
·m0 ·
2π
µ
Z1
(2−x)·ln
0
Λ2
2
(1 − x) m20 + xµ2
¶
Λ7→∞
dx −−−−→ δm =
3α
·m0 ·ln
4π
µ
Λ2
m20
¶
+const. (9.35)
Damit können wir schreiben:
i
i
¡ −1
¢
=
=
2
(
p
−
m
)
−
δm
+
Z
−
1
+ O((p
p
−
m
−
Σ(
p)
0
0
2
¢
¢ − m) ) · (p
¢ − m0 )
¢
¢
i
i · Z2
¡
¢
=
=
=
2
2 ) · (p − m )
(
p
−
m
)
·
(1
+
Z
·
−δm + Z2−1 + O((p
−
m)
0
2 O((p
0
¢
¢ − m) )) − Z2 · δm
¢
¢
=
i · Z2
2
(p
−
m
−
δm)
· (1 + O((p
0
¢
¢ − m) ))
(9.36)
Wir bezeichnen mit m0 +δm ≡ mR die physikalische Masse m! Z2 spielt eine ähnliche Rolle wie Z3 , wird jedoch
nicht durch Ladungsrenormierung kompensiert, sondern für innere Linien durch direkte Kompensation mit
divergenten Anteilen der Vertizes (siehe unten); bei äußeren Linien ergibt Z3 die Wellenfunktionsrenormierung.
9.3.2
Vertexkorrektur
Betrachten wir folgendes Diagramm:
Ohne äußere Spinoren:
Z
d4 k
(−i)
i
i
0
2
Λµ (p , p) = (−ie) ·
· γν · 0
· γµ ·
· γν
(2π)4 (k 2 − µ2 + iε)
(p
−
k
−
m
+
iε)
(
p
−
k
−
m
+
iε)
¢
¢
¢
¢
(9.37)
59
Kapitel 9. Strahlungskorrekturen/ Quantenkorrekturen in der Quantenelektrodynamik
Wir haben zur Regularisierung der Infrarotdivergenzen eine kleine Photonmasse µ eingeführt. Es treten zwei
linear unabhängige äußere Impulse auf, nämlich p und p0 mit p2 = p02 = m2 und bei Streuung p0 , p00 > 0. Für die
e+ -e− -Vernichtung ist p0 > 0 und p00 < 0. Wir betrachten das Verhalten für p0 − p ≡ q 7→ 0 mit q 2 < 0. Λµ (p, p)
ist eine Matrix im Spinorraum mit einem Lorentz-Index, welche nur von p (und λ2 ) abhängt. Mögliche
Formen sind mγµ f1 (p2 ) oder auch pµ f2 (p2 )1. Diese Möglichkeiten sind nicht linear unabhängig, denn es gilt
zwischen Spinoren u(p) und u(p):
Dirac
mγµ = pγ
¢ µ
Antivertauschung
=
2pµ − γµ p
¢ = 2pµ − γµ m
(9.38)
Somit ist Λµ (p, p) ∼ γµ im Limes q 7→ 0. Wir berechnen Λµ nach Regularisierung.
Λµ = Λµ (Photonmasse = µ) − Λµ (Photonmasse (Regulatormasse) = ΛR )
(9.39)
Wir definieren:
¡
¢
u(p) · Λµ (p, p) · u(p) = Z1−1 − 1 · uγµ u [+anomales magnetisches Moment ∼ qµ ]
(9.40)
Der Sinn dieser Definition ist folgender: Born[γµ ]+1-Schleifen-Korrektur ⇒ Z1−1 . Es gilt außerdem ganz
allgemein die Ward-Identität:
Λµ (p, p) = −
∂Σ(p)
∂pµ
(9.41)
Sie ist von entscheidender Bedeutung für eine große Zahl von Beweisen in der Renormierungs-Theorie. Die
Identität folgt durch Vergleich der Integranden. Beachte weiterhin:
µ
¶
∂
1
1
1
− µ
· γµ ·
(9.42)
=
∂p
p
p
p
¢ − k¢ − m + iε
¢ − k¢ − m + iε
¢ − k¢ − m + iε
Diagrammatisch:

∂ 
∂pµ

=
= −Λµ (p, p)
(9.43)
Die Ableitung der Selbstenergie nach dem äußeren Impuls entspricht also der Einsetzung
von −γµ in den¤ inneren
£
2
Fermionpropagator. Nach Regularisierung gilt dies ebenfalls. Wegen Σ = δm− Z2−1 − 1 + O((p
¢ − m) ) ·(p−m)
¢
gilt:
−
∂Σ
= Λµ = [Z2−1 − 1]γµ
∂pµ
(9.44)
Aus der Ward-Identität folgt also Z1 = Z2 . Wir zerlegen nun Λµ in einen divergenten und einen endlichen
Anteil, nämlich Λµ (p0 , p) = (Z1−1 − 1) · γµ + Λµµ (p0 , p), wobei Λµµ 7→ 0 für p0 7→ p. Die Differenz Λµ (p0 , p) −
Λµ (p, p) ist offensichtlich endlich.
Wir fassen nun die Einschleifen-Beiträge für die Streuung an einer äußeren Quelle im Grenzfall q 7→ 0
(Thomson-Limes) zusammen:
60
9.3. Selbstmasse des Elektrons/Der Elektron-Propagator
−ie0 γµ
¡
¢
−ie0 γµ · Z1−1 − 1
¡
¢
1
· (−ie0 γµ ) − Z2−1 − 1 · (−ie0 γµ )
p
−
m
0
¢
1
+(−ie0 γµ ) ·
· δm − (−ie0 γµ ) · (Z2−1 − 1)
p
−
m
0
¢
δm ·
+
Wir beginnen mit m0 = mR − δm in L. Dies führt zu einem zusätzlichen Vertex.
+
−δm ·
1
1
· (−ie0 γµ ) − (−ie0 γµ ) ·
· δm
p
−
m
p
−
¢
¢ m
α
− (−ie0 γµ ) ·
· ln
3π
µ
Λ2
m2
¶
= −ie0 γµ · (Z3 − 1)
Achtung: (Z −1 − 1) ist O(α)! Die δm-Terme heben sich weg.
£
¡
¢¤
£
¡ −1
¢
¡ −1
¢
¤
1 + Z1−1 − 1 · [1 + (Z3 − 1)]
(−ie0 γµ ) · 1 + Z1 − 1 − 2 · Z2 − 1 + (Z3 − 1) ≈ (−ie0 γµ ) ·
=
£
¡
¢¤2
1 + Z2−1 − 1
Z 2 · Z3
= (−ie0 γµ ) · 2
Z1
Aufgrund der Wellenfunktionsrenormierung für Elektron und Photon muss außerdem ein Faktor
berücksichtigt werden, womit sich ergibt:
p
(−ie0 γµ ) · Z1−1 · Z2 · Z3 = −ieR γµ
1
Z2
(9.45)
·
√1
Z3
(9.46)
Also sind nur Ladungs- und Massenrenormierung erforderlich.
61
Kapitel 9. Strahlungskorrekturen/ Quantenkorrekturen in der Quantenelektrodynamik
62
Kapitel 10
Renormierung allgemein
Wir halten uns in diesem Kapitel an das Buch Peskin: Quantum Field Theory“.
”
10.1
UV-Divergenzen per Abzählung (Power Counting)
Für die Behandlung der Quantenelektrodynamik führen wir folgende Bezeichnungen ein:
Bezeichnung
Bedeutung
Ne
Anzahl der externen Elektron-Linien
Anzahl der externen Photon-Linien
Nγ
Pe
Anzahl der Elektron-Propagatoren
Pγ
Anzahl der Photon-Propagatoren
V
Anzahl der Vertizes
L
Anzahl der Schleifen (Loops)
Der Grad der scheinbaren Divergenzen ergibt sich aus:
Z
d4 k1 . . . d4 kL
⇒ D ≡ 4L − Pe − 2Pγ
(k¢i − m) . . . (kj2 ) . . .
(10.1)
U D > 0: Divergenz ∼ ΛD (mit Abschneideparameter Λ 7→ ∞)
U D = 0: Divergenz ∼ ln Λ
U D < 0: Konvergenz
Jedoch trifft Power Counting“ oft nicht zu:
”
U Subdiagramme ⇒ Divergenzen trotz D < 0
U Symmetrien (beispielsweise Ward-Identität) ⇒ Konvergenz trotz D ≥ 0
Betrachten wir folgende Beispiele:
63
Kapitel 10. Renormierung allgemein
D=0
endlich
D=0
∼ ln(Λ)
D=2
∼ ln(Λ)
Ward-Identität
D = −2
∼ ln(Λ)
Subdiagramm: Divergenz
D = −2
UV-endlich
D=0
endlich wegen Strom-Erhaltung
Wir formulieren unsere Abzählregel um. Für die Anzahl der Loops L gilt:
L = Pe + Pγ − V + 1
(10.2)
Beispiele:
64
10.1. UV-Divergenzen per Abzählung (Power Counting)
L = 0+2−2+1 = 1
L = 2+1−3+1 = 1
L = 1+1−2+1 = 1
Wir wollen dies allgemein für beliebige Schleifen beweisen. Für alle Propagatoren muss man über d4 k integrieren. Jeder Vertex liefert eine vierdimensionale δ-Funktion. Eine weitere δ-Funktion berücksichtigt die globale
Impulserhaltung:
"
Z
4
Pe
4
Pγ
(d k) (d k)
· δ
Ã
(4)
X
!#V
ki
i
1
µ
¶∼
·
P
δ (4)
pi
Z
(d4 k)Pe +Pγ −V +1
(10.3)
i
Dies liefert also L = Pe + Pγ − V + 1 als die Anzahl der Schleifenintegrale. Außerdem gilt: Nγ ist die Anzahl
der externen Photon-Linien. Diese knüpfen an einen Vertex an, genauso wie externe Elektron-Linien. Sowohl
Photon-Propagatoren als auch Elektron-Propagatoren (also innere Photonen bzw. Elektronen) hängen an zwei
Vertizes; ein Vertex braucht eine Photon-Linie und zwei Elektron-Linien. Also gilt:
V = 2Pγ + Nγ =
1
· (2Pe + Ne )
2
(10.4)
D = 4 · (Pe + Pγ − V + 1) − Pe − 2Pγ = 4 − 3Pe − 2Pγ − 4V
Unter Verwendung von Pe = V −
D = 4 − Nγ −
3
· Ne
2
1
2
· Ne und Pγ =
1
2
(10.5)
· (V − Nγ ) ergibt sich:
(10.6)
Die scheinbare Divergenz ist also unabhängig von der Anzahl der Loops und der Anzahl der Vertizes und hängt
nur ab von der Zahl der äußeren Linien. Betrachten wir nun Diagramme mit D ≥ 0:
65
Kapitel 10. Renormierung allgemein
a.)
D=4
e.)
D=0
b.)
D=3
f.)
D=1
c.)
D=2
g.)
D=0
d.)
D=1
a.) Keine Streuung!
b.) hΩ|jµ (x)|Ωi ist Lorentz-Vektor
hΩ|jµ (x)|Ωi = hΩ|jµ (0)|Ωi
(10.7)
Man hat keinen Vektor zur Verfügung und damit ist der Ausdruck gleich 0.
c.) Es treten zwei Ableitungen der Form (gµν q 2 − qµ qν )Π(q 2 ) auf. Damit liegt eine logarithmische Divergenz
vor.
d.) Dies ist 0 aufgrund der Ladungskonjugation:
Cjµ C −1 = −jµ , C|Ωi = |Ωi
(10.8)
e.) An jeder äußeren Linie hängt wegen der Stromerhaltung ein Faktor vom Typ (gµν kσ − gµσ kν ). Man hat
also vier Ableitungen und damit ist das Resultat konvergent.
f.) Σ(p) = A0 (p2 ) · 1 + A1 (p2 ) · p
¢
66
10.1. UV-Divergenzen per Abzählung (Power Counting)
Mittels Taylor-Entwicklung ergibt sich:
¯
¯
A2 (0) 2
1 dn
¯
A0 (0) + A1 (0) · p
¢+ 2 ·p
¢ + . . . mit An = n! · dpn Σ(p)¯
p=0
¢
(10.9)
Die Ableitung wirkt auf den Fermion-Propagator. p
¢ ist der äußere Impuls und k¢ ein Schleifen-Impuls:
µ
¶
d
1
1
=−
(10.10)
2
dp
p
+
k
−
m
(
p
+
k
¢ ¢ ¢
¢ ¢ − m)
Eine lineare Divergenz tritt grundsätzlich nicht auf (asymmetrischer Integrand!). Damit folgt:
A0 = a0 · m · ln(Λ) + endlicher Ausdruck
(10.11)
A1 = a1 · ln(Λ) + endlicher Ausdruck
(10.12)
A2 = endlicher Ausdruck
(10.13)
Man hat zwei divergente Konstanten, nämlich a0 und a1 .
g.) Bildet man die Ableitung nach dem externen Impuls, so ist das Resultat konvergent. Daraus folgt, dass
die gesamte Impulsabhängigkeit des Integrals endlich ist. Also ist nur der konstante Anteil logarithmisch
divergent.
∼ −ieγ µ ln(Λ) + endliche impulsabhängige Terme
(10.14)
Der erste Taylor-Koeffizient liefert das anomale magnetische Moment, welches in Einschleifen-Näherung
von Schwinger berechnet wurde.
Wir haben also nur drei primitiv-divergente“ Diagrammtypen:
”
eine logarithmische Divergenz
zwei Divergenzen
Ladungs- und WellenfunktionsMassen- und WellenfunktionsreLadung
renormierung
normierung
Dies führt auf vier divergente Konstanten, nämlich Ladung, Masse, Wellenfunktionsrenormierung für ψ und
A.
10.1.1
Übergang zu d Dimensionen
Der Divergenzgrad ist dann gegeben durch D ≡ d · L − Pe − 2Pγ . Die Gleichungen (10.2) und (10.4) gelten
jedoch weiter: L = Pe + Pγ − V + 1, V = 2Pγ + Nγ . Als Verallgemeinerung von Gleichung (10.5) ergibt sich:
µ
D =d+
d−4
2
¶
µ
·V −
d−2
2
¶
µ
· Nγ −
d−1
2
¶
· Ne
(10.15)
67
Kapitel 10. Renormierung allgemein
Jetzt hängt der Divergenzgrad außerdem von der Zahl der Vertizes ab. Falls d < 4 ist, führt eine zunehmende
Zahl von Vertizes zu D < 0. Es gibt dann nur eine endliche Zahl von divergenten Diagrammen; man spricht von
einer super-renormierbaren Theorie“. Die Lage ist jedoch für d > 4 gerade entgegengesetzt. Jeder Diagramm”
Typ wird mit einer zunehmenden Zahl von Vertizes (in höherer Ordnung) divergent; wir haben eine nicht”
renormierbare Theorie“.
10.1.2
Beispiel: Skalare φn -Theorie
Betrachten wir folgende Lagrange-Funktion:
L=
1
1
λ
(∂µ φ)2 − m2 φ2 − φn
2
2
n!
(10.16)
N sei die Anzahl der externen Linien, P die Anzahl der Propagatoren und V die Anzahl der Vertizes. Beginnen
wir mit der Anzahl der Schleifen (Loops): L = P − V + 1 (§). (Der Beweis verläuft analog zu Gleichung (10.2).)
Außerdem gilt der Zusammenhang n · V = N + 2P (§§), wobei n die Anzahl der Linien pro Vertex ist. Für den
Divergenzgrad erhalten wir D = d · L − 2P , wobei d für die d-dimensionale Integration steht und P für die P
Propagatoren ∼ k12 . Formen wir diese Gleichung um:
¶
µ
¶
µ
d−2
d−2
(§§)
(§)
D = d · L − 2P = d · (P − V + 1) − 2P = −d · V + d +
· 2P = d − d · V +
· (nV − N ) (10.17)
2
2
·
µ
D =d+ n·
d−2
2
¶
¸
µ
−d ·V −
d−2
2
¶
·N
(10.18)
Betrachten wir speziell d = 4. Dann erhalten wir:
D = 4 + (n − 4) · V − N
(10.19)
Die Wahl n = 4 führt auf eine renormierbare Theorie. Man hat also eine endliche Zahl von divergenten (mit
D ≥ 0) Diagramm-Typen (N ≤ 4). Für n > 4 ist die Theorie nicht renormierbar; für n = 3 ist sie zwar
super-renormierbar, aber es existiert kein stabiler Grundzustand (Vakuum).
Speziell für d = 3 erhält man:
D =3+
´
N
−3 ·V −
2
2
³n
(10.20)
Der Fall n = 4 ist super-renormierbar und n = 6 immerhin noch renormierbar.
10.1.3
Alternative Betrachtung zu Power-Counting
Die Wirkung ist definiert als
Z
L dd x und ist dimensionslos (~ = 1). Außerdem gilt dim(dd x) = −d (in
Massendimensionen). Für den kinetischen Term merken wir uns: dim[L] = dim[m2 φ2 ] = d. Daraus ergibt sich
für φ eine Massendimension von d−2
2 . Für den Wechselwirkungsterm gilt:
µ
d = dim[LWW ] = dim[λ · φn ] = dim[λ] + n ·
d−2
2
¶
µ
⇒ dim[λ] = d − n ·
d−2
2
¶
(10.21)
Dies ist auch der Koeffizient von V in Gleichung (10.18). (Für d = 4 und n = 4 ergibt sich dim[λ] = 0.) Hieraus
kann man nun folgendes ablesen:
U dim[λ] > 0: super-renormierbare Theorie
U dim[λ] = 0: renormierbare Theorie
U dim[λ] < 0: nicht renormierbare Theorie
68
10.2. Renormierte Störungstheorie
10.2
Renormierte Störungstheorie
Das Vorgehen ist hierbei folgendes: Berechne Diagramme mit Regulator (Abschneide-Parameter ( Cut-Off“)
”
Λ oder in d 6= 4) als Funktion von e0 und m0 . Berechne hieraus m (≡ Lage des Pols des Fermion-Propagators)
und die Ladung e (≡ Kopplung des Photons bei q = 0). Wenn wir ein S-Matrix-Element berechnen wollen,
müssen wir die sogenannte Wellenfunktionsrenormierung (auch Feld-Renormierung genannte) bestimmen. Z ist
gegeben durch das Residuum des Propagators. Wir berechnen e0 , m0 als Funktion von e und m, also e0 (e, m)
und m0 (e, m). (Zunächst hatten wir e(e0 , m0 ) und m(e0 , m0 ) erhalten.) Mit dieser Bedingung betrachten wir
danach den Übergang Λ 7→ ∞ oder d 7→ 4, wobei die Amplitude endlich bleibt. Wie kann man dieses Vorgehen
nun formalisieren? Als Beispiel betrachten wir hierzu die φ4 -Theorie:
L=
1
1
λ0
2
(∂µ φ) − m20 φ2 − φ4
2
2
4!
(10.22)
Der Divergenzgrad für die N -Punktfunktion ist D = 4 − N (in d = 4). Es werden nur Diagramme mit geradem
N erzeugt (φ 7→ −φ)! Divergente Diagramme:
D=4
Vakuum-Diagramm
D=2
D=0
∼ Λ2 + p2 · ln(Λ)
∼ ln(Λ), Kopplung
Massen-Renormierung
Quadratische Divergenz! ∼ λ · Λ2
fine tuning“ und Wellenfunkti”
onsrenormierung
λ0 und m0 sind fiktive Größen, welche experimentell nicht zugänglich sind. Damit sind λ0 und m0 aus der
Theorie zu eliminieren. Dazu wollen wir in der Lagrange-Funktion zu λ, m übergehen. Wie erreichen wir
das? Dazu erinnern wir uns:
Z
i·Z
d4 x hΩ |T φ(x)φ(0)| Ωi exp(ipx) = 2
+ Reguläre Terme
(10.23)
p − m2
1
1
Wir drücken φ aus durch Z 2 · φren , also durch das renormierte Feld mit dem Vorfaktor Z 2 . (Dann müssen
n
S-Matrix-Elemente nicht mehr mit Z − 2 für die Wellenfunktionsrenormierung multipliziert werden.) Die Lagrange-Dichte hat dann folgende Form:
L=
1
1
λ0
2
· Z (∂µ φren ) − m20 · Zφ2ren −
· Z 2 φ4ren
2
2
4!
(10.24)
Wir eliminieren nun m0 , e0 und definieren:
δz ≡ Z − 1, δm ≡ m20 · Z − m2 , δλ ≡ λ0 · Z 2 − λ
(10.25)
Damit erhalten wir folgende Lagrange-Dichte:
L=
1
1
λ
1
1
δλ
2
(∂µ φren ) − m2 φ2ren − φ4ren + δz (∂µ φren )2 − δm φ2ren − φ4ren
2
2
4!
2
2
4!
(10.26)
Der letzten drei Terme bezeichnet man auch als Gegen-Terme (oder Counter-Terme). δz,m,λ sind als Störungs-
69
Kapitel 10. Renormierung allgemein
reihe festgelegt. Dies führt auf folgende Feynman-Regeln:
i
p2 − m2 + iε
−i · λ
i · (p2 · δz − δm )
−iδλ



















wie vorher, aber mit λ, m
(10.27)
Gegenterme
(10.28)















In jeder Ordnung bestimmt m die Lage des Pols, so dass das Residuum des Propagators 1 ist (siehe Gleichung
(10.25)).
2
2
liefert am Normierungspunkt
µ ¶s = 4m in jeder Ordnung −iλ. Bei s = 4m gilt
m
t = u = 0, also p1 = p2 =
.
~o
Dies ist eine mögliche Festlegung der Normierungsbedingung“.
”
(10.29)
Die Vorschrift ist nun folgende: Berechne alle Diagramme mittels der Feynman-Regeln (mit λ, m und den
noch festzulegenden Counter-Termen in Abhängigkeit vom Regulator Λ). Das Resultat hängt ab von λ, m
(Observablen) und δz , δm , δλ . Wähle anschließend δz , δm und δλ so, dass die Renormierungsbedingungen
gelten. Der Regulator kann dann entfernt werden (Λ 7→ ∞) und man erhält ein endliches Resultat.
70
10.3. Ein-Schleifen-Näherung
10.3
Ein-Schleifen-Näherung
Wir berechnen M (p1 p2 7→ p3 p4 ):
=
+
|
{z
}
Born O(λ)
+
+
|
+
+
{z
}
Ein-Schleifen-Näherung O(λ2 )
+
|
{z
}
Counterterm O(λ2 )
(10.30)
Wir berechnen die Diagramme auf der rechten Seite der Gleichung, wobei p = p1 + p2 sei:
U Erstes Einschleifen-Diagramm:
=
(−iλ)2
·
2
Z
d4 k
i
i
·
≡ (−iλ)2 · i · V (p2 )
(2π)4 k 2 − m2 (k + p)2 − m2
(10.31)
Außerdem gilt p2 = (p1 + p2 )2 = s.
U Zweites Einschleifen-Diagramm:
Einschleifen-Rechnung wie eben, mit p1 + p2 7→ p1 − p3 (Impulsübertrag) und (p1 − p3 )2 ≡ t.
U Drittes Einschleifen-Diagramm:
Einschleifen-Rechnung wie eben, mit p1 + p2 7→ p1 − p4 und (p1 − p4 )2 ≡ u.
Also ergibt sich:
iM = −iλ + (−iλ)2 · i · [V (s) + V (t) + V (u)] − i · δλ
(10.32)
£
¤
Die Renormierungsbedingung lautet iM (s = 4m2 , t = u = 0) ≡ −λ und daraus folgt δλ = −λ2 · V (4m2 ) + 2 · V (0) .
71
Kapitel 10. Renormierung allgemein
Hinweis auf dimensionale Regularisierung:
In d Dimensionen hat λ die Dimension
dim[λ] = d −
n · (d − 2) n=4
= −d + 4 = −ε
2
(10.33)
Wir ersetzen λ durch λ · µε , womit das neue λ dimensionslos ist.
µε 7→ 1 + ε · ln(µ)
Zusammen mit
2
ε
(10.34)
ergibt sich ln(µ2 ).
Rechnung:
Mit ε = 4 − d (oft setzt man auch 2ε = 4 − d) ergibt sich:
1
·
V (p ) = −
32 · π 2
2
d7→4
Z1 µ
0
¶
¤
£ 2
2
2
2
− γ + ln(4π) − ln m − x(1 − x) · p + ln(µ ) dx
ε
(10.35)
Damit folgt δλ :
λ2
·
δλ =
32 · π 2
Z1 µ
0
6
− 3γ + 3 · ln(4π) − 3 · ln
ε
i · λ2
iM = −iλ −
·
32 · π 2
Z1 ·
µ
ln
0
µ
m2 − x(1 − x) · s
m2
m2
µ2
¶
¶
¶
− ln [1 − 4x · (1 − x)] dx
(10.36)
¸
+ Ausdruck(t) + Ausdruck(u) − ln [1 − 4x · (1 − x)] dx
(10.37)
Der Ausdruck ist endlich per Konstruktion. Für s = 4m2 und t = u = 0 verschwindet auch die Korrektur
auf diese Weise. (Wir hätten natürlich λ anders definieren können, dann ändert sich auch die Korrektur.) Wir
berechnen nun δz und δm :
−iM (p2 ) =
(10.38)
Man bezeichnet dieses Verhalten als ein-Teilchen-irreduzibel“. Also ist ein Term der Form
”
nicht dabei. Die Zweipunktfunktion ergibt sich aus der geometrischen Reihe:
=
+
+
+
+ ...
(10.39)
·
¸
·
¸2
¡
¢
¡
¢
i
i
i
i
i
2
2
·
1
+
·
+
·
−i
·
M
(p
)
·
−i
·
M
(p
)
·
+ ... =
p2 − m2
p2 − m2
p2 − m2
p2 − m2
p2 − m2
"
#
1
i
i
·
= 2
= 2
2)
2
2
M
(p
p −m
p − m − M 2 (p2 )
1− 2 2
(10.40)
p −m
72
10.3. Ein-Schleifen-Näherung
Wir stellen die Forderung, dass sich der Pol bei p2 = m2 befinden soll, dass also das Residuum bei 1 liegt. Also
muss gelten:
¯
¯
¯
d
2 2 ¯
2 ¯
M (p ) p2 =m2 = 0,
M (p )¯
=0
(10.41)
2
dp
p2 =m2
Diagrammatisch:
−iM (p2 ) =
+
λ
= −i · ·
2
Z
=
¢
¡
¡
¢
¡
¢
Γ 1 − d2
dk
1
i
λ
2
2
+ i · δz · p − δm = −i · ·
d ·
d + i · δz · p − δm
d
2
2
1−
2
(2π) k − m
2 (4π) 2 (m ) 2
(10.42)
Hieraus ergibt sich δz = 0 und δm = −iλ. Dies liefert M (p2 ) = 0 und dpd2 M (p2 ) = 0. (Da der Impuls p nicht
durch die Schleife fließt, ist das Resultat noch untypisch einfach!) Man erhält M (p2 ) 6= 0 in O(λ2 ) aus:
+
+
|
{z
|
{z
}
(10.43)
O(λ)-Counterterm
}
Counterterm
Der Counterterm beim zweiten Diagramm rührt von
her. Das dritte Diagramm ist neu zu berechnen. δz = 0 ist hier zufällig in O(λ).
Einschub:
Dies trifft nicht zu bei Yukawa-Theorie (Boson+Fermion). Yukawa:
−iM (p2 ) =
+
Z
2
= −(−ig) ·
Z
2
= −4g ·

=

¡
¢
i · (k + p + mf ) · i · (k + m) 
d k
i
Sp  h
+ i · δz · p2 − δm =
d
2
(2π)
(k + p) − m2 · [k 2 − m2 ]
d
(10.44)
¡
¢
k · (p + k) + m2f
dd k
+ i · δz · p2 − δm
(2π)d ((k + p)2 − m2 ) · (k 2 − m2 )
73
Kapitel 10. Renormierung allgemein
Mit l = k + xp ergibt sich in der Feynman-Parameter-Darstellung:
Z
−4g
Z
2
dd l l2 − x(1 − x) · p2 + m2f
(2π)d l2 + x(1 − x) · p2 − m2f
dx
Rechnung
=
4i · g 2
d
(4π) 2
Z1
·
dx
¡
¢
Γ 1 − d2
0
d
∆1− 2
mit ∆ = m2f − x(1 − x)
(10.45)
δm ist gegeben durch den Wert bei p2 = m2 :
δm =
¡
¢
Γ 1 − d2
Z1
4g 2
·
d
(4π) 2
dx h
i1− d2
m2f − x(1 − x) · m2
0
(10.46)
¯
δz erhält man aus der Bedingung, dass auch die erste Ableitung M (p2 )¯p2 =m2 verschwinden muss:
δz = −
Z1
4g 2
d
(4π) 2
·
0
¡
¢
x(1 − x) · Γ 2 − d2
dx h
i2− d2
m2f − x(1 − x) · m2
(10.47)
Kommen wir zum Schluss zur Auswertung von beiden. Wir benötigen
¡
¢
£
¤
Γ 2 − d2
1
2
·h
− γE + ln(4π) − ln m2f − x(1 − x) · m2
d
d =
i
−2
2−
ε
2
(4π) 2
m2f − x(1 − x) · m2
wobei mit d = 4 − ε gilt:
µ
µ
¶
¶
´
d
d
1
2 ³
ε´ 2 ³
ε
·
Γ
3
−
Γ 2−
=
= Γ 1−
=
1 − γE + . . .
d
2
2
ε
2
ε
2
2− 2
10.4
(10.48)
(10.49)
QED: Renormierte Störungstheorie
Wir formulieren die Störungstheorie im folgenden in physikalischen Parametern. Als Ausgangspunkt dient uns
folgende Lagrange-Dichte:
1
2
+ ψ(i∂¢ − m0 )ψ − e0 · ψγ µ ψAµ
L = − · Fµν
4
(10.50)
U Elektron-Propagator:
i · Z2
+ . . . (kein Pol)
p
¢−m
U Photon-Propagator:
−i · Z3 · gµν
+ . . . (kein Pol)
q2
1
1
Wir drücken die Lagrange-Dichte durch ψ = Z22 · ψren und Aµ = Z32 · Aµren aus wie folgt:
1
1
µν 2
) + Z2 · ψ ren (i∂¢ − m0 )ψren − e0 · Z2 · Z32 · ψ ren γµ ψren Aµren
L = − · Z3 · (Fren
4
(10.51)
1
Wir definieren die physikalische Ladung e über e·Z1 = e0 ·Z2 ·Z32 . Außerdem werden wir mit m die physikalische
Masse bezeichnen. Z1 ist erforderlich, damit der Vertex einschließlich Korrekturen e liefert, also e · Z1 · Γ = e · γ
bei Impulsübertrag Null.
1
µν 2
) + ψ ren (i∂¢ − m)ψren − e · ψren γµ ψren Aµren + Counter-Terme
L = − · (Fren
4
(10.52)
Die Counter-Terme sind
1
µν 2
− · δ3 · (Fren
) + ψ ren (iδ2 · ∂¢ − δm )ψren − eδ1 · ψ ren γ µ ψren (Aren )µ
4
(10.53)
74
10.4. QED: Renormierte Störungstheorie
mit δ3 = Z3 − 1, δ2 = Z2 − 1, δm = Z2 · m0 − m und δ1 = Z1 − 1 =
e0
e
1
· Z2 · Z32 − 1. Feynman-Regeln:
−igµν
q 2 + iε
i
p
¢ − m + iε
−ieγ µ
¡
¢
−i · g µν q 2 − q µ q ν · δ3
i · (p
¢ · δ2 − δm )
−ieγ µ · δ1
Die Form des Counterterms mit zwei Photonen – proportional zu δ3 – erhält man durch partielle Integration
von:
Z
Z
¡
¢
¡
¢¤
1
1£
µ ν
ν µ
− · (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) · (∂ A − ∂ A ) =
Aν · ∂ 2 Aν − ∂µ ∂ ν Aµ − Aµ · ∂ν ∂ µ Aν − ∂ 2 Aµ =
4
4
Z
(10.54)
¡
¢
1
· Aµ g µν ∂ 2 − ∂ µ ∂ ν Aν
=
2
Die Renormierungskonstanten folgen aus:
¯
¯
d
¯
= −iΣ(p),
=0
¢ Σ(p
¢ = m) = 0, dp Σ(p)
¢¯
p=m
¢
¢
= +iΠµν = i · (g µν q 2 − q µ q ν ) · Π(q 2 ), Π(q 2 = 0) = 0




























= −ieΓµ (p), −ieΓµ (p0 − p = 0) = −ieγ µ
(10.55)
(10.56)
(10.57)
amputiert
75
Kapitel 10. Renormierung allgemein
10.5
QED in Ein-Schleifen-Näherung
Wir verwenden dimensionale Regularisierung und setzen die Photon-Masse µ 6= 0. Der Index 2“ bei Σ steht
”
im folgenden für 2.Ordnung“:
”
= −iΣ2 (p)
¢ = −i ·
Z1
e2
d
(4π) 2
·
dx
0
¢
¡
Γ 2 − d2 · [(4 − ε) · m − (2 − ε) · xp]
¢
[(1 − x) · m2 + x · µ2 − x(1 − x) · p2 ]
2− d
2
(10.58)
= i · (p
¢ · δ2 − δm )
Σ(p
¢ = m) =
Z1
e2
d
(4π) 2
·
dx
0
(10.59)
¢
¡
Γ 2 − d2 · [(4 − ε) · m − (2 − ε) · xm]
[(1 − x) · m2 + x · µ2 − x(1 − x) · m2 ]
(δm − m · δ2 ) = −Σ2 (m) = −
e2 · m
d
(4π) 2
Z1
·
dx
0
2− d
2
+ (−m · δ2 + δm ) = 0
¡
¢
Γ 2 − d2 · [4 − 2x + ε · (x − 1)]
2− d
2
[(1 − x)2 · m2 + x2 · µ2 ]
¡
¢
¯
Z1
d
2
¯
Γ
2
−
d
e
2
¯
δ2 =
Σ2 (p)
=−
dx
d ·
d ∗
¢¯
dp
2 · m2 + x · µ2 ]2− 2
(4π) 2
p=m
[(1
−
x)
¢
¢
0
·
¸
ε
2x(1 − x) · m2
∗ (2 − ε) · x − ·
· (4 − 2x − ε · (1 − x))
2 (1 − x)2 · m2 + x · µ2
(10.60)
(10.61)
(10.62)
Entsprechend gilt:
δ3 = Π2 (0) = −
Z1
e2
d
(4π) 2
·
dx
0
¡
¢
Γ 2 − d2
d
(m2 )2− 2
· 8 · (1 − x)
(10.63)
Die Vertex-Funktion lautet δ1 = −δF1 (0) =Vertexkorrektur; weiterhin ist δ1 = δ2 oder Z1 = Z2 . Dies folgt aus
δF1 (0) = ddp Σ2 (p).
¢
¢
10.6
Renormierung in höheren Ordnungen
Hierbei treten zwei Probleme auf:
U Divergente Subdiagramme
U Überlappende Divergenzen
Betrachten wir folgende Beispiele:
ist UV-endlich
ist UV-divergent
wird aber von Ein-Schleifen-Counterterm endlich gemacht
76
10.6. Renormierung in höheren Ordnungen
Das heißt, als Integrand taucht auf:
+
(10.64)
Diese Kombination ist endlich und führt zu endlichen Resultaten nach der Integration.
10.6.1
Überlappende Divergenz
Es befindet sich ein Propagator in mehreren divergenten Schleifen gleichzeitig!
1.) φ4 -Theorie:
2.) Quantenelektrodynamik:
Beispiel:
Ein divergenter Beitrag wird von großen k2 geliefert; dies bedeutet, dass x, y und z nahe beisammen liegen.
Dies kann man folgendermaßen interpretieren:
⇒ Vertexkorrektur
Es zeigt sich eine logarithmische Divergenz ∼ iαγ µ ·
(10.65)
α
1
· ln(Λ2 ) oder . Eingesetzt in
π
ε
liefert das Ein-Schleifen-Resultat, multipliziert mit ∼
¢ ¡
¢ α
α ¡ µν 2
· g q − q µ q ν · ln(Λ2 ) − ln(q 2 ) · · ln(Λ2 )
π
π
α
π
· ln(Λ2 ), also
(10.66)
Es ist ln2 (Λ2 ) aus der Region mit großen k1 und k2 und ln(q 2 ) · ln(Λ2 ) aus dem Bereich mit großem k2 und k1
von der Ordnung q 2 oder m2 . Ebenso gilt dies für k1 ↔ k2 . Ein Term ∼ ln(Λ2 ) · Π(q 2 ) wäre eine nicht-lokale
Divergenz (kein Polynom in q ⇒ keine δ-Funktion mit x). Diese Divergenz wird kompensiert durch einen
Schleifen-Counter-Term in der Schleife:
+
(10.67)
77
Kapitel 10. Renormierung allgemein
Der Rest enthält nur noch lokale Divergenzen (Polynome in q 2 ) der Ordnung α2 . Daraus ergibt sich ein ZweiSchleifen-Counterterm in Z3 bzw. δ3 . Behauptung: In jeder Ordnung werden die nicht-lokalen Divergenzen“
”
durch die Einsetzung von Countertermen im Supgraphen entfernt. Es bleiben nur lokale Divergenzen und daraus
folgt ein Beitrag zur Renormierung in der betreffenden Ordnung. Wichtige Arbeiten zu dieser Thematik gehen
auf Bogoliubov, Parasuik, sowie auf Hepp und Zimmermann (BPHZ-Renormierung) zurück.
10.7
φ4 in zwei Schleifen
+
+
+
+
+
+
(10.68)
+
(s 7→ t) + . . .
+
(s 7→ u) + . . .
+
Dabei handelt es sich insgesamt um 16 Diagramme. Außerdem tauchen Diagramme von folgendem Typ auf:
78
10.7. φ4 in zwei Schleifen
Jedoch wird der Beitrag zum Propagator
durch Renormierung zu Null gesetzt. Wegen der Counter-Terme verschwinden alle impulsabhängigen Divergenzen. Dies wollen wir im folgenden beweisen. Dazu erinnern wir uns an:


¡
¢ Z1
d
i Γ 2− 2
1

= (−iλ)2 · iV (p2 ) = (−iλ2 ) · − ·
·
d
d dx
2
2
2 ]2− 2
2
(4π)
[m
−
x(1
−
x)
·
p
0
(10.69)
Der Counterterm war so gewählt, dass für s = 4m2 die Korrekturen verschwanden.

"
#


= −iδλ = (−iλ) · −i · V (4m ) − 2i · V (0) ≡ 

| {z }

2
2
s7→(t,u)







 +









s
(t+u)
(10.70)
79
Kapitel 10. Renormierung allgemein
Zerlege die fünf Diagramme:
+
+
I
(10.71)
+
II
+
III
Gruppe I zerfällt in ein Produkt:
£
¤2
= (−iλ)3 · −iV (p2 )
=
(10.72)
= (−iλ3 )iV (p2 )(−iV (4m2 ))
(10.73)
Wir bilden die Summe:
"
#
h¡
i
¡
¢
¢
£
¤
2
2
3
2
2 2
2 2
2 2
(−iλ)
iV (p ) − 2iV (p )iV (m ) = (−iλ) − V (p ) − V (m ) + V (m )
|
{z
} | {z }
3
endlich
(10.74)
unabhängig
von p2
80
10.7. φ4 in zwei Schleifen
· µ
¶¸2 µ ¶2
d
1
U Divergenz ∼ [V (m )] ∼ Γ 2 −
∼
, führt also auf Doppel-Pol. Koeffizient ist von p2 un2
ε
abhängig
2
2
U Verhalten bei hohem p2
£
¤2
V (p2 ) − V (m2 ) ∼ ln2
µ
p2
m2
¶
(10.75)
Für höhere Ordnungen gilt:
· µ 2 ¶¸n
p
∼ λn+1 · ln
m2
(10.76)
Für Gruppe II und III ist die Berechnung erheblich mühsamer, das Resultat bezüglich Divergenz ist aber
entsprechend. (Kompliziert ist die Berechnung der endlichen Terme!)
81
Kapitel 10. Renormierung allgemein
82
Kapitel 11
Das Standardmodell
11.1
Yang-Mills-Theorien (nicht-abelsche Eichtheorie) und spontane Symmetriebrechung
Eine Theorie mit bestimmten Symmetrie-Relationen zwischen Kopplungskonstanten und Massenparametern
kann eventuell die Wechselwirkung massiver Vektorbosonen mit Fermionen und Bosonen beschreiben und
dennoch kompatibel mit der Unitarität sein. Es bleibt natürlich zu zeigen, dass dies tatsächlich auf eine
renormierbare Theorie führt (t’Hooft!).
Wenn wir mit einer solchen Theorie die Elementarteilchen beschreiben wollen, so müssen wir uns einige Gedanken über Symmetriebrechung machen. Simples Ändern der Kopplungen oder Addition von Massentermen
( harte Massen“) zerstört natürlich alle schönen Eigenschaften. (⇒ Spontane Symmetriebrechung!)
”
11.1.1
Goldstone-Modell
Betrachten wir folgende Lagrange-Funktion:
L = ∂ µ φ† ∂µ φ − V (φ)
(11.1)
Wenn die Lagrange-Funktion hermitesch sein soll, bietet sich an, V als eine Funktion von φ† φ zu wählen.
Wenn wir Renormierbarkeit in 1+3 Dimensionen fordern, kann maximal ein Polynom vierten Grades vorliegen.
Wir schreiben also:
V (φ) = µ2 φ† φ + λ2 (φ† φ)2 + irrelevante Konstante
(11.2)
Es liegt U(1)-Symmetrie vor: Die Lagrange-Funktion L ist invariant bezüglich der Transformation φ(x) 7→
φ0 (x) = exp(iθ)φ(x) (Globale Symmetrie). Weiterhin gelte λ2 ≥ 0, weil sonst kein Grundzustand existiert. Es
stellt sich die Frage, ob der Grundzustand ebenfalls symmetrisch ist; der angeregte Zustand ist nämlich im
allgemeinen ohnehin nicht symmetrisch. (Beim Wasserstoffatom ist beispielsweise der Grundzustand der mit
l = 0; dieser ist invariant unter Drehungen im Gegensatz zum angeregten Zustand mit l = 1.) Wir suchen also
den Zustand niedrigster Energie. Die Energiedichte ist gegeben durch:
~ 2 + V (φ)
H = ∂0 φ† ∂0 φ + (∇φ)
(11.3)
Wir suchen das Minimum für φ(x) = φ0 = const.; in diesem Falle ist V (φ) zu minimieren:
1.) µ2 > 0: Minimum für φ0 = 0
Die Lösung ist invariant unter φ0 7→ exp(iθ)φ0 ; damit ist der Grundzustand eindeutig.
2.) µ2 < 0:
83
Kapitel 11. Das Standardmodell
Das Minimum dieser Funktion wollen wir bestimmen:
r
−µ2
v
2 †
2
2λ φ φ + µ = 0 ⇒ |φ| =
≡√
2λ2
2
(11.4)
Die Phase ist unbestimmt und der Grundzustand daher nicht eindeutig! Die Lösung ist nicht invariant unter U(1), sondern wird in eine andere Lösung transformiert; man spricht von der spontanen
”
Symmetriebrechung“. Wir schreiben die Lagrange-Dichte nun als:
¶2
µ
v2
+ irrelevante Konstante mit V (φ0 ) = 0
L = ∂ µ φ † ∂ µ φ − λ2 φ † φ −
2
(11.5)
Klassisch entspricht die Nullmode“ der Bewegung auf einem Kreis im Minimum, die klassische Mode der
”
Schwingung in radialer Richtung. In der Quantenfeldtheorie betrachtet man kleine quantenmechanische
Anregungen um das klassische Minimum und das sind gerade die Teilchen. Wir machen einen Ansatz,
welcher die Struktur in der Umgebung des Minimums besser berücksichtigt:
µ
¶
v + η(x)
ξ(x)
√
φ(x) =
· exp i ·
(11.6)
v
2
µ
¶† µ
¶
1
∂ξ
∂ξ
λ2
µ2
∂η + (v + η) · i ·
∂η + (v + η) · i ·
− (v + η)4 −
(v + η)2 =
2
v
v
4
2
µ 2
¶
µ 2
¶
1
1
λ
µ2
λ
µ2
= (∂η)2 + (∂ξ)2 −
· 4 · v3 +
· 2v ·η −
· 6v 2 +
·η 2 + Wechselwirkungsterme
2
2
4
2
4
2
|
{z
}
|
{z
}
L=
=0
=−
|2µ2 |
·η 2
2
(11.7)
Die Wechselwirkungsterme
sindp
Terme mit kubischen und höheren Potenzen in den Feldern. ξ ist damit
√
−2µ2 . Die Null-Mode beschreibt Anregungen in der Richtung, welmasselos und mη = 2λv =
che durch die gebrochene Symmetrie-Transformation erreicht werden kann. Ein Beispiel hierzu aus der
Festkörperphysik sind die sogenannten Spinwellen im Ferromagneten. Der Grundzustand ist entartet
gegenüber Drehungen. Hier gilt E ∼ k (Wellenvektor); es existiert keine Energie-Lücke, was m = 0
entspricht.
U(1) ist isomorph zu O(2)! (U(1) ↔ Drehungen in der 1-2-Ebene)
1
φ = √ (φ1 + iφ2 )
2
(11.8)
Wir wollen die Überlegungen zur Symmetriebrechung auf Drehungen im n-dimensionalen inneren SymmetrieRaum verallgemeinern (Verallgemeinerung auf O(n)). Die Anzahl der Generatoren ist dann 21 n(n − 1). Wir
84
11.1. Yang-Mills-Theorien (nicht-abelsche Eichtheorie) und spontane Symmetriebrechung
hatten dies im Kapitel Häufig vorkommende innere Symmetrien“ bewiesen. Wir betrachten nun reelle Felder
”
φi mit i = 1, . . ., n und die zugehörige Lagrange-Funktion L:
 
φ1
 φ2 
1 ~ ~
1 2 ~ ~
1 2 ~ ~ 2

~= . 
~
φ
L = ∂ µ φ∂
(11.9)
,
µ φ − V (φ) mit V = µ (φ · φ) + λ (φ · φ)
.
2
2
4
 . 
φn
Wir unterscheiden wieder die zwei Fälle:
1.) µ2 > 0:
~0 · φ
~0 = 0 ⇒ φ
~0 = 0
φ
(11.10)
2.) µ2 < 0:
Hier gilt für das Minimum:
2
~0 · φ
~ 0 = −µ ≡ v 2 ⇒ |φ
~0| =
φ
2
λ
r
−µ2
λ2
(11.11)
~ 0 ist beliebig; φ
~ 0 liegt also auf der (n − 1)-dimensionalen Oberfläche der Kugel im nDie Richtung von φ
~
dimensionalen Raum Rn . Wähle φ0 = (0, 0, . . . , 0, v)| . Dieser Vektor ist invariant unter Drehungen um seine
Richtung, also aus der Gruppe On−1 , jedoch nicht invariant unter Drehungen aus der n- in die 1-, 2-, . . .,
(n − 1)-Richtung. Man hat damit n − 1 spontan“ gebrochene Symmetrien und 12 (n − 1)(n − 2) erhaltene
”
Symmetrien.
1
1
n(n − 1) − (n − 1)(n − 2) = n − 1
2
2
(11.12)
Dies liefert also n − 1 masselose Felder und ein massives Feld. Die Auslenkungen ξ1 , . . ., ξn−1 entsprechen
Drehungen aus der n- in die i-Richtung. Wir wählen eine neue Parametrisierung für die Felder, nämlich
Kugelkoordinaten“, wobei ξi die Drehwinkel und η den Radius darstellt.
”
¡
¢
¡
¢
φ1 (x), φ2 (x), . . . , φn−1 (x), φn (x) 7→ ξ1 (x), ξ2 (x), . . . , ξn−1 (x), η(x)
(11.13)


0
0
..
.




 n−1

Ki 

 X

·
φ(x) = exp i ·
ξi (x) ·




v
 0 
 i=1
v+η
(11.14)
Ki sind die Generatoren der Drehung aus der n- in die i-Richtung (Ki )kl = −i · (δik δnl − δil δnk ) und somit:
 
0

  
0
0
 .. 
.
0 
  

Ki 
0
 ..  
· = 
i·
(11.15)

1
v . 

0 
0
 
v
.
 .. 
0
Die eins befindet sich in der i-ten Zeile. Beispielsweise gilt für zwei Dimensionen für i = 2
 µ
¶
0 1


für ungerades n

µ
¶
µ
¶n 
 −1 0
0 1
0 1
(Ki=2 )kl = −i ·
und somit
=
µ
¶
−1 0 kl
−1 0


1 0


für gerades n

0 1
(11.16)
85
Kapitel 11. Das Standardmodell
Wir verwenden die neue Parametrisierung für die Lagrangedichte:



†  
0
0
0








.
.
1  . 
Ki  ..   ... 

L =  .  + i∂ξi ·
·
   + i∂ξi ·
2  0 
v  0   0 
∂η
v+η
∂η

† 


0
0
 
 
 0
 ..   0
 ..
 . 
 .   . 
 .
 


1
 .. 
η   .. 


=   + ∂ξi · 1 + v    + ∂ξi · 
1 +
2  0 
 .   0 
 .

 ..  
 ..
∂η
∂η
0
0


0
. 
Ki 
 . 
·  .  − V (v + η) =
v  0 
v+η




η 
v  − V (v + η) =


(11.17)
n−1
=
1
1 X
∧
(∂η)2 + ·
(∂ξi )2 − |µ2 | · η 2 + (Höhere Ordnung in η, ξ = Wechselwirkungsterme)
2
2 i=1
p
∧
Man kommt somit zu einem massiven Feld mit der Masse m = 2|µ2 | und n−1 masselose Felder (= n−1 spontan gebrochene Transformation). Dies kann auf eine beliebige N -dimensionale Gruppe G (mit N Generatoren)
verallgemeinert werden. Die φi transformieren sich unter einer beliebigen n-dimensionalen reellen Darstellung
von G (kann durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil immer erreicht werden).
φi 7→ exp (−i · θα Lα ) φi
(11.18)
Wir berücksichtigen nur die infinitesimale Änderung δφi = −i · θα Lα
ij φi . V (φ) ist invariant unter G; wir wählen
φi ortsunabhängig! Aus der Invarianz erhält man:
0=
¢
∂V
∂V ¡
· δφi =
· −iθα Lα
ij φj
∂φi
∂φi
(11.19)
Man erhält hieraus für α = 1, . . ., N folgende N Gleichungen:
∂V α
L φi = 0
∂φi ij
(11.20)
Wir leiten nach φk ab:
∂V α
∂V
Lα φ i +
L =0
∂φk ∂φi ij
∂φi ik
Wähle φi = vi so, dass V minimal wird:
¯
¯
∂V
∂V
¯
(φi = vi ) = 0 ⇒
Lα
v
=0
ij j ¯
∂φi
∂φk ∂φi
min
(11.21)
(11.22)
Die Krümmung in der durch Lv gegebenen Richtung ist gleich null. Wir entwickeln V am Minimum, wobei
der lineare Term offensichtlich Null ist und die irrelevante Konstante nicht berücksichtigt wird:
1
V = − (µ2 )ij (φ − v)i (φ − v)j ⇒ µ2ki Lα
ij vj = 0
2
(11.23)
Lα
ij vj sei null für α = 1, . . ., M . (Also sei unsere Lösung invariant unter diesen Transformationen.) Damit ist
α
(µ2 )ki unbestimmt. Für α = M + 1, . . ., N ist Lij
vj 6= 0 und der Eigenwert zu Lα
ij vj verschwindet. Es gibt
α
j
j
also N − M Felder Lij (φ − v ), welche keinen quadratischen Term in L haben. Die lineare Unabhängigkeit ist
eigentlich noch zu beweisen.
Unsere bisherigen Überlegungen beruhten lediglich auf der klassischen Feldtheorie. Im Rahmen einer relativistischen Quantenfeldtheorie lassen sich die Argumente verallgemeinern und von der Störungstheorie abstrahieren:
Es gebe einen erhaltenen Strom ∂ µ jµ = 0. Aufgrund klassischer Überlegungen erwartet man eine erhaltene
Ladung
Z
Q=
d3 ~x j0 (x)
(11.24)
V 7→∞
86
11.2. Lokale Symmetrien
die als Generator der zugehörigen Symmetrietransformation fungiert. Wenn aber das Vakuum nicht invariant
unter dieser Transformation ist, so müsste Q̇|0i 6= 0 gelten. Dann wäre aber die Norm
Z
2
h0|Q |0i = d3 ~x h0|j0 (~x)|Q0i = ∞
(11.25)
wenn das Vakuum nicht unter der entsprechenden Transformation
invariant ist. Man kann nun zeigen (verR
gleiche Itzikson+Zuber), dass entweder Q|0i = 0 mit Q = d3 ~x j0 (x) oder 6 ∃Q, aber es gibt Zustände mit
Masse null und den Quantenzahlen des Stromes, die also durch Anwendung von j0 (x) auf |0i erzeugt werden.
Man kann zeigen, dass der Spin der Goldstone-Bosonen nur 0 oder 21 sein kann. Letzteres ist nur möglich,
wenn die Symmetrieoperatoren Bosonen und Fermionen mischen; man spricht von der Supersymmetrie“.
”
In Theorien mit indefiniter Metrik (Eichtheorien) müssen die masselosen Zustände nicht unbedingt in physikalischen Hilberträumen liegen (Geister). Es kann manchmal nützlich sein, solche Zustände zu vermeiden
(unitäre Eichungen).
11.2
Lokale Symmetrien
11.2.1
Lokale abelsche Symmetrien, Quantenelektrodynamik
a.) Ausgangspunkt ist die Lagrange-Funktion L = ψ(i∂¢ − m)ψ, wobei die ψ Dirac-Felder mit der Masse
m sind. L ist invariant unter der globalen (≡ ortsunabhängigen) Transformation ψ 7→ exp(iα)ψ, wobei
α ortsabhängig sein soll: α = α(x). L ist invariant, wenn man L1 = ψ(i∂¢ + e¡
A − m)ψ wählt und für Aµ
fordert:
1
Aµ (x) 7→ A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ α(x)
e
(11.26)
Außerdem führen wir die kovariante Ableitung (∂µ − ieAµ ) ≡ Dµ ein. Um für das Feld Aµ Bewegungsgleichungen zu erhalten, addiert man den kinetischen Term
1
Lkin = − Fµν F µν + Eichterm, wobei Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
4
(11.27)
Damit ergibt sich die Lagrange-Funktion der Quantenelektrodynamik:
1
L = ψ(i½
D − m)ψ − Fµν F µν + Eichterme
4
ψ ist das Elektron-Feld und Aµ das Photon-Feld. Die Bewegungsgleichung für Aµ lautet:
µ
¶
δL
δL
δL
1
µ
νµ
αβ
− ∂ν
= 0 ⇒ ψeγ ψ − ∂ν F = 0 wegen
Fαβ F
= Fνµ
δAµ
δ∂ν Aµ
δ∂ν Aµ 4
(11.28)
(11.29)
Die letzte Beziehung kann als Übung nachgerechnet werden. Also ergibt sich ∂ν F µν = ej µ mit F µν =
∂ ν Aµ − ∂ µ Aν und das sind die aus der Elektrodynamik bekannten Maxwell-Gleichungen. Die Bewegungsgleichung für ψ ergibt sich aus:
δL
δL
− ∂ν
= 0 ⇒ (i½
D − m)ψ = 0
δψ
δ∂ν ψ
←
−
Entsprechend folgt ψ(−i½
D − m) = 0.
(11.30)
b.) Betrachten wir ein skalares geladenes Feld (wie beispielsweise π ± ) in Wechselwirkung mit Photonen (aber
zunächst ohne Selbst-Wechselwirkung). Die Lagrange-Funktion ohne Wechselwirkung lautet:
L = ∂µ φ? ∂ µ φ − m2 φ? φ
(11.31)
Diese ist invariant unter der Transformation φ 7→ φ0 = exp(iα)φ. Invarianz unter lokaler Eichtransformation mit φ0 = exp(iα(x))φ besteht, falls:
1
L = Dµ? φ? Dµ φ − m2 φ? φ − Fµν F µν mit Dµ = ∂µ − ieAµ
4
(11.32)
Wie lauten die Bewegungsgleichungen?
δL
δL
= ieAµ Dµ φ − m2 φ,
= Dµ φ ⇒ (ieAµ − ∂µ )Dµ φ − m2 φ = 0, (D2 + m2 )φ = 0
δφ?
δ∂µ φ?
(11.33)
87
Kapitel 11. Das Standardmodell
δL
δL
= ieφ? Dµ φ + (Dµ? φ? )(−ie)φ, ∂ν
= ∂ν F νµ ⇒ ∂ν F νµ = ieφ? Dµ φ − ieφDµ φ?
δAµ
δ∂ν Aµ
(11.34)
Man definiert hierzu:
j µ = ieφ? Dµ φ − ieφDµ φ?
(11.35)
Durch Nachrechnen erhält man ∂µ j µ = 0!
11.3
Higgs-Modell
Nach Engler und Brout, Higgs und Kibble, Anderson (Supraleitung)
11.3.1
Beispiel aus der Festkörperphysik: Supraleitung
Man findet dies unter anderem im Itzikson, Zuber auf Seite 612. Im Supraleiter gibt es durch PhononWechselwirkungen Elektron-Paare mit der Ladung q = 2e. Im Grundzustand ist ihre Dichte konstant: ψψ ? =
%2 (ähnlich wie im φ im Goldstone-Modell). Wir betrachten stationäre Lösungen!
Ã
!
~
~
D
∇
~
=
− qA
(11.36)
i
i
Das Feld ψ lässt sich in der Form ψ = %(x) exp(iθ(x)) angeben und für den Strom J~ ergibt sich für konstantes
|ψ|:
Ã←
!
→
´
1 ? ∇
%2 ³ ~
~
~
~
J=
ψ
− 2q A ψ =
· ∇θ(x) − q A
(11.37)
2m
i
m
~ · J~ = 0. Außerdem wählen wir für A
~ transversale Eichung: ∇
~ ·A
~ = 0.
Der Strom muss erhalten sein, also ∇
Mit diesen Bedingungen ergibt sich:
~ · J~ =
0=∇
´
2
%2 ³ ~ ~
~ ·A
~ = % · 4θ(x)
∇ · ∇θ(x) − q ∇
m
m
(11.38)
2
~ Aus einer der Maxwell-Gleichungen erhält man:
Falls θ = const., so gilt J~ = − %m q A.
³
´
2
2
~ ×B
~ = q J~ ⇒ ∇
~ ×∇
~ ×A
~ = q J~ ⇒ ∇
~ ∇
~ ·A
~ − 4A
~ = q J~ ⇒ 4A
~ = −q J~ = q · % · A
~
∇
m
~=
4A
%2 · q 2 ~
·A
m
Im Supraleiter hat A nur eine endliche Reichweite! Die Eindringtiefe beträgt λ =
wird massiv durch seine Wechselwirkung mit dem geladenen Skalarfeld ψ.
11.3.2
(11.39)
(11.40)
√
m
|%·q| .
Das masselose Photonfeld
Abelsche Eichtheorien (lokal eichinvariant!)
Wir betrachten wieder das U(1)-symmetrische Modell und wollen nun aber lokale Eichtransformationen zulassen: φ 7→ φ0 = φ exp(−igΛ(x)). Ursprünglich lautete unsere Lagrange-Funktion L = ∂ µ φ† ∂µ φ − V (φ† φ). Das
Potential V ist natürlich wieder invariant! Wir wollen die kovariante Ableitung D so umdefinieren, dass gilt:
Lokale Eichtransformation
Dφ −−−−−−−−−−−−−−−−→ D0 φ0 = (Dφ) exp(−igΛ(x))
(11.41)
Dies erreicht man gerade durch Dµ ≡ ∂µ + igAµ (x) und der Forderung Aµ (x) 7→ A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ Λ(x).
Zusätzlich führt man einen kinetischen Term für Aµ ein, welcher eichinvariant ist, nämlich − 14 Fµν F µν mit
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
1
L = (Dµ φ)† (Dµ φ) − µ2 φ† φ − λ2 (φ† φ)2 − Fµν F µν
4
(11.42)
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
88
11.3. Higgs-Modell
1.) µ2 ≥ 0: Keine spontane Symmetriebrechung
Dies entspricht der Quantenelektrodynamik für geladenes Skalarfeld mit Selbst-Wechselwirkung.
2.) µ2 < 0: Spontane Symmetrie-Brechung
Es liegt ein klassisches Minimum vor für:
φ† φ = −
µ2
v2
≡
2λ2
2
(11.43)
Das Potential ist auch hier gegeben durch
µ
¶2
v2
†
V =λ φ φ−
+ irrelevante Konstante
2
2
(11.44)
und wir machen denselben Ansatz wie beim Goldstone-Modell (kleine Störung um klassisches Minimum):
µ
¶
v + η(x)
ξ(x)
√
φ=
exp i ·
(11.45)
v
2
Die Exponentialfunktion entspricht einer lokalen Operator-Eichtransformation. (Diese Formulierung führt
auf Zustände indefiniter Metrik, ist aber explizit renormierbar.)
·
µ
¶¸† ·
µ
¶¸
1
i
i
(∂µ + igAµ ) (v + η(x)) + (v + η(x))
∂µ ξ
(∂µ + igAµ ) (v + η(x)) + (v + η(x))
∂µ ξ
2
v
v
µ
¶
2
(v + η)
1
−V
− Fµν F µν =
2
4
1
1
µ 2 2 λ2
†
= [igAµ v + ∂µ η(x) + i∂µ ξ] [igAµ v + ∂µ η(x) + i∂µ ξ] + −
·η −
· 6η 2 v 2 − Fµν F µν + W.W. =
2
2
4
4
{z
}
|
L=
−|µ2 |η 2
=
1
1
1
(∂µ η)2 + (∂µ ξ + gAµ v)2 − |µ2 |η 2 − Fµν F µν + W.W.
2
2
4
(11.46)
p
Für das η-Feld hat man die Masse −2µ2 . Wegen des Terms igvAµ ∂ µ ξ lässt sich die Masse des A- und ξ-Feldes
nicht unmittelbar ablesen. Man müsste eigentlich alle Propagatoren aufschreiben und das Problem diagonalisieren. Besser noch wäre, die Massenmatrix (also alle bilinearen Terme) aufzuschreiben und zu diagonalisieren.
Statt dessen führen wir eine Operator-Eichtransformation durch:
¶
µ
v + η(x)
ξ(x)
0
√
=
φ 7→ φ = φ · exp −i
v
2
(11.47)
Die Phase des Feldes wird gewissermaßen eingefroren“.
”
1
Aµ (x) 7→ A0µ (x) = Aµ (x) +
· ∂µ ξ(x)
gv
L ist nach Konstruktion invariant unter solchen Transformationen. Wir drücken L durch φ0 =
L=
0 0
1
1
1
· (∂µ η)2 − |µ2 | · η 2 + · g 2 · v 2 · A02
· Fµ0 0 ν 0 F µ ν + W.W.
µ −
2
2
4
(11.48)
v+η
√
2
und A0 aus:
(11.49)
(Der Massenterm für A folgt auch direkt q
aus dem kinetischen Term von φ!) Das ξ-Feld wurde weg-geeicht“.
”
2
0
Aµ hat damit die Masse mA = gv = g · −µ
λ2 . Bei dieser Eichung treten nur physikalische Felder auf; man
spricht von einer unitären Eichung. Andererseits lässt sich die Renormierbarkeit der Theorie einfacher in der
89
Kapitel 11. Das Standardmodell
ursprünglichen Eichung beweisen (renormierbare Eichung). ξ ist vom longitudinalen Anteil des A absorbiert
worden. Die Zahl der physikalischen Freiheitsgrade (Teilchen) ist die gleiche für µ2 > 0 und µ2 < 0: entweder
zwei transversale Photonen, (masselos) φ und φ? oder drei massive Vektorbosonen und η. Wir werden später
zeigen, dass die Theorie in der entsprechenden Eichung manifest renormierbar ist, wenn wir zusätzlich ∂ µ Aµ = 0
fordern (R-Eichung). Die Unitarität lässt sich jedoch nicht so einfach beweisen, jedenfalls nicht, wenn wir zu
nicht-abelschen Theorien übergehen.
Der Einbau von Fermionen ist klar: ψ ∂¢ ψ 7→ ψ½
Dψ (vergleiche auch die Diskussion von Okun: 20.5)! Wir weisen
außerdem darauf hin, dass die Masse des Higgs-Bosons und des Vektorfeldes zwar unabhängig gewählt werden
können (einerseits gv und andererseits |µ2 |), das aber dennoch mH nicht drastisch größer als mA sein sollte:
p
√
√
mH = −2µ2 = 2λ2 v 2 = 2λv
(11.50)
Ferner gilt mA = gv. Daraus folgt:
mH =
√
2·
λ
· mA
g
(11.51)
2
λ
Wenn man (wie in der S-W-Theorie) g ≈ 51 - 13 postuliert und λ . O(1) (etwas großzügiger 4π
= O(1)) verlangt
(sonst hat man einen stark wechselwirkenden skalaren Sektor und die Störungstheorie wird fraglich), so findet
man mH . (3-5) · mA . Ähnliche Überlegungen gelten auch für die S-W-Theorie. Bei etwa 300-1000 GeV erhält
man auf alle Fälle wichtige Informationen über den Higgs-Sektor.
11.3.3
Nicht-Abelsche Eichgruppen/Einschub über Lie-Gruppen
Eine ausführliche Darstellung findet sich beispielsweise im J.P.Elliot+P.G.Dawler: Symmetry in Physics“.
”
L seien die Generatoren einer Lie-Gruppe. Es gilt [La , Lb ] = iCabc Lc für a, b, c = 1, . . ., N . C sind die
sogenannten Strukturkonstanten, welche antisymmetrisch bezüglich aller Indizes sind. Außerdem erfüllen die
C die Jacobi-Identität:
Cabn Cncd + Cbcn Cnad + Ccan Cnbd = 0
(11.52)
(Die Indizes a, b und c werden hierbei zyklisch vertauscht.) Für die abelsche Gruppe gilt C = 0. Wenn man
Indexmengen A, B finden kann, so dass Cabc = 0 ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, so lässt sich La in zwei Mengen von
miteinander kommutierenden Generatoren zerlegen. Dann ist G das direkte Produkt zweier Lie-Gruppen. Wir
werden im folgenden nur kompakte Lie-Gruppen betrachten: U φ = exp(−iθα Lα )φ, wobei θ Element einer
kompakten Menge ist (beispielsweise Lorentz-Boost, Drehungen und Translationen sind ausgeschlossen).
Unter dem Rang einer Gruppe versteht man die maximale Anzahl vertauschbarer Generatoren. Beispielsweise
gilt Rang[SU(3)] = 2; die vertauschbaren Generatoren sind √23 Y und I3 . Noch zum Begriff der Darstellung:
Dabei handelt es sich um eine Abbildung (Homomorphismus), welche Elemente einer Gruppe G auf eine Menge
von Operatoren U (G), welche auf einem linearen Vektorraum V wirken, abbildet. Die Dimension von V ist
die Dimension der Darstellung. Eine treue Darstellung ist ein Isomorphismus, eine entartete Darstellung
ist nicht treu. Die niedrigst-dimensionale treue Darstellung entspricht der fundamentalen Darstellung.
Beispielsweise transformieren folgende Objekte unter der fundamentalen Darstellung:
U SU(2): Zweier-Spinoren
U O(n): Vektoren
U SU(3): Colour, Quark-Felder
Alle anderen Darstellungen können durch Ausreduktion der Produkt-Darstellungen erzeugt werden, wie zum
Beispiel Mesonen: 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 oder Matrizen in drei Dimensionen: 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 3 ⊕ 5. Die adjungierte
Darstellung wird durch die Strukturkonstanten selbst erzeugt (Dimension N ): (La )bc = −iCabc (Test: JacobiIdentität). Nach dieser Darstellung werden sich die N Eichfelder transformieren.
Gewisse Polynome in den Generatoren vertauschen mit allen Generatoren der Gruppe; dies sind CasimirOperatoren. Sie haben also den gleichen Wert für alle Zustände eines Multipletts und können somit zur Klassifikation der Multipletts verwendet werden. Wir betrachten folgende Beispiele:
U Drehgruppe: C2 = L2 = L2x + L2y + L2z ⇒ L(L + 1)1
U Isospin: C2 =
3
X
Ia2 = I(I + 1)1
a=1
90
11.3. Higgs-Modell
V Fundamental-Darstellung: C2 =
3 ³ ´2
X
τi
i=1
V Adjungierte Darstellung: C2 =
X
2
=
3
1
4
εijk εijk0 = 2δkk0
i,j
U SU(3): C2 =
8
X
Ia2
a=1
1X a a
4
λ λ = δik
4 a,j ij jk
3
X
V Adjungierte Darstellung:
fabc fabd = 3δcd
V Fundamental-Darstellung:
a,b
Also ist C2 (F ) = 43 und C2 (A) = 3. Diese Casimir-Operatoren treten häufig bei der Berechnung von
Feynman-Diagrammen auf. Beispiel:
=
1 a a
λ λ = C2 (F )δik
4 ij jk
(11.53)
Ferner gilt
TrR (La Lb ) =
Dimension von R
· C2 (R) · δ ab
Dimension von G
(11.54)
für eine beliebige Darstellung R. Der Beweis ist klar und kann als Übung durchgeführt werden. Betrachten wir
dazu folgendes Beispiel. Für R = F und G = SU(3) erhält man:
TrF (La Lb ) =
3 4 ab
1
· · δ = · δ ab
8 3
2
(11.55)
Betrachten wir folgende Anwendung bei Feynman-Diagrammen:
∼ TrF (La Lb ) =
3
1
· C2 (F ) · δ ab = · δ ab
8
2
∼ ? (Aufgabe)
11.3.4
(11.56)
(11.57)
Nichtabelsche Eichfelder
Wir betrachten die Lagrange-Dichte L(φ, ∂φ) = L(φ0 , ∂φ0 ). Diese ist invariant unter globalen Transformationen φ 7→ φ0 = U φ, wobei U die unitäre Matrix exp(−iθa La ) ist und La die Generatoren der Transformation
(Für SU(2) beispielsweise Pauli-Matrizen). Hierbei gilt natürlich ∂φ0 = U ∂φ (wegen θ = const.). Wir können
wieder lokale Invarianz (θ(x)!) erreichen, wenn wir ∂ durch D ersetzen, so dass wiederum die Forderung
D0 φ0 = U (Dφ)
(11.58)
erfüllt ist; es soll sich also Dφ wie φ transformieren. Dies wird die Form von D und somit des Eichfeldes
festlegen. Wir betrachten infinitesimale Transformationen:
φ 7→ φ0 = φ − iθa (x)La φ = φ + δφ
(11.59)
91
Kapitel 11. Das Standardmodell
Definiere Dµ = ∂µ + igAµ , wobei Aµ = Aaµ La . Wie muss sich A transformieren? Achtung: [A, L] 6= 0! Dazu
fordern wir, dass sich Dφ wie φ transformieren oder dass D invariant sein soll. Wir nehmen jetzt nur Terme
mit, die linear in δ sind:
δ(Dφ) = (∂ + ig(A + δA))(φ + δφ) − (∂ + igA)φ = (∂ + igA) (−iθa (x)La )φ +igδAφ =
|
{z
}
δφ
µ
¶
1
= −iθa (x)La (∂ + igA)φ +ig δA − i[A, θa La ] − (∂θa (x)La ) φ
| {z }
g
|
{z
}
Dφ
(11.60)
Forderung: =0
Damit erhalten wir (wobei A = Aa La ):
1 a
∂θ + Cabc Ab θc
g
δAa =
(11.61)
Cabc sind die Strukturkonstanten der nicht-abelschen Gruppe. Speziell für konstantes θa transformiert sich Aa
unter der adjungierten Darstellung. Insgesamt finden wir
1 a
L = L(φi , Dφi ) − Fµν
(F a )µν wobei Fµν = ∂µ Aaν La − ∂ν Aaµ La + ig[Aaµ La , Abν Lb ]
4
(11.62)
Für den letzten Term können wir auch schreiben:
i2 gCabc Lc Aaµ Abν oder ig[Aµ , Aν ]
(11.63)
Aa hat genau so viele Komponenten wie die Symmetrie-Gruppe Generatoren hat. In Komponenten-Schreibweise
gilt:
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gCabc Abµ Acν
(11.64)
Im F a F a -Term sind A3 - und A4 -Terme enthalten! Bereits eine reine Yang-Mills-Theorie ohne Materie/
äußere Quellen hat nicht-triviale Selbstwechselwirkungen (vergleiche Gravitation und Maxwell-Gleichungen).
11.3.5
Spezialisierung auf SU(2)
Dies Dimension der Gruppe ist gleich drei; ein wichtiges Anwendungsbeispiel ist der Isospin“.
”
 1
A
~ = A2  , Cabc = εabc
A
A3
(11.65)
Der Pfeil bezieht sich hier auf den inneren Symmetrie-Raum. Damit ist F~µν gegeben durch:
~ ν − ∂ν A
~ µ − gA
~µ × A
~ν
F~µν = ∂µ A
(11.66)
~ µ T~ )φ
Dµ φ = (∂µ + ig A
(11.67)
~ µ T~ φ (hat dieselbe Darstellung wie φ!):
Betrachten wir Beispiele für A
1.) φ in der fundamentalen Darstellung: φ = (φ† , φ0 )|
τi
~ µ ~τ
T =
⇒ A
2
2
i
µ
φ†
φ0
¶
(11.68)
2.) φ in der adjungierten Darstellung: (T i )jk = εijk
~ k = Ai εijk φj = (A
~ k
~ · T~ )φ]
~ × φ)
[(A
µ
(11.69)
Wie bereits früher betont, liegt die Darstellung, unter welcher sich die Eichfelder transformieren, fest, nicht aber
die der Materie-Felder“. Anmerkung: Gelegentlich wird auch die Kopplungskonstante in der Felddefinition
”
absorbiert, also gA 7→ A, F 2 7→ g12 F 2 (Änderung der Propagatoren!)
92
11.3. Higgs-Modell
11.3.6
Spontane Brechung der lokalen SU(2)-Symmetrie
1
L = − F~µν F~ µν + L(φi , Dφi ) mit L(φi , Dφi ) = |Dµ φ|2 − V (φ)
(11.70)
4
Das Potential V wird analog zum abelschen Fall gewählt. Den einfachsten Fall erhält man für φ in der
fundamentalen“ Darstellung:
”
µ
¶
1
0
φ= √
(11.71)
2 v + χ(x)
Der Grundzustand ist:
µ ¶
1 0
φ= √
2 v
(11.72)
Alle drei Transformationen sind gebrochen, auch Drehungen um die z-Achse:
¶¸ µ ¶
µ
¶µ ¶
· µ
θ 1 0
θ
0
0
exp i
= exp −i
1
1
2 0 −1
2
(11.73)
Der Spin zeigt zwar weiter in z-Richtung; der Zustand wird jedoch mit einem Phasenfaktor multipliziert! Alle
drei Bosonen sind massiv. Die Massenterme des Eichfeldes rühren von der Higgs-Eichboson-Wechselwirkung
her.
¯µ
¯
¶ ¯2
µ ¶¯2
¯
¯
¯
g2 v2
~τ
~τ 1 0 ¯¯
~
~
¯
¯
¯
(Dφ) = ¯ ∂µ − ig A ·
φ¯ ⇒ ¯−ig A · · √
=
·
2
2
4 2
2 v ¯
2
¯
µ ¶¯2
¯
1 g2 · v2
0 ¯¯
~
¯
· ¯A · ~τ
·
· (A21 + A22 + A23 )
=
1 ¯
2
4
(11.74)
liefert den Massenterm für A. Es gilt τi (0, 1)| 6= 0 ∀ i = 1, 2 und 3. In einer anderen Formulierung zerlegen
~ ~τ nach Leiter-Operatoren:
wir A,
 µ
¶
0 1



 0 0
1
1
1 
+ −
− +
~
A · ~τ = A τ + A τ + A3 τ3 mit A± = √ (A1 ± iA2 ) und τ± = √ (τ1 ± iτ2 ) = √
(11.75)
µ
¶
2
2
2

0
0



1 0
Damit erhalten wir für den Massenterm:
g2 · v2
8
¯
µ ¶
µ ¶¯2
µ
¶
¯√
1 2
g2 · v2
1
0 ¯¯
¯
· ¯ 2A−
− A3
=
A+ A− + A3
0
1 ¯
4
2
(11.76)
A± entspricht einem komplexen Feld und wird das geladene W-Boson liefern. Aus dem reellen Feld A3 werden
wir das Z-Boson erhalten. Die Masse der A3 -, A+ - und A− (= A?+ )-Felder ist g·v
2 . Die Unterscheidung von A3 ,
A+ und A− wird durch die Kopplung von A± an das Photon möglich, welches die SU(2)-Symmetrie bricht.
Anmerkung: Die Masse der Vektorbosonen wird erst durch die Wahl der Darstellung für φ sowie durch V (φ)
festgelegt, wie man bereits an folgendem einfachen Beispiel sehen kann. Wählt man für φ die adjungierte
~ = (φ1 , φ2 , φ3 )| , so findet man als Minimum φ
~ min = (0, 0, v)| , Dµ φ
~ = (∂µ + ig A×)
~ Der
~ φ.
Darstellung φ
Massenterm ist
g2 v2 2
g2 ~ ~
[(A × φmin )]2 =
(A1 + A22 )
2
2
(11.77)
und A3 bleibt masselos.
93
Kapitel 11. Das Standardmodell
94
Kapitel 12
Standardmodell der elektroschwachen
Wechselwirkung
12.1
Ansatz
Wir fordern, dass die Eichbosonen an erhaltene Ströme koppeln, dass linkshändige und rechtshändige Fermionen sich unter unterschiedlichen Darstellungen transformieren und dass es keine harten“ Massenterme
”
für Fermionen gibt. Dann kann man links- und rechtshändige Teilchen getrennt betrachten. (V - und AWechselwirkung erhalten die Helizität!) Massenterme für Fermionen und Eichbosonen werden über spontane Symmetriebrechung eingeführt. Wir beschränken uns zunächst auf Elektronen e und Neutrinos ν; Quarks
~ und B als SU(2)- und U(1)-Eichfelder treten folgende Felder auf:
betrachten wir später. Neben A
1.) linkshändiges Neutrino und linkshändiges Elektron im Isospin-Dublett:
µ ¶
νL
L=
eL
2.) Higgs-Dublett:
µ +¶
ϕ
ϕ=
ϕ−
(12.1)
(12.2)
und die Isospin-Singuletts eR und νR . Letzteres wäre unnötig für mν = 0. Bei L und ϕ handelt es sich um
Isodubletts; diese haben Isospin 1/2 und tragen Hyperladung. Rechtshändige Elektronen eR und Neutrinos νR
koppeln nicht an W± ; also handelt es sich um Isospin-Singuletts. Die sehr kleine Neutrinomasse mν wollen wir
im folgenden außer Acht lassen. Wir können damit für die Hyperladung schreiben (wobei diese immer für das
ganze Multiplett gelten muss):

−1 für L = (νL , eL )|



Y
−2 für eR
Q = I3 +
mit Y =
(12.3)
0
für νR

2


+
− |
1
für ϕ = (ϕ , ϕ )
Y ist die doppelte mittlere Ladung eines Multipletts. Der Ansatz ist so gewählt, dass Q(ϕ0 ) = Q(0, 1)| = 0
ist. Das Vakuum ist somit invariant unter der Transformation, welche durch Q = I3 + Y2 erzeugt wird. Das
zugehörige Eichboson ist masselos. Die Lagrange-Dichte hat folgende Form:
λ2
1 ~ ~ µν 1
L=− G
− Fµν F µν + |iL{z
DL} + ieR½
DeR + |Dµ ϕ|2 −
½
µν G
| {z } | {z } 2
| 4 {z
} | 4 {z
}
|
®
¯
¬
­
°
µ
¶2
¡
¢
v2
|ϕ|2 −
−fe LeR ϕ− + eR Lϕ+
2
{z
}
|
{z
}
²
(12.4)
±
~ µν ist das Eichfeld,
Dies ist die allgemeinste SU(2)-⊗-U(1)-invariante Dichte ohne Neutrino-Massen-Term. G
welches zur Isospin-Transformation gehört. D ist die kovariante Ableitung, welche für die diversen Felder L,
95
Kapitel 12. Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung
eR , ϕ zu kinetischen Termen und zur Eichboson-Materie-Kopplung führt. Wenn man eine Produktgruppe hat,
also SU(2) ⊗ U(1), so hat man auch zwei Kopplungskonstanten, welche wir g und g 0 nennen wollen:
½ 1 ¾
½ τi ¾
2
2
~ µ T~ − ig 0 Y Bµ wobei Ti =
Dµ = ∂µ − ig A
für Isospin T =
(12.5)
εijk
1
2
Die Feldstärken sind in komponentenunabhängiger Schreibweise gegeben durch
Gµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − ig [Aµ Aν − Aν Aµ ]
(12.6)
oder auch
~ µν = ∂µ A
~ ν − ∂ν A
~ µ + gA
~µ × A
~ν
G
(12.7)
Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
(12.8)
Betrachten wir die sieben Terme in der obigen Lagrange-Dichte:
¬ Kinetischer Term des A-Feldes und Selbst-Wechselwirkung
­ Kinetischer Term des B-Feldes
® Kinetischer Term des linkshändigen Leptons, liefert auch (V -A)-Kopplung (Vektor (γµ )-Axial-Vektor
~ µ und an Bµ
(γµ γ5 )-Kopplung) an A
¯ Kinetischer Term des rechtshändigen Leptons, Kopplung an Bµ
~ und B
° Kinetischer Term des ϕ-Feldes, enthält Kopplungen von ϕ an A
Über spontane Symmetriebrechung liefert dieser Term die Massen der Eichbosonen.
± Selbst-Wechselwirkung
des Higgs-Feldes und Ursprung der spontanen Symmetriebrechung mit ϕ0 =
´|
³
v
0, √2
² Yukawa-Term
Dieser beschreibt die skalare Wechselwirkung zwischen links- und rechtshändigen Leptonen und dem
Higgs-Feld. Über spontane Symmetriebrechung erhält man Massenterme für das Elektron und die Wechselwirkung zwischen Elektron und Higgs-Boson.
12.2
Konsequenzen
12.2.1
Massenverhältnisse der Eichbosonen, Mischungswinkel“
”
Wegen der drei gebrochenen Symmetrie-Transformationen erwarten wir drei massive und ein
Eich´|
³ masseloses
v
boson. Andererseits koppeln alle vier Eichfelder an das Higgs-Feld! Wir wenden D auf 0, √2
an; dazu
zerlegen wir den Term nach A+ , A− und A3 , wobei τ + als Aufsteigeoperator fungiert:
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
√
1
0
0
+ 0
τ
= 2·
; τ3
=−
1
0
1
1
Dϕ ⇒
·
µ ¶
µ
¶µ ¶
µ ¶¸
√
0
g~
g0
i v
0
0
− 1
√
(−gA
+
g
B)
−i A
·
~
τ
−
i
Y
B
=
−
+
2gA
v
3
µ
√
1
0
2
2
2 2
2
Daraus folgt der Massenterm:
Ã
!2
v2 2
g
g0
v2
02
(g + g ) p
A3 − p
B
+ g 2 A+ A−
8
4
g 2 + g 02
g 2 + g 02
(12.9)
(12.10)
(12.11)
Um den ersten Term zu diagonalisieren, führen wir eine geeignete Linearkombination von A3 und B ein:
Z ≡ A3 cos θw − B sin θw ,
A ≡ B cos θw + A3 sin θw wobei
p
g0
g
= cos θw ,
= sin θw mit g = g 2 + g 02
g
g
96
12.3. Kopplungen der neutralen Eichbosonen an Ladung und Isospin
(12.12)
Dies lässt sich nach A3 und B auflösen:
A3 = Z cos θw + A sin θw ,
B = −Z sin θw + A cos θw
(12.13)
Der Index w“ steht für weak“. Außerdem verwenden wir aus historischen Gründen die Bezeichnung W ∓ ≡
”
”
A± . Damit können wir den obigen Massenterm umschreiben in:
g2
v2
v2 2
Z + g2 W W ?
8
4
v mW
g
v
⇒ mZ = g , mW = g · ,
= 0 = cos θw
2
2 mZ
g
Diese Massen-Beziehung ist natürlich ganz spezifisch für die gewählte Higgs-Struktur!
µ ¶
0
A
= 0 ⇒ mA = 0
v
(12.14)
(12.15)
A ist damit masselos und das Vakuum ist invariant unter U(1)!
12.3
Kopplungen der neutralen Eichbosonen an Ladung und Isospin
Wir gehen aus von
−igT3 A3 − ig 0
Y
B
2
(12.16)
und eliminieren Y über Q = T3 + Y2 . Wir ersetzen außerdem A3 und B durch A und Z sowie g und g 0 durch
g und sin θw entsprechend den vorherigen Gleichungen. Damit erhalten wir:
£
¤
−ig sin θw cos θw (QA) + (T3 − Q sin2 θw )Z
(12.17)
Da nach Konstruktion linkshändige und rechtshändige Teilchen die gleiche Ladung haben, koppeln links- und
rechtshändige Teilchen also gleich stark an das A-Feld. Elektromagnetische Wechselwirkung erhält Parität.
Das Vakuum hat Ladung 0 wegen Q(0, 1)| = 0. Als erste Relation zwischen den Kopplungskonstanten ergibt
sich:
g sin θw cos θw = e =
√
4πα mit g =
p
g 2 + g 02
µ
= g · sin θw = g 0 · cos θw ⇒ g 2 g 02 = (g 2 + g 02 ) · e2 =
(12.18)
e4
sin2 θw · cos2 θw
¶
(12.19)
Wir haben zwei Kopplungskonstanten g und g 0 entsprechend der Gruppenstruktur SU(2) ⊗ U(1). Wenn die
Theorie invariant unter einer einfachen Gruppe ist, welche SU(2) ⊗ U(1) enthält, dann gäbe es nur eine
0
Kopplungskonstante und gg wäre als Clebsch-Gordon-Koeffizient festgelegt.
12.4
MW , v und Fermi-Kopplung GF
Die einzige dimensionsbehaftete Größe in der effektiven Lagrange-Funktion ist der Vakuum-Erwartungswert
des Higgs-Feldes v. Also sind GF , MW und MZ proportional zu v. Betrachten wir nun die f-f-W-Kopplung:
µ ¶
µ
µ
¶
¶
√ 0 1
√ 0 0
¡
¢ νL
ig
g ~
A · ~τ L ⇒ − (ν L , eL ) ¡
A+ τ− + ¡
A− τ+
−i L¡
[+A3 τ3 ] mit τ+ = 2
, τ− = 2
(12.20)
eL
0 0
1 0
2
2
Den A3 -Term lassen wir außer Acht, da er keinen Übergang zwischen eL und νL liefert und erhalten:
−i
¢
¢
g√ ¡
g√ ¡
½− νL + ν L½
½+ eL
2 eL¡
A+ νL + ν L¡
A− eL = −i
2 eL½
W
W
2
2
(12.21)
97
Kapitel 12. Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung
Im Niederenergie-Limes tragen nur virtuelle W-Bosonen bei. Dies führt auf eine effektive Wechselwirkung der
Form:
Für die Amplitude ergibt sich:
Ã
A=
g·
kβ kα
√ !2
gβα − M
2
2
β
W
· eL γ νL ·
· ν L γ α eL
2
2
MW − k 2
kα kβ
M2
2
7 0, da k 2 ¿ MW
→
ist. Außerdem können wir mit
µ
¶ µ
¶
1 − γ5
1 − γ5
α
α
ν L γ eL = ν
γ
e
2
2
Es gilt
(12.22)
(12.23)
die Amplitude schreiben als:
Ã
A=
g·
√ !2
¡
¢
1
2
·
· eγ β · (1 − γ5 )ν · (νγβ · (1 − γ5 )e)
2
2
4 · MW
Aus historischen Gründen definiert man:
à √ !2
g· 2
1
g2
GF
√
·
=
2
2 ≡
2
4 · MW
8 · MW
2
(12.24)
(12.25)
Diese Wechselwirkung ist universell; sie trägt ganz allgemein bei für Übergänge zwischen (µνµ ), (τντ ) und
(ud). Insbesondere führt sie auch zum β-Zerfall n 7→ p + e + ν.
(udd) 7→ (uud) + e + ν
(12.26)
98
12.4. MW , v und Fermi-Kopplung GF
Man setzt nun GF ≡ Gµ , wobei sich Gµ aus der Lebensdauer des µ bestimmen lässt:
τµ−1 = Γµ =
G2F · m5µ
· (1 + kleine Massen- und Strahlungskorrekturen)
192π 3
2
Andererseits ist MW
= 14 g 2 v 2 und somit v = √√1
2GF
(12.27)
= 246 GeV. Man kann die Kopplungskonstante g =
e
sin θw
sowie MW , MZ aus θw , α und GM bestimmen. (sin θw kann in Nieder-Energie-Neutrino-Streuexperimenten
gemessen werden.)
√
√
r
4π · α · 2
37, 3 GeV
37, 3 GeV
2 · g2
α·π
1
2
=
=
≈ √
MW =
⇒ MW = √
·
≈ 80 GeV (12.28)
2
8GF
sin
θ
sin
θ
0, 22
8 · sin θw · GF
2 · GF
w
w
MZ =
MW
≈ 90 GeV
cos θw
12.4.1
(12.29)
Allgemeine Diskussion für beliebige Darstellung des Higgsfeldes
Vergleiche Ecker, Schladming auf Seite 82!
Ls = (Dµ φ)† Dµ φ − V (φ)
(12.30)
Das Minimum des Potentials liegt bei φ0 = √v2 . Da Ls Isospin-invariant ist, kann man stets v als Eigenvektor
von T3 wählen. Die elektromagnetische Wechselwirkung ist nicht gebrochen und damit ergibt sich:
Qv = 0 ⇒
Y
v = −T3 v
2
(12.31)
Kommen wir zum Massenterm:
´ ³
´
1 +³ ~ ~
~ − g 0 T3 B v =
v g T · W − g 0 T3 B · g T~ · W
2
¢
¤ £ ¡
¢
¤
1 £ ¡
= v + g T + W − + T − W + + T 3 W3 − g 0 T3 B · g T + W − + T − W + + T 3 W3 − g 0 T3 B
2
(12.32)
Es gilt v + T + T + v = 0, v + T − T − v = 0 und v + (T ± − T 3 )v = 0. (v + steht für transponiertes v!) Dies ist evident,
wenn v Eigenzustand zu T3 ist. Damit ergibt sich:
¢
¢¡
¢
1¡
g2 + − + ¡ + −
W W v T T + T −T + v +
gW 3 − g 0 B gW 3 − g 0 B v + T32 v
2
2
(12.33)
Unter anderem mit T + T − + T − T + = T~ 2 − T32 erhalten wir:
¤
¤
¢
g2 + − + £
g2
g 2 2 ¡£
2 +
W W v v t(t + 1) − t23 +
ZZt
v
v
=
v
t(t + 1) − t23 W + W − + t23 Z 2
3
2
2 cos2 θw
2
(12.34)
Für mehrere Higgs-Felder gilt v 7→ vi , t 7→ ti und t3 7→ ti3 .
2
MW
=
%≡
X
¤
g2 X £
g2
·
ti (ti + 1) − ti3 |v|2i ; MZ =
·
(ti3 )2 · |v|2i
2θ
2
cos
w
i
i
MZ2
2
MW
=
· cos2 θw
(12.35)
X£
¤
ti (ti + 1) − (ti3 )2 · |vi |2
i
2·
X
(ti3 )2 · |vi |2
(12.36)
i
Also wird % = 1 auch reproduziert, wenn mehrere Higgs-Dubletts auftreten.
99
Kapitel 12. Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung
12.5
Elektron-Masse und Higgs-Kopplung
Wir gehen aus von der Yukawa-Kopplung:
·
µ
µ
¶
¶ µ ¶¸
µ
¶
0
v+χ
v+χ
νL
√
√
fe (ν L , eL ) · v+χ
e
·
0,
·
e
+
·
=
f
· (eL eR + eR eL ) =
R
R
e
√
eL
2
2
2
µ
¶µ
¶
µ
¶µ
¶ ¶
¶ µ µ
v+χ
1 + γ5
1 + γ5
1 − γ5
1 − γ5
√
= fe
· e
e+e
e =
2
2
2
2
2
µ
¶
³
v+χ
χ´
fe · v
√
= fe
ee = me 1 +
ee ⇒ me = √
v
2
2
(12.37)
Die Kopplung von χ an das Elektron ist proportional zu me . Fermionen mit kleiner Masse koppeln schwach
an Higgs-Teilchen!
Wir hätten natürlich auch für das rechtshändige Neutrino einen kinetischen und einen Higgs-Term (mit
sehr kleinem fν ) vorsehen können. Beachte hierbei, dass sich die Konfiguration εij ϕcj ebenfalls unter der
fundamentalen Darstellung der SU(2) transformiert. εij ist der zweidimensionale antisymmetrische ε-Tensor,
welchen man als Matrix schreiben kann:
µ
¶
µ ¶
µ ? ¶
0 1
ϕ1
ϕ2
εij =
und ϕ =
⇒ εij ϕcj =
(12.38)
−1 0
ϕ2
−ϕ?1
Also ist Li εij ϕcj ∼ ν L · √v2 ebenfalls ein SU(2)-Singulett und kann an ein rechtshändiges Neutrino-Feld gekoppelt
werden. Dies würde zu einer kleinen Neutrino-Masse führen! Der Einbau von schweren Leptonen verläuft analog;
lediglich mit anderer Lepton-Higgs-Kopplungsstärke. Unterschiede: Für d und u werden rechtshändige Felder
eingeführt (SU(2)-Singuletts). Diese besitzen eine andere Ladung und damit eine andere Kopplung an A und
Z.
Führt man ein νR als SU(2)-Singulett ein, so hat man die gleiche Struktur wie vorher und man erhält Massenterme der Form νν. Analog funktioniert dies für uR als Singulett; man erhält uu.
Die
von Quarks verläuft völlig analog:
µ Einführung
¶
u
uR
dR
d L
1
I=2
I=0
I=0
Y = 13 Y = 43 y = − 23
Es muss natürlich immer gelten: Q = I3 + Y2 .
12.6
Vektor- und Axial-Kopplungen des Z0 an Fermionen
¡
¢
¡
¢
iL½
DL + ieR½
DeR ⇒ −igL T3 − Q sin2 θw Z µ γµ L − igeR T3 − Q sin2 θw Z µ γµ eR
Dies gilt für die Leptonen. Es ergibt sich weiter:
µ
·
¶ µ ¶
µ
¶¸
µ
¶ µ ¶
1 1 0
ν
0 0
ν
− ig (ν L , eL )
γµ L − sin2 θw (ν L , eL )
γµ L − sin2 θw eR γµ eR Z µ =
eL
0 −1
eL
2 0 −1


µ
¶
µ
¶
1 − γ5
1
1 − γ5
1

ν − eγµ
e + sin2 θw (eL γµ eL + eR γµ eR ) Z µ
= −ig  νγµ
2
2
2
2
|
{z
}
(12.39)
(12.40)
eγµ e
100
12.6. Vektor- und Axial-Kopplungen des Z0 an Fermionen
Die allgemeine Form für beliebige Fermionen lautet:
−i ·
³
´
i
g h
· −2I3f f · γµ γ5 · f + 2 · I3f − 4 · Qf · sin2 θw f γµ f Z µ
4
(12.41)
Dies liefert beispielsweise den Z-Zerfall! Bei niedrigen Energien hat man eine effektive Kopplung:
µ ¶2
³
´
i
g
1 h
· 2 · −2I3f1 f 1 · γµ γ5 · f1 + 2 · I3f1 − 4 · Qf1 · sin2 θw f 1 γµ f1 ×
4
MZ
h
³
´
i
× −2I3f2 f 2 · γµ γ5 · f2 + 2 · I3f2 − 4 · Qf2 · sin2 θw f 2 γµ f2
(12.42)
Der Axial-Teil ist bei niedrigen Energien festgelegt durch
g2
g 2 · cos2 θw
g2
GF
√
=
=
2
2
2 =
16 · MZ
16 · MW
16 · MW
2· 2
(12.43)
und kann nicht zur Bestimmung von sin2 θw dienen. (Diese Formel wird später benötigt!) Der Ausdruck in
der Klammer (Vektoranteil) gilt bei kohärenter Streuung auch für Nukleonen und sogar für Kerne (keine
Renormierung).
101