FAQ – Entropie
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FAQ – Entropie S = kB·ln W 1.) Ist die Entropie für einen Zustand eindeutig definiert? Antwort: Nein, zumindest nicht in der klassischen Physik. Es sei an die Betrachtung der Ortsraum-Entropie des idealen Gases erinnert. Der Wert von W ist gegeben durch xN, wobei N die Teilchenzahl ist und x die Zahl der „Kästchen“, in die man sich das Gasvolumen geteilt denkt. Der Wert von S hängt offenbar vom Wert von x ab, aber dieser ist frei wählbar. Anders ist dies für die Entropiedifferenz. Wir haben (am Beispiel der Volumenverdopplung) gezeigt, dass sie unabhängig von x ist. Dies lässt sich verallgemeinern, so dass beim Übergang zwischen zwei Gleichgewichtszuständen die Entropieänderung immer eindeutig festgelegt ist. Grundsätzlich anders sieht die Sache aus, wenn x festgelegt ist. Dies ist oft bei nicht-physikalischen Situationen der Fall, z.B. wenn man nach der Entropie der Verteilung der 1-Euro-Münzen in den Ländern Europas fragt. Die Anzahl x der Länder ist vorgegeben. Auch die Quantenmechanik kann x festlegen. In der Festkörperphysik sind die Wellenfunktionen der Elektronen in perfekten Kristallen vollständig delokalisiert und der Impuls ist quantisiert, so dass man die Entropie absolut angeben kann. FAQ – Entropie S = kB·ln W 2.) Ist W eine Wahrscheinlichkeit? Antwort: Nein Nehmen wir das Beispiel der Euromünzen. W ist die Gesamtzahl der Verteilungsmöglichkeiten der Euromünzen auf die Länder Europas. Eine typische Wahrscheinlichkeitsbetrachtung wäre: Wie wahrscheinlich ist es, dass sich 5 % aller Münzen in Griechenland befinden? Dann wäre die Wahrscheinlichkeit w gegeben durch die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten WGr dieses Zustandes geteilt durch W: WGR = (x-1)0.95·N , und W = xN ⇒ w = WGr / W Wahrscheinlichkeit, dass 95 % aller Münzen außerhalb Griechenlands sind Kreisprozesse Wärmekraftmaschinen für die Umwandlung von Wärme in Arbeit in einem periodisch durchlaufenen Zyklus. Die Plancksche Formulierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik besagt, dass man mit mindestens zwei Wärmereservoirs arbeiten muss, einem heißen und einem kalten. Schema des Energieflusses Qh Heißes Reservoir, Th Q W Kaltes Reservoir, Tt Qt Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen Schema des Energieflusses Qh Heißes Reservoir, Th Q Kaltes Reservoir, Tt W Qt Von außen zuzuführen: Wärmeenergie Qh Nach außen abgeführt: geleistete Arbeit W + Abwärme Qt Wirkungsgrad η: η = pro Zyklus abgegebene Arbeit |W| pro Zyklus aufgenommene Wärme |Qh| Wirkungsgrad Gesamte mechanische Arbeit W: Innere Energie des Gases muss am Ende des Kreisprozesses genauso groß sein wie am Anfang (sonst liegt kein zyklischer Prozess vor). ∫ ∫ Wegen ∆U = -∆W + ∆Q ⇒ Unachher − Uvorher = − dW + dQ = 0 Also: W=Q Die beim Kreisprozess gewonnene Arbeit ist gleich dem integralen Wärmeumsatz Wirkungsgrad η: η= Q = Qh - |Qt| pro Zyklus abgegebene Arbeit |W| pro Zyklus aufgenommene Wärme |Qh| η= 1 - = Q Qh pro Zyklus anfallende Abwärme pro Zyklus aufgenommene Wärme = 1- |Qt| Qh Die vier wichtigsten Kreisprozesse Stirling-Prozess Ohne Verbrennung und zyklischen Austausch des Arbeitsmediums p isotherm p isochor isotherm adiabatisch V Otto-Prozess (schnelle Verbrennung) Mit Verbrennung und zyklischem Austausch des Arbeitsmediums Carnot-Prozess p adiabatisch isochor V V Diesel-Prozess (langsame Verbrennung) p isobar adiabatisch isochor V Otto-Prozess Formal lässt sich der OttoProzess in einem einzigen Zyklus beschreiben, wenn man annimmt, der Abgasausstoß und das Ansaugen neuen Kraftstoffes erfolgten sehr schnell. p adiabatisch isochor V Abbildungen aus D. C. Giancoli, Physics for Scientists and Engineers, Prentice Hall In Wirklichkeit geschehen die beiden Teilschritte während einer vollen Umdrehungen des Kolbens. Der thermodynamische Zyklus dauert also zwei Kolbenumdrehungen lang. Otto-Prozess Isochore Kompression: Aufnahme von Wärme Qh (Wärmeenergie wird durch den Verbrennungsprozess bereitgestellt) Q Qhh p Adiabatische Expansion leiste mechanische Arbeit Wh Isochore Expansion: Abwärme Qt wird abgegeben (im wesentlichen in Form von Restwärme der Verbrennungsgase) W Q Qtt Adiabatische Kompression kostet Arbeit Wt V W W==W Whh––W Wtt Carnot-Prozess Der Carnot-Prozess dient oft als Modellprozess, weil er die höchstmögliche Effizienz aufweist und besonders einfach zu analysieren ist (T-S-Diagramm). Eine praktische Realisierung hat er nicht. Sadi Carnot 1796-1832, Carnot-Prozess 1824 formuliert Abbildung aus D. C. Giancoli, Physics for Scientists and Engineers, Prentice Hall Carnot-Prozess Analyse ist besonders einfach, wenn man das T-S-Diagramm zugrunde legt. p T adiabatisch isotherm isotherm adiabatisch → Th • Aufnahme von Qh bei der hohen Temperatur Th • Abgabe von Qt bei der unteren Arbeitstemperatur Tt Q Tt V Wärme wird nur bei den isothermen Teilschritten ausgetauscht: isotherm S1 adiabatisch S2 T S Q Qhh Th Qh Tt Qt S1 S2 Q Qtt S Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses Wirkungsgrad η: η= 1 - pro Zyklus anfallende Abwärme pro Zyklus aufgenommene Wärme T T Th Th Qh Tt = 1- S1 Tt S2 Qh = Th · (S2-S1) > 0 η = 1 - Tt · (S2-S1) Th · (S2-S1) Qh Qt S1 S |Qt| S2 S Qt = Tt · (S1-S2) < 0 ⇒ η = Th - Tt Th Arbeitsleistung beim Carnot-Prozess Die Überlegungen über die innere Energie haben die Bestimmung von η enorm vereinfacht. Man kann die in der Definition von η auftretende Arbeit W natürlich auch „zu Fuß“ berechnen (siehe z.B. Giancoli, S. 522). Zu bedenken ist, dass bei allen vier Teilschritten Arbeit geleistet wird: p • Isotherme Expansion, Gas leistet Arbeit 11 44 22 V W12 = NkBT ln⎛⎜V2 ⎞⎟ > 0 ⎝ V1 ⎠ • Adiabatische − p2 κ 1−κ V2 V3 − V2 > 0 Expansion, Gas W23 = κ −1 leistet Arbeit ( 33 ) • Isotherme KompresW34 = NkBT ln⎛⎜V4 ⎞⎟ < 0 sion, am Gas wird ⎝ V3 ⎠ Arbeit verrichtet • Adiabatische Kompression, Arbeit am Gas − p1 κ 1−κ W41 = V4 V1 − V4 < 0 κ −1 ( ) Wirkungsgrad generell Sei ein beliebiger Kreisprozess betrachtet. Th und Tt seien der Maximal- bzw. Minimalwert der Prozesstemperatur. Der Kreisprozess werde verglichen mit dem Carnot-Prozess, bei dem die isothermen Prozesse bei Th und Tt ablaufen. Man findet: W ≤ WC Es sei QCt die Abwärme des Carnotprozeses. Dann gilt für die Abwärme Qt des betrachteten Kreisprozesses: |Qt| ≥ |QCt|. ⇒η = WC W ≤ ηC = Qt QCt T WC = QC Th W=Q Tt S1 S2 S T Tt Qt QCt S1 S2 S Kein Kreisprozess kann also einen höheren Wirkungsgrad als der Carnot-Prozess haben. Stirling-Prozess als Beispiel eines praktisch realisierbaren Kreisprozesses idealisiert p isochor isotherm isochor isotherm V Abbildung aus W. Martienssen, Einführung in die Physik III, S. 356, Verlag Harri Deutsch
