13-b

Der 3-dime nsionale Raum — 13-a
c. Das vorangehende Beispiel funktioniert natürlich auch in der euklidischen Ebene. Hierfür setzt man in allen Daten die dritte Koordinate auf 0 und
rechnet damit in der e1 -e2 -Ebene des R3 . /
Für das Kreuzprodukt halten wir noch fest, dass a ⇥ b = 0 dann und nur
dann gilt, wenn a = 0 , oder b = 0 , oder a und b parallel sind. Insbesondere ist
immer
a ⇥ a = 0.
Dies ist also wesentlich anders als bei de reellen Zahlen, wo aus ab = 0 immer
a = 0 oder b = 0 folgt. Das Kreuzprodukt ist auch nicht assoziativ. Zum Beispiel
ist
(e1 ⇥ e1 ) ⇥ e2 = 0 ⇥ e2 = 0,
aber
e1 ⇥ (e1 ⇥ e2 ) = e1 ⇥ e3 =
e2 .
Das Spatprodukt
Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b, c ist kein neues Produkt, sondern
eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt. Es ist definiert als
[a, b, c] Õ ha ⇥ b, ci .
Der Betrag dieses Produktes ist genau das Volumen des von diesen Vektoren
aufgespannten Parallelepipeds. Denn die Länge von a ⇥ b ist gerade der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms P . Das Skalarprodukt
mit c ist, bis auf das Vorzeichen, das Produkt der Längen von a ⇥ b und der
Projektion von c auf die Gerade durch a ⇥ b . Da diese aber senkrecht auf dem
Parallelogramm P steht, ist diese Projektion gerade die Höhe des Parallelepipeds
über P .
Das Spatprodukt hat folgende Eigenschaften, die sich aus der Definition und
seiner Interpretation ergeben.
(sp-1) Zyklische Vertauschbarkeit: [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] .
(sp-2) Antisymmetrie: [a, b, c] =
(sp-3) Linearität: [
1 a1
+
[b, a, c] .
2 a2 , b, c]
=
1
[a1 , b, c] +
2
[a2 , b, c] .
Daraus folgt sofort, dass das Spatprodukt linear in allen drei Argumenten ist,
und das Vorzeichen wechselt, wenn man zwei beliebige Argumente vertauscht.
Daraus folgt auch weiter, dass immer
[a, a, b] = [a, b, a] = 0.
(c)-machobs:
13.9
257
258
13 — A na l y t i s c h e G e o m e trie
Außerdem gilt [a, b, c] > 0 genau dann, wenn a, b, c ein Rechtssystem bilden.
Die Formel für das Spatprodukt ergibt sich mit den Rechenregeln für das
Skalar- und Vektorprodukt. Für a = (a1 , .. , a3 )> und so weiter wird [a, b, c] eine
Summe aus neun Termen, von denen drei wegen der letzten Regel verschwinden.
Man erhält damit
[a, b, c] = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2
a1 b3 c2
a2 b1 c3
a 3 b 2 c1 .
Dies ist gerade die Determinante einer 3 ⇥ 3-Matrix, nämlich
0
1
a 1 b 1 c1
a1 b1 c1
B
C
B
C
[a, b, c] = det @ a2 b2 c2 A = a2 b2 c2 ,
a 3 b 3 c3
a3 b3 c3
die wir später noch genauer studieren werden.
.Ò Beispiel Volumenberechnung
Das Volumen des Tetraeders T mit den Eck-
punkten
A = (2, 3, 4),
B = ( 1, 1
1),
C = (3, 0, 1),
D = (1, 1, 1)
ist ein Sechstel des Volumens des zugehörigen Spates S . Dieses wird aufgespannt
von den Vektoren
------!
a = DA = (1, 2, 3)>,
-----!
b = DB = ( 2, 0, 2)>,
------!
c = DC = (2, 1, 2)>,
und es ist
1
2
3
2
0
2
2
1
2
=0+6
8
0
8
2=
12.
Somit ist
|T | =
1
|S| = 2.
6
/
Lineare Abhängigkeit
Definition Die Vektoren v1 , .. , vn heißen linear abhängig, wenn es reelle Zahlen
↵1 , .. , ↵n gibt, die nicht alle Null sind, so dass
↵1 v1 + .. + ↵n vn = 0.
Andernfalls heißen sie linear unabhängig. œ
13.10
(c)-machobs:
Der 3-dime nsionale Raum — 13-a
259
Ist also zum Beispiel ↵1 î 0 , so ist
v1 =
↵2
v2
↵1
..
↵n
vn
↵1
aus den anderen Vektoren linear kombinierbar. Daher die Bezeichnung.
Eine äquivalente Charakterisierung ist folgende. Vektoren v1 , .. , vn sind
linear abhängig genau dann, wenn
↵1 v1 + .. + ↵n vn = 0
(1)
nur gilt, wenn
↵1 = .. = ↵n = 0.
Man sagt auch, (1) besitzt nur die triviale Lösung, oder der Nullvektor ist nur
trivial kombinierbar.
Man beachte, dass der Nullvektor immer von anderen Vektoren linear abhängig ist, denn
~ + 0· a
~=0
1· 0
~ î 0 . Dieser Fall ist ausdrücklich zugelassen.
gilt für jeden Vektor a
Diese Definition gilt für jede endliche Zahl von Vektoren in jedem beliebigen
Vektorraum. Im Augenblick interessiert uns allerdings der Fall von zwei oder
drei Vektoren.
Betrachte zwei Vektoren u und v im R3 . Diese sind linear abhängig, falls
↵2 +
↵u + v = 0,
2
î 0.
Ist zum Beispiel
î 0 , so ist v ein skalarer Vielfaches von u , und dies gilt
auch, wenn v = 0 . Dies ist gleichbedeutend damit, dass u und v parallel oder
kollinear sind. Dies wiederum ist äquivalent mit u ⇥ v = 0 .
3
Satz
Zwei Vektoren u und v im R3 sind kollinear genau dann, wenn
u ⇥ v = 0.
œ
.Ò Dies kann man auch auf Vektoren im R2 anwenden, indem man 0 als dritte
Koordinate 0 ergänzt und sie so als Vektoren im R3 auffasst. Für a = (1, 2)>
und b = ( 3, 6)> rechnet man also
0 1 0
1 0 1
1
3
0
B C B
C B C
B2C ⇥ B 6C = B0C.
@ A @
A @ A
0
0
0
Diese zwei Vektoren sind also kollinear. /
(c)-machobs:
13.11
260
13 — A na l y t i s c h e G e o m e trie
Betrachte nun drei Vektoren u, v, w im R3 . Sind diese linear abhängig, so
können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass w sich
linear aus u und v kombinieren lässt. Somit liegt w in der Ebene, die aus u und
v aufgespannt wird –– mas sagt, diese Vektoren sind koplanar. Offensichtlich ist
dies genau dann der Fall, wenn deren Spat entartet ist.
4
Drei Vektoren u, v, w im R3 sind koplanar genau dann, wenn
Satz
[u, v, w] = hu ⇥ w, wi = det(u, v, w) = 0.
Dabei steht letzteres für die Determinante der 3 ⇥ 3-Matrix mit den Spalten
u, v, w . œ
1 3- b
Ge ra d en u n d E b e ne n
Geraden
Eine Gerade g wird eindeutig bestimmt durch zwei verschiedene Punkte
A î B , die auf ihr liegen. Bezeichnen a und b deren Ortsvektoren, so erhält man
alle Punkte auf dieser Geraden durch
x = a + (b
denn b
ist
a),
2 R,
(2)
a î 0 ist derjenige Vektor, den von A nach B weist. Äquivalent dazu
x = (1
)a + b,
2 R,
(3)
wobei man für 0 ‡ t ‡ 1 genau die Geradenpunkte zwischen A und B erhält.
Man nennt dies eine Parameterdarstellung der Geraden g . Insbesondere nennt
man (2) eine Punkt-Richtungs-Gleichung, und (3) eine Zei-Punkte-Gleichung Dies
gilt übrigens in beliebigen Dimensionen.
Man kann die Paramterdarstellung nach auflösen, falls ai î bi , und erhält
in diesem Fall
=
xi
bi
ai
.
ai
Dies ist für wenigstens ein i möglich, da der Richtugnsvektor ja nicht Null sein
darf. Ersetzt man
in den anderen Komponenten durch diesen Ausdruck, so
erhält man eine Koordinatendarstellung der Geraden g . Sie erlaubt es, aus einer
Koordinate eines Punktes auf g dessen übrige Koordinaten zu bestimmen.
13.12
(c)-machobs:
Gerade n und Ebenen — 13-b
Abb 6
Zur Geradengleichung
n
A
b
a
a
B
b
O
.Ò Beispiel Die Gerade durch die Punkte A = (1, 0, 2) und B = (2, 2, 3) hat
den Richtungsvektor
0 1
1
B C
-----!
------!
B
v = OB OA = @ 2 C
A,
1
eine Parameterdarstellung ist somit
0
1 0 1
0 1 0
x
1
1
1+
B 1C B C
B C B
B x2 C = B 0 C + B 2 C = B 2
@
A @ A
@ A @
x3
2
1
2+
1
C
C.
A
Die zugehörigen Koordinatengleichungen lauten
x2
x1 1 =
= x3 2,
2
was äquivalent ist mit linearen Gleichungssystem
2x1
x2 = 2,
x2 + 3x3 = 4.
Somit gilt auch
g = {(x1 , .. , x3 ) : 2x1
.Ò Beispiel
x1
x2 = 2 ^
x2 + 3x3 = 4} .
/
Umgekehrt wird durch das lineare Gleichungssystem
x2 = 2,
4x2 + x3 = 8
eindeutig eine Gerade bestimmt, da beide Gleichungen lineaer unabängig sind.
Um diese in Parameterdarstellung zu überführen, können wir beispielsweise
x2 = als Parameter einführen. Damit wird x1
= 2 und 4 + x3 = 8 , also
0
1 0 1
0 1
x
2
1
B 1C B C
B C
B
C
B
C
B
g : @ x2 A = @ 0 A + @ 1 C
2 R.
/
A,
x3
8
4
(c)-machobs:
13.13
261