PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus SH 2009
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Aufgabenblatt zum Seminar 02 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, ([email protected]) 29. 04. 2009 1 Aufgaben 1. Berechnen Sie mit dem Coulombgesetz das elektrische Feld einer unendlichen geladenen Ebene π§ = 0 mit der Flächenladungsdichte π . 2. Die Ladungen +π0 seien bei π₯π,+ = π₯0 ⋅ (4π + 1)2 , Die Ladungen −π0 seien bei π₯π,− = π₯0 (4π − 1)2 , Berechnen Sie das elektrische Feld bei π₯ = 0. ππZ. ππZ. 3. Eine leitfähige Kugel aus einem Material der Dichte π und dem Durchmesser π wird an einem isolierenden massefreien Faden der Länge β an einer horizontalen Ebene aufgehängt. Diese Kugel wird mit der Ladung π1 versehen. Eine zweite identische Kugel wird mit der Ladung π2 belegt. Diese Kugel wird im Abstand β unter der Ebene und um π· seitlich zum Aufhängepunkt der ersten Kugel positioniert. Diese Kugel ist xiert. In welchem Winkel πΌ1 steht die erste Kugel von der Senkrechten ab, wenn Sie annehmen, β£πΌ1 β£ βͺ 1 ist? Lösen Sie mit den Werten π = 103 kg/m3 , π = 9, 81 m/s2 , π = 5 mm, π· = 0, 05 m, π0 = 8, 85 ⋅ 10−12 C2 /(m2 N) und β = 0, 2 m, π1 = 1 nC, π2 = 2 nC die Gleichung für πΌ1 . 4. An den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit 7 mm Kantenlänge benden sich drei negative Ladungen von β£πβ£ = 0.12 µC. a) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Kräfte, die auf die Ladungen an den Ecken wirken. b) Wie gross muss eine in der Mitte des Dreiecks angebrachte Ladung sein, damit die Ladungen an den Ecken kräftefrei sind? 5. Auf einen elektrischen Dipol wirkt in einem elektrischen Feld β£π¬β£ = 1.3 ⋅ 104 V/m ein Drehmoment von β£π΄ β£ = 9 zNm (Tip: machen sie sich über Einheitenvorsätze kundig!). Der Dipol steht in einem Winkel von πΌ = 0.6 zum elektrischen Feld. Welchen Abstand haben die Ladungen des Dipols voneinander, wenn es sich um einfache Elementarladungen handelt? 6. Berechnen Sie unter Zuhilfenahme aller Kenntnisse aus den früheren Vorlesungen die Endgeschwindigkeit eines ruhenden Elektrons, das durch ein elektrisches Feld der Grösse 29. 04. 2009 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 2 a) 20 kV/m über eine Distanz von 1 cm (Radioröhre, z.B EL84 ) b) 100 MV/m über eine Distanz von 1 µm (Lawinendurchbruch in einer AvalanchePhotodiode) c) 60 kV/m über eine Distanz von 5 dm (Fernseh-Bildröhre) d) 10 kV/m über eine Distanz von 10 km (Beschleuniger, dies sind eektive Werte, die Beschleunigungsfelder sind nicht immer an) 2 c 2009 β Ulm University, Othmar Marti 3 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 29. 04. 2009 7. (Im Seminar 12 Minuten) Nehmen Sie an, dass eine Ladung vom Betrage π genau 4 Feldlinien erzeugt. Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien für a) Eine einzelne Ladung +π b) Zwei Ladungen +2π und −π im Abstand 4 πΈππβπππ‘ππ c) Vier Ladungen vom Betrage π , die an den Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge 4 πΈππβπππ‘ππ angeordnet sind und deren Ladungsvorzeichen entlang des Quadratumfanges alterniert. d) Acht Ladungen vom Betrage π mit alternierenden Vorzeichen gleichabständig auf einem Kreis mit dem Radius 3 πΈππβπππ‘ππ; c 2009 β Ulm University, Othmar Marti 3 29. 04. 2009 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 8. (Nachtrag) Die Ladungen +π0 seien bei π₯π,+ = π₯0 ⋅ (4π + 1)3 , Die Ladungen −π0 seien bei π₯π,− = π₯0 (4π − 1)3 , Berechnen Sie das elektrische Feld bei π₯ = 0. 4 c 2009 β ππZ. ππZ. Ulm University, Othmar Marti 4 5 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 29. 04. 2009 2 Lösungen 1. Aus Symmetriegründen darf das elektrische Feld nur Komponenten in der z-Richtung haben. Ebenso reicht es aus Symmetriegründen, das elektrische Feld entlang der π§ -Achse zu berechnen. Jedes Flächenelement ππ₯ππ¦ an der Position π₯, π¦ liefert den Beitrag ππΈπ§ (0, 0, π§) = πππ₯ ππ¦ 1 π§ 4ππ0 (π₯2 + π¦ 2 + π§ 2 ) 23 an der Stelle (0,0,z) also ππ§ πΈπ§ (0, 0, π§) = 4ππ0 ∫+∞ ∫+∞ ππ₯ ππ¦ 3 −∞ −∞ (π₯2 + π¦ 2 + π§ 2 ) 2 Wir integrieren zuerst über π₯ und verwenden Bronstein Nr. 206 2 ∫ 2 π =π₯ +π ⇒ ππ₯ π₯ √ = √ 2 3 π π π mit π2 = π¦ 2 + π§ 2 ππ§ πΈπ§ (0, 0, π§) = 4ππ0 ππ§ = 4ππ0 ππ§ = 4ππ0 ∫+∞( −∞ π₯ √ (π¦ 2 + π§ 2 ) π₯2 + π¦ 2 + π§ 2 ∫+∞( −∞ ∫+∞ )∞ ππ¦ −∞ 1 √ (π¦ 2 + π§ 2 ) 1 + (π¦/π₯)2 + (π§/π₯)2 )∞ ππ¦ −∞ 2 ππ¦ π¦2 + π§2 −∞ ( π¦ )∞ ππ§ 1 arctan = 2ππ0 π§ π§ −∞ ππ§ = 2ππ0 = ∫+∞ 1 ππ¦ π¦2 + π§2 −∞ π π π= 2ππ0 2π0 2. Das elektrische Feld hat an der Stelle (0; 0; 0) aus Symmetriegründen nur eine x-Komponente. n π0 −π0 .. .. .. . . . −2 −1 0 1 2 .. . 49 9 1 25 81 .. . 81 25 1 9 49 .. . c 2009 β Ulm University, Othmar Marti 5 29. 04. 2009 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 6 Die Tabelle zeigt, dass zu jeder positiven Ladung an einem Ort eine negative dem Betrage nach gleich grosse Ladung existiert. Also ist πΈπ₯ (0) = 0 3. Wegen der Annahme πΌ1 βͺ 1 gilt πΉπΆ = Andererseits ist π1 π 2 1 4ππ0 (π· + β sin πΌ1 )2 πΉπΆ = tan πΌ1 ≈ πΌ1 πΉπΊ und πΉ πΊ πΌ1 = π 3 1 π1 π2 π πππΌ1 = 6 4ππ0 (π· + βπΌ1 )2 Wir lösen nach πΌ1 auf 6 π1 π2 ππ3 ππ 4ππ0 2 2π· 2 π· 6 π1 π 2 πΌ1 + 2 πΌ1 − 3 = πΌ13 + β β ππ ππ 4ππ0 β2 0 = β2 πΌ13 + 2π·βπΌ12 + π·2 πΌ1 − Nach Bronstein setzen wir π½ = πΌ1 + 2π·β = πΌ1 + 2π· und erhalten 3β2 3β 3β2 π·2 − 4π·2 β2 0=π½ + π½+ 3β4 = π½ 3 + 3ππ½ + 2π 3 ( 2 ⋅ 8π·3 β3 2π·βπ·2 6 π 1 π2 − − 3 6 4 27β 3β ππ ππ 4ππ0 β2 ) mit π·2 3π = − 2 3β 16π·3 2π·3 3 π 1 π2 2π = − 3 − 2 3 3 27β 3β 2π π ππ π0 β2 6 c 2009 β =− 2π·3 3 π1 π 2 − 2 3 3 27β 2π π ππ π0 β2 Ulm University, Othmar Marti 7 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 29. 04. 2009 Die Cardanische Formel sagt: π½1 = π’ + π£ √ √ 3 π’ = −π + π 2 + π3 √ √ 3 π£ = −π − π 2 + π3 √ 3 1 π 1 = − + π 2 2 π½ 2 = π 1 π’ + π 2 π£ π½3 = π 2 π’ + π 1 π£ √ 3 1 π 2 = − − π 2 2 v √( u )2 u 3 π·3 π· π1 π 2 π1 π2 3 3 3 β· − π’= − + − 27β3 4π 2 π3 ππ π0 β2 27β3 4π 2 π3 ππ π0 β2 v √( u )2 u 3 π· π1 π 2 π1 π 2 3 π·3 3 3 β· π£= − − − − 27β3 4π 2 π3 ππ π0 β2 27β3 4π 2 π3 ππ π0 β2 π·6 729β6 π·6 729β6 Nur die erste Lösung ist reell, also ist 2π· πΌ1 =π½1 − v 3β √( u )2 u 3 π·3 π· 3 π π 3 π 1 π2 π·6 3 β· 1 2 = − + − − 27β3 4π 2 π3 ππ π0 β2 27β3 4π 2 π3 ππ π0 β2 729β6 v √( u )2 u 3 π· 3 π·3 3 2π· π π π1 π2 π·6 3 β· 1 2 − − − − − − 3 2 3 2 3 2 3 2 6 27β 4π π ππ π0 β 27β 4π π ππ π0 β 729β 3β Eingesetzt bekommt man πΌ1 = 0.01033199382 4. a) Alle drei Ladungen sind äquivalent. Die Ladungen 1 und 2 erzeugen eine Kraft auf die Ladung drei in Richtung der +z-Achse. πΉπ§,3 √ 2 1 π2 π 3π ⋅ sin = = 2⋅ 2 4ππ0 π 3 4ππ0 π2 da der Abstand von 1 und 3 vektoriell geschrieben π = π (cos(π/3); sin(π/3)) ist. Mit den gegebenen Werten: πΉ = 4.57692 N Weg von der Mitte des Dreiecks. c 2009 β Ulm University, Othmar Marti 7 29. 04. 2009 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 8 b) Die Mitte des gleichseitigen Dreiecks teilt die Winkelhalbierende im Verhältnis 1:2. Länge der Winkelhalbierenden: βπ€ = 23 β = √π3 . Kräftefrei heisst: πΉ + πΉ0 = 0 πΉ0 π0 β2 π0 π0 1 π π0 = 4ππ0 β2 √ 3π =− 2 π √ β2 = − 3π 2 π = 69.28 nC √ 2 1 3π =− 4ππ0 π2 π =− √ 3 5. Die Ladungen π und −π sind im Abstand π voneinander. Im homogenen Feld wirkt auf die Ladung π die Kraft πΉ und auf −π die Kraft −πΉ . Wir haben ein Kräftepaar, dessen Verbindungslinie im Winkel πΌ zur Kraft steht. π = π πΉ sin πΌ oder mit der Denition des elektrischen Feldes πΉ = ππΈ und π = π π= π π = πΉ sin πΌ π πΈ sin πΌ Die Werte eingesetzt erhalten wir π= 9 zNm = 0.7653 µm 1.3 ⋅ 0.1602 aC ⋅ 100 kN/C sin(0.6) 6. Die Coulombkraft ist gegeben durch πΉπΆ = πΈ ⋅ π Bei einer konstanten, in Bewegungsrichtung verlaufenden Kraft ist die Arbeit π = πΉ ⋅π = πΈ ⋅π⋅π Die klassische kinetische Energie ist 1 πΈπππ = ππ£ 2 2 Die klassische Energieerhaltung ergibt 1 2 ππ£ = πΈ ⋅ π ⋅ π 2 oder 8 √ π π£ = 2πΈ ⋅ π π c 2009 β Ulm University, Othmar Marti 9 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 29. 04. 2009 Relativistisch ist die kinetische Energie ( πΈπππ,πππ = π(π£)π2 − π0 π2 = π0 π2 1 ) √ −1 1 − π£ 2 /π2 = πΈ ⋅π⋅π Umgeformt π π2 √ 0 = πΈ ⋅ π ⋅ π + π0 π2 2 2 1 − π£ /π 1 πΈ ⋅π⋅π √ +1 = π0 π2 1 − π£ 2 /π2 √ 1 − π£ 2 /π2 = 1 − π£ 2 /π2 = π0 π2 πΈ ⋅ π ⋅ π + π0 π2 π20 π4 (πΈ ⋅ π ⋅ π + π0 π2 )2 π20 π4 (πΈ ⋅ π ⋅ π + π0 π2 )2 [ ] π20 π4 2 2 π£ =π 1− (πΈ ⋅ π ⋅ π + π0 π2 )2 √ π20 π4 π£ =π 1− (πΈ ⋅ π ⋅ π + π0 π2 )2 π£ 2 /π2 = 1 − und √ πΈ 2 ⋅ π 2 ⋅ π 2 + 2πΈ ⋅ π ⋅ π ⋅ π0 π2 π£=π πΈ ⋅ π ⋅ π + π 0 π2 a) klassisch: π£ = 8.3815 ⋅ 106 π/π relativistisch: π£ = 8.3791 ⋅ 106 π/π b) klassisch: π£ = 5.9266 ⋅ 106 π/π relativistisch: π£ = 5.9257 ⋅ 106 π/π c) klassisch: π£ = 1.0265 ⋅ 108 π/π relativistisch: π£ = 9.8386 ⋅ 107 π/π d) klassisch: π£ = 5.9266 ⋅ 109 π/π relativistisch: π£ = 3.0000 ⋅ 108 π/π 7. a) Eine Ladung +π c 2009 β Ulm University, Othmar Marti 9 29. 04. 2009 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 10 b) Zwei Ladungen +2π und −π c) Vier Ladungen +π und −π d) Acht Ladungen +π und −π 8. Das elektrische Feld hat an der Stelle (0; 0; 0) aus Symmetriegründen nur eine x-Komponente. n π0 −π0 .. .. .. . . . −2 −1 0 1 2 .. . −343 −27 1 125 729 .. . −729 −125 −1 27 343 .. . Die Ladungen π0 bei (4π + 1)3 π₯0 ergeben an der Stelle (0; 0; 0) das Feld π=0 π=1 π = −1 πΈ+ (π₯0 ) = π0 1 4ππ0 β£0−π₯0 β£3 3 πΈ+ (5 π₯0 ) = 3 (0 − π₯0 ) = − 4πππ00π₯3 π0 1 4ππ0 β£0−53 π₯0 β£3 πΈ+ (−3 π₯0 ) = 0 (0 − 5 π₯0 ) = − 4πππ00π₯2 516 3 0 π0 1 4ππ0 β£0−33 π₯0 β£3 3 (0 − (−3 π₯0 )) = π0 1 4ππ0 π₯20 36 Für die Ladungen −π0 ergibt sich π=0 10 πΈ− (−π₯0 ) = −π0 1 4ππ0 β£0−(−π₯0 )β£3 c 2009 β (0 − (−π₯0 )) = − 4πππ00π₯2 0 Ulm University, Othmar Marti 11 EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 02 π=1 π = −1 πΈ− (+33 π₯0 ) = −π0 1 4ππ0 β£0−33 π₯0 β£2 πΈ− (−53 π₯0 ) = (0 − 33 π₯0 ) = −π0 1 4ππ0 β£0−(−53 π₯0 )β£3 29. 04. 2009 π0 1 4ππ0 π₯20 36 (0 − (−53 π₯0 )) = − 4πππ00π₯2 516 0 Wir fassen die Paare bei ±π₯0 , ±3 π₯0 , ±5 π₯0 usw. zusammen 3 ±π₯0 : 3 2π0 πΈ (π₯0 ) = − 4ππ 2 0π₯ 0 2π0 + 4ππ 2 0 π₯0 ⋅ 316 ±3π₯0 : πΈ (33 π₯0 ) = ±5π₯0 : 2π0 1 πΈ (53 π₯0 ) = − 4ππ 2 ⋅ 56 0π₯ 0 2π0 Es gibt einen gemeinsamen Vorfaktor − 2πππ00π₯2 = − 4ππ 2 . Die Summe aller variablen 0 π₯0 0 Beiträge ist 1 1 1 1 1 1 + 6 − 6 + 6 − 6 + 6 β ... 6 3 5 7 9 11 13 ∞ π ∑ (−1) = = 0.9889445515 6 (2π + 1) π=0 π =1− (Wert numerisch berechnet, konvergiert schnell) Also ist πΈπ₯ (0) = − c 2009 β 0.9986852222 π0 2ππ0 π₯20 Ulm University, Othmar Marti 11
![Elektrische Spannung U [V]](http://s1.studylibde.com/store/data/002479720_1-141ad09aa3ab46fc5af48362f775ec08-300x300.png)
