1 Newtonsche Mechanik des einzelnen Massenpunk

1
1.1
Newtonsche Mechanik des einzelnen Massenpunktes
Kinematische Grundlagen
Lage eines MP in Raum (ex , ey , ez ) durch Ortsvektor r zur Zeit t
r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez = (x(t), y(t), z(t))
Zeit t in Newtonscher Mechanik universell, d.h. überall (an jedem Ort) gleichzeitig (Synchronisation von Uhren) definiert.
Geschwindigkeit (velocity)
v(t) =
lim
∆t→0
r(t + ∆t) − r(t)
dr(t)
=
= ṙ(t)
∆t
dt
= ẋ(t)ex + ẏ(t)ey + ż(t)ez = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t))
Beschleunigung (acceleration)
a(t) = v̇(t) = r̈(t) = ẍ(t)ex + ÿ(t)ey + z̈(t)ez
Rechenregeln für Vektoren
(1) Addition: A + B = (Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz )
(2) Multiplikation
• mit Skalar α : (αAx , αAy , αAz )
• Skalarprodukt: A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
= |A||B| cos(A, B)
(speziell Betrag/Länge:
• Vektorprodukt:
ex
A × B = Ax
B
x
A2 = A2 = A2x + A2y + A2z )
ey
ez Az = ex (Ay Bz − Az By ) + . . .
Ay
By Bz (speziell: |A × B| = A · B sin(A, B))
• Differentiation von Produkten
(αA)′ = α′ A + αA′
(AB)′ = A′ B + AB′
(A × B)′ = (A′ × B) + (A × B′ )
4
1.2
Galileisches Trägheitsprinzip
• Kräftefreier Körper verharrt in Ruhe oder geradlinig-gleichförmiger Bewegung (v(t) ≡ const; Richtung + Betrag)
Erläuterung dazu:
(1) Kräftefrei = isoliert von äußeren Einwirkungen (entweder großer Abstand oder Kompensation)
(2) Widerspruch zu Alltagserfahrung
(3) gilt nur in
Inertialsystem (Def.): Bezugssystem, in dem Galileisches TP gilt → exp.
Aufgabe (mache einen Körper kräftefrei und kontrolliere/messe v).
Empirisch gilt (experimentell recht gut, aber nicht exakt bestätigt):
Fixsternhimmel ist Inertialsystem, Erde schon schlechteres, . . . etc.
P
Satz: Jedes gegen ein Inertialsystem
gleichförmig und geradlinig sich beweP
gende Bezugssystem ′ ist ebenfalls Inertialsystem.
Beweis (trivial): v konst. → v′ = v − v0 konstant
Galilei-Transformation
P
→
P′
:
r′ = r − v0 t
t′ = t
Beschleunigung a = r̈ → a′ = a
(invariant)
5
1.3
Newtonsche Bewegungsgleichung
Axiom, d.h. nicht beweisbar/ableitbar
mr̈ = F
(force)
Erläuterung dazu:
• Masse: hier träge Masse (Quantifizierung der dem Galileischen TP zugrundeliegenden Eigenschaft ”Beharrungsvermögen”);
auch: aktive und passive schwere Masse (die Fähigkeit, ein Gravitationsfeld zu erzeugen bzw. zu erfahren)
• Kraft: hier in der Regel gegebenes Feld F(r, t) ; auch F(r, ṙ, t) , z.B.
Reibungskräfte oder Lorentzkraft (Elektrodynamik)
• Mathematischer Inhalt:
mẍ = Fx (x, y, z, t)
mÿ = Fy (x, y, z, t)
mz̈ = Fz (x, y, z, t)
System von drei gekoppelten, im allgemeinen nichtlinearen Differentialgleichungen zur Bestimmung der Bahnkurve.
Invarianz der Newtonschen Bewegungsgleichungen
Transformation
ma = F → m′ a′ = F′ ,
gegen
Galilei-
da m′ = m, F′ = F und (siehe 1.2) a′ = a .
Beispiel: Bewegung im homogenen Schwerefeld der Erde, d.h. F = (0, 0, −mg)
mẍ = 0 → x = c1 t + c2
mÿ = 0 → y = c3 t + c4
g
mz̈ = −mg → z = − t2 + c5 t + c6
2
Anfangsbedingung: r(0) = r0 = (cz , cu , cb )
ṙ(0) = v0 = (c1 , c3 , c5 )
Lösung
r(t) = r0 + v0 t − g
t2
,
2
wobei g = (0, 0, +g) vektorielle Erdbeschleunigung.
Zur weiteren Diskussion wählen wir o.B.d.A. Koordinatensystem so, dass r0 =
0 (Ursprung) und v0 = (V0 x, 0, v0 z) (Drehung um z-Achse) ⇒ y(t) ≡ 0 ,
d.h. Bahnkurve liegt in der x-z-Ebene
6
Ersetzen in z(t) das Argument t = t(x) aus x(t), d.h.
x(t) = vx0 t
→
x
vx0
t=
g
z(t) = vz0 t − t2
2
vz0
g
z(x) =
x−
vx0
2
→
Umformung:
2
!
2
{z
|
2
x20
x − 2x0 x +
R=
x
vx0
2v 2 vz0
x
x − x0
g vx0
g
z(x) = − 2
2vx0
Abkürzungen:
}
− x20
2
vx0
vx0 vz0
v2
, x0 =
, z0 = z0 ,
g
g
2g
Geometrisch: Parabel mit Scheitel in (x0 , z0 = z(x0 ))
z
6
z0
z0 = z(x0 )
R
2x0
R
Wurfhöhe
Wurfweite
Krümmungsradius im Scheitel
- x
x0
Zur Erinnerung: Krümmungsradius einer ebenen Kurve z(x)
1 + z ′ (x)2
R(x) =
z ′′ (x)
2
Optimierung: z.B. maximale Wurfweite bei gegebener Abwurfgeschwindigkeit
2 + v2
(Betrag!) v02 = vx0
z0
q
2 ∂
∂
2 =0
2x0 =
vx0 · v02 − vx0
∂vx,0
g ∂vx,0
⇒
2
vx0
=
v02
2
= vz0
2
7
Wurfwinkel 450
1.4
Zustands- und Erhaltensgrößen
Zustand (Def.) durch r, ṙ (später Impuls) zu Zeit t eindeutig definiert (da r̈
usw. aus Newtonscher Bewegungsgleichung folgt).
Zustandsgröße (Meßgröße, Observable) durch Zuordnung r, ṙ, t ←→ Zahl
(Meßwert) definiert.
f = f (r, ṙ, t)
Zeitentwicklung einer Zustandsgröße
df
∂f
∂f
∂f
=
+
ṙ +
r̈
dt
∂t
∂r
∂r
Dabei definiert (Schreibweise!) Vektoren
=
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
∇ =
∂
∂
∂
,
,
∂x ∂y ∂z
∂f ∂f ∂f
,
,
∂ ẋ ∂ ẏ ∂ ż
∂f
∂r
∂f
∂ ṙ
=
= ∇f
Gradient ,
Nabla-Operator
Erhaltung der Observablen f bedeutet
df
= 0 → f (r[t], ṙ[t], t) = f0
dt
Erläuterung dazu: Es ist ggfs. einfacher, obige Differentialgleichung 1. Ordnung
zu lösen anstelle der Newtonschen Bewegungsgleichung (2. Ordnung).
Wichtigste Observable sind:
(1) Impuls (Def.)
p = mṙ
dp
= mr̈ = F
dt
→ Impulserhaltung, falls F ≡ 0
(2) Drehimpuls (Def.) l = r × p
dl
=
dt
ṙ × p +r × ṗ = r × F = M
| {z }
(Drehmoment)
= 0 , da ṙ||p
Drehimpulserhaltung, falls M = 0 , d.h.
r || F
(3) Energie: hier zunächst nur → Kinetische Energie (Def.)
T =
m 2
ṙ
2
∂T
dT
=
· r̈ = mṙ · r̈ = F · ṙ mechanische Arbeit/Zeit
dt
∂ ṙ
8
Erhaltung der kinetischen Energie, falls F ≡ 0, aber auch falls F ⊥ ṙ (z.B.
Lorentzkraft).
Erläuterung: Für große und physikalisch sehr wichtige Klasse von Kraftfeldern läßt sich Energiebegriff verallgemeinern, so daß Energieerhaltung
gilt → Konservative Kraftfelder.
9
1.5
Konservative Kraftfelder
Annahme: Es existiert eine Funktion V (r) mit
F(r) · ṙ = −
∂V (r)
dV (r)
=
· ṙ oder F = − grad V
dt
∂r
Falls dies möglich, folgt
dT
dV
d
= −
→
(T + V ) = 0 ,
dt
dt
dt
d.h. Erhaltung für Energie E = T + V , dabei heißt V potentielle Energie
(= Potential) des konservativen Kraftfeldes F.
NHB (notwendige und hinreichende Bedingung) für Konservativität eines
Kraftfeldes F(r)
rot F(r) = 0
Definition: ”Rotation eines Feldes”
ex
rot F = ∇ × F = ∇x
F
x
Satz von Stokes
Z
ey
ez ∇y ∇z = ex (∇y Fz − ∇z Fy ) + . . .
Fy Fz rotF(r)df =
F
I
F(r) dr
L
Erläuterung zum Satz von Stokes
(1) Kontur L im Kurvenintegral (rechts) umschließt Fläche F (Integrationsgebiet) des Flächenintegrals links, dr Element von L, df Element von F
mit df ⊥ F
(2) Flächenintegral (Def.)
Z
A(r)df = lim
∆fi →0
F
X
i
A(ri ) ∆fi · ni
(3) Kurvenintegral (Berechnungsvorschrift)
Z
L
A(r)dr =
Zs2
s1
A(r[s])
dr(s)
ds ,
ds
wobei r(s) Parameterdarstellung der Raumkurve L
10
(4) Anschauliche Bedeutung der Rotation
Wirbelstärke der geschlossenen Kontur L (des Wirbels!) durch
I
F(r) dr =
L
Z
rotF(r)df
F
definiert. Folglich ist rot F die Flächendichte der Wirbel auf F.
(5) Beispiel für Wirbelfeld F = 12 ez × r = 21 (−y, x, 0).
→ rotF = ez
Wirbelstärke für Kreis (R) um z−Achse:
Z
rotFdf =
F
Raumkurve L :
I
Fdr
L
x = R cos ϕ
y = R sin ϕ
z = z0
Z
Z
ez · ez · df =
F dr =
Z2π
F(r[ϕ])
=
Z2π
rotFdf
=
F
F
I
0
L
0
=
Z
F
df = π · R2
dr
dϕ
dϕ
1
(−R sin ϕ , R cos ϕ , z0 ) · (−R sin ϕ , R cos ϕ , 0) dϕ
2
1 2
R
2
Z2π
dϕ (sin2 ϕ + cos2 ϕ) = π R2
0
H
F dr
= 1
π R2
in Übereinstimmung mit Stokes’schem Satz!
Flächendichte:
Beweis für NHB
(a) Aus
F(r) = − grad V (r)
folgt
rot F = 0
rotF = −rot grad V = −∇ × (∇V )
ex
∇ × (∇V ) = ∇x
∇ V
x
∇z = ex (∇y ∇z V − ∇z ∇y V ) + . . .
∇z V ey
ez
∇y
∇y V
= 0 (Satz von Schwarz)
11
(b) Aus
rotF = 0 folgt
F = − gradV
Konstruieren ”eindeutiges” V (r) aus gegebenem F(r) durch Vorschrift
V (r) = −
Zr
F(r′ )dr′
r0
Tatsächlich ist
(b1) V (r) unabhängig vom Integrationsweg L von r0 nach r ,weil wegen Annahme rot F = 0 und Satz von Stokes gilt für beliebigen
geschlossenen Weg
I
F dr =
C
Z
rotF df = 0
F
(b2) Wählen daher Integrationsweg längs der Achsen
−V (r) =
Zx
′
′
Fx (x , y0 , z0 )dx +
Zy
′
′
Fy (x, y , z0 )dy +
y0
x0
Zz
Fz (x, y, z ′ )dz ′
z0
und erhalten komponentenweise z.B.
∂V (r)
= − Fx (r) usw.
∂x
Ausblick auf Elektrodynamik (Feldtheorie)
Wirbel des elektromagnetischen Feldes durch (diesbezüglichen Teil der) Maxwellschen Gleichungen
rot E(r, t) = −Ḃ(r, t)
Induktionsgesetz
rot H(r, t) = j(r, t) + ε0 Ė(r, t)
Lenz’sche Regel erweitert um Verschiebungsstrom
Zusammenfassung: Für konservative Kraftfelder (rot F = 0) gilt Erhaltungssatz für Gesamtenergie
E = T +V
V (r) = −
Probe:
Zr
F(r′ ) dr′
wegunabhängig
r0
dE
dt
=
d
dt
m 2
ṙ + V (r)
2
= mṙr̈ +
∂V (r)
ṙ
∂r
= ṙ(mr̈ − F) = 0
12
Beispiel: 1-dimensionale Bewegung mit Energiesatz lösen!
2
m 2
ẋ + V (x) = E → ẋ2 = (E − V [x])
2
m
Trennung der Variablen: q
dx
2
m [E
= dt
− V (x)]
Integration der Gleichung von t0 . . . t, x0 . . . x
t − t0 =
Zx
x0
dx
q
2
m (E
− V [x])
; x(t0 ) = x0
Beispiel: Bewegung eines Elektrons im homogenen Magnetfeld
→
Lorentzkraft F = e · v × B.
Wählen B-Feld
B = (0, 0, B) = ez B
mr̈ = eṙ × ez · B
→
r̈ =
eB
ṙ × ez
m
eB
= ω (Zyklotronfrequenz)
m
Abkürzung
ẍ = ω ẏ
ṙ × ez = (ẏ, −ẋ, 0) → ÿ = −ω ẋ
z̈ = 0
)
gekoppelt
⇒ ż = vz , z = vz t + z0
d 2
(ẋ + ẏ 2 ) = 2 (ẍẋ + ÿ ẏ) = 0
dt
2 = const. (Betrag der Geschwindigkeit in
Erhaltungsgröße ẋ2 + ẏ 2 = v⊥
x-y-Ebene)
Andererseits gilt
Entkopplung ẏ =
q
p
2 − ẋ2
v⊥ − ẋ2 → ẍ = ω v⊥
Subst.: ẋ = u
u̇
q
2 − u2
v⊥
=ω
q
→
2 − u2
u̇ = ω v⊥
→
Z
du
q
2 − u2
v⊥
= arc sin
u
= ωt + ϕ0
v⊥
v⊥
cos(ωt + ϕ0 )
ω
q
2 − ẋ2 = v cos (ωt + ϕ ) → y(t) = y + v⊥ sin(ωt + ϕ )
ẏ = v⊥
0
0
0
⊥
ω
u = v⊥ sin(ωt + ϕ0 ) = ẋ → x = x0 −
13
Legen
r0 in Ursprung r0
v⊥
v⊥
cos ϕ0 ,
sin ϕ0 , 0
−
ω
ω
=
x = −
(0, 0, 0)
⇔
r(t
=
v⊥
cos(ωt + ϕ0 )
ω
v⊥
sin(ωt + ϕ0 )
ω
z = vz t
y =
Geometrische Form der Bahn:
2
2
x +y =
v⊥
ω
2
− Kreis mit Radius R =
14
v⊥
mv⊥
=
ω
eB
0)
=
1.6
1.6.1
Mathematische Methoden zur Lösung der Newtonschen
Bewegungsgleichung
Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
F (ẍ[t], ẋ[t], x[t], t) = 0
Satz (o.B.): Bei der Vorgabe von Anfangsbedingungen x(t0 ) = x0 ; ẋ(t0 ) = v0
besitzt Differentialgleichung eindeutige Lösung, falls nach Umformung auf die
Struktur
ẍ = G(ẋ, x, t)
die Funktion G stetig differenzierbar bei t = t0 ist.
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
!
L̂x = a2 (t)ẍ(t) + a1 (t)ẋ(t) + a0 (t)x(t) = f (t)
Eigenschaft: Seien xi (t) (i = 1, . . . , n) Lösungen der homogenen Differentialgleichung L̂xi = 0, dann ist Linearkombination (ci −beliebige Konstante).
xL (t) =
n
X
ci xi (t)
i=1
ebenfalls Lösung der homogenen Differentialgleichung → Beweis
L̂xL = L̂
n
X
ci xi =
i=1
n
X
ci L̂xi = 0
i=1
Lineare Unabhängigkeit (Def.): Satz von Funktionen
xi (t) heißt linear unabhängig, falls Gleichung
n
X
ci xi (t) = 0
i=1
nur erfüllbar für ci ≡ 0 für alle i = 1, . . . , n .
Kriterium für lineare Unabhängigkeit: Wronskische Determinante (Def.)
verschwindet nicht.
Beweis: Differenziere
W =
x1
x2
...
ẋ1
ẋ2
...
(n−1)
x1
(n−1)
x2
n
X
...
ci xi (t) = 0
i=1
15
xn ẋn =
6 0
(n−1)
xn
n mal (nach t); betrachte das entstehende Gleichungssystem bei gegebenen xi (t)
als homogenes, algebraisches Gleichungssystem zur Bestimmung der ci →
triviale Lösung, falls Koeffizienten-Determinate , W 6= 0 !
Satz (o.B.): Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt
genau 2 linear unabhängige Lösungen (x1 (t) , x2 (t)-Fundamentalsystem), deren
Linearkombination
xh (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t)
die allgemeine Lösung darstellt (allgemeine Lösung: Mannigfaltigkeit der Lösungen durch beliebige Wahl von c1 und c2 ).
Satz: Die inhomogene, lineare Differentialgleichung besitzt die allgemeine
Lösung
x(t) = xh (t) + xp (t) ,
dabei ist xh (t) die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und xp (t) eine
beliebige spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
Beweis: Aus
L̂xh (t) = 0 , L̂xp (t) = f (t)
folgt
L̂(xh [t] + xp [t]) = L̂xh (t) + L̂xf [t]) = f (t)
Konstruktion einer speziellen Lösung xp aus x1 , x2
(Variation der Konstanten)
xp (t) = −x1 (t)
Z
x2 (t) f (t)
dt + x2 (t)
a2 (t) · W (t)
Z
x1 (t) f (t)
dt
a2 (t) · W (t)
Beweis: Differentiation von xp und Einsetzen in Differentialgleichung (Probe!)
Beispiel: Lineare, homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
ẍ(t) + b1 ẋ(t) + b0 x(t) = 0
Ansatz:
x(t) ∼ eλt
führt auf
λ1,2
λ 2 + b1 λ + b 0 = 0
b1
=− ±
2
(1) λ1 6= λ2 → x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t
s
b21
− b0
4
ist allgemeine Lösung
(2) λ1 = λ2 (b21 = 4b0 ) → x(t) = c1 eλt + c2 · teλt
ist allgemeine Lösung
Beweis zu (2): (a) Probe durch Einsetzen, daß teλt Lösung; (b) Zeigen, daß
W 6= 0
16
1.6.2
Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung
F (ẋ, x, t) = 0
→
ẋ = G(x, t)
Existenz und Eindeutigkeit sinngemäß wie bei 2. Ordnung; Allgemeine Lösung
x = x(t, c) ; c Konstante
Anfangsbedingung:
x(t0 , c) = x0
Lösungsverfahren
(a) Trennung der Variablen: Fall G(x, t) = f (x) g(t)
ẋ = f (x) g(t)
Z
→
Schreibweise:
R
dx
=
f (x)
Z
g(t) dt + c
f (t)dt ohne Grenzen bedeutet Stammfunktion F (t)
(b) Lineare Differentialgleichung
ẋ(t) + b(t)x(t) = f (t)
(b1) Lösung der homogenen Gleichung durch Trennung der Variablen
Z
dx
=−
x
Z
b(t) dt + c̃
xh = ce−
→
R
b(t) dt
(b2) Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch Variation der Konstanten
xp (t) = c(t) · e−
R
b(t) dt
ẋp (t) = ċ(t) e−
⇒
in Differentialgleichung eingesetzt
ċ e−
R
b(t) dt
= f (t)
⇒
c(t) =
Z
R
17
R
b(t) dt
R
dt e
(b3) Allgemeine Lösung
x(t) = c e−
b dt
+ xp (t)
− c(t) b(t) e−
b(t) dt
· f (t)
R
b dt
Beispiel: Wurf mit Luftwiderstand
mr̈ = F = Fg + FR ;
Fg = −mg (Schwerkraft) ; FR = −Rṙ (Reibungskraft)
Zu lösen
γ=
R
m
=
1
τ
r̈ + γ ṙ = −g
(1) Lösung der homogenen Gleichung durch e−Ansatz: z.B.: x(t) = eλt
rh (t)
→ λ2 + γλ = 0 → λ1 = 0 , λ2 = −γ
=
c1 + c2 e−γt
(2) Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
z̈ + γ ż = −g
durch Variation der Konstanten (o. B.) oder einfach:
żp (t) =
g
g
; zp (t) = 2 (1 − γt) (Probe durch Diff.)
γ
γ
Allgemeine Lösung
r(t) = c1 + c2 e−γt + ez
g
(1 − γt)
γ2
Anfangsbedingung wie schräger Wurf:
r(0) = (0, 0, 0) = c1 + c2 + ez
g
γ2
ṙ(0) = (vx0 , 0, vz0 ) = v0 = −γc2 − ez
c2
c1
g
γ
1
g
= −
v0 + ez
γ
γ
1
g
v0
g
= −ez 2 +
v0 + ez
=
γ
γ
γ
γ
Lösung, die Anfangsbedingung genügt
r(t) =
=
1
v0
g −γt
g
−
v0 + ez
e
+ ez 2 (1 − γt)
γ
γ
γ
γ
v0 g −γt
−γt
− γt
1−e
+ ez 2 1 − e
γ
γ
18
Komponentenweise:
x(t) =
z(t) =
y(t) ≡ 0
vx0
γ
vz0
γ
1 − e−γt
1 − e−γt +
g −γt
1
−
γt
−
e
γ2
Betrachten zwei Grenzfälle
(a) γt ≪ 1 (t ≪ τ = γ1 ) : e−γt = 1 − γt + 12 γ 2 t2 ± . . . ;
x(t) = vx t + . . .
g
z(t) = vz t − t2
2
⇒ Reibung noch nicht wirksam.
(b) γt ≫ 1 (t ≫ τ = γ1 ) : e−γt ≪ 1
x(t) =
z(t) =
vx
= vx · τ = x∞ , ẋ(t) = 0 (Ort, an dem Körper zum Stehen kommt)
γ
g
g
vz
+ 2 (1 − γt) , ż(t) = −
(geradlinig gleichförmige Bewegung)
γ
γ
γ
⇒ Reibungskraft und Erdanziehung kompensieren sich
γ ṙ) = 0
g
g
⇒ ṙ = −
& ż = −
γ
γ
19
F = −m(g +
1.7
Schwingungen
Treten überall auf, wo Körper stabile Ruhelagen mit F(r0 ) = 0 ; F(r) =
−k̂(r−r0 ) für |r−r0 | ≪ a (∼ charakteristische Länge) besitzen (Alltagserfahrung: Federschwinger, Pendel usw., aber auch Atome in Molekülen/Kristallen
...).
Allgemein: Taylorentwicklung um die Gleichgewichtslage r = r0 , Indexschreibweise, Summenkonvention
∂Fi (r) (xj − xj,0 ) + . . .
Fi (r) = Fi (r0 ) +
∂xj r=r
0
Wählen Ursprung r0 = 0 , und nehmen Isotropie an
∂Fi (r) !
= kij = kδij
∂xj r=0
⇒
1.7.1
F(r) = −kr
Der lineare Oszillator (1-dim. Modell)
Berücksichtigen zusätzlich Reibung (R) und äußere (anregende) Kraft (F (t))
mẍ = −kx − Rẋ + F (t)
ẍ + 2γ ẋ +
ω02 x
= f (t)
R
k
F
γ=
, ω02 =
,f=
2m
m
m
(1) Freie, gedämpfte Schwingung
(= Lösung der homogenen Differentialgleichung)
Ansatz:
x = eλt → λ2 + 2γλ + ω02 = 0 (charakteristische Gleichung)
λ±
=
−γ ±
allgemeine Lösung: x(t) =
q
(
γ 2 − ω02
c1 eλ+ t + c2 eλ− t falls λ+ 6= λ−
(c1 + c2 t) eλt
falls λ+ 6= λ− = λ
(1a) γ 2 > ω02 , starke Dämpfung
→ 2 reelle Wurzeln λ± = −γ ± ∆ < 0, mit ∆ =
x(t) = e−γt c1 e+∆t + c2 e−∆t
q
γ 2 − ω02 .
Überlagerung von zwei Abklingvorgängen (keine Schwingung; c1 :
entdämpft, c2 überdämpft);
Beachte: Es gilt immer λ± < 0 (Abklingen)
20
(1b) γ 2 = ω02 ,
∆ = 0 → Entartung λ+ = λ− = −γ)
e−γt , te−γt
Fundamentalsystem:
(Probe!)
x(t) = c1 e−γt + c2 te−γt
Abklingvorgang (aperiodischer Grenzfall)
(1c) γ 2 < ω02 , schwache Dämpfung
→ 2 komplexe Wurzeln λ± = −γ ± iω̃ ,
q
γ 2 − ω02 = iω̃
x(t) = e−γt c1 eiω̃t + c2 e−iω̃t
Ersetzen formale mathematische Lösung (komplex) durch physikalische (reell!)
x(t) = x∗ (t)
→
c1 = c∗2 =
x0 iϕ0
e
2
x(t) = x0 e−γt cos(ω̃t + ϕ0 )
Harmonische Schwingung mit renormierter Frequenz ω̃ =
zeitlich gedämpfter Amplitude und fester Phase.
q
ω02 − γ 2 ,
Grenzfall ω02 ≫ γ 2 → 0: Nahezu ungedämpfte Amplitude (über
viele Oszillationen hinweg) mit der ”freien” Oszillatorfrequenz ω0
(2) Erzwungene Schwingung
(= Lösung der inhomogenen Differentialgleichung)
Allgemeines Verfahren (Erinnerung an Abschnitt 1.6.1)
xp (t) = −x1
Z
x2 f
+ x2
W
Z
x1 f
W
Wronskische Determinante
W = x1 ẋ2 − ẋ1 x2 = (λ− − λ+ ) x1 x2
Folglich
xp (t) =
1
eλ+ t
λ+ − λ−
Z
dte−λ+ t f (t) − eλ− t
Betrachten im Folgenden periodische Kraft
f (t) = f0 cos (ωt + ϕ)
Statt Lösung des Integrals für xp Ansatz
xp (t) = fp cos (ωt + ϕ + δ)
21
Z
dte−λ− t f (t)
Einsetzen in Differentialgleichung:
ẋp = −ωfp sin (ωt + ϕ + δ)
ẍp = −ω 2 fp cos (ωt + ϕ + δ)
Setzen ωt + ϕ + δ = α
h
i
(ω02 − ω 2 ) cos α − 2γ ω sin α fp = f0 cos (α − δ)
= f0 [cos α cos δ + sin α sin δ]
Koeffizientenvergleich
fp (ω02 − ω 2 ) = f0 cos δ
tg δ =
→
−2fp γ ω = f0 sin δ
2γω
− ω02
ω2
f02 = fp2 4γ 2 ω 2 + (ω 2 − ω02 )2
Allgemeine Lösung:
x(t) = x0 e−γt cos(ω̃t + ϕ0 ) + fp cos (ωt + ϕ + δ)
Erzwungene Schwingung besitzt eine definierte Amplitude und Phasenverschiebung
2γ ω
f0
; δ = arc tg 2
fp = q
ω − ω02
4γ 2 ω02 + (ω 2 − ω02 )2
Grenzfälle:
(i) γ = 0
→
δ = 0 ; fp → ∞ für ω → ω0 :
Resonanzkatastrophe!
f0
π
; fp =
(ii) ω = ω0 , γ 6= 0 → δ =
2
2γ ω
(iii) ω = ω0 , γ = 0 → Differentialgleichung reduziert sich auf die Form
ẍ + ω02 x = f0 cos (ω0 t + ϕ)
Finden spezielle Lösung aus allgemeinem Verfahren (Probe: Diff.)
xp (t) =
f0
{cos (ω0 t + ϕ) + 2ω0 t sin (ω0 t + ϕ)}
4ω02
Lösung der homogenen Gleichung
xh (t) = x0 cos (ω0 t + ϕ0 )
Allgemeine Lösung
x(t) = xh (t) + xp (t)
ist physikalisch plausibel
• homogene Lösung klingt nicht ab, da keine Dämpfung (γ = 0)
• partikuläre Lösung enthält Anteil, dessen Amplitude infolge
äußerer Anregung ∼ t zunimmt und damit für t → ∞ wegen fehlender Dämpfung divergiert!
22
1.7.2
Der isotrope, räumliche Oszillator
Newtonsche Bewegungsgleichung
mr̈ + kr = 0
Allgemeine Lösung:
r(t) = c1 eiωt + c2 e−iωt ; ω 2 =
k
m
Anfangsbedingung:
r(0) = r0 = c1 + c2
ṙ(0) = v0 = iω (c1 − c2 )
)
c1 =
c2 =
⇒
1
2
1
2
r0 +
r0 −
Einsetzen ergibt
r(t) = r0 cos ωt +
v0 iω
v0 iω
v0
sin ωt
ω
Eigenschaften:
• ebene Bewegung (r0 − v0 - Ebene)
• beschränkt
d 2
r (t0 ) = 0 = 2r(t0 ) ṙ(t0 )
• Maximaler Abstand
dt
Bahnkurve: Wählen o.B.d.A. t0 = 0 → r0 ⊥ v0 und legen [r0 =
(x0 , 0 , 0) ,
v0 = (0 , v0 , 0)] Bewegung in x − y - Ebene
x(t)
=
y(t)
=
x0 cos ωt
v0
sin ωt
ω
→
x
x0
2
+
ωy
v0
2
v0
ω
Alternative Lösungsmethode: Nennen c1 = a
=1
Ellipsengleichung mit Halbachsen x0 ,
h
r(t) = a eiωt + a eiωt
i∗
h
→
c2 = a∗
i
= 2 Re a eiωt ist reell
Wählen neuen konstanten, komplexen Vektor b = a e−iϕ so, daß b2 =
a2 e−2iϕ reell: Damit gilt
b2 = (b1 + ib2 )2 = b21 − b22 + 2i b1 b2
→ b1 ⊥ b2
&
reell
b1 · b2 = 0
Lösung:
n
r(t) = 2Re b eiϕ eiωt
o
= 2[b1 cos (ωt + ϕ) − b2 sin (ωt + ϕ)]
Legen b1 , b2 in x,y-Richtung und erhalten gleiches Ergebnis.
23
1.8
Bewegung im Zentralkraftfeld
1.8.1
Allgemeine Eigenschaften
Definition: F(r) = F (r) rr ≡ K(r) r
Beispiele: Gravitation,
Oszillator,...
Coulomb-Potential,
isotroper
harmonischer
Eigenschaften:
(1) Konservativität:
rot F =0
Beweis:
∇ × F = (∇K) × r + K (∇ × r)
∇×r = 0
r
∂K(r)
· ∇r = K ′ (r)
∇K(r) =
∂r
r
(2) Potential: V (r) = −
−
Rr
F (r ′ ) dr ′ .
Rr
F(r′ ) dr′ reduziert sich auf V (r) =
r0
r0
Beweis:
z.B.
(3) Energiesatz: E =
m
2
∂r
x
∂V
= V ′ (r)
= −F (r)
∂x
∂x
r
usw.
ṙ2 + V (r)
∂E
∂E
dE(r , ṙ)
ṙ +
r̈ = (−F + mr̈)ṙ = 0
=
dt
∂r
∂ ṙ
(4) Drehimpulserhaltung l = r × p = m(r × ṙ)
d
l(r , ṙ) = m (ṙ × ṙ) +r × mr̈ = r × F = 0
| {z }
dt
=0
Folgerungen aus Drehimpulserhaltung
(4a) r , ṙ ⊥ l → ebene Bewegung ⊥ l
(4b) Flächensatz (dF = r × dr → Ḟ = ml konstant).
1.8.2
Berechnung der Bahnkurve
Wählen x − y−Ebene als Bewegungsebene (l = (0, 0, l)) und benutzen
anstelle der Newtonschen Bewegungsgleichung Erhaltungssätze für l , E
zur Bestimmung von x(t), y(t) (z = ż = 0) .
l = m(xẏ − ẋy)
m 2
(ẋ + ẏ 2 ) + V (r)
E =
2
24
Transformation in ebene Polarkoordinaten r(t) , ϕ(t)
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
ẋ = ṙ cos ϕ − r ϕ̇ sin ϕ
→
ẏ = ṙ sin ϕ + r ϕ̇ cos ϕ
Folgt
l = mr 2 ϕ̇
m 2
E =
(ṙ + r 2 ϕ̇2 ) + V (r)
2
Entkopplung der Differentialgleichungen:
→
ϕ̇ =
l
mr 2
l2
m 2
ṙ +
+ V (r) = E
2
2mr 2
können dies ”formal” als Energiesatz einer 1-dimensionalen Bewegung
auffassen
l2
m 2
ṙ + Veff (r) = E , mit Veff (r) = V (r) +
2
2mr 2
durch ”Potential der Fliehkraft
l2
” ergänzt!
2mr 2
Trennung der Variablen
ṙ =
r
dr
2
= dt
(E − Veff ) → q
2
m
(E
−
V
)
eff
m
Geometrische Form der Bahnkurve in Polarkoordinaten direkt durch
r
→
ṙ
dr
mr 2
2
=
=
(E − Veff )
ϕ̇
dϕ
l
m
dr
l
q
= dϕ
m r 2 2 (E − V )
eff
m
→ ϕ(r) = ϕ0 +
Zr
r0
r ′2
l dr ′
2m[E − Veff (r ′ )]
p
Lösung auf Integral zurückgeführt. Alles Weitere hängt von konkreter
Struktur für V (r) ab!
25
1.8.3
Kepler-Problem
Gravitationspotential:
V (r) = −
α
γ·m·M
=−
r
r
Einsetzen ergibt Integral
Zr
ϕ − ϕ0 = I(r, r0 ) =
Substitution:
x=
r0
l dr ′
q
r ′2 2m[E +
α
r′
−
l2
]
2mr ′ 2
l2
l2
→
dx
=
−
dr ′
αr ′
αr ′2
l2Z/αr
I(r, r0 ) = −
l2 /αr0
dx
q
2mEl2
α2
+ 2mx − x2
Integral (z.B. Bronstein)
Z
dx
x−m
= arc sin p
2
β + 2mx − x
β + m2
p
Probe: [arc sin y(x)]′ = √ 1
1−y 2
y ′ (x)
Folglich Bahnkurve in Polarkoordinate
2
x − m l /αr
,
ϕ = ϕ0 − arc sin p
β + m2 l2 /αr0
2mEl2
β =
α2
Wählen ϕ0 ”geeignet”:
2
l
m − αr
ϕ(r) = arc sin p
β + m2
Für Diskussion der Bahnkurve geeignet
m−
l2
αr
1−
= q
sinϕ = p
β + m2
Dabei eingeführt: p =
ε =
s
l2
mαr
β
m2
+1
=
1−
ε
p
r
l2
> 0 (Parameter)
mα
2El2
+1 >0
mα2
(lineare Exzentrizität)
Damit ”Polargleichung” der Kegelschnitte
r =
p
1 − εsin ϕ
26
!
Exzentrizität
ε=0
Energie
E=−
Form der Bahnkurve
mα2
= E0
2El2
Kreis
0<ε<1
E0 < E < 0
Ellipse
ε=1
E=0
Parabel
ε>1
E>0
Hyperbel
27