10. Mai 2005 ¨Ubungen Serie 6 Physik für Informatiker Abt. IIIC SS

10. Mai 2005
Übungen Serie 6
Physik für Informatiker
Abt. IIIC
SS 2005
Prof. Dr. A. Rubbia
1. Relativistische Energie-Impuls-Beziehung
Ein Teilchen mit der Ruhemasse m0 bewege sich mit einer Geschwindigkeit v.
a) Zeigen Sie, dass der Geschwindigkeitsparameter v/c und der Lorentzfaktor γ des Teilchens
gegeben sind durch
pc
E
v/c = ·; γ =
(1)
E
m0 c2
b) Beweisen Sie folgende Beziehung zwischen der totalen Energie E und dem relativistischen Impuls p für ein Teilchen mit der Ruhemasse m0
E 2 = p2 c2 + m20 c4
(2)
c) Ein Teilchen (Kaon) mit einer Ruhemasse m0K = 8.8 · 10−28 kg zerfällt in Ruhe in
zwei leichtere Teilchen (Pionen) mit je der Ruhemasse m0π = 2.5 · 10−28 kg. Nach dem
Zerfall fliegen die zwei Pionen mit der Geschwindigkeit v in entgegengesetzter Richtung
davon; d.h., beim Zerfall wird die Ruhemasse-Energie des Kaons in Ruhemasse- und
kinetische Energie der Pionen umgewandelt. Wie gross ist die kinetische Energie eines
Pions?
d) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsparameter (v/c)kl. der Pionen nach der klassischen,
nichtrelativistischen Mechanik und den korrekten Parameter v/c mit den relativistischen Formeln der Aufgaben a) und b).
v o r d e m
n a c h d e m
Z e rfa ll
Z e rfa ll
v
-v
m
m
K 0
F
m
F
2. Federbremse
Ein Körper der Masse m kann sich reibungslos auf der schiefen Ebene bewegen (siehe Figur).
Am unteren Ende der Ebene ist eine Feder befestigt (Federkonstante k). Zur Zeit t = 0 wird
die Masse in der Höhe h oberhalb des Federendes aus der Ruhe losgelassen und gleitet über
die Ebene nach unten, wo sie von der Feder abgebremst wird.
1
a) Wie gross ist der Höhenunterschied H zwischen der ursprünglichen Lage der Masse
und ihrer tiefsten Lage?
b) Diskutieren Sie auch die physikalische Bedeutung der zweiten Lösung, die Sie bei a)
bekommen.
h o e c h s te L a g e
m
tie fs te L a g e
h
H
=
3. Mondanziehung
Eine Masse m befindet sich auf der Mondoberfläche.
G = 6.67·10−11 Nm2 kg−2 ; Mondmasse MM ond = 7.35·1022 kg; Mondradius RM ond = 1738 km.
a) Berechnen Sie die Mondbeschleunigung gM ond der Masse m.
b) Berechnen Sie die Fluchtgeschwindigkeit vF l auf der Mondoberfläche.
4. Potentielle Energie der Gravitation
Wir betrachten die Arbeit W12 , die die Gravitationskraft FG einer (Punkt-)Masse M beim
verschieben einer Testmasse m von r1 nach r2 an der Testmasse m leistet; ri ist der Ortsvektor
der Masse m mit dem Ursprung bei M.
a) Zeigen Sie, dass die Arbeit W12 zwischen zwei beliebigen Punkten r1 und r2 nur von
den Radien r1 = |r1 | und r2 = |r2 | abhängt und nicht vom gewählten Weg.
b) Zeigen Sie, dass die potentielle Energie der Masse m im Abstand r von M berechnet
werden kann durch
r
FG · dr
Epot. (r) = −W∞r = −
∞
D.h., der Nullpunkt der potentiellen Energie ist bei r = ∞.
5. Der Gradient der potentiellen Energie
Die Gravitationskraft
und die potentielle Energie zweier Massen M und m im Abstand
√ 2
2
2
r = |r| = x + y + z voneinander sind gegeben durch (r = xex + yey + zez ; Epot (∞) = 0)
Mm r
FG = −G 2 ,
r r
Epot = −G
Mm
.
r
• Zeigen Sie, dass die Kraft FG aus der potentiellen Energie gewonnen werden kann durch
pot .
FG = −∇E
2