Mechanik 2 Prof. Popov SS 04, 8. Übung (Tutorien 7.6. – 11.6

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04, 8. Übung (Tutorien 7.6. – 11.6.)
Lösungshinweise Seite 1
Kinematik und Kinetik der ebenen Bewegung starrer Körper
Version 14. Juni 2004
Aufgabe 21
der Geschwindigkeit
A
Seien A und B Punkte eines starren Körpers und ω seine WinkelgeB schwindigkeit. Dann gilt die Eulersche Geschwindigkeitsformel v B =
v A + ω × dAB .
dAB
placements
ω
1
1
v = v 1 + (v 2 − v 1 ) = (v 1 + v 2 )
2
2
1
|v| = v = |v 1 + v 2 |
2
1p
v=
(a1 ω1 + a2 ω2 )2
2
1
= (a1 ω1 + a2 ω2 )
2
(a)
1
a1
placements
er
ω1
eϕ
(b) Eulersche Formel auf dem Planetenrad
1 ist ein Punkt
auf
dem
Rand
v 2 = v 1 + ω × (a2 − a1 )er
des
Sonnenrads.
(a2 ω2 − a1 ω1 )eϕ = ωez × (a2 − a1 )er
Er hat dieselbe
Geschwindigkeit
a 2 ω2 − a 1 ω1
ω=
wie ein Punkt des
a2 − a 1
Planetenrads,
der
zum
betrachteten
Zeitpunkt an dersel- (c) Die Geschwindigkeit des Planetenradträgers ist an eiben Stelle ist (reines nem Punkt bekannt, nämlich muss sie mit der des Planetenradmittelpunkts übereinstimmen. Daher gilt:
Rollen).
ez
Die Eulersche Geschwindigkeitsformel liefert:
veϕ = ω∗ ×
a1 + a 2
er
2
2v
a1 + a 2
a 1 ω1 + a 2 ω2
=
a1 + a 2
ω∗ =
v 1 = 0 + ω 1 × a 1 er
= ω 1 ez × a 1 er
= a 1 ω 1 eϕ
Aufgabe 22
PSfrag replacements
2 ist ein Punkt auf dem Innenrand des Hohlrads. Er hat dieselbe Geschwindigkeit wie ein Punkt
des Planetenrads, der zum betrachteten Zeitpunkt an derselben Stelle
ist (reines Rollen).
2
er
a2
placements
ω2
B
r2
ψ
r1
P
er
A
ωC
ez
Es folgt wie oben:
D
eϕ
ωA
v 2 = 0 + ω 2 × a 2 er
= a 2 ω 2 eϕ
1. Geschwindigkeit vB des Planetenradmittelpunktes:
v2
placements
vx
a2 − a 1
v1
x
Kennt man die Geschwindigkeiten zweier Punkte eines
Starrkörpers, so können die
Geschwindigkeiten der Punkte auf der Geraden zwischen
den 2 Punkten durch lineare
Interpolation berechnet werden. Speziell hier gilt:
x
(v 2 − v 1 ).
v x = v 1 + a2 −a
1
Der Mittelpunkt des Planetenrades bewegt sich also mit
−
−
→
v B = ω C × AB = ωC (r1 + r2 )ez × er
= ωC (r1 + r2 )eϕ
2. Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades ωB :
−−→
v D0 = ωA × AD
für D’ auf Sonnenrad
v D00
für D” auf Planetenrad
−−→
= v B + ωB × BD
(1)
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Lösungshinweise Seite 2
Kinematik und Kinetik der ebenen Bewegung starrer Körper
Version 14. Juni 2004
Reibungsgesetz:
Bei reinem Rollen ist v D0 = v D00 = v D :
−−→
−−→
ω A × AD = v B + ω B × BD
−−
→
−−→
= ω C × AB + ω B × BD
R = µN1 = µm1 g cos α
ωA r1 ez × er = ωC (r1 + r2 )ez × er + ωB (−r2 )ez × er
ωA r1 eϕ = ωC (r1 + r2 )eϕ − ωB r2 eϕ
r1
ωC − ω A
(2)
ωB = ω C +
r2
3. Geschwindigkeitsvektor des Punktes P:
Auflösen nach Beschleunigung: Aus den Gln. (3), (4) und
(11) eliminieren wir S2 und R:
2M ẍ1 = H −µM g cos α+2M g sin α+(S3 +S4 ) sin α (12)
und dann noch S3 und S4 mit (6) und (7):
S3 + S4 = m3 (g − ẍ3 ) + m4 (g − ẍ4 )
= 2m g − ẍ1 sin α
−−→
v P = v B + ω B × BP
= ωC (r1 + r2 )eϕ + ωB ez × a cos ψer + sin ψeϕ
h
i
= −a sin ψ ωC + r1 /r2 (ωC − ωA ) er
h
i
+
ω
(r
+
r
)
+
a
cos
ψ
ω
+
r
/r
(ω
−
ω
)
eϕ
2
C
1 2
C
A
ag replacements C 1
Aufgabe 48
und damit in Gl. (12)
2M ẍ1 = H − µM g cos α + 2M g sin α
+2m g − ẍ1 sin α sin α
(2M + 2m sin2 α)ẍ1
= H − µM g cos α + 2(m + M )g sin α
(13)
Aus (5), (6) und (7) wird S3 und S4 eliminiert:
Freischnitt und Bewegungsgleichungen:
ΘS2 ϕ̈ = (m3 g − m3 ẍ3 + m4 ẍ4 − m4 g)r2 − Hr1
ΘS2
ẍ1 = mg − mẍ1 sin α − 2mẍ1
r
+ mẍ1 sin α − 2mẍ1 − mg 2r − Hr
0 = r−2 ΘS2 + 8mr2 ẍ1 + H
(14)
x1
x2
(11)
m1
m2 , ΘS2
ϕ
m 1 g N1
S2
r2
R
Aus (13) und (14) erhalten wir schließlich
g
r1
ẍ1 =
H
2(m + M )g sin α − µM g cos α
2M + 2m sin2 α + 8m +
ΘS
2
r2
(15)
N2
S3
α
S4
m2 g
Aufgabe 51
1. Freischnitt Schwungrad:
Der Drehimpulssatz um die
Drehachse des Schwungrades
ergibt:
m4
m3
x4
x3
m3 g
m4 g
ΘA ϕ̈ = rS − MR
(16)
Die berechnete Beschleunigung gilt nur für den Moment
des Losrollens. Dann hängen die Massen m3 und m4 senkrecht und es gibt keine horizonalen Beschleunigungskomponenten für diese beiden Massen.
2. Freischnitt Fallkörper: Der
Impulssatz für den Schwerpunkt des Fallkörpers ergibt:
m1 ẍ1 = S2 − R + m1 g sin α
(3)
mẍ = mg − S
m2 ẍ2 = H − S2 + m2 g sin α + (S3 + S4 ) sin α
(4)
rmẍ = rmg − rS
ΘS2 ϕ̈ = (S3 − S4 )r2 − Hr1
m3 ẍ3 = m3 g − S3
(5)
(6)
m4 ẍ4 = m4 g − S4
(7)
(17)
3. Kinematische Zusatzbedingungen:
Kinematik:
x = rϕ
ẍ1 = ẍ2 = r1 ϕ̈
ẍ3 = ẍ2 sin α + r2 ϕ̈
(8)
(9)
ẍ4 = ẍ2 sin α − r2 ϕ̈
(10)
⇔
ẍ = rϕ̈
⇔
ϕ̈ =
1
ẍ
r
(18)
4. Reduktion des Gleichungssystems: Gln. (18) wird in
Gln. (16) eingesetzt und das Ergebnis zu Gln. (17) ad-
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Lösungshinweise Seite 3
Kinematik und Kinetik der ebenen Bewegung starrer Körper
Version 14. Juni 2004
diert:
ΘA
+ rm ẍ = rmg − MR
r
r2 mg − rMR
,→ ẍ =
ΘA + r 2 m
Es handelt sich also um eine konstant beschleunigte Bewegung. Der Fallkörper m1 braucht die Zeit t1 , um die
Strecke h zurückzulegen:
ẍ 2
r2 m1 g − rMR 2
t1 =
t
2
2(ΘA + r2 m1 ) 1
2h
,→ 2 (ΘA + r2 m1 ) − r2 m1 g = −rMR .
t1
h=
(19)
Und analog gilt für den zweiten Fallkörper mit der Masse m2 :
2h
(ΘA + r2 m2 ) − r2 m2 g = −rMR .
t22
(20)
Gleichsetzen der Gleichungen (19) und (20) ergibt
2h
2h
(ΘA + r2 m1 ) − r2 m1 g = 2 (ΘA + r2 m2 ) − r2 m2 g
t21
t2
h
i
2
r
g
,→ ΘA = 2
(m2 − m1 )t21 t22 − m2 t21 + m1 t22 .
2
t1 − t2 2h