Elementare Einführung in die Physik II – SS 2009 – Lösung der 6

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S
SA
PD Dr. Patrick Huber
Bau E26 Zi. 3.23
T +49 (681) 302 3944
v +49 (681) 302 4676
k [email protected]
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Elementare Einführung in die Physik II
– SS 2009 –
Lösung der 6. Übung – 03. Juni 2009
Aufgabe 21: Superposition
a)
b)
a
q1
a
q2
q3
q2
I)
a
II)
III)
q1
a
q4
q3
a
a) Drei Ladungen q1 , q2 , q3 seien auf 1-dimensional angeordnet (Abb. a)). Ihr Abstand sei a und
ihre Ladung q1 = q2 = q und q3 = −n · q. Betrachten Sie zuerst die Ladungsanordnungen in
2
den Bildern I – III, berechnen Sie die Kräfte in Einheiten von F0 = 4πq0 a2 und bestimmen Sie
so nach dem Superpositionsprinzip die resultierenden Kräfte! Wie groß muss n sein, damit
die resultierende Kraft auf Ladung q1 verschwindet? Zeichnen Sie für I – III und die Lösung
auch die vektoriellen Kräfte für n = 1 ein!
Beim Erklären der Aufgabe bitte darauf achten, dass die Studenten ein Verständnis von
”Superpositionsprinzip”, ”actio=reactio” und zuletzt der Coulomb-Kraft erlangen. Da die
Kraft mit r12 skaliert, entsprechen die Pfeile in III genau 14 F0 . Damit sich die Kräfte auf q1
aufheben, muss n = 4 sein.
b) Vier Ladungen q1 , q2 , q3 , q4 seien symmetrisch auf einem gleichseitigen Dreieck angeordnet
(Abb. b)). Benutzen Sie das Superpositionsprinzip um die resultierenden Kräfte auf die Ladungen auszurechnen, für den Fall, dass q1 = q2 = q3 = q und q4 = −n · q. Wie groß muss n
sein, damit die resultierenden Kräfte auf die Ladungen an den Ecken des Dreiecks verschwinden? (Hinweis: Sie können sich viel Arbeit sparen, indem Sie die Symmetrie des Problems
ausnutzen!)
Natürlich braucht man aufgrund der Symmetrie nur die Kräfte auf z.B. q2 auszurechnen. Der
Abstand zwischen den äußeren Ladungen und q4 beträgt √13 · a. Damit ist die Kraft zwischen
q4 und q2 gerade 3 · F0 , wenn F0 die Kraft zwischen zwei äußeren Ladungen ist. Damit muss
q
n = 13 sein. Die resultierenden Kräfte auf die Ladung q2 sind gerade 2 F0 · cos(30) = 2 F0 ·
und −3 · F0 . Das entspricht etwa 1, 268 · F0 .
3
4
Aufgabe 22: Divide et computa
Die von einer Ladung auf die andere ausgeübte Kraft ist
1 q 1 q2
.
4 π 0 d2
F =
(1)
Wegen q1 + q2 = q und d = const. ist die Kraft am größten, wenn q1 q2 = q1 (q − q1 ) maximal ist.
Ableiten und Nullsetzen liefert dann q − 2 q1 = 0, also
q
= q2 .
2
(2)
1
q2
.
4 π 0 4 d2
(3)
q1 =
Die Kraft ist dann
F =
Aufgabe 23: Maximale Feldstärke
~ ist zum einen der Abstand r des Punktes
a) Entscheidend für die Berechnung des Vektors E
~ und zum anderen
auf der x-Achse von den beiden Ladungen (bestimmt den Betrag von E)
die Richtung der Verbindungslinie (bestimmt die Richtung der Kraft). Der Abstand ist r =
√
x2 + a2 . Die Richtung des elektrischen Feldes wird durch die beiden Einheitsvektoren
1 x
1
x
bzw.
(4)
r −a
r a
bestimmt. Das von beiden Ladungen in der Summe erzeugte Feld ist damit
1
1
q
1
1
2
x
q
x
x
1
~
E(x)
=
· 2·
+
=
· 3
.
0
4 π 0 r
r −a
r a
4 π 0 r
(5)
In y-Richtung gibt es also keine resultierende Feldkomponente (aus Symmetriegründen klar).
Es gibt also nur die x-Komponente:
E = Ex =
1
2xq
· 2
4 π 0 (x + a2 )3/2
b) Ableiten nach x (Achtung: r = r(x)) und Nullsetzen von (6) liefert
2q
1
3 x2
=0
·
− 5
4 π 0
r3
r
(6)
(7)
also
r 2 − 3 x2 = 0
2
2
x + a − 3x
2
= 0
a
x = ±√ .
2
(8)
(9)
(10)
Aufgabe 24: Durchschlag
a)
A1
d1
= 1, 00 · 10−12 F
A2
C 2 = ε0
d2
= 1, 00 · 10−12 F
A3
C 3 = ε0
d3
= 1, 00 · 10−12 F
C 1 = ε0
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
b)
U0 = U1 + U3
U1 = U2
1
Cges = 1
1
+ C1 +C
C3
2
Q3 = Q1 + Q2 = Qges
(18)
(19)
(20)
⇒ Q3 = Qges = Cges U0
(21)
Qges
C1 + C 2
(22)
Somit gilt
U1 = U2 =
Cges
U0
C1 + C2
1
=
U
C1 +C2 0
1 + C3
1
= U0
3
=
(23)
(24)
(25)
und
Q3
C3
Cges
=
U0
C3
1
=
U0
3
1 + C1C+C
2
2
= U0
3
U3 =
(26)
(27)
(28)
(29)
c) Damit lassen sich nun direkt die maximal an die drei Kondensatoren anlegbaren Spannungen
berechnen
U1 = E d1
= 2 · 106
(30)
V
· 7 · 10−3 m
(31)
m
= 14 kV
(32)
(33)
U2 = E d2
= 2 · 106
(34)
V
· 9, 8 · 10−3 m
(35)
m
= 19, 8 kV
(36)
(37)
U3 = E d3
= 2 · 106
(38)
V
· 32, 2 · 10−3 m
(39)
m
= 64, 4 kV
(40)
(41)
Da U1 = U2 = 13 U0 und U3 = 23 U0 ist der maximale Wert für U0 3 · U1 = 42 kV.