Übungsaufgaben Ohmsches Gesetz, elektrische Leistung

Übungsaufgaben Ohmsches Gesetz, elektrische Leistung
1) Eine Glühlampe für eine Betriebsspannung von 6 Volt und einer Leistung von 30 W soll an
eine Spannungsquelle mit 24 Volt angeschlossen werden. Zeichne eine Schaltskizze !
Berechne den Strom, der in der Schaltung fließt, den Widerstand der Glühbirne, und die
Größe des Vorwiderstandes! Welche Leistung muss der Widerstand aushalten können?
Stromstärke:
5
[A]
Widerstand der Glühbirne:
1,2 [ Ω ]
Vorwiderstand :
3,6
[Ω]
Leistungsklasse: 0,5 ; 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100
[ A ] (kreise die richtige Zahl ein)
Lösung:
P
U L 6V
30 VA
I ges = L =
=5 A
=
=1,2  ; U V =U ges −U L =24 v−6 V =18 V ;
; R L=
UL
6V
I ges 5 A
U V 18 V
A=3,6  ; P V =U V ∗I ges =18 V ∗5 A=90 W Der Widerstand liegt also in
=
RV =
I ges
5
der 100 Watt-Leistungsklasse!
2) Über ein 80 m langes Cu-Kabel mit dem Querschnitt 1,5 mm² sollen einige elektrische
Verbraucher mit einer Gesamtleistung von 2400 W betrieben werden. Berechne die
Verlustleistung am Kabel PV. Berechnungen auf gesondertem Blatt! ( ρ Cu = 0,017 Ωmm²/m).
Wie groß ist die tatsächliche Leistung an der Last?
[A ] Verlustleistung PV = 169 [W ] Pist =2049 [ W]
Gesamtstromstärke Iges = 9,64
Spannung U =
Länge Kabel l =
Querschnitt Kabel A=
Material
Angeschlossene Gesamtlast:
230 V
80 m
1,5 mm²
Kupfer
ρ= 0,017
Ωmm²/m
2400 W
Die gesuchte Größe PV kann nicht so ohne weiteres berechnet werden, da dazu die Spannung an der Zuleitung
und die Gesamtstromstärke I bekannt sein muss.
I wiederum ist nur durch Kenntnis des Gesamtwiderstandes ( = Summe aller Widerstände) zu berechnen. Aber
kein Problem, das lässt sich alles berechnen!
Zuerst wird der Widerstandswert RK des Kabels errechnet.
RK = ρ * l/A = 0,017 Ωmm²/m * 80m/1,5mm²
RK
0,907 Ω
Als nächstes wird der Widerstand der angeschlossenen Last RL berechnet. Dazu benutzen wir die gegebene Nennlast, die auf die Nennspannung ( = 230 V) bezogen ist.
RL = =U²/P = (230V)²/ 2400W
RL =
22,04 Ω
Der Gesamtwiderstand dieses Stromkreises setzt sich aus dem Widerstand der Last und dem 2-fachen
Widerstandswert der Leitung ( Hin- und Rückweg) zusammen, also:
R ges = RK + RL + RK
R ges = 0,91 Ω + 22,04 Ω + 0,91 Ω
=
23,86 Ω
Aus dem Ohmschen Gesetz folgt die Beziehung: I = U/R in unserem FallI ges = Uges/ Rges
I ges = 230 V / 23,86 Ω = 9,64 A
Das Ziel rückt näher! Wir brauchen nun die Spannung am Kabel. Auch hier hilft das Ohmsche Gesetz
weiter: UK = RK * I ges
UK = 0,91 Ω * 9,64 A = 8,74 V
Die Spannung UK am Kabel sowie die fließende Stromstärke I ges sind nun bekannt. Damit lässt sich nun
ganz einfach die Verlustleistung am Kabel berechnen,
denn PK = UK * Iges
PK = 8,74 V * 9,64 A = 84 W
Diese Verlustleistung tritt zweimal auf ( Hin-Rückleitung), also wird das Ergebnis verdoppelt und die Verlustleistung wird 169 W
Jetzt kann sogar noch berechnet werden, welche Leistung denn nun tatsächlich bei den Verbrauchern
ankommt, denn durch den Spannungsabfall an der Zuleitung sinkt die Spannung an den Verbrauchsstellen! Die tatsächliche Spannung an den Verbrauchern beträgt U L tatsächlich = RL *I
UL tatsächlich= 22,04 Ω * 9,64 A = 212,52 V
Die tatsächliche Leistung wird danach : 212,52 V * 9,64 A = 2049 W
3) In einer Schaltung sind 5 Verbraucher parallel geschaltet. Die Leistungsangaben bei einer
Spannung von 230 V sind P1 = 150 W, P2 = 1000 W, P3 = 200 W, P4 = 40 W und P5 = 60 W.
Zeichne den Schaltplan und berechne die Gesamtstromstärke und den Ersatzwiderstand!
P
U=
P[W] I[A]
1 150
2 1000
3 200
4 40
5 60
Gesamt 1450
230 Volt
R[Ω]
1/R
0,65 353 0,0028
P
U 1 1
1
1
1
1
I = ; R= ; =    
4,35
53 0,0189
U
I R R1 R2 R 3 R 4 R5
0,87 265 0,0038
0,17 1323 0,0008
0,26 882 0,0011
6,30
36
0,03 Gesamtstromstärke Iges = 6,3 [A ] Ersatz R ges = 36
36,48
[Ω ]
4) Die Außenbeleuchtung an einem Haus ist mit einer 75 Watt-Glühlampe ausgestattet und
wird über einen Dämmerungsschalter gesteuert. Im Schnitt leuchtet sie elf Stunden pro Tag.
Wie teuer ist die Beleuchtung pro Jahr, wenn die Kilowattstunde ( also die Arbeit d.h.
W = P*t) 17,23 €Cent kostet. Wie viel Geld würde gespart, wenn die Glühlampe gegen eine
Energiesparleuchte von 11 Watt ausgetauscht würde?
Kostenberechnung
Leistung P =
Leistung P =
Nutzungsdauer/Tag
Tage/Jahr
Zeit t =
Arbeit /Jahr
Preis pro kWh
Kosten/Jahr
Differenz A1 – A2
Alt. 1
Alt.2
[W]
[kW]
[h]
[d]
[h/a]
75
0,075
11
365
4015
11
0,011
11
365
4015
[kWh/a]
[€cent]
[€]
[€]
301,13
17,23
51,88
-44,27
44,17
17,23
7,61
W =P∗t
Hier ist zu beachten, dass die Arbeit W
( W = P * t) für P in kW =( Kilowatt)
und für t in h ( = Stunden) ermittelt
wird, da dieses die Größe ist, die beim
EVU abgerechnet werden muss.
5) Ein Transformator hat primärseitig eine Spule mit n = 500 Wdg. sekundärseitig n = 3000
Wdg. Wie groß ist die Ausgangsspannung, wenn eingangsseitig 230 V anliegen?
U prim∗N sek 230 V ∗3000 Wdg.
U prim N prim
=
=
=1380 V
==> U sek =
U sek
N sek
N prim
500 Wdg.
6) Zeige, wie eine allgemeine Formel zum Berechnen der Verlustleistung PV in einer Zuleitung
aus den Angaben
Uges
= Netzspannung, in Volt, das kann auch mal kleiner als 230 V sein
l
A
= Leitungslänge in Meter
= Querschnitt des Kabel in mm²
ρ
= Materialkonstante in
PL
= Gesamtnennleistung (= also auf die Nennspannung bezogen)
der angeschlossenen Lasten
= Verlustleistung in einer Zuleitungsader
PK
 mm
m
2
z.B. Kupfer = 0,017
 mm
m
2
P V =2 P K (Hin- und Rückleitung!) P K =U K ∗I ges
entwickelt werden kann und berechne damit die
Verlustleistung in Aufgabe 2. Wie groß ist die tatsächliche
Leistung an der Last?
Lösung:
Wir brauchen die Verlustleistung PV, sie wird berechnet nach
P V =2 P K (Hin- und Rückleitung!) P K =U K ∗I ges
Hier sind aber weder UK noch Iges bekannt. Da aber gilt UK = RK * Iges ersetzen wir UK durch
RK * Iges und erhalten die folgende Gleichung PV = RK * Iges * Iges . Das lässt sich
zusammenfassen in:
2
P V =2∗ R K ∗I ges 
RK können wir aus den Angaben errechnen, das folgt später. Betrachten wir Iges. Sie ließe sich
U ges
folgt
berechnen, wenn wir den Gesamtwiderstand kennen würden, denn aus R ges =
I ges
U
I ges = ges . Uges ist genannt und der Gesamtwiderstand lässt sich auch berechnen, das ist
R ges
die Summe alle Widerstände in diesem Stromkreis.
U ges
Ersetzen wir also Iges durch
dann erhalten wir:
R ges
P V =2∗ R K ∗
U ges
2

Kümmern wir uns um Rges! Wir ersetzen jetzt Rges durch die
R ges
Elemente, die den Gesamtwiderstand bilden, nämlich zweimal das Kabel und den Widerstand
der Gesamtlast, und es wird Rges = RK + RL + RK = 2 RK + RL und erhalten:
P V =2∗ R K ∗ 2 R
U ges
2

Damit kommen wir dem Endergebnis langsam näher,
R
K
L
denn wir kennen die Gesamtnennleistung und die Nennspannung mit deren Hilfe wir RL
2
2
U Nenn
U Nenn
berechnen können. RL =
, es wird nun statt RL der Term
verwendet und wir
P Nenn
P Nenn
erhalten
P V =2∗ R K ∗
U ges
2

sieht kompliziert aus, ist es aber nicht. Jetzt
2
U Nenn
2 RK
P Nenn
müssen wir das noch unbekannte RK durch die gegebenen Größen l = Leitungslänge in Meter,
A = Querschnitt des Kabel in mm² und ρ = Materialkonstante in
l
RK = ρ *
dann eingesetzt ergibt
A
 mm
m
2
ausdrücken.
P V =2∗ ∗l
∗

A
P
2
U ges
2
l U Nenn
2 ∗ 
A P Nenn

∗mm 2
80 m
∗
∗
V =2∗0,017
m
1, 5 mm 2

Zahlen eingesetzt ergibt:
2
230 V
2∗0,017
2
∗mm 2
80 m
230 V
∗

m
1, 5 mm 2 2400 W
  = 169 W
Für die tatsächliche Leistung an der Last brauchen wir die Stromstärke I. Aus der
vorigen Gleichung ist ersichtlich, dass
I =
U ges
2
l U Nenn
2 ∗ 
A P Nenn
 also
I
2

=
2
U ges
2
l U Nenn
2 ∗ 
A P Nenn

ist. Die wahre Leistung an
2
der Last kann mit P ist =R L∗I
P ist = UP
P
2
Nenn
Nenn

∗
errechnet werden. Da gilt: RL =
2
l U
2 ∗  Nenn
A P Nenn

wird
Zahlen eingesetzt ergibt sich:
230 V
2∗0,017
U Nenn
P Nenn
2
U ges

230 V 2
=
ist 2400 W ∗
2
2
∗mm 2
80 m
230 V
∗

m
1, 5 mm 2 2400 W
2

= 2049 Watt
7) In einer Reihenschaltung sind drei Widerstände hintereinander geschaltet. Die
Widerstandswerte betragen 22 Ω und 47 Ω. Am dritten sind die Markierungen nicht mehr
sichtbar. Wie groß ist der Widerstandswert, wenn bei Uges = 24 V ein Strom von 83 mA
fließt? Ergebnis auf ganze Zahl runden! Welche Leistungsklassen müssen die Widerstände
haben?
U
24 v
R ges = ges =
=289 
R 3 =R ges −R 1−R 2=289 −22−47 =220 
I ges 0,083 A
2
2
P 3= R 3∗I =220 ∗0,083 A =1,52W Leistungsklasse 2 Watt
alternativ hätte hier auch gerechnet werden können:
U 3=R 3∗I =220 ∗0,083 A=18,26 V und weiter P 3=U 3∗I =18,26 V ∗0,083 A=1,52 W