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Lineare Algebra und Geometrie I – SS 2015
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Woche 1 Aussagenlogik
Aufgabe# 1.5 Die Aussage A sei “5 > 9”, die Aussage B sei “Gerhard Schröder ist eine
Frau”. Vervollständigen Sie die folgende Wahrheitstabelle.
A B A ∧ B ¬B ¬A ¬A ∨ B A ∧ B ⇒ ¬B ¬A ∨ B ⇔ A
Aufgabe# 1.6 Beweisen Sie, dass die folgenden drei Aussagen: A ⇒ B, ¬B ⇒ ¬A und
(A ∧ ¬B) ⇒ B äquivalent sind.
Aufgabe# 1.7 Beweisen Sie die folgenden Tautologien und logischen Äquivalezen mithilfe einer Wahrheitstabelle:
a) A ∧ (A ⇒ B) ⇒ B,
b) (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C),
c) (A ⇒ B) ∧ ¬B ⇒ ¬A,
d) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).
Aufgabe# 1.8 Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
1 ∈ ∅,
1 ∈ {1} ,
1 ⊂ {1} ,
1 ∈ {{1}} ,
{1} ⊂ {{1}} ,
∅ ⊂ {{1}} ,
|{∅}| = 1.
Woche 2 Mengen und Funktionen
Aufgabe# 2.5 Es sei A = { x ∈ N | x teilt 6}.
• Wieviele Elemente hat A? Geben Sie A explizit an.
• Bilden Sie P(A) und A × A. Wieviele Elemente haben diese Mengen?
• Es sei nun B = { x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 5}. Bestimmen Sie A ∩ B, B ∪ A, B \ A, A \ B.
Aufgabe# 2.6 Für alle n ∈ N sei An = na a ∈ N .
Bestimmen Sie
\
[
A3 ,
An ,
An , An ∩ Am .
n∈N
n∈N
Aufgabe# 2.7 Es seien A, B, C Mengen. Welche der Aussagen sind richtig? (Beweisen
Sie, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an! Machen Sie zu jedem Teil eine Skizze.)
(i) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
(ii) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).
Die Aufgaben aus den Übungsblättern haben hier dieselben Nummern
S. 1/11
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S. 2/11
Aufgabe# 2.8 Welche der folgenden Relationen sind Funktionen von A nach B? (Begründen Sie Ihre Antwort!)
(i) A = B = {2, 4, 6}, R = {(2, 2), (4, 4), (2, 6)}.
(ii) A = B = R, R = (x, y) ∈ R2 x = y 2 .
(iii) A = B = R, R = (x, y) ∈ R2 y = x2 .
Bestimmen Sie Definitionsmenge und Wertemenge der Funktionen.
Aufgabe# 2.9 Es sei f : R → R, x 7→
x
1+|x| .
• Begründen Sie, warum f eine Funktion ist.
• Berechnen Sie f (R) und f (A), wobei A = { x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 1} ist.
• Berechnen Sie f −1 ({1}) und f −1 (B), wobei B = { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} ist.
• Ist f injektiv, surjektiv, bijektiv?
Aufgabe# 2.10 Es seien zwei Funktionen gegeben
f :R→R
x 7→ 1 + x2
g : R → R2
x 7→ (1, x2 ).
Bestimmen Sie, welche der Kompositionen existieren, und geben Sie für diese Kompositionen die Funktionsvorschrift explizit an:
f ◦ g,
g ◦ f,
f ◦ f,
g ◦ g.
Aufgabe# 2.11 Es seien A, B, C, D die folgenden Teilmengen von R2 :
A = (x, y) ∈ R2 : y ≤ x2 , B = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1 ,
C = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , D = (x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 12 .
Zeichnen Sie die Menge (A ∪ B) ∩ (C ∪ D).
Aufgabe# 2.12 Es seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Funktion. Zeigen Sie, dass
für jede A, B ⊂ X gilt:
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
Zeigen Sie ferner mit einem Gegenbeispiel, dass diese Aussage falsch ist, wenn man “∪”
durch “∩” ersetzt.
Aufgabe# 2.13 Geben Sie Mengen X und Y und eine Abbildung f : X → Y , sowie
Teilmengen A ⊂ X und B ⊂ Y an mit:
f −1 f (A) 6= A und f f −1 (B) 6= B.
Woche 3 Beweistypen, Induktion
Aufgabe 3.1 Trigonometrie
b# ) Leiten Sie aus den Additiontheoremen für Sinus und Cosinus die folgenden Aussagen
her:
cos 2α = cos2 α − sin2 α,
α+β
α−β
sin α + sin β = 2 sin
· cos
,
2
2
tan α − tan β
tan(α − β) =
.
1 + tan α · tan β
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S. 3/11
Aufgabe# 3.5 Beweisen Sie die folgenden Identitäten:
a)
n
X
2k = 2(2n − 1).
k=1
b)
n
X
m=2
c)
1
1
=1− .
(m − 1)m
n
n
X
n+2
k
=2− n .
k
2
2
k=1
Aufgabe# 3.6 Zeigen Sie mit Induktion:
a) an + bn ≤ (a + b)n für alle n ∈ N und alle a, b ∈ R mit a, b ≥ 0.
b) 2n3 + 4n is für alle n ∈ N durch 6 teilbar.
Aufgabe# 3.7 Ermitteln Sie die Anzahl dn der Diagonalen (Verbindungsstrecken zwischen zwei Ecken, die keine Kanten sind) in einem ebenen n-Eck für n ≥ 4. Beweisen Sie
Ihre gefundene Formel.
Aufgabe# 3.8 Zeigen Sie mit Induktion:
n Y
1
n+1
a)
1− 2 =
.
k
2n
k=2
b)
n Y
k=0
n+1
2k
1+a
1 − a2
=
1−a
für a 6= 1.
c) Für eine Menge A mit n Elementen gilt: |P(A)| = 2n .
Aufgabe# 3.9 Gegeben sei ein Dreieck mit Ecken A, B, C und gegenüberliegenden Seiten
der Länge a, b, c. Es sei γ der Winkel zwischen den Seiten BC und AC. Beweisen Sie die
folgende Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Woche 4 Komplexe Zahlen
Aufgabe 4.2 Polardarstellung
c# ) Es seien z = |z| (cos φ + i sin φ), w = |w| (cos ψ + i sin ψ), w 6= 0, zwei komplexe
Zahlen. Zeigen Sie, dass
z
|z|
=
cos(φ − ψ) + i sin(φ − ψ) .
w
|w|
Was bedeutet das geometrisch für z = 1?
1−i 3+i
(1 + i)2 6 + 5i
−
, z2 =
−
.
2+i
4
2
i3
Stellen Sie die Zahlen z1 , z2 , z1 + z2 , z1 + z2 , z1 · z2 , z1 · z2 und zz21 in der Form a + ib, mit
a, b ∈ R, dar.
Aufgabe# 4.5 Es seien z1 = −
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S. 4/11
Aufgabe# 4.6 Zeigen Sie, dass alle komplexe Zahlen vom Betrag 1 und ungleich −1 als
1 + ix
,
1 − ix
x ∈ R,
geschrieben werden können.
Stellen Sie konkret die Zahlen 1 und ±i in dieser form dar!
Aufgabe# 4.7 Skizzieren Sie die Mengen A ∩ B und A ∪ B, wobei
a) A = {z ∈ C : |z − 1| ≤ 1} und B = {z ∈ C : |Re(z)| + |Im(z)| ≤ 1},
b) A = {z ∈ C : |z + i| ≤ 2} und B = {z ∈ C : Re(z) + |Im(z)| ≤ 1},
n
o
c) A = {z ∈ C : |z − i| ≤ 1} und B = z ∈ C : Re(z) + |Im(z)|2 ≤ 1 .
Aufgabe# 4.8 Finden Sie alle Lösungen der Gleichung
√
z 3 = 3 + i.
Aufgabe# 4.9 Es seien w1 =
1+i
1
, w2 =
1−i
1−i
a) Bestimmen Sie die Polardarstellung von w1 bzw. w2 .
b) Lösen Sie die beiden Gleichungen z 5 = w1 bzw. z 5 = w2 nach z.
Aufgabe# 4.10 Quadratische Gleichungen über C.
a) Beweisen Sie, dass die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0,
p, q ∈ C,
nur dann reelle Lösungen hat, wenn Im p = Im q = 0 ist.
b) Es seien p, q ∈ C mit (Im p, Im q) 6= (0, 0). Zeigen Sie, dass die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0,
p, q ∈ C
keine reelle Lösung hat.
Woche 5 R2 : Basis, Determinante, Geraden, linearen Abbildungen
Aufgabe 5.3 Kollineare Punkte.
a) Es seien a, b, c drei Punkte in R2 . Zeigen Sie: a, b, c liegen genau dann auf einer
Geraden, wenn det(c − a, b − a) = 0 ist.
d# ) Prüfen Sie, ob (3, 2), (6, −1), (2, 3) und (5, 0) auf einer Geraden liegen.
Aufgabe# 5.5 Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mithilfe der Cramerschen
Regel.
n
n
n
n
3x − y = 5
2x − 3y = 4
5x − 7y = 1
x cos α − y sin α = cos β
a) x + 2y = 5 , b) 4x − 5y = 10 , c) x − 2y = 0 , d)
.
x sin α + y cos α = sin β
Aufgabe# 5.6 Hat das Gleichungssystem
x − y = c1
x + y = c2 ,
für alle c = (c1 , c2 ) ∈ R2 eine eindeutige Lösung?
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S. 5/11
Aufgabe# 5.7 Es sei a = (1, 1), b = (−1, 1).
a) Zeigen Sie, dass (a, b) eine Basis von R2 ist.
b) Berechnen Sie die Koordinaten von (−1, 1), (0, 2), (−4, 0) und (1, 5) bezüglich der
Basis (a, b).
Aufgabe# 5.8 Gleichung- und Parameterdarstellung der Geraden.
a) Bestimmen Sie für die folgenden Geraden je eine Gleichung:
(1, 1) + R(−1, 0),
(1, 4) + R(−1, 2),
(1, −2) + R(−1, 2).
b) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung für die folgenden Geraden:
2x + y = 6,
1
−x − y = 0,
2
5y = 5.
Aufgabe# 5.9 Es seien a, b ∈ R2 . Zeigen Sie, dass a + Rb genau dann eine Gerade durch
(0, 0) ist, wenn det(a, b) = 0 ist.
Aufgabe# 5.10 Es sei A : R2 → R2 eine nicht injektive lineare Abbildung, die aber keine
Nullabbildung ist. Beweisen Sie:
a) Ker A := { (x1 , x2 ) | A(x1 , x2 ) = (0, 0)} ist eine Gerade durch (0, 0).
b) Das Bild A(R2 ) ist ebenfalls eine Gerade durch (0, 0).
Woche 6 R2 : Inverse Matrix, Basiswechsel, Länge, Bewegungen
Aufgabe# 6.4 Berechnen Sie die Inversen (falls sie existieren!) folgender Matrizen.
1 2
−1 2
−1 2
1 2
.
, d)
, c)
, b)
a)
3 6
−3 −4
−3 4
3 4
−2 −5
.
Aufgabe# 6.5 Es seien a = (−1, 1), b = (2, −1), B = (a, b) und A =
3
6
a) Zeigen Sie, dass B eine Basis von R2 ist.
b) Berechnen Sie BAB .
# 6.6 Es seien a = (−1, 1), b = (2, −1), c = (1, 3), B = (a, b), C = (c, b) und
Aufgabe
1 2
A=
.
3 6
a) Zeigen Sie, dass B und C Basen von R2 sind.
b) Berechnen Sie CAB und BAC .
Aufgabe# 6.7 Es seien a, b ∈ R2 mit kak = kbk. Zeigen Sie, dass a − b ⊥ a + b. Zeichnen
Sie ein Bild hierzu.
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S. 6/11
Aufgabe# 6.8 Es seien ABC ein Dreieck mit Seitenlängen kC − Bk = a, kC − Ak = b,
kB − Ak = c und ` eine Gerade durch A und B. Es sei D der Fußpunkt von C auf `.
Es seien ferner p = kD − Bk, q = kD − Ak und h = kD − Ck. Nehmen Sie an, dass
C − A ⊥ C − B.
a) Zeigen Sie, dass h2 = pq.
b) Beweisen Sie, dass a2 = pc und b2 = qc.
Bemerkung: Für eine Gerade ` und einen Punkt C mit C ∈
/ ` existiert genau ein Punkt
D ∈ `, sodass C −D ein Normalenvektor von ` ist. Den Punkt D nennen wir den Fußpunkt
von C auf `.
Aufgabe# 6.9 Drehungen und Spiegelungen
a) Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Spiegelungen eine Drehung ist.
b) Zeigen Sie, dass man jede Drehung Rc,s als Produkt zweier Spiegelungen schreiben
kann.
Woche 7 R3 : Skalarprodukt, Länge, Winkel, Geraden und Ebenen
Aufgabe 7.1 Parallelogramm.
c# ) Zeigen Sie, dass ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen stets ein Rechteck
ist.
Aufgabe 7.2 Es sei ein Dreieck ∆ ⊂ R3 mit Ecken
0 = (0, 0, 0),
u=
√
1+ 3
3
(1, 2, 2) und v =
1 2
3, 3
√
+
2 2
2 ,3
√
−
2
2
gegeben.
e# ) Bestimmen Sie den Höhenschnittpunkt von ∆.
Aufgabe# 7.5
a) Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ R3 der Cosinussatz gilt:
ka − bk2 = kak2 + kbk2 − 2 · kak · kbk · cos ∠(a, b).
b) Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ R3 die Dreiecksungleichung gilt:
ka + bk ≤ kak + kbk .
Interpretieren Sie diese geometrisch. Wann tritt Gleichheit auf?
Aufgabe# 7.6 Gegeben sei ein Dreieck ∆ ⊂ R2 mit Ecken
0 = (0, 0),
u = (2, 2) und v = (3, 0).
a) Bestimmen Sie die Seitenlängen und Eckwinckel des Dreiecks ∆.
b) Bestimmen Sie den Höhenvektor von v auf die gegenüberliegende Seite.
c) Berechnen Sie den Abstand zwischen 0 und der Geraden, die die gegenüberliegende
Seite enthält.
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S. 7/11
#
Aufgabe
0 7.7 Für
1 welche Werte des Parameters
2 r ∈ R
sind die Geraden G1 durch
1
Punkte 0 und 2 und G2 durch Punkte 3 und 1 parallel? Schneiden sich die
−1
r
0
1
beiden Geraden für r = −3?
Aufgabe# 7.8 Parallele Ebenen.
a) Es seien im R3 drei Ebenen gegeben:
o
n x 3
y
2x
−
3y
+
z
=
1
sowie
E1 =
∈
R
z
0 1 0
1 1
3
E2 = −1 +R 0 + R 1 und E3 = 0 + R 1 + R 2 .
0
−2
3
−1
1
0
Warum sind E1 , E2 und E3 parallele Ebenen? Sind welche davon gleich?
b) Es seien im R3 die Ebene E1 durch die Punkte (−1, 2, 1), (0, 2, −2) und (0, 3, −1)
sowie die Ebene E2 = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x + y + 2z = −2} gegeben. Sind diese Ebenen
parallel?
Aufgabe# 7.9 Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme:



2x1 − x2 = 5

 x1 − x2 + x3 = 4
 x1 + 2x2 − x3 = 2
x1 + x2 + x3 = −2 b)
2x1 + x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 − 3x3 = 2
a)
c)



3x1 + 2x2 − 3x3 = −3
x1 − x2 + 2x3 = −3
4x1 − x2 + 2x3 = 5
Woche 8 R3 : Determinante, Durchschnitt von zwei Ebenen (von Ebene und Geraden),
Abstand, Matrixprodukt
Aufgabe# 8.5 Berechnen Sie Determinanten folgender
a, b ∈ R:



0
a
−1 0 a
 0 2 0  , b a + b
0
a
1 b −1
Matrizen in Abhängigkeit von

0
b .
0
Aufgabe# 8.6 Es seien im R3 die Ebene E1 durch die Punkte (1, −2, 1), (2, −1, 2) und
(1, −2, 0) sowie die Ebene E2 = (0, 0, 1) + R · (1, 0, 0) + R · (1, 1, 0) gegeben.
a) Finden Sie eine Parameterdarstellung sowie eine Gleichung der Ebene E1 .
b) Sind die Ebenen E1 und E2 parallel? Bestimmen Sie den Durchschnitt E1 ∩ E2 .
Aufgabe# 8.7 Es seien vier Punkte in R3 gegeben:
a = (0, 0, −2), b = (1, 1, 0), c = (1, −1, 0) und d = (1, 0, 3).
a) Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders mit den Ecken a, b, c, d (ein Sechstel des
Spatvolumens!) und die Flächeninhalte seiner vier Seitenflächen!
b) Es sei G die Gerade durch b und c. Bestimmen Sie den Abstand zwischen a und G
bzw. zwischen d und G.
c) Berechnen Sie den Abstand zwischen jedem der vier Ecken des Tetraeders und der
Ebene, die die gegenüberliegenden Seite enthält. (zwischen jeden der vier Punkte
und der Ebene durch den restlichen drei Punkten.)
d) Es sei G1 die Gerade durch a und b, G2 die Gerade durch c und d. Bestimmen Sie
den Abstand zwischen G1 und G2 .
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S. 8/11
Aufgabe# 8.8 Beweisen Sie: Der Abstand zwischen einem Punkt p ∈ R3 und einer
1
Geraden a + R · b, a, b ∈ R3 , b 6= 0, ist gleich kbk
k(p − a) × bk.
Aufgabe# 8.9 Es seien a, b, c, d ∈ R3 . Beweisen Sie:
a, b, c, d liegen genau dann auf einer Ebene, wenn det(b − a, c − a, d − a) = 0 ist.
Woche 9 R3 : lineare Abbildungen, inverse Matrix, Bewegungen


1 −2 2
0
1 . Berechnen Sie A−1 mittels
Aufgabe 9.1 Es sei A =  1
−1 1 −3
iii# ) der Cramerschen Regel: Man findet die Spalte si , i ∈ {1, 2, 3}, von A−1 als Lösung
des Gleichungssystems Asi = ei (ei sind die Standardbasisvektoren).
−4 −1 1 −1
Aufgabe 9.2 Es seien in R3 die Vektoren b1 =
2 , b2 =
0 , und b3 =
1
1
1
gegeben.
3 b) Es sei v = −2 .
1
c) Es sei w ∈ R3 gegeben, sodass (1, 0, −1) die Koordinaten von w bezüglich B sind.
n 1 −1 0 o
0
eine weitere Basis von R3 . Es sei u ∈ R3 gegeben,
, 1 , −1
d# ) Es sei C =
−1
2
0
sodass (1, 2, 1) die Koordinaten von u bezüglich C sind. Bestimmen Sie u sowie die
Koordinaten von u bezüglich B. Bestimmen Sie außerdem die Koordinaten von v
und w aus Teil b) bzw. c) bezüglich der Basis C.
Aufgabe# 9.5 Zeigen Sie für 3 × 3 Matrizen A, B: Sp(A · B) = Sp(B · A).
(Die Spur Sp(A) einer Matrix A ist die Summe der Diagonaleinträge.)
Aufgabe# 9.6 Berechnen Sie t2 x2 (t) + x3 (t), wobei x2 (t) und x3 (t) durch das folgende
Gleichungssystem definiert sind:
x1 + tx2 + t2 x3 = t4
t2 x1 +
x2 + tx3 = t3
tx1 + t2 x2 +
x3 = 0.
Aufgabe# 9.7 Es seien in R3 die folgenden vier Vektoren gegeben:
1
0
1
1
v1 = 2 , v2 = 1 , v3 = 0 , v4 = 1 .
0
3
0
1
a) Wählen Sie drei dieser vier Vektoren, die eine Basis von R3 bilden.
b) Berechnen Sie die Koordinaten aller vier Vektoren bezüglich Ihrer Basis aus Teil a).
Aufgabe# 9.8 Es bezeichne E = (e1 , e2 , e3 ) die Standardbasis von R3 . Gibt es eine
lineare Abbildung A mit
1
2
2
A 0 = e1 , A 1 = e2 , A 0 = e3 ?
3
3
1
Falls ja, bestimmen Sie die Matrix dieser Abbildung.
Aufgabe# 9.9 Beweisen Sie, dass jede orthogonale Abbildung A : R3 → R3 linear ist.
(Zur Erinnerung: A heißt orthogonal, wenn kA(v) − A(w)k = kv − wk für alle v, w ∈ R3
gilt und zusätzlich A(0) = 0 ist.)
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S. 9/11
Aufgabe# 9.10 Es sei die Matrix A gegeben mit
√
√
A=
2+2
√ 4
 2−2
 4
1
2
2−2
√4
2+2
4
1
2
1
2
1
2√
−

2
2

.

a) Beweisen Sie, dass die lineare Abbildung A : R3 → R3 mit Matrix A orthogonal ist.
√
√2−2
b) Es sei v =
2−2 . Bestimmen Sie A(v). Zeigen Sie, dass A eine Drehspiegelung ist.
2
Bestimmen Sie die Drehachse und Drehwinkel ϕ sowie die Spiegelungsebene. Leiten
Sie her, dass A sogar eine Spiegelung ist.
c) Geben Sie eine Orthonormalbasis B an, sodass


−1 0 0
1 0 .
BAB =  0
0 0 1
Aufgabe# 9.11 Es sei A : R3 → R3 eine orthogonale Abbildung. Zeigene Sie: Ist A = AT ,
so ist A eine Spiegelung an einer Ebene durch den Ursprung, eine Drehung um 180◦ oder
die Kombination von den beiden.
Wie kann man in einem konkreten Fall entscheiden, welche von den drei Möglichkeiten
vorliegt?
Woche 10 R3 : Orientierung.
Vektorräume, Basen, lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme
0
2
1
Aufgabe 10.1 Es seien die Vektoren u = 1 , v = 2 und w = 0 in R3 gegeben.
0
1
1
a# ) Finden Sie den Punkt p ∈ R · w mit minimalem Abstand zu v. Finden Sie den Punkt
v 0 , der durch Spiegelung von v and der Geraden R · w entsteht. Machen Sie hierzu
eine Skizze!
Aufgabe 10.2 Es sei V ein K-Vektorraum, v, w, x ∈ V , λ ∈ K. Leiten Sie die foglende
Aussage aus den Vektorraumaxiomen her.
e# ) (−1) · v = −v.
Aufgabe# 10.5 Es sei V = R2 als R-Vektorraum. Beweisen Sie:
a) Jede Gerade durch den Ursprung ist ein Unterraum von V .
b) Eine Gerade, die nicht den Ursprung enthält, ist kein Unterraum von V .
Aufgabe# 10.6 Es bezeichne Abb(A, R) die Menge aller Abbildungen f : A → R.
a) Zeigen Sie, dass Abb(A, R) mit Addition (f + g)(x) := f (x) + g(x) und Skalarmultiplikation (λ · f )(x) := λ · f (x) für f, g ∈ Abb(A, R), λ ∈ R, x ∈ A ein R-Vektorraum
ist.
b) Es sei V = Abb(R, R). Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen Unterräume von V
sind:
U = { f ∈ V | f (x) = f (−x) für alle x ∈ R} und
W = { g ∈ V | g(x) = −g(−x) für alle x ∈ R} .
Zeigen Sie ferner: U ∩ W = {0}.
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S. 10/11
c) Es sei V = Abb(N, R). (Die Elemente von Abb(N, R) nennt man auch Folgen.) Zeigen
Sie, dass die folgenden Mengen U Unterräume von V sind.
n
o
(i) U = a ∈ V | lim a = 0 .
n→∞
(ii) U = { a ∈ V | es gibt ein N ∈ N mit a(n) = 0 für alle n ≥ N }.
Aufgabe# 10.7 Es seien im R4 die folgenden Vektoren gegeben:
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (4, 4, 0, 0), v3 = (3, 4, 2, 1), v4 = (2, 3, 1, 0), v5 = (1, 0, 0, 0).
a) Geben Sie jeweils vier von diesen Vektoren an, die linear unabhängig bzw. linear
abhängig sind (mit Begründung!).
b) Zeigen Sie, dass hv1 i ∪ hv2 i kein Unterraum von V ist,
aber hv1 , v4 , v5 i ∪ hv2 i Unterraum von V ist.
Aufgabe# 10.8 Warum sind die folgenden Mengen U Unterräume von V ? Geben Sie
eine Basis von U an und bestimmen Sie dim U . Ergänzen Sie dann die Basis von U zu
einer Basis von V .
c) V = R3 , U = 1, 0, − 21 , −2, 0, 1 , 1, 1, −1 , 0, −1, 21 .
b) V = R4 , U = { (a, a − b, a − c, b + c) | a, b, c ∈ R}.
Aufgabe# 10.9 Schnitt und Summe der Unterräume.
a) Zeigen Sie, dass
U = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ R5 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (x5 , x4 , x3 , x2 , x1 )
ein Unterraum von R5 ist.
b) Berechnen Sie den Durchschnitt U ∩ V von U und dem Erzeugnis
V = (1, 1, 1, 0, 0), (2, 2, 1, 0, 0)
und geben Sie eine Basis B von U ∩ V an.
c) Bestimmen Sie Basen C von U und D von V , die B enthalten.
d) Wenn Sie die im Teil c) konstruierten Basen zusammenstellen, erhalten Sie eine Basis
C ∪ D von U + V . Zeigen Sie dies.
Aufgabe# 10.10 Es seien V ein Vektorraum (über R) und W1 , W2 Unterräume von V .
Beweisen Sie, dass W1 ∪ W2 genau dann ein Unterraum von V ist, wenn W1 ⊂ W2 oder
W2 ⊂ W1 gilt.
Aufgabe# 10.11 Gegeben seien jeweils zwei Unterräume U, W ≤ V nach a), b), c).
Berechnen Sie dim(U + W ) und dim(U ∩ W ) und geben Sie eine Basis von U + W an.
Ergänzen Sie die Basis von U zu einer Basis von U + W .
a) V = R3 , U = h(1, 0, 1)i, W = h(2, 1, 1), (3, 2, 1)i.
b) V = R3 , U = h(1, 1, 0), (1, 0, 1)i, W = h(0, 1, 0), (0, 0, 1)i.
c) V = R4 , U = h(1, −3, 1, 0), (0, 3, 0, −1)i, W = h(2, 1, 1, 0), (3, 2, 1, 0)i.
Lineare Algebra und Geometrie I (Aufgabenpool)
S. 11/11
Woche 11 Gleichungssysteme, Matrizen, lineare Abbildungen, Rang, Kern und Bild
Aufgabe# 11.4
a) Entscheiden Sie, ob das lineare Gleichungssystem Ax = b über R
lösbar ist, indem Sie die Matrix (A|b) in Zeilenstufenform bringen. Geben Sie die
Lösungsmenge an.

 

 
4
2 3
1 2
x1

5
4 3
1
1

 
x2 


 
 
(i) A = 
5 11 3 2 , x = x3  , b = 2 .
1
2 5
1 1
x4
7
1 −7 −1 2
 


 
21
8 6 5 2
x1
10
3 3 2 1
 


 
 , x = x2  , b =  8  .
4
2
3
1
(ii) A = 
 


x3 
15
3 5 1 1
x4
18
7 4 5 2
b) Geben Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b über R in
Abhängigkeit von λ ∈ R an.


 
 
λ 1 1
x1
1
A =  1 λ 1  , x = x2  , b = 1 .
1 1 λ
x3
1
Aufgabe# 11.5

a) Gegeben seien die folgenden


1 2 3 1
1 2
 0 2 1 1



0 2
A=
,
B=
−1 1 0 1
−1 1
0 1 0 1
Matrizen:

2
2
C=
1
1

3 1
1 1 ,
0 1
1
1
1
1

3
1
.
0
0
Berechnen Sie alle möglichen Produkte von je zwei dieser Matrizen.
n×n zwischen (AT )m und (Am )T ?
b) Welcher Zusammenhang besteht generell
−1 2 0für
A∈R
5
Berechnen Sie für die Matrix A = 1 −1 0 die Matrizen A5 und AT mit so wenig
0
0 2
Rechenaufwand wie möglich!
Aufgabe# 11.6 Bestimmen
und B 3 , wobei

0
1

A = −1 −1
1
0
Sie jeweils den Rang von A, A2 und A3 sowie von B, B 2

0
1 ∈ R3×3 ,
1

B=
− 12
√
3
2
Aufgabe# 11.7 Berechnen Sie den Rang der folgenden
Zeilenstufenform bringen.





4 5
2
0 1 0
0 3
1


A1 = 1 0 0 , A3 = 
1 0 , A3 =  0
0 0 1
1 3
−1
√
−

3
2 
− 12
∈ R2×2 .
Matrizen, indem Sie diese auf
0 2
2 0
0 0
6 −4
0
0
3
0

2 2
2 1
.
0 0
2 −1
Aufgabe# 11.8 Bestimmen Sie je eine Basis von Ker A und Bild A, wobei


1 2 0 1
A = 0 1 1 1 ∈ R3×4 .
2 3 −1 1