Neutrinooszillationen

Neutrinooszillationen
Kai Zapp∗
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Neutrinooszillationen sind ein deutlicher Hinweis auf die Unvollständigkeit des Standardmodells der Teilchenphysik. Sie treten auf, falls Neutrinos massiv sind und untereinander
mischen analog zur Mischung auf dem Quarksektor. Innerhalb des Standardmodells gibt es
jedoch keine Neutrinomassenterme. Insofern gehen Neutrinoozillationen über das Standardmodell hinaus. Im Folgenden werden die Mechanismen, die zu Neutrinooszillationen führen,
und die Herleitung der Oszillationswahrscheinlichkeit innerhalb der Quantenmechanik formuliert und diskutiert.
∗
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1
1 Einleitung
Neutrinos gehören mit Abstand zu den häufigsten Teilchen im Universum. Als elektrische neutrale
Leptonen nehmen sie jedoch nur an der schwachen Wechselwirkung und der Gravitation teil. Trotz ihrer
Häufigkeit ist es daher sehr schwer ihre Eigenschaften zu studieren. Nach jetztigem Stand können jedoch
alle ihre bekannten Wechselwirkungen durch das Standardmodell der Teilchenphysik beschrieben werden.
Es werden drei bekannte Arten (Flavors) von Neutrinos1 unterschieden. Dabei können Elektron-Neutrinos νe ,
Myon-Neutrinos νµ oder Tauon-Neutrinos ντ über den leptonischen Zweikörper-Zerfall des W + -Bosons
definiert werden. Dieser Zerfall produziert ein geladenes Anti-Lepton, also entweder ein Positron e+ , ein
positives Myon µ+ oder ein Tauon τ + und zusätzlich ein Neutrino, das nach Defintion denselben Flavor
trägt:
W + → e+ + νe
W + → µ+ + νµ
W + → τ + + ντ
In der Tat sind Neutrinos nur indirekt über das zugehörige geladene Lepton nachweisbar. Es ist ein experimenteller Befund, dass ein Neutrino mit festem Flavor, welches nach seiner Entstehung sofort“ nach”
gewiesen wird, bei der Wechselwirkung im Detektor nur ein Lepton des gleichen Flavors erzeugen kann.
Elektron-Neutrinos erzeugen also nur Elektronen, Myon-Neutrinos nur Myonen und Tauon-Neutrinos nur
Tauonen.
Abbildung 1: Ein W + zerfällt leptonisch in ein µ+ und sein zugehöriges Neutrino νµ . Weist man dieses
Neutrino nach einer kurzen Flugstrecke“ nach, so zeigt die experimentelle Erfahrung, dass
”
bei der Detektion nur Myonen entstehen können.
Eine andere Situation kann sich jedoch ergeben, falls ein Neutrino mit festem Flavor vor seiner Detektion
lange Flugstrecken“ zurücklegt.2
”
Man betrachte zum Beispiel atmosphärische Myon-Neutrinos, die aus Pionzerfällen stammen:
π + → W + → µ+ + νµ .
1
Im Folgenden wird der Einfachheit halber immer von Neutrinos ausgegangen. Die Behandlung von Anti-Neutrinos ist
vollkommen analog.
2
Die Unterscheidung in kurze und lange Flugstrecken ist hier noch zunächst unpräzise.
2
Angenommen ein solches Neutrino wechselwirkt in einem Detektor auf der anderen Seite der Erde und dabei entsteht ein geladenes Lepton, dann muss dieses geladene Lepton kein Myon sein. Es könnte zum Beispiel auch ein Tauon sein. Da aber nur Tauon-Neutrinos durch ihre Wechselwirkung Tauonen produzieren
können, würde das Erscheinen des Tauons eine Flavoränderung des Neutrinos von einem Myon-Neutrino
zu einem Tauon-Neutrino implizieren. In den letzten 15 Jahren wurden solche Neutrinooszillationen in
zahlreichen Experimenten nachgewiesen (siehe z.B.[9]).
Abbildung 2: Über lange Flugstrecken“ hinweg kann ein Neutrino seinen Flavor ändern. Dieses
”
Phänomen wird auch Neutrinooszillation genannt.
Theoretisch lassen sich Neutrinooszillationen erklären, wenn man annimmt, dass Neutrinos zum einen
Masse besitzen und zum anderen untereinander mischen.
2 Neutrinooszillationen in der Quantenmechanik
Im folgenden Abschnitt wird die Theorie der Neutrinooszillationen innerhalb der Quantenmechanik behandelt.
2.1 Flavorzustände/Flavorbasis
Erzeugung und Detektion eines Neutrinos sind Prozesse der schwachen Wechselwirkung. Beschrieben
wird ein solches Neutrino durch Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung. Das sind Zustände mit
festem Flavor α
|να i mit α = e, µ, τ.
(1)
Diese sogenannten Flavorzustände bilden die Flavorbasis {|να i}.
2.2 Massenzustände/Massenbasis
Nimmt man an, dass Neutrinos massiv sind, dann gibt es außerdem ein Spektrum aus Masseneigenzuständen. Das sind Zustände fester Masse, das heißt
M |νi i = mi |νi i ,
i = 1, 2, 3
wobei M der Massenoperator ist. Sie bilden die Massenbasis {|νi i}. Die Masseneigenzustände beschreiben also die massiven physikalischen Neutrinos, die sich mit bestimmten wohldefinierten kinematischen
Eigenschaften in Raum und Zeit bewegen. Sie sind daher Eigenzustände des freien Hamiltonoperators H0
und des Impulsoperators P.3
3
Die Masseneigenzustände sind keine Zustände der schwachen Wechselwirkung, sonst würden sie die Flavorquantenzahl
erhalten.
3
2.3 Neutrinomischung
Neutrinomischung bedeutet dann, dass die Flavorzustände nicht mit den Masseneigenzuständen übereinstimmen,
sondern eine quantenmechanische Superposition aus diesen sind
X
∗
|να i =
Uαi
|νi i .
(2)
i
Die Koeffizienten Uαi können dabei als Komponenten einer Matrix U aufgefasst werden, die den Basiswechsel zwischen der Flavorbasis und der Massenbasis beschreibt. Diese Matrix ist unitär
X
∗
Uαi
Uαj = δij .
(3)
U †U = 1 ⇔
α
Somit gilt auch:
|νi i =
X
Uαi |να i
(4)
α
Damit sind alle Mechanismen, die zu Neutrinooszillationen führen formalisiert und die Oszillationswahrscheinlichkeit kann daraus abgeleitet werden.
2.4 Herleitung der Oszillationswahrscheinlichkeit
Bei der Herleitung hilft es Abbildung 3 vor Augen zu haben. Angenommen ein Neutrino ν wird bei
(ti , xi ) = (0, 0) zusammen mit einem Anti-Lepton vom Flavor α produziert. Bei der Entstehung besitzt
es damit selbst den Flavor α. Was ist dann die Wahrscheinlchkeit dafür, dass dieses Neutrino nach der
Propagation zum Detektor bei (tf , xf ) = (t, L) durch Wechselwirkung mit diesem ein (Anti-)Lepton vom
Flavor β erzeugt und damit seinen Flavor von α zu β geändert hat?
Abbildung 3: Neutrinooszillation eines Neutrinos mit Flavor α in ein Neutrino mit Flavor β.
In der Sprache der Quantenmechanik lautet die Frage:
P (να → νβ ) = |hνβ | να , t, Li|2 = ?
(5)
Zur Beantwortung wird zunächst der Ket-Vektor der Übergangsamplitude hνβ | να , t, Li, der die Propagation des bei (ti , xi ) = (0, 0) erzeugten Flavorzustand |να i zum Detektor beschreibt, berechnet:
|να , t, Li = exp (−iH0 t + iPL) |να i .
(6)
Die Zeitentwicklung des Anfangszustands |να i wird durch den freien Hamiltonoperator H0 bestimmt und
die Propagation im Raum durch den Impulsoperator P als Generator von räumlichen Translationen.
Durch den Wechsel zur Massenbasis mit Hilfe von Gleichung 4 ergibt sich:
X
∗
|να , t, Li =
Uαj
exp (−iEt + ipj L) |νj i
(7)
j
4
Dabei wurde verwendet, dass die Masseneigenzustände feste kinematische Eigenschaften haben, d.h.
der Hamiltonoperator kann durch den Energieeigenwert und der Impuls-operator durch den Impuls des
jeweiligen Zustands ersetzt werden.
Es wurde dabei angenommen, dass die Energie E für jeden Zustand
q
2
gleich ist. Die Impulse pj = E − m2j sind jedoch verschieden.
Um die Projektion auf hνβ | zu berechnen wechselt man mittels Gleichung 2 wieder auf die Flavorbasis:
X
∗
|να , t, Li =
Uαj
exp (−iEt + ipj L) Uγj |νγ i
(8)
j,γ
Nutzt man die Orthormalität (hνβ | νγ i = δβγ ) bricht die Summe zusammen. Bildet man anschließend das
Betragsquadrat der Amplitude, so ergibt sich für die Übergangswahrscheinlichtkeit
2
X ∗
P (να → νβ ) = Uαj Uβj exp (−iEt + ipj L)
(9)
j
X
∗
∗
=
Uαj
Uβj Uαk Uβk
exp [i (pj − pk ) L] .
(10)
j,k
Geht man von ultrarelativistischen Neutrinos aus, vereinfacht sich die Oszillationswahrscheinlichkeit mittels der Näherung
q
m2j
2
2
(11)
pj = E − mj ≈ E −
2E
zu
"
! #
2
X
∆m
jk
∗
∗
exp −i
P (να → νβ ) =
Uαj
Uβj Uαk Uβk
L ,
(12)
2E
j,k
wobei als neue Größe die Differenz der Massenquadrate eingeführt wurde.
m2jk = m2j − m2k .
(13)
Anhand von Gleichung 12 sieht man, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Flavoränderung aufgrund der
komplexen Exponentialfunktion mit L/E oszilliert.4 Daher stammt die Bezeichung Neutrinooszillationen.
2.5 Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix
Die Matrix U , die für den Basiswechsel zuständig ist und damit gleichzeitig auch für die Mischung wird
auch als Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix oder kürzer PMNS-Matrix bezeichnet. Ihre Standardparametrisierung ist für Dirac-Neutrinos5 durch




1
0
0
c13
0 s13 e−iδ
c12 s12 0
1
0  −s12 c12 0 ,
(14)
U = 0 c23 s23   0
iδ
0 −s23 c23
0
0 1
−s13 e
0
c13
gegeben, wobei cij = cos θij , sij = sin θij mit den Mischungswinkeln θij . Der Winkel δ beschreibt eine
mögliche CP-Verletzung und im Falle dieser gilt δ ∈
/ {0, π} 6 . Die PMNS-Matrix in der obigen Darstellung
hat die gleiche Struktur wie die CKM-Matrix auf dem Quarksektor. Im Fall von Majorana-Neutrinos7
können noch zwei zusätzliche Majoranaphasen untergebracht werden, die jedoch für Neutrinooszillationen
keine Rolle spielen [10].
4
exp (ix) = cos x + i sin x
Für Dirac-Neutrinos würde ν 6= ν̄ gelten.
6
CP-Verletzung heißt bei Neutrinooszillationen P (ν̄α → ν̄β ) 6= P (να → νβ ) .
5
CP T
Gl.12
Mit dem CPT-Theorem gilt: P (ν̄α → ν̄β ) = P (νβ → να ) = P (να → νβ , U → U ∗ ) . D.h. CP-Verletzung tritt auf
wenn U komplex ist, was genau dann der Fall ist wenn δ ∈
/ {0, π}.
7
Für Majorana- Neutrinos würde ν = ν̄ gelten.
5
2.6 Kommentare zur quantenmechanischen Herleitung
Bei der Herleitung gingen folgende vier Annahmen ein:
1. Die betrachteten Neutrinos sind ultrarelativistisch (Gl. 11).
2. Ein Neutrino mit festem Flavor ist durch einen Flavorzustand (Gl. 1) beschreibbar.
3. Die Propagation in der Raumzeit erfolgt als ebene Welle (Gl .6).
4. Die Masseneigenzustände haben alle die gleiche Energie (Gl. 7).
Die erste Annahme rechtfertigt sich dadurch, dass man aus direkten Messungen und kosmologischen
Überlegungen weiß, dass Neutrinomassen im Bereich von wenigen eV liegen. Heutige Experimente können
allerdings nur Neutrinos mit Energien größer als 100 keV nachweisen[7]. Die zweite Annahme ist zunächst
problematisch, da aus quantenfeldtheoretischen Überlegungen folgt, dass die Flavorzustände zunächst
nicht wohldefiniert sind, da sie sowohl vom Produktions- als auch vom Detektionsprozess abhängig sind.
Streng genommen muss daher eine Herleitung innerhalb der Quantenfeldtheorie durchgeführt werden. Es
kann jedoch gezeigt werden, dass die hier angenommenen Flavorzustände für alle heutigen Neutrinooszillationsexperimente sehr gute Approximationen darstellen [1, 6]. Die dritte Annahme steht im Konflikt
mit der Produktion und der Detektion, die im Rahmen ihrer Unsicherheiten lokalisierte Prozesse sind.
Ebene Wellen überdecken aber die ganze Raumzeit. Ein verbesserte Herleitung nutzt die formale Beschreibung durch Wellenpakete, die in der Quantenmechanik lokalisierte Teilchen beschreiben [1]. Für die
vierte Annahme, die kontrovers betrachtet wird [11], soll an dieser Stelle zumindest ein gutes Argument
genannt werden. Es kann gezeigt werden, dass Interferenzeffekte von Neutrinozuständen mit verschiedenen Energien bei der Wechselwirkung des einfallenden Neutrinos mit dem Detektor zerstört würden. Als
Folge dessen wären Neutrinooszillationen, die ein Interferenzeffekt sind, aber gar nicht beobachtbar [4].
2.7 Spezialfall: Zwei-Flavor-Oszillationen
Viele Experimente lassen sich analysieren, indem man effektive Modelle annimmt bei denen Oszillationen
nur zwischen zwei effektiven Flavors auftreten [1]. Es muss dann nur noch eine Differenz von Massenquadraten ∆m2 = m22 − m21 > 0 und ein Mischungswinkel θ betrachtet werden. Mit der Mischungsmatrix
Uα1 Uα2
cos θ sin θ
U=
=
Uβ1 Uβ2
− sin θ cos θ
erhält man aus Gleichung 12 für die Wahrscheinlichkeit der Flavoränderung
2
2
2 ∆m L
P (να → νβ6=α ) = sin (2θ) sin
.
4 E
(15)
Hier überzeugt man sich sehr schnell vom oszillatorischen Charakter der Übergangswahrscheinlichkeit.
Außerdem sieht man, dass zumindest eine nicht verschwindende Neutrinomasse und die Neutrinomischung
notwendige Bedingungen für eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit sind.
In der Praxis sind Quelle und Detektionsprozess mit Unsicherheiten behaftet. Daher muss die Oszillationswahrscheinlichkeit über geeignete Verteilungen des Quelle-Detektor-Abstands L und der Energie E gemittelt werden. Dies führt zu drei Bereichen in der Oszillationswahrscheinlichkeit, die abhängig vom Wert
der Oszillationsphase sind:
•
∆m2
4E L
1: keine Oszillationen beobachtbar P (να → νβ6=α ) ≈ 0 (
•
∆m2
4E L
∼ 1: Oszillationen beobachtbar (
lange Strecke)
6
kurze Strecke)
•
∆m2
4E L
1: gemittelte Oszillationen (
sehr lange Strecke)
2
1
2 ∆m L
sin2 (2θ) = sin2 (2θ)
P (να → νβ6=α ) =
sin
4 E
2
L,E
Hieran lässt sich auch die anfangs unpräzise Unterscheidung in kurze“ und lange“ Flugstrecken verste”
”
hen. Zudem sieht man, dass man streng genommen noch einen dritten Fall, den von sehr langen“ Flug”
strecken, hat.
Abbildung 4: Gemittelte Übergangswahrscheinlichkeit für να → νβ6=α als Funktion der Oszillationsphase
über eine gaußverteilte L/E Verteilung bei maximaler Mischung θ = 45◦ der Neutrinos.
Gestrichelte Kurve: Oszillationswahrscheinlichkeit bei scharfem L und E.
2.8 Folgerungen und weiterführende Fragen
Die wichtigste Konsequenz aus dem Nachweis von Neutrinooszillationen ist die Existenz von Neutrinomassen. Dies bedeutet zum einen, dass das Standardmodell unvollständig ist und um Massenterme erweitert werden muss. Zum Anderen wird die Existenz von rechtshändigen Neutrinos theoretisch möglich.
Allerdings lernt man aus den Oszillationsexperimenten nichts über die absolute Massenskala und die
Massenhierarchie. Spannende und zugleich offene Fragen der Neutrinophysik sind zum Beispiel:
• CP-Invarianz bei Neutrinooszillationen: P (να → νβ ) = P (ν̄α → ν̄β ) ?
• Gibt es mehr als drei Neutrinos? Gibt es sterile Neutrinos?8
• Existieren weitere – exotische Neutrino-Wechselwirkungen?
• Dirac- oder Majorana-Teilchen: ν 6= ν̄ oder ν = ν̄ ?
• Wie groß sind die Massen mi ?
• ...
8
Sterile Neutrinos wären Neutrinos, die nicht an der schwachen Wechselwirkung teilnehmen, sondern nur an der Gravitation.
7
Abbildung 5: Neutrinooszillationen machen nur Aussagen über Differenzen von Massenquadraten. Hierarchie und absolute Massenskala bleiben unbekannt.
Dabei könnten Neutrinooszillationsexperimente Licht auf die ersten drei Fragestellungen werfen. Für
die letzten beiden Fragenstellungen kommen Experimente zum neutrinolosen doppelten Betazerfall bzw.
Massenmessungen mit Hilfe des Betazerfalls von Tritium in Frage.
Literatur
[1] Fundamentals of Neutrino Physics and Astrophysics, C. Giunti, C. W. Kim, Oxford University Press, Oxford, UK,
2007
[2] Introduction to the Theory of the Early Universe: Hot Big Bang Theory,
D. S. Gorbunov, V. A. Rubakov, World Scientific, 2011
[3] Neutrino Physics, B. Kayser [arXiv:hep-ph/0506165v1], 2005
[4] Stodolsky’s Theorem and Neutrino Oscillation Phases– for pedestrians,
H. J. Lipkin [arXiv:hep-ph/0212093v3], 2003
[5] Elektroschwache Wechselwirkung, H. Spiesberger, WS 2007/2008
[6] Neutrino Flavor States and the Quantum Theory of Neutrino Oscillations,
C. Giunti, [arXiv:hep-ph/0608070v2], 2006
[7] Lepton Numbers in the framework of Neutrino Mixing, S.M. Bilenky,
C. Giuinti [arXiv:hep-ph/0102320v1]
[8] Particles and Fundamental Interactions, S. Braibant, G.Giacomelli, M. Spurio, Springer, 2012
[9] Neutrino Oscillations– Present Status and Future Plans, J. A. Thomas, P. L. Vahle,
World Scientific, 2008
[10] No Effect of Majorana Phases in Neutrino Oscillations, C. Giunti, [arXiv:hep-ph/1001.0760v2],2010
[11] Oscillations of neutrinos and mesons in quantum field theory, M. Beuthe, [arXiv:hep-ph/0109119v2],2002
8