Teil 2

Der photoelektrische Effekt
Abnahme der negativen Ladung
auf einer Platte bei Beleuchtung
mit UV-Strahlung. Lichtinduzierte
Elektronenemission (Lenard, 1902).
Erklärung durch A. Einstein (1905)
mit Lichtquantenmodell.
h·ν
Iph
Iph
−eU0 = Ekin
U
α
U0
U
h·ν
WA
tan α =
eU0
h·ν
Comptoneffekt
Photon, E0, p0, λ0
p
~0 = h̄~
k0
Elektron
Photon
E1, p1, λ1
p
~1 = h̄~
k1
Gestreutes Licht (Röntgen- oder γStrahlung) enthält neben λ0 auch
noch längerwellige Komponente!
Energie- und Impulserhaltung:
φ
hν0 = hν1 + Ekin,e,
θ
h̄~k0 = h̄~k1 + p~e,
p
~e
.
wo h̄ = h/2π und
2
m
c
2
0
Ekin,e = √
−
m
c
.
0
2
1−β
I
Primärlinie
φ = 0◦
Aus Physik II wissen wir, dass Licht auch Impuls
übertragen kann, der Impuls eines Photons beträgt
|~
p| = h̄|~k| = h/λ = hν/c.
φ = 45◦
Die Berechnung der Compton-Streuformel
λ1 − λ0 = λc (1 − cos φ)
φ = 90◦
φ = 135◦
λ
erfolgt durch Anwendung der Impuls- und Energieerhaltung und Quadrieren ebendieser. Dabei werden
wir auch einen Ausdruck für λc, die Comptonwellenlänge finden.
p~2e
m0v12
1 − β2
2
= h̄
=
¡
k02
+
k12
¢
− 2k0k1 cos φ ,
¢
h2 ¡ 2
2
ν0 + ν1 − 2ν0ν1 cos φ
2
c
(1)
und
hν0
¡
¢
2 2
h(ν0 − ν1) + m0c
m0c2
− m0c2,
= hν1 + p
1 − β2
=
h2
2
(ν
−
ν
)
+ 2h(ν0 − ν1)m0 =
0
1
2
c
m20c4
,
2
1−β
m20v 2
1 − β2
(2)
Gleichsetzen der Gleichungen 1 und 2 ergibt
ν0 − ν1 =
h
ν0ν1 (1 − cos φ) ,
2
m0 c
was mit ν = c/λ die Comptonsche Streuformel ergibt,
λ1 − λ0 = λc (1 − cos φ) ,
wo λc = h/(m0c) die Compton-Wellenlänge ist. Anmultiplizieren von 1/λ0 = ν0/c
zeigt
λc
hν0
,
=
λ0 m0c2
die Compton-Wellenlänge ist der Quotient aus Photonenenergie und Ruheenergie
des Streuers.
Interferenz mit Kugeln
x
P1
P12 = P1 + P2
P2
P
Interferenz mit Wellen
x
I1
I2
I1 = |h21|
I2 =
|h22|
I12 = |h1 + h2|2
Interferenz mit Elektronen
x
e
P1
−
P2
P1 = |Φ21|
P2 =
|Φ22|
P12 = |Φ1 + Φ2|2
Elektronen-Multiplier
UC
e−t/(RC )
R
U
e−
D
D
D
DA
t
R/2
U
Bestimmung des Austrittsschlitzes
x
e
P1
−
P2
P1 = |Φ21|
P2 =
|Φ22|
P12 = |Φ1|2 + |Φ22|
Zusammenfassung I
1) Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses in einem idealen Experiment ist
P = |Φ|2, wo
Φ, die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist.
2) Gibt es verschiedene Möglichkeiten für ein Ereignis, so
Φ = Φ1 + Φ2,
P
= |Φ1 + Φ2|2.
3) Falls Experiment zwischen verschiedenen Alternativen unterscheiden kann, so
gilt
P = P1 + P2 .
Zusammenfassung II
• Physik von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsamplituden
• Ende einer deterministischen, mechanistischen Weltanschauung, hin zu einer
probabilistischen Weltanschauung.
• Wechselwirkung Beobachter - Experiment
• Unschärferelation
Die Unschärferelation
∆py
e
−
x
P1
“Wir können kein Experiment
bauen, welches bestimmen kann,
welche Alternative ein Ereignis
“wählen” wird, ohne dabei den Interferenzcharakter des ungestörten
Resultates zu zerstören.”
P2
P1 = |Φ21|
P2 = |Φ22|
∆py · ∆y ≥ h/2
“rettet” die Quantenphysik.
P12 = |Φ1|2 + |Φ22|
Wellenpakete
∆x
Soll ein Teilchen durch eine Welle beschrieben werden, so kann dies keine unendliche Welle sein, irgendwie muss die Ortsinformation eingebunden werden. Dies kann durch Wellenpakete erreicht werden.
Wie groß ist aber die Wellenlänge des Wellenpaketes
links?
Nehmen wir an, die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsamplitude ψ(x) des dazugehörigen Teilchens sei proportional zu exp(i(νt − ~k · ~r)). Das Betragsquadrat ist
konstant, d. h. die Wahrscheinlichkeit es zu finden ist überall gleich groß und ∆x
damit unendlich. Ist ∆x endlich (Wellenpaket), so ist die Wahrscheinlichkeit, das
Teilchen außerhalb zu finden gleich null, und damit auch die Wahrscheinlichkeitsamplitude. Diese muss also auf das Gebiet ∆x beschränkt sein, dann können
wir aber die Wellenzahl nur auf ca. ±1 bestimmen. Damit ist der Impuls p~ = h̄~k
unscharf.
Dies ist eine Eigenschaft von Wellen und hat vorerst mit der Quantenphysik nichts
zu tun.
Die Nullstellen des Imaginärteils sind im eindimensionalen Fall an den Orten
2π(νt − kx) = nπ, wo n eine ganze Zahl sei. Also
xn =
n
ν
+ t,
2k k
womit sich die Welle mit einer Geschwindigkeit w = ν/k bewegt.
Materiewellen
Ein Wellenpaket kann z. B. durch eine Schwebung modelliert werden in der zwei
Wellen sich addieren.
ψ(x, t) = ψ1(x, t) + ψ2(x, t), wo
ψ1(x, t) = sin 2π(κx − νt) und
ψ2(x, t) = sin 2π((κ + dκ)x − (ν + dν)t), woκ = k/2π
µ
¶
µ
¶
α−β
α+β
Mit sin α + sin β = 2 cos
sin
2
2
¶
µ
dν
dκ
x − t sin 2π(κx − νt) weil dκ ¿ κ, dν ¿ ν.
ψ(x, t) = 2 cos 2π
2
2
Die schnell oszillierende Welle bewegt sich mit w = ν/κ, während die langsam
oszillierende Umhüllende sich mit g = dν/dκ bewegt. w ist die Phasengeschwindigkeit, g = dν/dκ die Gruppengeschwindigkeit!
Mit den bereits verwendeten Beziehungen E = hν, also ν = E/h und p = h/λ,
.
also κ = 1/λ = p/h haben wir
dν = dE/h
und dk = dp/h.
Mit E = p2/2m erhalten wir so die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes,
dν/dκ = dE/dp = 2p/2m = p/m = v.
Das Wellenpaket bewegt sich also mit der Geschwindigkeit des Teilchens, welches
wir damit beschreiben wollen!
Wellenpakete
Natürlich besteht ein Wellenpaket
nicht aus einer Schwebung, es hätte ja
eine unendliche Ausdehnung! Je mehr
Frequenzen beteiligt sind, desto besser ist das Paket örtlich beschränkt.
In der Figur nebenan sind sieben Frequenzen beteiligt, die Nebenmaxima
sind bereits an den Rand der x-Achse
gewandert. Damit können wir annehmen, dass sie noch weiter ins Unendliche wandern, wenn wir die Anzahl Frequenzen ins Unendliche wachsen lassen.
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
5
0
-5
-1
-0,5
0
0,5
1
Ein Wellenpaket wird also besser beschreiben durch ein Integral:
ψ(x, t) =
Z
k+∆k/2
dkC(k)ei(ωt−kx).
k−∆k/2
Für ∆k ¿ k0 können wir C(k) ≈ C(k0) annehmen und den Exponenten in eine
Taylorreihe entwickeln. Dann finden wir
i(ω0 t−k0 x)
ψ(x, t) ≈ C(k0)e
·
Z
∆k/2
i( dω
dk t−x)·κ
dκe
∆k/2
wo κ = k − k0. Das Integral gibt
ψ(x, t) ≈ 2C(k0)
sin
¡¡ dω
dk
dω
dk
¢ ∆k ¢
·t −x · 2
·t −x
.
,
Das Wellenpaket ist maximal wenn der Nenner verschwindet, deshalb bewegt es
sich mit der Geschwindigkeit vg = dω/dk nach rechts. Mit
p2
h̄k 2
E
=
ω= =
h̄
2mh̄
2m
folgt, dass sich das Wellenpaket auch mit der Geschwindigkeit des Teilchens
bewegt,
dω h̄k
p
=
=
= vT .
dk
m
m
Wellenpakete sind also gut geeignet, um Teilchen zu beschreiben. Sie sind auch
örtlich begrenzt, zum Zeitpunkt t = 0 finden wir
h
2π
4π
=
≥
∆x =
∆k
k0
p0
wegen ∆k ¿ k0. Multiplikation der linken Hälfte mit h ergibt ungefähr die
bekannte Unschärferelation.
de-Broglie Wellenlänge
Louis de Broglie hat in seiner Doktorarbeit 1924 vorgeschlagen, dass Materie auch
mit Wellen beschrieben werden kann. Die Wellenlänge des Teilchens müsste dann
λ = h/p
sein, die sogenannte de-Broglie Wellenlänge.
Wir können nun verstehen, warum wir die Interferenzmuster im Kannonenkugelexperiment nicht gesehen haben.
Übung: Bestimmen Sie die de-Broglie Wellenlänge einer Kannonenkugel (m = 10
kg, v = 500 m/s), eines α-Teilchens der Energie E = 5 MeV und des Elektrons
eines Wasserstoffatoms (Annahme: r ≈ 1Å).
Beugung von Teilchen
2d sin θ = nλ
d
θ
An den Gitterebenen in Kristallen können Wellen
(Photonen- oder Teilchenwellen) reflektiert werden.
Die reflektierten Wellen sind in Phase, wenn
2d sin θ = nλ für n = 1, 2, 3, . . .
(3)
Daraus kann aus dem entstehenden Beugungsmuster auf die (kristalline) Struktur des Festkörpers
geschlossen werden, was für Untersuchungen von
Festkörpern von außerordentlichem Interesse ist. Bedingung 3 heisst BraggBedingung. Man beachte die Definition von θ!
Die Beugung von Elektronen an einem Kristall ist daher
durchaus vergleichbar mit der von Röntgenstrahlung
(Experiment von Davisson und Germer). Beugungsexperimente werden heute auch mit atomaren Strahlen
erfolgreich durchgeführt (siehe Bild links), oder auch
mit Neutronen.
Frage: Warum ist dies so interessant? Ich kann doch
Festkörper auch mit Licht untersuchen? (Hinweis: deBroglie-Wellenlänge)
Eine weitere interessante Situation tritt dann auf, wenn
der Abstand der Gitterebenen d < λ/2. In diesem Falle
existiert keine Lösung für Gleichung 3 und die Welle
kann durch das Medium dringen, ohne reflektiert oder auch gestreut zu werden.
Dies kann man z. B. zum Herausfiltern von schnellen Neutronen ausnutzen.
Beugungsbegrenzte Messungen
B
∆θ
Das Prinzip der Unschärferelation ist uns eigentlich gar
nicht so fern. Es ist in der Optik bereits aufgetaucht bei der Auflösungsbegrenzung durch die Beugung von
Licht.
Für ein Teilchen, welches einen Spalt der Breite B
durchläuft, haben wir die Ortsunsicherheit ∆y =
±B/2. Die erste Auslöschung im Interferenzmuster
entsteht beim Winkel ∆θ = λ/B. Die Unsicherheit im
Impuls ist also ∆py = p0∆θ. Mit p = h/λ erhalten wir
∆py · ∆y = p0
hλB h
λB
=
= .
B2
λB 2
2
Das Bohrsche Gedankenexperiment
∆x
θ
θ0
e−
Niels Bohr hat sich folgendes Gedankenexperiment zur Unschärferelation gemacht. Zur genauen Ortsbestimmung eines Elektrons wird
ein Mikroskop verwendet um das vom Elektron gestreute Licht aus
dem Kegel mit Öffnungswinkel θ0 aufzufangen. Das von der Lichtquelle ausgehende Photon wird aber dem Elektron einen Impuls
übertragen, weshalb die Impulsunschärfe des Photons genau der des
Elektrons entsprechen muss (Impulserhaltung), ∆p = (h/λ) sin θ0.
Das Beugungsbild einer Punktquelle hat eine Breite ∆x = λ/ sin θ0,
das Photon kommt also von irgendwo innerhalb dieses Kegels. Das
Produkt ist wieder die Heisenbergsche Unschärferelation
∆p · ∆x = (h/λ) sin θ0 · λ/ sin θ0 = h.