F - htw saar

Inhalt
1.
Dynamik
2.
Dynamik, Kraftstoß
3.
Dynamik, Arbeit
4.
Dynamik, Leistung
5.
Kinetische Energie
6.
Potentielle Energie
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, WS 2015/2016
1
Literatur
•
M. Alonso, E. J. Finn: Physik; dritte Auflage, Oldenbourg Verlag, 2000.
•
Paul A. Tipler: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure; sechste Auflage, Springer
Spektrum Verlag, 2009.
•
Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure; Springer Verlag, 2012.
•
Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme; sechste Auflage,
Springer Verlag, 2013.
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2
Dynamik
Die Dynamik befasst sich mit dem Einfluss von Wechselwirkungen (Kräften) auf eine
Bewegung.
Isaac Newton (1642 - 1727) schrieb dazu die "Naturalis, Principia Mathematica".
Anhand der Einführung der Gravitationskraft beschrieb er erstmals die
Bewegungsgleichungen. Dies führte zur Beschreibung der Infinitesimalrechnung.
Wir betrachten ein Teilchen und reduzieren die Wechselwirkung des Teilchens mit dem
Rest des Universums auf einen Ausdruck, die Kraft F.
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3
Dynamik, Kraftstoß
Wir betrachten ein Teilchen und reduzieren die Wechselwirkung des Teilchens mit dem
Rest des Universums auf einen Ausdruck, die Kraft F.
r r
dp
=F
dt
Integration durchführen
p
p
t r
r
d
p
∫ = ∫ Fdt
t r
r
∫ dp = ∫ Fdt
p0
p0
t0
r t r
I = ∫ Fdt
t0
t r
r r
p − p0 = ∫ Fdt
t0
Kraftstoß
t0
r
r r
p − p0 = I
Die Impulsänderung eines Teilchens ist gleich dem Kraftstoß I
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4
Dynamik, Kraftstoß
Ist die Kraft F konstant gilt:
r rt
I = F ∫ dt
r r
I = F ( t − t0 )
Einheit = [Ns]
t0
Eine starke Kraft in kurzer Zeit kann genauso wirken wie eine schwächere Kraft die länger
wirkt.
r
r r
p − p0 = I
r
t
0
0
r
I 

d
r
=
v
+
∫ ∫  0 m dt
r
t
r
r r
I
v − v0 =
m
r
dr r
=v
mit
dt
t
r r r
1 r
r = r0 + v0 ( t − t0 ) + ∫ I dt
m
t0
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5
Dynamik, Kraftstoß
r
t
0
0
r
I 

d
r
=
v
+
∫ ∫  0 m dt
r
t
t
r r r
1 r
r = r0 + v0 ( t − t0 ) + ∫ I dt
m
t0
In den meisten physikalischen zu lösenden Aufgaben ist die Kraft F abhängig vom Ort und
nicht als Funktion der Zeit gegeben. Um dieses Dilemma zu lösen, müssen noch Begriffe
wie Arbeit und Energie eingeführt werden.
Mit diesen neuen Begriffen Arbeit und Energie, befasst sich der nächste Absatz.
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6
Dynamik, Kraftstoß, Beispiel
Ein Ball fällt von einer Höhe h auf den Boden. Nachdem er den Boden erreicht, springt
er bis zu einer Höhe von h2 zurück.
a)
Zu bestimmen ist der Kraftstoß, den der Ball durch die Schwerkraft erfährt während
er fällt.
b)
Zu bestimmen ist der Kraftstoß den der Ball erfährt, wenn er auf dem Boden
auftrifft.
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7
Dynamik, Arbeit
Auf ein Teilchen wirke eine Kraft F. Das Teilchen
bewege sich entlang der Kuve C. Das Teilchen
bewegt sich in der Zeit dt von A nach A'. dr = AA'.
T
FT
C
dr
A
Die Arbeit die durch die Kraft F während der
Bewegung von A nach A' geleistet wurde ist:
r
A' θ
F
r r
dW = F ⋅ dr
Aus der Zeichnung geht hervor (mit ds als Betrag von
dr; und ds als zurückgelegte Entfernung):
O
dW = Fds cos θ
θ : Winkel zwischen F und dr (Verschiebung).
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8
Dynamik, Arbeit
F cos θ = FT
Beispiele für Kräfte die keine Arbeit
leisten: FN , W
v
FT ist die Tangentialkomponente der Kraft F
Verschiebung
C
F
FN
dW = FT ds
W
Senkrecht zur Verschiebung wird keine
Arbeit geleistet.
Die Arbeit ist das Produkt der Kraft längst der
Verschiebung mit der Verschiebung selber.
Wenn die Kraft senkrecht zu dr steht, dann wird keine Arbeit geleistet.
Beispiel für Kräfte die keine Arbeit leisten: Zentripetalkraft, Schwerkraft.
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9
Dynamik, Arbeit
Die geleistete Arbeit dW für eine infinitesimale
Verschiebung:
W = F1dr1 + F2 dr2 + F3dr3 + ...
r r
dW = F ⋅ dr
dr4
B
dr3
Die geleistete gesamte Arbeit W wenn sich das
Teilchen von A nach B bewegt, ist durch das Integral
gegeben:
B
B
A
A
dr2
dr1
A
r r
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ FT ds
F4
F3
F2
F1
Das Integral kann erst gelöst werden, wenn F als
Funktion von r bekannt ist (F(r)).
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10
Dynamik, Arbeit
Das Bild zeigt FT als Funktion von der Entfernung s
längst der Kurve.
Die gesamte geleistete Arbeit von A nach B ist durch
die Addition der in schmalen Rechtecken unterteilten
Flächen gegeben.
FT
dW=FTds
Spezialfall für die Arbeit, wenn die Kraft konstant ist
aus:
B
r r B
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ FT ds
A
W
A
O
A
ds
B
s
B
W = F ∫ ds = Fs
A
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11
Dynamik, Leistung
In welcher Zeit wird die Arbeit geleistet?
Die momentane Leistung P ist die Arbeit während eines kleinen Zeitintervalls dt:
dW
P=
dt
mit
r r
dW = F ⋅ dr
Bewegung
r drr r r
P=F⋅
= F ⋅v
dt
F
A
B
s
Leistung P ist das Produkt von Kraft F mal Geschwindigkeit v.
Mittlere Leistung Pmit ist:
Pmit =
W
t
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12
Dynamik, Arbeit, Leistung: Einheiten
Einheiten der Arbeit:
Bewegung
[W ] = Nm = J
Joule
F
A
Ein Joule ist die Arbeit, die von einer Kraft von einem
Newton geleistet wird, wenn sich das Teilchen in
Richtung der wirkenden Kraft um einen Meter bewegt.
B
s
James Joule (1816-1869) britischer Wissenschaftler,
befasste sich mit den Begriffen Wärme und Energie.
Zu Ehren von Joule, wurde als Einheit der Arbeit Joule
gewählt.
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13
Dynamik, Arbeit, Leistung: Einheiten
Einheiten der Leistung:
Bewegung
[P] = W = J
s
Watt
F
A
James Watt war ein britischer Ingenieur (1736-1819)
der die Dampfmaschine verbessert hat.
B
s
Die Kilowattstunde = Arbeit die in einer Stunde von
einer Maschine mit der Leistung von einem Kilowatt
verrichtet wird.
1 Kilowattstunde = (103 W ) (3,6⋅103s) = 3,6·106 J
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Dynamik, Arbeit, Leistung: Beispiele
N
F
ng
u
g
we
e
B
G
α
α
G cos α
G sin α
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15
Dynamik, Arbeit, Leistung: Beispiele
Arbeit = proportional zur Verschiebung
F
O
F= kx
kx
x
W
O
x
X
-kx
F= kx
Welche Arbeit ist erforderlich, um die Feder um eine Strecke x zu
dehnen?
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Dynamik: Kinetische Energie
Die geleistete Arbeit dW für eine infinitesimale
Verschiebung.
dW = FT ds = m
da
v=
vB : Geschwindigkeit des Teilchens bei B
vA : Geschwindigkeit des Teilchens bei A
dv
ds
ds = m dv = mvdv
dt
dt
ds
dt
Das Integral für die gesamte geleistete Arbeit:
B
vB
A
vA
W = ∫ FT ds = ∫ mvdv =
1 2 1 2
mvB − mv A
2
2
W ist die Arbeit die am Teilchen geleistet wird. Sie ist die Differenz
von (1/2)·mv2 gemessen am Anfang und am Ende des Weges AB.
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17
Dynamik: Kinetische Energie
W ist die Arbeit die am Teilchen geleistet wird. Sie ist die Differenz
von (1/2)·mv2 gemessen am Anfang und am Ende des Weges AB.
Kinetische Energie:
1 2
EK = mv
2
oder
p2
EK =
2m
mit
r
r
p = mv
W ist die Arbeit die an einem Teilchen geleistet wird, sie ist die
Änderung seiner kinetischen Energie.
W = EK ,B − EK ,A
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18
Dynamik: Kinetische Energie
Das Ergebnis ist unabhängig von der wirkenden Kraft.
Die Begriffe von Arbeit und Energie sind wichtig, da sehr oft in der Physik die wirkende Kraft
als Funktion des Ortes bekannt ist.
Einheiten der Energie:
Joule J, Elektronenvolt eV
1eV = 1,60210·10-19 J
Beispiel:
Beschleunigtes Elektron in einer Fernsehröhre. Die Energie des Elektrons beträgt 20000 eV.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Elektrons?
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Dynamik: Kinetische Energie eines Feder-Massesystems
Quelle: Stöcker: Taschenbuch der Physik
x
x
1 2
1
mv = ∫ Fdx' = ∫ ( −kx' )dx' = k ( a 2 − x 2 )
2
2
a
a
v = ± ( k / m )( a 2 − x 2 )
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20
Dynamik: Arbeit einer konstanten wirkenden Kraft
Ein Teilchen mit Masse m bewegt sich unter Wirkung der Kraft F. Betrag und Richtung von
F seien konstant.
Das Teilchen bewege sich von Punkt A nach B.
A
B
r r rB r r r r
W = ∫ F ⋅ dr = F ∫ dr = F ⋅ ( rB − rA )
A
A
rA
m
AB
F
Die Arbeit W ist vom Weg unabhängig der A und B
miteinander verbindet.
r r
r r
W = F ⋅ rB − F ⋅ rA
dr
r B- r A
B
rB
0
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(2)
(1)
21
Dynamik: Arbeit einer konstanten wirkenden Kraft
Anwendung, Schwerkraft als Kraft:
r r
r r
W = F ⋅ rB − F ⋅ rA
r
r
r
F = mg = −u y mg
Y
r r
r
r = ux x + u y y
A(xA yA)
rA
r r
F ⋅ r = −mgy
Aus der oberen Beziehung für W gilt dann:
WAB = −mg( y B − y A ) = mgy A − mgyB
uy
B(xB yB)
rB -rA
yB -yA
rB
mg
ux
O
X
Die Arbeit hängt nur von yB - yA zwischen den Höhen der beiden Endpunkte ab.
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22
Dynamik: Arbeit einer konstanten wirkenden Kraft: Potentielle Energie
Konservative Kräfte:
Eine Kraft wird als konservative Kraft bezeichnet, wenn sie vom Ortsvektor r des Teilchens
so abhängt, dass die Arbeit W, ausgedrückt werden kann, als die Differenz der Größe
Ep(r), gemessen an Anfangs- und Endpunkt.
Br
r
r
W = ∫ F ⋅ dr = F ∫ dr = E p ,A − E p ,B
A
(1)
rB
A
Ep,A
A
(2)
Ep,B
B
(3)
Die potentielle Energie, ist eine Funktion des Ortes. Die Differenz zwischen ihren Werten am
Anfangspunkt (A) und am Endpunkt (B) ist gleich der Arbeit, die von der Kraft F geleistet wird,
wenn das Teilchen sich von A nach B bewegt, unabhängig vom durchlaufenden Weg.
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23
Dynamik: Unterschied zwischen potentieller Energie und kinetischer Energie
Kinetische Energie:
Die kinetische Energie Ek ist unabhängig vom Typ der wirkenden Kraft.
Potentielle Energie:
Die potentielle Energie Ep(r) ist von der Form der Kraft F (Natur der Kraft) abhängig. Sie ist
eine Funktion von r. Beispiel:
r r
Ep = F ⋅ r
E p = −mgy
Die Schwerkraft ist eine konservative Kraft, da sie die obige Definition erfüllt.
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24
Dynamik: Potentielle Energie
Die Arbeit einer konservativen Kraft längs eines geschlossenen Weges ist Null.
r r
Wgeschlossen = ∫ F ⋅ dr = 0
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A
25
Dynamik: Beziehung zwischen der Kraft und der potentiellen Energie
r r
F ⋅ dr = −dE p
B
B
r r r
W = ∫ F ⋅ dr = F ∫ dr = − ∫ dE p
Br
A
A
A
= −( E p ,B − E p ,A ) = E p ,A − E p ,B
Da der Betrag der Verschiebung dr gleich ds, ist gilt für F:
Fs = −
dE p
ds
Richtungsableitung von Ep
Man sagt: F ist der negative Wert des Gradienten von Epund schreibt:
 ∂ / ∂x 
r


F = − gradE p =  ∂ / ∂y  ⋅ E p
 ∂ / ∂z 


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26
Dynamik: Beziehung zwischen der Kraft und der potentiellen Energie
Wenn die Kraft nur in eine Richtung zeigt, dann kann dr durch dr ersetzt werden (Skalar).
Und es gilt dann für die Komponente der Kraft F:
F =−
dE p
dr
Richtungsableitung von Ep
Die Kraft F hat keine tangentiale Komponente sondern nur eine Radiale. Ihre Richtung
geht nach innen und zeigt zum Zentrum hin. Diese Kraft wird Zentralkraft genannt.
Ist die potentielle Energie Ep mit einer Zentralkraft verbunden, dann hängt die Energie nur
von dem Abstand vom Zentrum der Kraft ab.
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27
Dynamik: Beziehung zwischen der Kraft und der potentiellen Energie
Beispiel: Potentielle Energie die mit folgenden Kräften verbunden ist:
F = −kr
1
E p = ∫ − krdr = kr 2 + C
2
Dieser Ausdruck wird bei der
Schwingungsbewegung
verwendet.
k
F =− 2
r
k
k
E p = ∫ 2 dr = + C
r
r
Dieser Ausdruck wird bei der
Bewegung von Planetenbahnen
verwendet.
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28
Dynamik: Erhaltung der Energie
Ist die wirkende Kraft konservativ so gilt:
Ek :
Ep :
Kinetische Energie
Potentielle Energie
Ek ,B − Ek ,A = E p ,A − E p ,B
( Ek + E p )B = ( Ek + E p )A
Gesamtenergie des Teilchens
1
E = Ek + E p = mv2 + E p
2
Die Gesamtenergie des Teilchens bleibt konstant, wenn die wirkenden Kräfte konservativ sind.
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29
Dynamik: Erhaltung der Energie
Für jede beliebige Position des Teilchens gilt (da A und B beliebig):
E = Ek + E p = const
1
E = Ek + E p = mv2 + mgh = const
2
Unter den Einfluss von konservativen Kräften, bleibt die Gesamtenergie des Teilchens
konstant.
Diese Gleichung gilt auch für Teilchen (Geschosse), die sich in einem Winkel mit der
Horizontalen bewegen.
Befand sich das Teilchen anfangs bei y0 und war die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0, dann gilt:
1
E = mv 2 + mgy0 = mgy
2
v 2 = 2 g( y0 − y ) = 2 gh
Höhe h
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30
Dynamik: Erhaltung der Energie
Beispiel:
Geschwindigkeit eines Teilchens zum Erreichen einer bestimmten Höhe
Quelle: Alonso, Finn
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Dynamik: Nichtkonservative Kräfte: Beispiel Reibung
Ein Teilchen kann sowohl gleichzeitig
W' : Arbeit durch nichtkonservativer Kräfte
konservative- und nichtkonservative Kräfte
W : Arbeit durch konservativer Kräfte
unterliegen.
Wenn zum Beispiel ein Teilchen in eine Flüssigkeit
fällt, wirken die Schwerkraft (konservative Kraft)
und die flüssige Reibung (nichtkonservative Kraft).
W = −( E p ,B − E p ,A ) + W '
Ek ,B − Ek ,A = −( E p ,B − E p ,A ) + W '
Die nichtkonservative Kraft ist meistens
irreversibel, da sie einer Molekülbewegung
entspricht. Die Arbeit kann nicht zurückgewonnen
werden.
( Ek + E p )B − ( Ek + E p )A = W '
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32
Dynamik: Beispiel für mechanische Arbeit : Elektrisches Feld, kugelsymmetrisches Feld
Wenn man die Probeladung q entlang einer Feldlinie von Punkt 1
zu Punkt 2 verschiebt, dann leistet die elektrische Feldkräfte Eel an
diesem Probekörper eine mechanische Arbeit
2
W = ∫ F ( r )dr = q ∫ Eel ( r )dr
1
q
2
dr: radiales Wegelement
1
2
 [ W ] VAs
E
(
r
)
dr
=
=V
 ∫ el
=
As
1
 [q]
1
+Q
[E] =
V
m
2
r
E, F
Das Wegintegral von Punkt 1 zu Punkt 2 liefert die elektrische
Spannung zwischen „1“ und „2“ (Bezugspfeil von 1 nach 2)
2
∫E
el
( r )dr = U1,2
1
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