Quantenmechanik 1 – Übung 2

Quantenmechanik 1 – Übung 2
Erik Hebestreit (105203)
24. Mai 2010
5 Residuensatz
Zunächst führt man im Exponenten eine quadratische Ergänzung durch:
r
2Z ∞
2
c
j
c
ij
2
exp − x + ijx dx = exp −
exp −
x− √
2
2c
2
2c
−∞
−∞
Z
∞
Nun substituiert man y =
pc
√ij ,
2c
2x −
√ij ,
2c
ersetzt dx =
q
2
c
!
dx
dy und passt die Grenzen
√ij .
2c
an zu ∞ −
sowie −∞ −
Außerdem enthält das von den Integrationsgrenzen
aufgespannte Rechteck keine Singularitäten, weshalb man unter Anwendung des Residuensatzes schreiben kann:
r
2 Z ∞− √ij
2c
2
j
2
... =
exp −
e−y dy
c
2c
−∞− √ij
2c


r
=

2 Z −∞
Z ∞
Z ∞− √ij
Z


2c
2
j
−y 2
−y 2
−y 2
−y 2 

e
dy
e
dy
exp −
+
e
dy
+
−
e

c
2c 
−∞
 −∞− √ij2c
|∞
{z
} | ges{z }
{z
}
|
∗
0
∗
Da die ∗ entgegengesetzt gleich groß
beide Integralte. Dann erhält
R ∞ sind,2 verschwinden
√
man mit dem bekannten Integral −∞ e−y = π
2Z ∞
2
j
2
=
exp −
e−y dy
c
2c
−∞
r
2
2π
j
=
exp −
.
c
2c
r
Damit ist die Relation gezeigt.
1
Quantenmechanik 1 – Übung 2
Erik Hebestreit (105203)
6 Wellenpaket
a) Ausgangspunkt ist die Schrödingergleichung (ohne Potential)
i}∂t Ψ(x, t) = −
}2
∆Ψ(x, t).
2m
Diese wird in den Fourierraum überführt.
}ω Ψ̃(k) =
}2 2
k Ψ̃(k)
2m
Durch Koeffizientenvergleich erhält man dann die Dispersionsrelation
ω(k) =
}k 2
.
2m
b) Die Wellenfunktion muss auf 1 normiert sein. Das bedeutet
2
Z ∞
Z ∞
x2
exp − 2
Ψ(0, x)Ψ∗ (0, x) = A2
exp(ik0 x) exp(−ik0 x) dx
2b
−∞
−∞
2
Z ∞
x
!
2
exp − 2 dx = 1.
=A
b
−∞
Mit der Relation aus Aufgabe 5 ergibt sich
s
√
A2 b2 π = 1 ⇒ A =
1
√ .
b π
c) Als Fouriertransformierte der Wellenfunktion Ψ(t, x) ergibt sich
Z ∞
1
exp(−i(kx − ω(k)t))Ψ(t, x) dx.
Ψ̃(k) =
2π −∞
Nun kann man die Frequenzverteilung des Wellenpakets berechnen, indem man die
Wellenfunktion am Zeitpunkt t = 0 betrachtet:
Z ∞
1
Ψ̃(k) =
exp(−ikx)Ψ(0, x) dx
2π −∞
Z ∞
x2
1
exp(−ikx)A exp − 2 + ik0 x dx
=
2π −∞
2b
Z ∞
2
1
x
=
A
exp − 2 + i(k0 − k)x dx
2π
2b
−∞
Unter Anwendung der Relation aus Aufgabe 5 erhält man schließlich
1
Ab
2 2
Ψ̃(k) = √ exp − (k − k0 ) b .
2
2π
Bei dieser Funktion handelt es sich offensichtlich um eine Gauß’sche Glockenkurve.
2
Quantenmechanik 1 – Übung 2
Erik Hebestreit (105203)
d) Die Funktion |Ψ̃(k)|2 ist gegeben durch
|Ψ̃(k)|2 =
A2 b2
exp −(k − k0 )2 b2 .
2π
Das Maximum der Funktion liegt offensichtlich bei k0 :
|Ψ̃(k0 )|2 =
A2 b2
2π
Für ∆k gilt nach Aufgabenstellung
!
A2 b2
∆k 2 2 ! |Ψ̃(k0 )|2
A2 b2
|Ψ̃(k0 + ∆k/2)| =
b
=
exp −
=
.
2π
2
e
2πe
2
Damit kann man nun ∆k bestimmen:
e = e(
∆k 2 2
b
2
)
⇒ ∆k =
2
b
7 Kontinuitätsgleichung
Es gilt die Schrödingergleichung für Ψ(~x, t)
i} ∂t Ψ(~x, t) = −
}2
∆Ψ(~x, t) − V (~x, t)Ψ(~x, t).
2m
Nach Multiplikation mit }i Ψ∗ erhält man
−Ψ∗ ∂t Ψ = −
i
i} ∗
Ψ ∆Ψ − V Ψ∗ Ψ.
2m
}
(1)
Analog liefert die komplex konjugierte Schrödingergleichung
−i} ∂t Ψ∗ (~x, t) = −
}2
∆Ψ∗ (~x, t) − V (~x, t)Ψ∗ (~x, t)
2m
nach Multiplikation mit − }i Ψ
−Ψ∂t Ψ∗ =
i}
i
Ψ∆Ψ∗ + V ΨΨ∗ .
2m
}
(2)
Durch Addition der Gleichungen 1 und 2 erhält man
i}
i
i
i} ∗
Ψ ∆Ψ +
Ψ∆Ψ∗ − V Ψ∗ Ψ + V ΨΨ∗
2m
2m
}
}
i}
i
∗
∗
∗
∗
∗
Ψ ∂t Ψ + Ψ∂t Ψ =
(Ψ ∆Ψ − Ψ∆Ψ ) + V (Ψ Ψ − ΨΨ∗ )
{z
}
2m
} |
−Ψ∗ ∂t Ψ − Ψ∂t Ψ∗ = −
=0
3
Quantenmechanik 1 – Übung 2
Erik Hebestreit (105203)
Ferner gilt
∂t (ΨΨ∗ ) = Ψ∂Ψ∗ + Ψ∗ ∂t Ψ,
∇(Ψ∗ ∇Ψ) = ∇Ψ∇Ψ∗ + Ψ∗ ∆Ψ,
∇(Ψ∇Ψ∗ ) = ∇Ψ∗ ∇Ψ + Ψ∆Ψ∗ .
Damit ergibt sich schließlich
∂t (ΨΨ∗ ) = −∇
}
(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) .
2mi
Dies entspricht mit den gegeben Identitäten gerade der Kontinuitätsgleichung
∂t ρ(~x, t) = −∇~j(~x, t).
Diese Gleichung gibt an, dass eine zeitliche Änderung der Teilchendichte unmittelbar
mit einem Teilchenstrom verbunden ist (∇~j = div~j). In der Elektrodynamik gilt diese
Gleichung analog für die Änderung von Ladungsdichten und den damit verbundenen
Strömen.
Das bedeutet auch, dass keine Teilchen entstehen oder vernichtet werden können.
Im Kontext der Quantenmechanik ist das die Erhaltung der Wahrscheinlichkeiten.
4