Aufgabe 1

TM II SS 11
Prof. Ostermeyer
Übungsblatt 7. Woche
Aufgabe 1
a) Zeichnen Sie die Lage der Momentanpole für Stab 1, 2 und Stab 3 und berechnen Sie
die Winkelgeschwindigkeit ω3 des dritten Stabes für die gezeichnete Lage.
l
2
1
l
3
ω1
30°
Gegeben: l, ω1.
b) Zeichnen Sie die Lage der Momentanpole für Stab 1 und Stab 2 und berechnen Sie
die Geschwindigkeit vom Mittelpunkt des zweiten Stabes für die gezeichnete
Lage.
A
ex
ez
v
2
l
1
l
l
l
c) Zeichnen Sie die Lage der Momentanpole für die Scheibe 1 und den Stab 2 und berechnen Sie die Geschwindigkeit des Eckpunktes der Scheibe für die gezeichnete Lage.
l
l
A
2
l
1
ω
45°
Gegeben:
l, ω.
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Aufgabe 2
Das skizzierte Rollensystem befördert die Masse
nach oben und bleibt dann stehen. Dazu wird
ein Seil von der Kabelrolle mit der Geschwindigkeit – , . gezogen. (reines Rollen). Zum Zeitpunkt 0
befindet sich die Masse auf dem Boden.
V(t)
ω1
r1
R1
a) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeiten ω und ω sowie die Geschwindigkeit der Masse in Abhängigkeit von
und .
r2
reines
Rollen
g
ω2
x3
b) Wie müssen die Radien und in Abhängigkeit von r1 gewählt werden, damit
gilt: ?
m3
c) Bestimmen sie so, dass die Masse nach Anheben um die Höhe h zum Stillstand kommt.
d) Bestimmen Sie die Seilkraft zwischen m3 und der freien Rolle für 0.
Gegeben: a0 , g , h , r1 , r2 , R1 , v0.
Aufgabe 3
g
Ein Motorrad fährt eine den Winkel α geneigte
Fahrbahn
hinauf.
Am
Hinterrad
wirkt
θ1, r1
ein
konstantes Moment . Die Räder bewegen sich
rein rollend. Das Fahrzeug befindet sich zu Beginn
in Ruhe.
Berechnen Sie
M0
θ2 , r2
α
a) Die Geschwindigkeit als Funktion des Weges
v( x) = x& ( x) ,
b) Die Beschleunigung als Funktion der Zeit &x&(t ) und
c) Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit x& (t ) .
Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe den Arbeitssatz.
Gegeben: , , , α, Θ , Θ , .
(Gesamtmasse aus der Masse des Motorrades, des Fahrers und der Räder)
h
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Aufgabe 4
Ein Quader gleitet reibungsfrei auf einer
schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel
θ
α. Eine abgesetzte Rolle rollt ohne zu
gleiten auf dem Quader. Ein masseloses,
undehnbares Seil ist um die innere Stufe
der Rolle gewickelt. Das freie Ende des
Seils ist über eine masselose reibungsfrei
gelagerte Umlenkrolle geführt und an dem
Quader befestigt.
reines
Rollen
a) Wo liegt der Momentanpol der Rolle?
b) Bestimmen Sie die Beschleunigung (Verwenden Sie das Prinzip von
d´Alembert).
c) Wie groß darf der Neigungswinkel α höchstens sein, damit zwischen dem Quader und
der Rolle kein Gleiten auftritt?
Gegeben: , , , α, Θ, .
Aufgabe 5
Für das skizzierte Planetenradgetriebe berechnen Sie:
ω2
a) die Bahngeschwindigkeit für den Mittelpunkt des Planetenrades
b) die Winkelgeschwindigkeit ω des Planetenrades
c) die Winkelgeschwindigkeit ω des Planetenradträgers
Gegeben: , , ω , ω .
R
ω1
r
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Aufgabe 6
Skizziert ist eine in der Ebene arbeitende Über-
v3
setzungsvorrichtung. Zwei Bänder treiben mit
unterschiedlichen Geschwindigkeiten zwei Rollen
an, die an einer Führungsstange befestigt sind.
Die Führungsstange kann sich horizontal bewegen. Das obere Band hat die Geschwindigkeit ,
das untere Band die Geschwindigkeit . Man
bestimme unter der Annahme reinen Rollens:
v1
R
ω1
r
r
y
ω2
x
a) die Winkelgeschwindigkeiten ! und ! der beiden Rollen,
b) die translatorische Geschwindigkeit der Führungsstange und
c) das Verhältnis
"#
"$
, damit die Führungsstange in Ruhe bleibt.
Gegeben: , , , .
Aufgabe 7
Für das skizzierte System, bestehend aus zwei
Rollen (Radius: , Masse: , Massenträg
heitsmoment: Θ% ), einer Masse m
l
µ
r/3
und einem masselosen Stab der Länge 2l bestimme man mit dem Arbeitssatz
a) die Geschwindigkeit & ' , mit der die Masse
auf den Boden auftritt, wenn das System
aus der Ruhelage losgelassen wird,
l
F
r
ΘS=1/2Mr²
g
r
ϕ1
x
b) die Bewegungsgleichung für die Masse m und
M,ΘS=1/2Mr²
c) die Zeit ' , die die Masse m für das Zurücklegen der Strecke ( benötigt.
m
H
Gegeben: , , , l, , (, ), .
ϕ2
v2
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Aufgabe 8
Ein System aus zwei Punktmassen , und
zwei
Rollen
(Innenradien: ,
ϕ3
Außenradien:
x2
2, Massen: , Massenträgheitsmomente:
Θ% m, ΘS
) steht unter dem Einfluss der Erd-
R=2r
mit dem Gleitreibungskoeffizienten . Die Masse
gleitet, die untere Rolle führt reines Rollen
aus. Die Systemteile sind wie skizziert mit un-
M
g
ϕ2
r
schwere . Die Masse und die untere Rolle
befinden sich auf einer rauen, schiefen Ebene α
R=2r
reines Rollen
µ
α
ΘS
r
m
x1
dehnbaren Seilen miteinander verbunden. Das
System wird aus der Ruhelage losgelassen.
Bestimmen Sie mit dem Arbeitssatz
a) die Bewegungsgleichung des Systems bzgl. der Koordinate für & 0 und
b) wie groß die Masse M höchstens sein darf, so dass sie sich aufwärts bewegt. Es gelte:
Haftkraft = Gleitkraft !
Gegeben: α, , , 2, , , Θ% , .
Aufgabe 9
Dargestellt ist ein Teil eines Hebewerks. Drei Räder sind
über abrollende, vertikale Seile, die immer straff gespannt
sind, miteinander verbunden. Die Seile können nicht rutschen. Wie groß sind die Geschwindigkeiten und die Win-
r
ω1
R
kelgeschwindigkeiten der Rollen 2 und 3, wenn sich die Rol-
1
le 1 mit der Winkelgeschindigkeit ! dreht?
2
r2
r3
,
Gegeben: , , ! , + , - 3.
3
x3
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Kurzlösungen:
Aufgabe 2:
1
(v0 − a0t ) , ω2 = r1 + R1 (v0 − a0t ) , v3 = ω2r2 = r1 + R1 (v0 − a0t )
2r1
4r1r2
4r1
R1 = 3r1 ,
r2 beliebig
r + R1 2
a0 = 1
v0
8r1h
a)
ω1 =
b)
c)

r + R1 
S (t ) = m3  g − 1
a0 
4r1


d)
Aufgabe 3:
M

x 0 − mg sin(α ) 
 r2

m Θ1 Θ 2
+
+
2 2r12 2r22
a)
v( x) = x& ( x) =
b)
M0
− mg sin(α )
r2
a (t ) = &x&(t ) =
Θ
Θ
m + 21 + 22
r1
r2
c)
 M0

 r − mg sin(α ) 
 ⋅t
x& (t ) =  2
 m + Θ1 + Θ 2 

r12 r22 

Aufgabe 4:
a)
x&1
•M
x&1
x&1
x&
b)
2mg sin(α )
&x&1 =
,
Θ
10m + 4 2
r
c)
Θ

 10m + 4 
r² 
α ≤ arctan µ0
4
m






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Aufgabe 5
1
2
a) v = (a1ω1 + a2ω2 )
b) ω =
a2ω2 − a1ω1
a2 − a1
c) ω * =
a1ω1 + a2ω2
a1 + a2
______________________________________________________________________
Aufgabe 6
v1 − v 2
r−R
a)
ω1 =
c)
v1 r
=
v2 R
ω2 =
R  v1 − v 2 


r  r−R 
b)
v3 =
rv 2 − Rv1
r−R
Aufgabe 7
a)
x& E =
c)
tE =
H [(m + M )g − 12 µF ]
1
39 
m + M 
2
2

x=
b) &&
( m + M ) g − 12µF
39
m+ M
2
=k
2H
k
Aufgabe 8
a)
102 
2

&x&1  M +
m  + g  m[sin α − 4] + M [µ cos α + sin α ] = 0
9 

3

b)
M<
2
4 − sin α
m
3 µ cosα + sin α
Aufgabe 9
ω1 = ω2 = ω3
v2 = −
ω1
( R + r) ey
2
v3 = −
ω1
( R − r) ey
4