Grundlagen der Mechanik

Ausgabe 2007-09
Grundlagen der Mechanik
(Formeln und Gesetze)
Die Mechanik ist das Teilgebiet der Physik, in welchem physikalische Eigenschaften der
Körper, Bewegungszustände der Körper und Kräfte beschrieben werden.
Seite
Arbeit,mechanische
6
Bewegung
4
Druck in Flüssigk./Gase
9
Energie, mechanische
7
Flaschenzug
3
freier Fall
4
Gravitation
8
Hebel
3
Kräfte
2
Leistung, mechanische
7
Rolle
3
Rotation
5
Wurf
5
1.
Kräfte in der Mechanik
Kraft
Formelzeichen
Formel
Gewichtskraft
FG
FG = m . g
Druckkraft
FP
FP = p . A
Auftriebskraft
FA
FA = ρ . V . g
Reibungskraft
FR
FR = µ . FN
Gravitationskraft
FS
Radialkraft
FS = ⋅
m 1 ⋅m 2
F = m⋅
r2
v2
r
F = m . ω² . r
F = m⋅
Federspannkraft
F
m
g
p
A
ρ
V
µ
γ
r
v
ω
T
D
s
FF
4 2 ⋅ r
T2
FF = D . s
Kraft (N)
Masse des Körpers (kg)
Fallbeschleunigung g = 9,81 m . s-2
Druck (Pa)
Fläche (m²)
Dichte (kg . m-3)
Volumen (m³)
Reibungszahl
Gravitationskonstante
Radius (m)
Geschwindigkeit (m . s-1)
Winkelgeschwindigkeit (m . s-1)
Umlaufzeit (s)
Federkonstante
Weg (m)
2
2.
Kraftumformende Einrichtungen (Rolle, Hebel, Flaschenzug)
2.1.
Hebel
F1 . l1 = F2 . l2
2.2.
(Gewichts-) Kraft (N)
(Gewichts-) Kraft (N)
Länge des Hebelarms (m)
Länge des Hebelarms (m)
FH
FA
Fr
FZ
m
g
h
l
α
µ
Haltekraft (N)
Hangabtriebskraft (N)
Reibungskraft (N)
Zugkraft (N)
Masse des Körpers (kg)
Fallbeschleunigung g = 9,81 m . s-2
Höhe der geneigten Ebene (m)
Länge der geneigten Ebene (m)
Steigungswinkel (rad)
Reibungszahl
FZ
FL
n
lZ
lL
Zugkraft, aufgewandte Kraft (N)
Lastkraft, Gewichtskraft (N)
Anzahl der Rollen
Weglänge Zugseil (m)
Weglänge Lastseil (m)
geneigte Ebene
FH = FA - Fr = FA - µ . FN
FH = m . g . (sin α - µ . cos α)
FA =
m ⋅g⋅ h
= m⋅ g⋅sin
l
FZ = m . g . (sin α + µ . cos α)
2.3.
F1
F2
l1
l2
Rolle, Flaschenzug
1 feste Rolle
(Umlenkrolle)
1 lose Rolle
(Seil einseitig fest)
FZ = FL
F Z=
FL
2
einfacher Flaschenzug
1 lose, 1 feste Rolle
F Z=
FL
2
Flaschenzug
F Z=
FL
n
lL =
3
lZ
n
3.
Gesetze der geradlinigen Bewegung (Translation), Rotation und Wurf
3.1.
Gesetze der geradlinigen Bewegung (Translation)
Geschwindigkeit einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung
v=
s Weg (m)
t Zeit (s)
v Geschwindigkeit (m . s-1)
s
t
Bahngeschwindigkeit einer gleichförmigen Kreisbewegung
v=
2⋅r
T
r Radius der Bahn (m)
T Umlaufzeit (s)
v Bahngeschwindigkeit (m . s-1)
Beschleunigung einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung
a Beschleunigung (m . s-2)
v1, v2 Geschwindigkeit (m . s-1)
t1, t2 Zeit (s)
v −v
v
a= 2 1=
t 2−t 1
t
Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
s=
s ~ t2
1
a ⋅t 2
2
s Weg (m)
t Zeit (s)
a Beschleunigung (m . s-2)
Gesetze des freien Falls
Weg-Zeit-Gesetz
s=
s
t
g
v
g 2
⋅t
2
Geschwindigk.-Zeit-Gesetz
v=g.t
Weg (m)
Zeit (s)
Fallbeschleunigung g = 9,81 m . s-2
Geschwindigkeit (m . s-1)
4
Geschwindigk.-Weg-Gesetz
v =  2⋅ g⋅s
3.2.
Gesetze der Rotation
gleichförmige Rotation (α = 0)
φ
α
ω
φ0
T
n
ω0
.
φ = ω t + φ0
=

t
=
2
= 2⋅n
T
Winkel
Winkelbeschleunigung
Winkelgeschwindigkeit
Anfangswinkel bei t = 0
Umlaufzeit
Drehzahl
Anfangswinkelgeschwindigkeit
bei t = 0
gleichmäßig beschleunigte Rotation
=
 2
⋅ t  0 ⋅t   0
2
 = ⋅ t   0
3.3.
Gesetze zum Wurf
senkrechter Wurf nach unten
2
h=
2
v − va
t
⋅v a  v =
2
2⋅ g
t=
2⋅h
va  v
senkrechter Wurf nach oben
Steighöhe
2
va
H=
2⋅ g
Höhe nach der Zeit t
h = v a⋅ t −
g⋅ t 2
2
Anfangsgeschwindgk.
2⋅h
v a =vg⋅t=
−v
t
waagerechter Wurf
Wurfweite nach der Zeit t
s = va ⋅ t = v a ⋅

Höhe nach der Zeit t
2⋅h
g
h=
schräger Wurf
(max) Steighöhe
2
a
2
v ⋅sin 
H=
2⋅ g
(max) Weite
2
v ⋅ sin 2 
w= a
g
5
g 2
⋅t
2
Steigzeit
v
2⋅H
t= a=
g
va
4.
Mechanische Arbeit, mechanische Energie und mechanische Leistung
4.1.
Mechanische Arbeit
mechanische Arbeit
W mechanische Arbeit (Nm, Ws, J)
F (aufgewendete) Kraft (N)
s (zurückgelegter) Weg (m)
.
W=F s
Hubarbeit
.
W = FG h
W=m.g.h
W
FG
g
m
h
Hubarbeit (Nm, Ws, J)
Gewichtskraft (N)
Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s-²
Masse (kg)
Höhe (m)
W
FR
s
µ
FN
Reibungsarbeit (Nm, Ws, J)
Reibungskraft (N)
(zurückgelegter) Weg (m)
Gleitreibungszahl
Normalkraft (N)
W
FB
s
a
m
Beschleunigungsarbeit (Nm, Ws, J)
Beschleunigungskraft (N)
(zurückgelegter) Weg (m)
Beschleunigung (m . s-²)
Masse (kg)
Reibungsarbeit
W = FR . s = µ . F N . s
Beschleunigungsarbeit
.
.
.
W = FB s = m a s
Federspannarbeit
W=
1
1
FEnd ⋅ s = D⋅ s2
2
2
W Federspannarbeit (Nm, Ws, J)
FEnd Endkraft, maximale Kraft (N)
s Federspannweg (m)
D Federkonstante
6
4.2.
Mechanische Energie
potenzielle Energie (Lageenergie)
Epot
FG
h
D
s
.
eines Körpers
Epot = FG h
einer gespannten Feder
1
D⋅s 2
2
Epot =
Potenzielle Energie (Nm, Ws)
Gewichtskraft (N)
Höhe (m)
Federkonstante
Federspannweg (m)
kinetische Energie (Bewegungsenergie)
der geradlinigen Bewegung
Ekin =
der Rotation
Ekin =
Ekin Kinetische Energie (Nm, Ws)
m Masse (kg)
v Geschwindigkeit (m . s-1)
ω Winkelgeschwindigkeit (1 . s-1)
J Trägheitsmoment* (kg . m²)
1
m⋅ v 2
2
1
J⋅ 2
2
Trägheitsmoment
rotierender Massepunkt
rotierende Kugel
rotierender Vollzylinder
J = m . r²
J = 2/5 . m . r²
J = 1/2 . m . r²
J Trägheitsmoment (kg . m²)
m Masse (kg)
r Radius = max. Abstand von
der Rotationsachse (m)
Energieerhaltungssatz der Mechanik
Emech = Epot + Ekin = konstant
4.3.
Mechanische Leistung und Wirkungsgrad
mechanische Leistung
P=
W
t
=
W2
W1
P Leistung (W)
W Arbeit (Nm)
t Zeit (s)
Wirkungsgrad
W2 < W1
η Wirkungsgrad
W1 aufgenommene Arbeit
W2 abgegebene Arbeit
Es gilt: 0 <  < 1
7
5.
Gravitation
Gravitationsgesetz
F = ⋅
m1 ⋅ m2
r
2
F
γ
Gravitationskraft (N)
Gravitationskonstante
γ = 6,674 . 10-11 N . m² . kg-2
m1, m2 Massen zweier Körper (kg)
r
Abstand (m)
Gravitationskonstante
(6,674 28 ± 0,000 67) . 10-11
m3 . kg-1 . s-2 = N . m2 . kg-2
(CODATA-Zahlenwert für die Jahre 2006 ... 2010)
8
6.
Mechanik der Flüssigkeiten und Gase
Kolbendruck auf Flüssigkeiten (abgeschlossenes System)
p=
F
A
p Kolbendruck (Pa)
F Kolbendruckkraft (N)
A gedrückte Fläche (m²)
Kräfte und Flächen an Kolben sind proportional. (Prinzip Hydraulik, Pneumatik)
F1
A1
F1
F2
=
=
A1, A2 Druckflächen
F2 A 2
A 1 A2
F1, F2
Druckkräfte
F1 s2
=
F 2 s1
F1 . s1 = F2 . s2
F1, F2
s1, s2
Druckkräfte
Kolbenweg
Schweredruck in Flüssigkeiten
p=ρ.h.g
p
ρ
h
g
γ= ρ.g
γ Wichte (N . cm-3)
ρ Dichte der Flüssigkeit (g . cm-3)
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s-²
FG Gewichtskraft (N)
m Masse (kg)
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s-²
=
FG m⋅g
=
V
V
Schweredruck (Pa)
Dichte der Flüssigkeit (g . cm-3)
Höhe der Flüssigkeitssäule (m)
Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s-²
Auftriebskraft, Archimedisches Prinzip in Flüssigkeiten und Gasen
FA = FGfl
FA = VK . γfl
FA = VK . ρfl . g
FA
FGfl
VK
γfl
ρfl
g
Auftriebskraft (N)
Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (N)
Volumen des Festkörpers (cm³)
Wichte der Flüssigkeit (N . cm-3)
Dichte der Flüssigkeit (g . cm-3)
Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s-²
p0
⋅ln p0 − ln ph 
0⋅g
h Höhe (m)
p0 Luftdruck am Boden (Pa)
ρ0 Dichte der Luft am Boden (kg . m-3)
g Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m . s-²
ph Luftdruck in der Höhe h (Pa)
barometrische Höhenformel
h=
Näherungswert: Abnahme 1 hPa je 8 m Höhenzunahme (in der Troposhäre)
9